第2章 有理数的运算单元复习（全章知识点总结+12种题型举一反三）2025-2026学年人教版数学七年级上册专题复习

第2章 有理数的运算全章复习 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点梳理 1.有理数运算法则： 加法：同号取同号算绝对值和；异号取绝对值大的符号算绝对值差；互为相反数和为0；与0加得原数。 减法：（减一个数=加它的相反数）。 乘法：同号得正，异号得负，绝对值相乘；0乘任何数得0。 除法：除以非0数=乘它的倒数；同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以非0数得0。 乘方：正数任何次幂正；负数奇次幂负、偶次幂正；0的正整数次幂为0。 2.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内（小→中→大）。 3.运算律：加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、分配律。 4.科学记数法：(，为正整数，=原数整数位数-1)。 5.近似数：四舍五入取近似值，精确到某一位(如十分位、万位)或保留有效数字(从第一个非0数字起)。 二、重难点突破 重点：有理数混合运算(符号判断、顺序)、科学记数法的应用、运算律简化计算。 难点：乘方的符号判断、绝对值与乘方的非负性应用、有理数运算的实际情境建模。 三、高频易错点警示 乘方符号：混淆与(如，)。 运算顺序：先算乘除再算乘方，或忽略括号优先(如误算为)。 科学记数法： 的范围错误(或)、的值计算错误(漏数整数位数)。 4.倒数与相反数：忽略0没有倒数，或混淆倒数(乘积1)与相反数(和为0)。 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【题型1】有理数的加减运算 1.知识点 有理数加法法则(同号、异号、与0相加)。 减法法则：(减法转加法)。 2.考点 同号/异号两数的加减计算。 加减混合运算转化为省略加号的和式计算。 3.易错点 异号两数相加时，符号判断错误(忽略“取绝对值较大的符号”)。 减法转加法时，忘记改变减数的符号(如误转为)。 4.解题技巧 先定符号，再算绝对值(同号相加，异号相减)。 利用加法交换律/结合律凑整(如凑相反数、整数，简化计算)。 【例题1】．（2024-2025•朝阳区校级一模）根据有理数加法法则，计算4+（﹣5）过程正确的是（　　） A．+（5+4） B．﹣（4﹣5） C．﹣（4+5） D．﹣（5﹣4） 【答案】D 【分析】先确定结果的符号为负，再用较大的绝对值减去较小的绝对值即可． 【解答】解：原式＝﹣（5﹣4）． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． 【变式题1-1】．（2024-2025•肇源县期中）把﹣6﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣9）写成省略加号和括号的形式后的式子是（　　） A．﹣6﹣7+2﹣9 B．﹣6+7﹣2﹣9 C．﹣6﹣7﹣2+9 D．﹣6+7﹣2+9 【答案】C 【分析】根据去括号的法则和有理数加减法的法则可以将题目中的式子写成省略加号和的形式，本题得以解决． 【解答】解：﹣6﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣9） ＝﹣6﹣7﹣2+9， 故选：C． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算，解答本题的关键是明确有理数加减混合运算的计算方法． 【变式题1-2】．（2024-2025•武城县期末）已知|（﹣3）+□|＝5，那么“□”表示的数为（　　） A．2 B．2或8 C．﹣2 D．﹣2或8 【答案】D 【分析】根据绝对值的意义可知（﹣3）+□＝±5，进而求解． 【解答】解：∵|（﹣3）+□|＝5， ∴（﹣3）+□＝5或者（﹣3）+□＝﹣5， 当（﹣3）+□＝5时，则□＝5﹣（﹣3）＝5+3＝8， 当（﹣3）+□＝﹣5时，则□＝﹣5﹣（﹣3）＝﹣5+3＝﹣2． ∴□表示的数为﹣2或8． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的加法及绝对值意义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式题1-3】．（2024-2025•肇源县期中）计算： （1）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13； （2）； （3）﹣3+（﹣5）﹣|﹣6|﹣（﹣4）； （4）（）（﹣0.5）+（）． 【答案】（1）﹣29；（2）﹣5；（3）﹣10；（4）﹣1． 【分析】（1）根据加减运算法则，进行计算即可； （2）根据加法交换律和结合律进行简便计算； （3）先进行绝对值运算，再进行加减法运算； （4）根据加法交换律和结合律进行简便计算． 【解答】解：（1）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13 ＝﹣20+（﹣14）+（﹣13）+18 ＝﹣47+18 ＝﹣29； （2） ＝﹣6+1 ＝﹣5； （3）﹣3+（﹣5）﹣|﹣6|﹣（﹣4） ＝﹣3+（﹣5）+（﹣6）+4 ＝﹣14+4 ＝﹣10； （4）（）（﹣0.5）+（） ＝﹣2.5+（﹣0.5）+（） ＝﹣3+2 ＝﹣1． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算，掌握相关运算法则和运算定律是解题的关键． 【题型2】有理数的乘除运算 1.知识点 乘法法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘；0乘任何数得0。 除法法则：除以非0数=乘它的倒数；同号得正，异号得负。 2.考点 两数及多个有理数的乘除计算。 乘除混合运算(同级运算从左到右)。 3.易错点 多个负数相乘时，负因数个数判断错误(奇负偶正，如误算为24)。 除法转乘法时，倒数找错(如误转为)。 4.解题技巧 先定符号：多个非0数相乘，负因数个数为奇数则积负，偶数则积正。 再算绝对值：乘除混合运算先转全乘法，再约分简化(如)。 【例题2】．（2024-2025•中山市校级期中）计算（﹣2025）×（﹣1）的结果等于（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数乘法法则直接计算即可． 【解答】解：（﹣2025）×（﹣1） ＝2025×1 ＝2025． 故选：A． 【点评】本题考查有理数的乘法，解决本题的关键是根据有理数乘法的计算法则计算． 【变式题2-1】．（2024-2025•安平县校级期末）计算（﹣7）÷（）×7的结果为（　　） A．1 B．﹣7 C．7 D．343 【答案】D 【分析】根据题意，将除法转化成乘法，然后根据“乘法计算中，同号得正、异号得负”进行计算即可． 【解答】解： ＝（﹣7）×（﹣7）×7 ＝49×7 ＝343； 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的除法、有理数的乘法，解决本题的关键是将除法转化成乘法，再计算． 【变式题2-2】．（2024-2025•天元区校级月考）计算： （1）； （2）1（﹣0.8）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）﹣10； （4）﹣14． 【分析】（1）根据两数相乘，异号得负，并把绝对值相乘计算即可； （2）先把带分数化为假分数、小数化为分数，再根据有理数乘法法则计算即可； （3）先判断积的符号，再把绝对值相乘即可； （4）先判断积的符号，再把绝对值相乘即可． 【解答】解：（1）； （2）1（﹣0.8）； （3） ＝﹣10； （4） ＝﹣14． 【点评】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题2-3】．（2024-2025•川汇区校级月考）根据下列语句列式并计算： （1）﹣3与0.3的和乘以2的倒数； （2）45加上15与﹣3的积； （3）34与6的商减去； （4）与﹣5的差的平方． 【答案】（1）﹣1.35；（2）0；（3）6；（4）． 【分析】（1）（2）（3）（4）先根据题意列出算式，再计算算式的结果． 【解答】解：（1）（﹣3+0.3） ＝﹣2.7 ＝﹣1.35； （2）45+15×（﹣3） ＝45﹣45 ＝0； （3）34÷6﹣（） ＝6； （4）[（﹣5）]2 ＝（5）2 ＝（）2 ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式，掌握有理数的运算法则和运算顺序是解决本题的关键． 【题型3】倒数的识别与计算 1.知识点 倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数。 2.考点 判断两个数是否互为倒数(如与)。 求整数、分数、小数的倒数(如的倒数为4)。 3.易错点 忽略“0没有倒数”，误求0的倒数。 求负数倒数时符号错误(如的倒数误算为)。 4.解题技巧 整数的倒数：除以该整数(如的倒数为)。 分数的倒数：交换分子与分母(如的倒数为)。 小数的倒数：先化为分数，再求倒数(如，倒数为2)。 【例题3】．（2024-2025•北碚区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．若两个数相乘结果为正，则这两个数都是正数 B．任何有理数都有倒数 C．正数的倒数比自身小 D．0的相反数是0 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法、正负数、倒数、相反数的定义进行作答即可． 【解答】解：A．若两个数相乘结果为正，则这两个数同号，故本选项不符合题意； B.0没有倒数，故本选项不符合题意； C.1的倒数是1，的倒数是2，故本选项不符合题意； D.0的相反数是0，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查有理数的乘法、正负数、倒数、相反数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式题3-1】．（2024-2025•重庆校级月考）若a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，则代数式a+b﹣c的值为（　　） A．0 B．﹣2 C．2 D．﹣1 【答案】B 【分析】先根据题意求出a、b、c的值，代入代数式进行计算即可． 【解答】解：∵a是最大的负整数， ∴a＝﹣1， ∵b是绝对值最小的有理数， ∴b＝0， ∵c是倒数等于它本身的自然数， ∴c＝1， ∴a+b﹣c＝﹣1+0﹣1＝﹣2． 故选：B． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的有关概念． 【变式题3-2】．（2024-2025•北碚区校级月考）（1）若有理数x，y满足|x|＝8，|y|＝3，且|x﹣y|＝y﹣x，求x+y的值； （2）已知a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，m的绝对值为5，求的值． 【答案】（1）﹣5或﹣11； （2）﹣6或4． 【分析】（1）根据绝对值的性质确定x，y得值，然后代入x+y中计算即可； （2）由相反数的定义，倒数的定义，绝对值的定义易得a+b＝0，1，cd＝1，m＝±5，将已知数值代入原式计算即可． 【解答】解：（1）∵|x|＝8，|y|＝3， ∴x＝±8，y＝±3， ∵|x﹣y|＝y﹣x， ∴x＜y， ∴x＝﹣8，y＝±3， ∴x+y＝﹣8+3＝﹣5或﹣8﹣3＝﹣11； （2）∵a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，m的绝对值为5， ∴a+b＝0，1，cd＝1，m＝±5， 当m＝5时， 原式＝0﹣1+（﹣1）×5 ＝﹣1﹣5 ＝﹣6， 当m＝﹣5时， 原式＝0﹣1+（﹣1）×（﹣5） ＝﹣1+5 ＝4， 综上，原式的值为﹣6或4． 【点评】本题考查有理数的混合运算，绝对值，相反数，倒数，熟练掌握相关定义及运算法则是解题的关键． 【变式题3-3】．（2024-2025•旬阳市期末）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为1，求x2024+cd+a+b． 【答案】2． 【分析】根据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，可得a+b＝0，cd＝1，由绝对值可得|x|＝1，代入计算即可． 【解答】解：由条件可知a+b＝0．cd＝1．|x|＝1， 所以x2024＝1， 所以x2024+cd+a+b＝1+1+0＝2． 【点评】本题考查相反数，倒数，绝对值，代数式求值．熟练掌握以上知识点是关键． 【题型4】科学记数法表示较大数 1.知识点 科学记数法定义：(，为正整数)。 的确定：。 2.考点 将大数(如149亿)表示为科学记数法。 根据科学记数法还原原数(如)。 3.易错点 的范围错误：(如)或(如)。 的值计算错误：漏数原数整数位数(如123000误算为)。 4.解题技巧 数原数整数位数：如149亿=14900000000，整数位11位，故，，即。 还原原数：的小数点右移位(如)。 【例题4】．（2024-2025•东莞市校级一模）《康熙字典》是中国古代汉字字数最多的字典，共收录汉字47000余个．将47000用科学记数法表示应为（　　） A．0.47×105 B．4.7×104 C．4.7×103 D．47×103 【答案】B 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【解答】解：47000＝4.7×104． 故选：B． 【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键． 【变式题4-1】．（2024-2025•姑苏区校级期中）2024年我国GDP总量超130万亿元，将“130万亿”用科学记数法表示为　1.3×1014　 ． 【答案】1.3×1014． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：130万亿＝130000000000000＝1.3×1014． 故答案为：1.3×1014． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【变式题4-2】．（2024-2025•澧县期末）省希望工程办公室收到社会各界人士捐款共1500万元．以此来资助贫困失学儿童． （1）如果每名失学儿童可获得500元的资助，那么共可资助多少名失学儿童？用科学记数法表示结果． （2）如果社会各界人士的捐款数平均为10元/人，则需要多少人捐款才能获得这笔捐款？用科学记数法表示结果． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）用总捐款数除以资助每名失学儿童需要的钱，可得出资助失学儿童的数目，然后用科学记数法表式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数； （2）用总捐款数除以平均每人捐款数，可得出捐款的人数，然后用科学记数法表示式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 【解答】解：1500万元＝15000000元， （1）15000000÷500＝30000（名）＝3×104 （名）； （2）15000000÷10＝1500000（人）＝1.5×106 （人）． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【变式题4-3】．（2024-2025•吴江区期中）光在真空中的传播速度约是3×108m/s，光在真空中传播一年的距离称为光年． （1）1光年约是多少千米？（一年以3×107s计算） （2）银河系的直径达10万光年，约是多少千米？ （3）如果一架飞机的飞行速度为1000km/h，那么光的速度是这架飞机速度的多少倍？（1m/s＝3.6km/h） 【答案】（1）9×1012千米．（2）9×1017（千米）．（3）1.08×106倍． 【分析】（1）根据题意列出算式，求出即可； （2）根据题意列出算式，求出即可； （3）先化单位，再根据题意列出算式，求出即可． 【解答】解：（1）3×108×3×107＝9×1015（米）， 9×1015米＝9×1012千米． 答：1光年约是9×1012千米； （2）10万＝100000， 100000×9×1012＝9×1017（千米），． 答：银河系的直径达10万光年，约是9×1017千米； （3）3×108m/s＝1.08×109km/h， 1.08×109÷1000＝1.08×106， 答：光的速度是这架飞机速度的1.08×106倍． 【点评】本题考查了科学记数法的表示方法．解此题的关键是能根据题意列出算式． 【题型5】近似数的判断与精确度 1.知识点 近似数定义：四舍五入得到的接近准确值的数。 精确度：精确到某一位(如十分位、千位)或保留有效数字。 2.考点 判断近似数的精确度(如24.0精确到十分位)。 根据精确度取近似数(如1.7375精确到0.01为1.74)。 3.易错点 精确到“万”“亿”位时忽略科学记数法：如精确到万位，非个位。 有效数字判断错误：忽略末尾的0(如24.00的有效数字为2、4、0、0，共4个)。 4.解题技巧 精确到某一位：看最后一位数字所在的数位(如24.0的“0”在十分位)。 科学记数法的精确度：看的最后一位对应的原数数位(如中“1”在千位)。 【例题5】．（2024-2025•北林区校级期末）近似数3.25亿是精确到　百万　 位． 【答案】百万． 【分析】用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数．判断最后一个数字“5”所在数位即可． 【解答】解：近似数3.25亿是精确到百万位， 故答案为：百万． 【点评】本题主要考查科学记数法与有效数字，熟练掌握该知识点是关键． 【变式题5-1】．（2024-2025•斗门区期末）我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．圆周率π≈3.1415926按照四舍五入法对π精确到百分位是　3.14　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 【解答】解：π≈3.1415926，3.1415926千分位上的数字是1，则将π按照四舍五入法精确到百分位是3.14， 故答案为：3.14． 【点评】本题考查取近似数，涉及四舍五入法，找准小数的百分位，根据千分位的数四舍五入是解决问题的关键． 【变式题5-2】．（2024-2025•义乌市校级期末）一个三位小数“四舍五入”保留两位小数是6.80，这个小数最小可能是 　6.795　 ，最大可能是 　6.804　 ． 【答案】6.795，6.804． 【分析】要考虑6.80是一个三位小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的6.80最大是6.804，“五入”得到的6.80最小是6.795， 由此解答问题即可． 【解答】解：由题意可得， 一个三位小数“四舍五入”保留两位小数是6.80，这个小数最小可能是6.795，最大可能是6.804． 故答案为：6.795，6.804． 【点评】本题考查近似数和有效数字，取一个数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，根据题的要求灵 活掌握解答方法是解答本题的关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•长兴县校级月考）用四舍五入方法，按下列要求对 159 897 000 000 分别取近似值： （1）精确到千万位； （2）精确到亿位； （3）精确到百亿位． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把百万位上的数字7进行四舍五入即可； （2）把千万位上的数字9进行四舍五入即可； （3）把十亿位上的数字9进行四舍五入即可． 【解答】解：（1）159 897 000 000≈1.5990×1011（精确到千万位）； （2）159 897 000 000≈1.599×1011（精确到亿位）； （3）159 897 000 000≈1.6×1011（精确到百亿位）． 【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字． 【题型6】含乘方的有理数混合运算(提升) 1.知识点 乘方符号法则：正数任何次幂正；负数奇次幂负、偶次幂正。 混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右。 2.考点 含乘方的混合运算(如)。 利用运算律简化含乘方的计算。 3.易错点 混淆与：如，(前者底数为-3，后者为3)。 运算顺序错误：先算乘除再算乘方(如误算为)。 4.解题技巧 第一步计算乘方：先确定乘方的符号，再算绝对值的乘方。 第二步算乘除：将除法转乘法，按从左到右计算。 第三步算加减：有括号先算括号内，最后算加减。 【例题6】．（2024-2025•鼓楼区月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）﹣2； （2）； （3）4； （4）﹣499． 【分析】（1）利用加法的交换律与结合律计算即可； （2）利用有理数的乘除法则计算即可； （3）先算乘方及括号里面的，再算乘除，最后算加减即可； （4）利用乘法分配律计算即可． 【解答】解：（1）原式＝（）+（﹣2） ＝1﹣3 ＝﹣2； （2）原式＝﹣18（） ； （3）原式＝﹣1（3﹣9）+2×2 ＝﹣1（﹣6）+4 ＝﹣1+1+4 ＝4； （4）原式＝（﹣50）×10 ＝﹣50×1010 ＝﹣500 ＝﹣499． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式题6-1】．（2024-2025•望奎县校级开学）计算： （1）（﹣7）+11+（﹣13）+9； （2）6.8﹣（﹣4.2）+（﹣9）； （3）； （4）． 【答案】（1）0； （2）2； （3）； （4）﹣4． 【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （3）先计算乘方和绝对值，再根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （4）先计算乘方和绝对值，再计算乘法和除法，最后计算加减法即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣7+11﹣13+9 ＝（﹣7﹣13）+（11+9）， ＝﹣20+20， ＝0； （2）原式＝6.8+4.2﹣9， ＝11﹣9， ＝2； （3）原式， ， ， ； （4）原式， ＝﹣6+2， ＝﹣4． 【点评】本题主要考查有理数混合运算；熟练掌握运算法则是关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•东平县期末）计算（能用简便方法计算的，尽量用简便方法计算） （1）43+（﹣77）+37+（﹣23）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）﹣20； （2）﹣1； （3）2； （4）． 【分析】（1）利用有理数加法运算的交换律与结合律恒等变形，再由有理数加减运算法则求解即可得到答案； （2）先计算乘方、去绝对值运算，再计算乘除法，最后由有理数减法运算求解即可得到答案； （3）按照有理数混合运算法则，先计算括号里的，再计算乘方运算，再计算乘除运算，最后由有理数减法运算求解即可得到答案； （4）将恒等变形为，再由有理数乘法分配律求解即可得到答案． 【解答】解：（1）原式＝（43+37）+[（﹣77）+（﹣23）] ＝80+（﹣100） ＝﹣20； （2）原式 ＝﹣1； （3）原式 ＝2； （4）原式 ． 【点评】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的” 【变式题6-3】．（2024-2025•阜南县月考）对式子进行简便计算，如图所示，②运用到的运算律是（　　） 解： ① ② ＝﹣20+75 ＝55 A．乘法结合律 B．乘法交换律 C．乘法分配律 D．加法结合律 【答案】C 【分析】根据乘法分配律运算法则求解即可． 【解答】解：根据题意得，②是让和分别与100相乘，然后再相加， ∴②运用到的运算律是乘法分配律． 故选：C． 【点评】此题考查了乘法分配律，熟练掌握分配律是关键． 【题型7】有理数运算的实际应用(提升) 1.知识点 正负数表示实际意义(如收入为正、支出为负，上升为正、下降为负)。 有理数的加减乘除运算(如计算温差、路程、利润)。 2.考点 根据实际情境列运算式(如计算月球车耐受温差：)。 解决实际问题(如购物费用、行程距离、评分统计)。 3.易错点 正负数的实际意义混淆：如“下降-5℃”误理解为下降5℃(实际为上升5{}^\circC)。 忽略单位换算：如千米与米、元与万元的换算错误。 4.解题技巧 第一步：确定正负数的表示规则(如“超过标准为正，不足为负”)。 第二步：根据题意列算式(如求平均垫球数：标准数+差值的平均数)。 第三步：计算结果并验证(结合实际情境判断结果合理性，如人数、费用不能为负)。 【例题7】．（2024-2025•遵义校级开学）在下面边长为8cm的正方形中，剪去一个长4cm，宽2cm的长方形，下面的四种方法中，剩下的部分（　　）的周长最长． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算每一个剩下的部分的周长，再比较即可． 【解答】解：分别计算每一个剩下的部分的周长可得： A的周长：8×4＝32 （厘米）； B的周长：4×8＝32 （厘米）； C的周长：4×8+4×2＝40 （厘米）； D的周长：4×8+2×2＝36 （厘米）； 故选：C． 【点评】本题主要考查了正方形的周长问题．熟练掌握该知识点是关键． 【变式题7-1】．（2024-2025•顺德区开学）采摘园种植草莓秧苗．每行种植107棵，种植了25行，一共种植了多少棵草莓秧苗？在解决这个问题的竖式中．如图中箭头所指的这一步是在计算（　　） A．2行种植了多少棵秧苗 B．5行种植了多少棵秧苗 C．20行种植了多少棵秧苗 D．25行种植了多少棵秧苗 【答案】C 【分析】已知每行种植107棵，种植了25行，要求一共种植了多少棵草莓秧苗，用乘法计算；竖式计算中，箭头所指的部分实际是107×20＝2140，据此解答． 【解答】解：箭头所指的这一步表示2140， 2140＝107×20， 观察可知，箭头所指的这一步是在计算20行种植了多少棵秧苗． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是运用乘法解决问题． 【变式题7-2】．（2024-2025•北碚区校级月考）被誉为“中国汽车之城”的重庆，拥有雄厚的汽车产业底蕴和完整的产业链集群．作为全国重要的汽车生产基地，重庆不仅孕育了长安、力帆、赛力斯等知名车企，更形成了涵盖整车制造、核心零部件、智能网联及新能源汽车的千亿级产业生态，堪称中国汽车工业版图上的璀璨明珠．重庆某汽车厂原计划一周生产汽车4200辆，平均每天生产600辆，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．如表是该厂某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 ﹣10 +4 ﹣8 +24 ﹣16 +32 ﹣12 根据以上内容解答下列问题： （1）这周产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆汽车？ （2）若每辆汽车的售价为10万元，不考虑其他因素，那么该厂这一周的生产总额是多少万元？ 【答案】（1）这周产量最多的一天比产量最少的一天多生产48辆汽车； （2）该厂这一周的生产总额是42140万元． 【分析】（1）根据正数和负数的实际意义，利用表格中最大的数减去最小的数即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算求得这周的实际总产量，再将其与10相乘即可． 【解答】解：（1）32﹣（﹣16） ＝32+16 ＝48（辆）， 即这周产量最多的一天比产量最少的一天多生产48辆汽车； （2）（4200﹣10+4﹣8+24﹣16+32﹣12）×10 ＝4214×10 ＝42140（万元）， 即该厂这一周的生产总额是42140万元． 【点评】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【变式题7-3】．（2024-2025•邯郸校级开学）我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民节水意识，某市自来水公司规定如下用水标准：每户每月的用水不超过20吨时，水费按“基本价”收费：超过20吨时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过部分按“调节价”收费，小丽家5，6月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量（吨） 水费（元） 5 16 56 6 24 85.6 （1）该市水费的调节价每吨多少钱？ （2）小丽家7月份用水29吨，你知道她家缴了多少水费吗？ 【答案】（1）每吨3.9元； （2）7月份交水费105.1元． 【分析】（1）先求出“基本价”，再用“基本价”乘上20，求出20吨的钱数，然后用85.6减去20吨的钱数，再除以24﹣20，就是“调节价”； （2）用“基本价”乘上20，再加上“调节价”乘上29﹣20，就是7月份的水费． 【解答】解：（1）（85.6﹣56÷16×20）÷24﹣20 ＝85.6﹣70÷4 ＝15.6÷4 ＝3.9 （元）， 答：该市水费的调节价每吨3.9元； （2）56÷16×20+3.9×29﹣20 ＝56÷16×20+3.9×9 ＝70+35.1 ＝105.1 （元）， 答：7月份缴水费105.1元． 【点评】本题考查了整数、小数四则混合运算的实际应用，解题的关键是理解题意，列出相应的算式，准确计算． 【题型8】程序流程图与有理数计算(提升) 1.知识点 有理数的混合运算(加、减、乘、除、乘方)。 程序流程的逻辑判断(如循环、条件分支：“结果>100则输出，否则继续运算”)。 2.考点 根据输入值，按流程图步骤计算输出值(如输入18，按“结果≤100则继续运算”循环)。 根据输出值反向推导输入值(如输出288，求初始输入值)。 3.易错点 漏看流程图的循环条件：如“结果不大于100则继续”误理解为“大于则继续”。 运算顺序错误：在流程图的某一步骤中，忽略乘方优先或括号优先。 4.解题技巧 正向计算：按流程图步骤逐步计算，标注每一步的结果(如输入18→第一步运算结果→判断是否输出→不输出则继续)。 反向推导：从输出值倒推，每一步逆运算(如“乘2”逆运算为“除以2”)，注意条件限制(如“结果>100”则前一步结果≤100)。 【例题8】．（2024-2025•长顺县期中）如图，某同学设计了一种计算程序流程图，当输入的x的值为﹣3时，输出的y的值为 　124　 ． 【答案】124． 【分析】根据流程图可得算式，计算出该结果，若大于100，则输出，若不大于100，则计算的结果作为新输入的数，再计算，如此反复，直至能输出对应的结果即可． 【解答】解：[﹣3×（﹣4）]2﹣20＝124＞100， ∴输出：y＝124． 故答案为：124． 【点评】本题主要考查了与流程图有关的有理数混合计算，理解题意是关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•潘集区期中）[程序计算题]按如图所示的程序流程计算，若开始输入的值为x＝4，则最后输出的结果是 　55　 ． 【答案】55． 【分析】根据程序可知，输入x，计算出的值，若10，然后再把作为x，输入，再计算的值，直到10，再输出． 【解答】解：∵x＝4， ∴10， 当x＝10时，55， 则最后输出的结果是55， 故答案为：55． 【点评】此题考查的知识点是代数式求值，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序． 【变式题8-2】．（2024-2025•泗洪县期中）有一个特殊的计算程序，若输入一个有理数a，按如图流程进行往复计算． （1）完成如表：（填最简结果） 计算次数 第1次 第2次 第3次 第4次 …… 计算结果 　a　 　a　 　a　 　a　 …… （2）填空：在前10次运算中，结果等于a的最少有 　5　 次，最多有 　7　 次； （3）问：在前2024次运算中，结果大于a的最多有多少次？为什么？ 【答案】（1）a，a，a，a； （2）5，7； （3）在前2024次运算中，结果大于a的最多有506次，理由见解答． 【分析】（1）根据题目中的计算程序，可以写出前四次的结果； （2）根据（1）中的结果，可以写出在前10次运算中，结果等于a的最少次数和最多次数； （3）根据（1）中的结果，可以写出在前2024次运算中，结果大于a的最多有多少次以及相应的理由． 【解答】解：（1）由题目中的运算程序可得， 第1次的计算结果为a+（）＝a， 第2次的运算结果为a（）＝a， 第3次的运算结果为a×（）a， 第4次的运算结果为a÷（）＝a， 故答案为：a，a，a，a； （2）由（1）中的结果和题目中的运算程序可知， 偶数次的结果都为a， aa， 则当a≠a时，在前10次运算中，结果等于a有5次， 当a＝a时，在前10次运算中，结果等于a有7次， 故答案为：5，7； （3）在前2024次运算中，结果大于a的最多有506次， 理由：由（1）知，第一次的结果小于a，第二次和第四次的结果等于a， 故当第三次的结果大于a时，结果大于a的次数最多， 由图中的运算程序可知，每4次为一个循环， 2024÷4＝506， ∴在前2024次运算中，结果大于a的最多有506次． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【变式题8-3】．（2023秋•温州期中）如图是一个有理数混合运算的流程图，根据这个运算流程，当输入a的值为9时，最后输出的结果为 　　 ． 【答案】． 【分析】根据题目中的运算程序，可以计算出相应的结果． 【解答】解：由题目中的程序可知： 当a＝9时，[9﹣（﹣1）2]×（3）+（﹣4） ＝（9﹣1）×（）+（﹣4） ＝8×（）+（﹣4） ＝﹣20+（﹣4） ＝﹣24＜3， 当a＝﹣24时，[﹣24﹣（﹣1）2]×（3）+（﹣4） ＝（﹣24﹣1）×（）+（﹣4） ＝（﹣25）×（）+（﹣4） （﹣4） 3， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【题型9】绝对值与乘方的非负性应用(提升) 1.知识点 非负性：(绝对值非负)、(乘方非负，为任意有理数)。 非负性性质：若多个非负数的和为0，则每个非负数都为0(如，则且)。 2.考点 利用非负性求字母的值(如已知，求)。 结合代数式求值(如求、的值)。 3.易错点 忽略非负性的前提：如不具有非负性(负数的奇次幂为负)，误用于非负性计算。 多个非负数相加时漏项：如，漏判。 4.解题技巧 第一步：识别非负性表达式(常见：、、、等)。 第二步：根据“和为0”列方程：每个非负性表达式等于0，求解字母(如得，得)。 第三步：代入代数式计算(如)。 【例题9】．（2024-2025•慈利县期末）已知（x+y+3）2+|2x﹣4|＝0，则y＝ 　﹣5　 ． 【答案】﹣5． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值即可． 【解答】解：∵（x+y+3）2+|2x﹣4|＝0， ∴x+y+3＝0，2x﹣4＝0， ∴x＝2，y＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【变式题9-1】．（2024-2025•渠县校级月考）若，求的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵， ∴a﹣2＝0，0， ∴a＝2，b， ∴1． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【变式题9-2】．（2024-2025•龙马潭区校级期末）若|x+3|+（y﹣2）2＝0，则x+y的值为　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|x+3|+（y﹣2）2＝0， ∴x+3＝0，y﹣2＝0， ∴x＝﹣3，y＝2， ∴x+y＝﹣3+2＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【变式题9-3】．（2024-2025•綦江区校级期中）正数和零统称为非负数，我们已经学习了“数的偶次幂”和“绝对值”这两种非负数．非负数的常用性质有：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0；一般从以下6种模型中选择一种出题，①|a|+|b|＝0②|a|+b2＝0③a2+b2＝0④|a|＝﹣|b|⑤|a|＝﹣b2⑥a2＝﹣b2．请你仔细观察理解，解答下面的问题． （1）（x+1）2+（y﹣2）2＝0是上面六种模型中的（填编号） 　③　 模型； （2）若|x﹣2|+（2y+4）2＝0，求x2+y2的值．根据非负数的性质写出必要的解答过程． 【答案】（1）③； （2）8． 【分析】（1）对比所给的模型进行判断即可； （2）利用非负数的性质进行求解即可． 【解答】解：（1）（x+1）2+（y﹣2）2＝0是上面六种模型中的③模型， 故答案为：③； （2）∵|x﹣2|+（2y+4）2＝0， ∴|x﹣2|＝0，（2y+4）2＝0， 即x﹣2＝0，2y+4＝0， 解得：x＝2，y＝﹣2， x2+y2 ＝22+（﹣2）2 ＝4+4 ＝8． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，非负数性质，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【题型10】有理数规律探究(培优) 1.知识点 有理数的排列规律(如等差数列：-2011，-2004，-1997…；等比数列：，，…)。 乘方的末位数字规律(如2的乘方末位：2、4、8、6循环)。 2.考点 探究数列的第项(如等差数列为)。 求循环规律中的某一项(如的末位数字)。 3.易错点 规律归纳不全面：仅看前2-3项就定规律(如1，-1，1…误判为“全为1”)。 循环周期判断错误：如3的乘方末位(3、9、7、1)循环周期为4，误算为3。 4.解题技巧 数列规律：多列前5-6项，标注序号与数值的关系(如序号1：-2011，序号2：-2004，差值为7，故)。 末位数字规律：列出前几项的末位，找循环周期(如，，，，周期为4)，用求余数(余数为0则对应周期最后一项)。 【例题10】．（2024-2025•五华区校级模拟）观察下列算式：21＝2 22＝4 23＝8 24＝16 25＝32 26＝64 27＝128 28＝256…，根据上述算式中的规律，你认为22011的末位数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题需先根据已知条件，找出题中的规律，即可求出22011的末位数字． 【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16， 25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…则每四个数循环一次． ∴22011的末位数字是8． 故选：D． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方，根据题意找出规律是本题的关键． 【变式题10-1】．（2024-2025•岳麓区校级期末）课本再现：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说逢几进一，就是几进制，几进制的基数就是几．规定当a≠0时，a0＝1．日常生活中，我们用十进制来表示数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．例如：168＝1×102+6×101+8×100.计算机中采用的是二进制，只要用到两个数码：0，1．如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×20，可以表示十进制中的10． 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如，有一种密钥破解方式，先将明码二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为2x+5．按上述规定，则二进制明码“101101”译成密码为　21　 ． 【答案】21． 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20 ＝32+8+4+1 ＝45， 则21， 即二进制明码“101101”译成密码为21， 故答案为：21． 【点评】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【变式题10-2】．（2024-2025•芜湖期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： （+2）*（+4）＝+（22+42）；（﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]； （﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]；（+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]； 0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2；（+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2． 0*0＝02+02＝0 （1）归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，　同号得正，异号得负，并把两数的平方相加　 ．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，　等于这个数的平方　 ． （2）计算：（+1）*[0*（﹣2）]＝　17　 ． （3）是否存在有理数m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）首先根据*运算的运算法则进行运算的算式，归纳出*运算的运算法则即可；然后根据：0*（﹣5）＝（﹣5）2；（+3）*0）＝（+3）2，可得：0和任何数进行* 运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方． （2）根据（1）中总结出的*运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出（+1）*[0*（﹣2）]的值是多少即可． （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【解答】解：（1）归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方． 故答案为：同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方； （2）（+1）*[0*（﹣2）] ＝（+1）*（﹣2）2 ＝（+1）*4 ＝+（12+42） ＝1+16 ＝17． 故答案为：17； （3）∵（m﹣1）*（n+2）＝0， ∴±[（m﹣1）2+（n+2）2]＝0 ∴m﹣1＝0，n+2＝0， 解得m＝1，n＝﹣2． 【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算定律的应用． 【变式题10-3】．（2024-2025•定海区一模）综合与实践 有趣的“乘法运算” 小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究． 【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘． 【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数． 例：14×94＝100×（1×9+4）+42＝1316，前积是13，后积是16 （1）26×86＝100×（2×8+6）+62＝2236，前积是　22　 ，后积是　36　 ； 【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果． （2）25×85＝　100（2×8+5）+52　 ＝　2125　 ； 【推理算法】记两位数分别是和，且a+b＝10，其中． （3）请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明． 【答案】（1）22；36；（2）100×（2×8+5）+52；2125；（3）算法介绍中的运算规律为：记两位数分别是和，且a+b＝10，其中，那么100（ab+c）+c2.证明见解析． 【分析】（1）利用题干中的示例的方法解答即可； （2）仿照例题的解答过程运算即可； （3）利用多项式乘以多项式的法则运算即可． 【解答】解：（1）∵26×86＝100×（2×8+6）+62＝2236， ∴前积是22，后积是36． 故答案为：22；36； （2）25×85＝100×（2×8+5）+52＝2125． 故答案为：100×（2×8+5）+52；2125； （3）算法介绍中的运算规律为：记两位数分别是和，且a+b＝10，其中，那么100（ab+c）+c2． 证明：∵， ∴ ＝（10a+c）（10b+c） ＝100ab+10（a+b）c+c2， ∵a+b＝10， ∴ ＝100ab+100c+c2 ＝100（ab+c）+c2． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，数字变化的规律，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． 【题型11】有理数的新定义运算(培优) 1.知识点 有理数的基本运算(加、减、乘、除、乘方)。 新运算规则的理解(如定义)。 2.考点 根据新定义规则计算具体数值(如，按计算)。 结合新定义求解字母(如已知，求)。 3.易错点 误解新运算符号的规则：如定义，误算为。 忽略新运算的限制条件：如定义()，忽略的限制。 4.解题技巧 第一步：精读新定义规则，标注运算顺序和符号含义(如：先算的次方，再算乘，最后相减)。 第二步：代入数值计算，严格按规则分步算(如)。 第三步：求解字母时，按规则列方程(如，解方程得)。 【例题11】．（2024-2025•电白区期末）定义新运算“*”，规定a*b＝a×b﹣（b﹣1）×b，则2*（﹣3）的值为（　　） A．6 B．﹣18 C．﹣6 D．18 【答案】B 【分析】根据a*b＝a×b﹣（b﹣1）×b，可以求得所求式子的值，本题得以解决． 【解答】解：∵a*b＝a×b﹣（b﹣1）×b， ∴2*（﹣3） ＝2×（﹣3）﹣（﹣3﹣1）×（﹣3） ＝﹣6﹣（﹣4）×（﹣3） ＝﹣6﹣12 ＝﹣18， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确新定义和有理数混合运算的计算方法． 【变式题11-1】．（2024-2025•沙坡头区校级期末）定义运算a△b＝a（1﹣b），下面给出了关于这种运算的几个结论：①2△（﹣2）＝6；②a△b＝b△a；③若a+b＝0，则（a△a）+（b△b）＝2ab；④若a△b＝0，则a＝0．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据定义的运算逐项判断即可． 【解答】解：2△（﹣2）＝2×（1+2）＝6，则①正确； a△b＝a（1﹣b），b△a＝b（1﹣a），那么a△b与b△a不一定相等，则②错误； 若a+b＝0，则（a△a）+（b△b）＝a（1﹣a）+b（1﹣b）＝a﹣a2+b﹣b2＝﹣a2﹣b2，则③错误； 若a△b＝a（1﹣b）＝0，则a＝0或b＝1，则④错误； 综上，正确的结论有1个， 故选：A． 【点评】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【变式题11-2】．（2024-2025•碑林区校级月考）将4个数a，b，c，d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义．上述记号叫做2阶行列式，若．则x的值为　　 ． 【答案】． 【分析】根据新定义得到方程（x+2）2﹣（2﹣x）2＝9，再根据完全平方公式去括号，然后合并同类项，进而解方程即可． 【解答】解：∵， ∴（x+2）2﹣（2﹣x）2＝9， ∴x2+4x+4﹣x2+4x﹣4＝9， ∴8x＝9， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了新定义，完全平方公式、解一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 【变式题11-3】．（2024-2025•颍州区期末）若数P可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数．例如：3＝22+11﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11…所以3，39，147是“希尔伯特”数． （1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数：　0，1，3，4，7，9　 ； （2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明：所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3． 【答案】（1）0，1，3，4，7，9； （2）见解答． 【分析】（1）因为0＝02+02×0，1＝12+02﹣1×0，3＝22+11﹣2×1，4＝22+02﹣2×0，7＝22+32﹣2×3，9＝32+02﹣3×0，则10以内的“希尔伯特”数有0，1，3，4，7，9； （2）设“希尔伯特”数为（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（n为自然数） （2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）＝4n2+3，因为4n°能被4整除，所以所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3． 【解答】解：（1）根据希尔伯特数的定义P＝x2+y2﹣xy，代入不同的自然数x和y，计算P的值，找出小于10的希尔伯特数． 当x＝0，y＝0时，P＝02+02﹣0×0＝0； 当x＝1，y＝0时，P＝12+02﹣1×0＝1； 当x＝1，y＝1时，P＝12+12﹣1×1＝1； 当x＝2，y＝1时，P＝22+12﹣2×1＝3； 当x＝2，y＝0时，P＝22+02﹣2×0＝4；当x＝3，y＝2时，P＝32+22﹣3×2＝7； 当x＝3，y＝0时，P＝32+02﹣3×0＝9， 因此，10以内的希尔伯特数为0，1，3，4，7，9． 故答案为：0，1，3，4，7，9． （2）设这两个连续奇数为2n+1和2n﹣1，其中n为自然数． 将这两个奇数代入希尔伯特数的定义式：P＝（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）， ∴P＝（4n2+4n+1）+（4n2﹣4n+1）﹣（4n2﹣1） ＝4n2+4n+1+4n2﹣4n+1﹣4n2+1 ＝4n2+3， ∵4n2能被4整除， ∴4n2+3被4除余3． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握相关知识的正确运算． 【题型12】数轴与有理数运算结合(培优) 1.知识点 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 数轴上两点间距离：(、为两点对应的数)。 有理数的加减运算(数轴上的平移：向右加，向左减)。 2.考点 根据数轴上点的位置判断代数式符号(如，判断、的符号)。 结合数轴计算(如动点P从A出发，按速度平移，求某时刻P对应的数)。 3.易错点 数轴上点的位置判断错误：如在左侧，误判(实际)。 距离公式应用错误：忽略绝对值，如、，误算距离为(虽结果对，但需明确)。 4.解题技巧 第一步：在数轴上标注各点对应的数(如A(-3)、B(2)，明确，)。 第二步：判断数的大小和符号(如，，，)。 第三步：结合运算需求计算(如求，求；动点P从A出发，向右移4个单位，对应数为）。 【例题12】．（2024-2025•济南月考）阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道|5﹣3|可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，|5﹣（﹣2）|可以表示5与﹣2之差的绝对值． （1）|4﹣1|表示数轴上 　4　 与 　1　 所对应的两点之间的距离． （2）|x﹣5|表示数轴上有理数x所对应的点到 　5　 所对应的点之间的距离；|x+2|表示数轴上有理数x所对应的点到 　﹣2　 所对应的点之间的距离． （3）利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7．这样的整数x有 　﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5　 ． （4）利用绝对值的几何意义，写出|x+3|+|x﹣2|的最小值． 【答案】（1）4，1； （2）5，﹣2； （3）﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5； （4）5． 【分析】（1）根据数轴上的两点距离可直接判断； （2）根据数轴上的两点距离可直接进行求解； （3）根据绝对值的几何意义，得出该式表示数轴上有理数x所对应的点到﹣2的距离和到5的距离的和为7，进而求解； （4）首先结合数轴判断出式子的几何意义，再结合数轴判断． 【解答】解：（1）|4﹣1|表示数轴上4与1所对应的两点之间的距离； 故答案为：4，1； （2）|x﹣5|表示数轴上有理数x所对应的点到5所对应点之间的距离；|x+2|表示数轴上有理数x到﹣2所对应点之间的距离． 故答案为：5，﹣2； （3）|x+2|+|x﹣5|＝7表示数轴上有理数x所对应的数到数轴上﹣2与5的距离之和等于7， ∴﹣2≤x≤5． ∴x表示的数为：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5． 故答案为：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5． （4）当﹣3≤x≤2时，|x+3|+|x﹣2|有最小值，最小值为：|﹣3﹣2|＝5． 【点评】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 【变式题12-1】．（2024-2025•七台河期末）已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面．操作一：若数轴上表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则折痕经过的点表示的数是0；操作二：若数轴上表示数﹣4的点与表示数0的点重合，则解答下列各题： （1）此时折痕经过的点表示的数是 　﹣2　 ；数轴上表示数3的点与表示数 　﹣7　 的点重合； （2）若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B表示的数是 　﹣9或1　 ； （3）若数轴上经折叠后重合的两点A、B之间的距离为12（A在B的左侧），则A点表示的数是 　﹣8　 ；B点表示的数是 　4　 ． （4）若数轴上M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合，如果点M表示的数比点N表示的数大，直接写出点M，N表示的数． 【答案】（1）﹣2，﹣7； （2）﹣9或1； （3）﹣8，4； （4）M表示的数是1010，N表示的数是﹣1014． 【分析】（1）数轴上数﹣4表示的点与数0表示的点关于点﹣2对称，3﹣（﹣2）＝5，而﹣2﹣5＝﹣7； （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或﹣5，分两种情况讨论，即可得到B点表示的数； （3）根据数轴折叠的性质，即折叠重合的两点到折痕点的距离相等来进行求解； （4）依据M、N两点之间的距离为2024，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M点表示的数． 【解答】解：（1）∵数轴上数﹣4表示的点与数0表示的点关于点﹣2对称， 3﹣（﹣2）＝5，而﹣2﹣5＝﹣7， ∴数轴上数3表示的点与数﹣7表示的点重合． 故答案为：﹣7； （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或﹣5， ∵A、B两点经折叠后重合， ∴当点A表示﹣5时，﹣2﹣（﹣5）＝3，﹣2+3＝1， 当点A表示5时，5﹣（﹣2）＝7，﹣2﹣7＝﹣9， ∴B点表示的数是﹣9或1， 故答案为：﹣9或1； （3）∵经折叠后重合的两点A、B之间的距离为12（A在B的左侧）， ∴点A到折痕点﹣2的距离与点B到折痕点﹣2的距离相等，且都为12÷2＝6， 由于A在B的左侧，所以A点表示的数是﹣2﹣6＝﹣8，B点表示的数是﹣2+6＝4， 故答案为：﹣8，4． （4）M、N两点之间的距离为2024，并且M、N两点经折叠后重合， ∴﹣22024＝1010，﹣22024＝﹣1014， 又∵M点表示的数比N点表示的数大， ∴M点表示的数是1010，N点表示的数是﹣1014． 【点评】本题主要考查的是数轴的认识，掌握数轴的定义和点的对称性是解题的关键． 【变式题12-2】．（2024-2025•周口月考）如图，数轴上点A表示的倒数，点B表示﹣3的绝对值，点C表示（﹣2）2． （1）写出A、B，C表示的数，并在数轴上描出A，B，C三个点； （2）若把数轴的原点取在点B处，A、B、C每两点之间的距离不变，求出此时点A和C表示的数． 【答案】（1）详见解答；（2）点A表示的数是﹣5，点C表示的数是1． 【分析】（1）先利用倒数、绝对值、乘方的定义分别求出A、B、C表示的数，再表示在数轴上； （2）先计算AB、BC间距离，再当B是原点时求出A、C表示的数． 【解答】解：（1）的倒数是﹣2，﹣3的绝对值是3，（﹣2）2＝4． 所以A表示﹣2，B表示3，C表示4． 描出的A，B，C三个点如图所示： （2）∵3﹣（﹣2）＝5，∴A、B相距5个单位长度， ∵4﹣3＝1，∴B、C相距1个单位长度． 当原点取在B点时，点A表示的数为 0﹣5＝﹣5． 点C表示的数为0+1＝1． 【点评】本题主要考查了数轴，掌握相反数、绝对值、乘方的定义及数轴与有理数的关系是解决本题的关键． 【变式题12-3】．（2024-2025•衡东县期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： （1）比较|a|，b，c的大小（用“＜”连接）； （2）若m＝|a﹣b|+|a﹣c|﹣|1﹣b|，求1﹣2024（m﹣c）2024的值． 【答案】（1）b＜c＜|a|； （2）﹣2023． 【分析】（1）根据数轴可得b＜a＜﹣1＜0＜c＜1，则b＜c＜|a|； （2）由（1）可得a﹣b＞0，a﹣c＜0，1﹣b＞0，据此化简绝对值得到m＝c﹣1，再把m＝c﹣1代入所求式子中求解即可． 【解答】解：（1）由数轴可知b＜a＜﹣1＜0＜c＜1， ∴b＜c＜|a|； （2）由（1）可得b＜a＜﹣1＜0＜c＜1， ∴m＝|a﹣b|+|a﹣c|﹣|1﹣b| ＝a﹣b﹣（a﹣c）﹣（1﹣b） ＝a﹣b﹣a+c﹣1+b ＝c﹣1， ∴1﹣2024（m﹣c）2024 ＝1﹣2024（c﹣1﹣c）2024 ＝1﹣2024×1 ＝﹣2023． 【点评】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数与数轴，有理数比较大小，化简绝对值等，正确得到a﹣b＞0，a﹣c＜0，1﹣b＞0是解题的关键． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 C． A C D C 一．选择题（共5小题） 1．2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约2kg的月背样本，实现世界首次月背采样返回．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　） A．3.84×103 B．3.84×104 C．3.84×105 D．3.84×106 【答案】C． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：384000＝3.84×105． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．万达某服装商店出售一种优惠购物卡，花300元买这种卡后，凭卡可在这家商店按7折购物，若小颖妈妈购物1500元时，那一种付款方式合算（　　） A．买卡合算 B．不买卡合算 C．买卡与不买卡一样合算 D．无法确定 【答案】A 【分析】先分别求出不买卡和买卡需付款的金额，再比较大小即可得． 【解答】解：分别求出不买卡和买卡需付款的金额为： 不买卡：需付款1500元， 买卡：需付款金额为300+1500×70%＝1350（元）， 所以买卡合算， 故选：A． 【点评】本题考查了有理数四则混合运算的应用，正确列式计算是解题关键． 3．用四舍五入法，把5.86精确到十分位，取得的近似数是（　　） A．6 B．5.8 C．5.9 D．5.87 【答案】C 【分析】把百分位上的数字6进行四舍五入即可． 【解答】解：5.86精确到十分位，取得的近似数是5.9． 故选：C． 【点评】本题考查了近似数：“精确度”是近似数的常用表现形式． 4．已知a，b互为相反数，c是绝对值最小的数，m，n互为倒数，则a+b+c﹣mn﹣1的值等于（　　） A．2 B．4 C．﹣3 D．﹣2 【答案】D 【分析】根据a，b互为相反数，c是绝对值最小的数，m，n互为倒数，可以得到a+b＝0，c＝0，mn＝1，然后代入所求式子计算即可． 【解答】解：∵a，b互为相反数，c是绝对值最小的数，m，n互为倒数， ∴a+b＝0，c＝0，mn＝1， ∴a+b+c﹣mn﹣1 ＝0+0﹣1﹣1 ＝﹣2， 故选：D． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 5．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．a+b＞0 B．ab＞0 C．|a|＞|b| D．a﹣b＞0 【答案】C 【分析】根据a，b在数轴上的位置，得a＜﹣2＜0＜b＜2，然后对四个选项逐一分析即可． 【解答】解：A、∵a＜﹣2＜0＜b＜2， ∴|a|＞|b|，a+b＜0，选项计算错误，不符合题意； B、∵a＜﹣2＜0＜b＜2， ∴ab＜0，选项计算错误，不符合题意； C、∵a＜﹣2＜0＜b＜2， ∴|a|＞|b|，选项计算正确，符合题意； D、∵a＜﹣2＜0＜b＜2， ∴a﹣b＜0，选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了数轴、绝对值、有理数加减法、有理数乘法，掌握离相应的运算法则是关键． 二．填空题（共5小题） 6．《国家统计局关于2024年夏粮产量数据的公告》显示，2024年全国夏粮总产量为149780000吨，比2023年增加362.7万吨，增长2.5%．横线上的数改写成以“万”为单位的数是　14978　 万． 【答案】14978． 【分析】改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字． 【解答】解：根据整数的改写法则可得： 149780000改写成以“万”为单位的数是14978万， 故答案为：14978． 【点评】本题考查整数的改写，改写时要注意带计数单位．熟练掌握该知识点是关键． 7．若|x+3|+（y﹣2）2＝0，则x+y的值为　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|x+3|+（y﹣2）2＝0， ∴x+3＝0，y﹣2＝0， ∴x＝﹣3，y＝2， ∴x+y＝﹣3+2＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 8．定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则　3　 ． 【答案】3． 【分析】根据，可以计算出所求式子的值． 【解答】解：∵， ∴ ＝[﹣（﹣3）×22]⊗（） ＝（3×4）⊗（） ＝12⊗（） ＝12×（）2 ＝12 ＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 9．比较．三个数的大小：　A　 ＜　C　 ＜　B　 （填字母A、B、C即可）． 【答案】A，C，B． 【分析】根据有理数乘法计算可知A＜B，继而可得C在A，B之间即可得出结论． 【解答】解：根据分数大小的比较方法可知： ， ∴， ∴A＜B， 根据有理数的乘法及分数性质可得：， ∴C在A，B之间， ∴A＜C＜B． 故答案为：A，C，B． 【点评】本题有理数的乘法、有理数大小比较，解决本题的关键是求出A×B＝C2． 10．2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“π节”．某校今年“π节”策划了五个活动，规则见图： “π节”活动规则 ●活动前每人先发放一枚“π币” ●每参与一个活动消耗一枚“π币” ●没有“π币”不能参与活动 ●每个活动至多参与一次 ●挑战成功，按右表发放奖励 ●挑战失败，谢谢参与 活动名称 奖励的“π币”数量/枚 24点 2 数独 2 华容道 3 魔方 3 鲁班锁 4 小云参与了所有活动． （1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 　鲁班锁　 ； （2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“π币”数量的所有可能取值为 　1或2或3　 ． 【答案】（1）鲁班锁；（2）1或2或3． 【分析】（1）因为小云参与了所有活动，且小云只挑战成功一个，所以推断小云只能参与了鲁班锁，且挑战成功，赢得4枚“π币”，足够她参与其余四个活动； （2）小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功，所以推断小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁，分别讨论参与的第一个活动为华容道、魔方或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量的可能． 【解答】解：（1）根据题意可知，小云用活动前发放的一枚“π币”参与了鲁班锁，且挑战成功，赢得4枚“π币”，再次参与了其余四个活动，未挑战成功． 故答案为：鲁班锁； （2）根据题意可知，小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁， 假设小云参与的第一个活动为华容道，则参与的第四个活动可能为24点、数独、魔方或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量可能是1枚、2枚或3枚， 假设小云参与的第一个活动为魔方，则参与的第四个活动可能为24点、数独、华容道或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量可能是1枚、2枚或3枚， 假设小云参与的第一个活动为鲁班锁，则参与的第四个活动可能为24点、数独、华容道或魔方，最终剩下的“π币”数量可能是2枚或3枚． 故答案为：1或2或3． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键． 三．解答题（共9小题） 11．（1）计算：（﹣3）×（﹣2）+（﹣5）÷（﹣1）； （2）计算：． 【答案】（1）11； （2）﹣10． 【分析】（1）先算乘除，再算加减即可； （2）先算乘方，再算括号里面的，然后算除法，最后算加减即可． 【解答】解：（1）原式＝6+5 ＝11； （2）原式＝﹣8[16﹣（1+9）×2] ＝﹣8（16﹣10×2） ＝﹣8（16﹣20） ＝﹣8（﹣4） ＝﹣6+（﹣4） ＝﹣10． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 12．简便计算． （1）199×4.5； （2）； （3）3.4×2.77+2.3×0.34； （4）； （5）（16.9×24）÷（8×13）． 【答案】（1）895.5； （2）9； （3）10.2； （4）25； （5）3.9． 【分析】（1）将199转化为200﹣1，利用乘法分配律简便计算； （2）利用加法交换律和结合律以及减法的性质进行简便计算； （3）通过变形，利用乘法分配律简便计算； （4）把、0.25、25%都转化为0.25，再利用乘法分配律计算； （5）利用乘除法的运算性质进行简便计算． 【解答】解：（1）原式＝（200﹣1）×4.5 ＝200×4.5﹣1×4.5 ＝900﹣4.5 ＝895.5； （2）原式 ＝10﹣1 ＝9； （3）原式＝3.4×2.77+0.23×3.4 ＝3.4×（2.77+0.23） ＝3.4×3 ＝10.2； （4）原式＝45×0.25+54×0.25+0.25×1 ＝0.25×（45+54+1） ＝0.25×100 ＝25； （5）原式＝16.9×24÷13÷8 ＝（16.9÷13）×（24÷8） ＝1.3×3 ＝3.9． 【点评】本题考查了四则运算的简便计算，解题的关键是灵活运用运算律． 13．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． （1）直接写出a+b、cd、m的值； （2）求m的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各自的值即可； （2）把各自的值代入原式计算即可求出值． 【解答】解：（1）由添加可知：a+b＝0，cd＝1，m＝±2； （2）当a+b＝0，cd＝1，m＝2时， m＝1+0+2＝3 当a+b＝0，cd＝1，m＝﹣2时， m＝1+0﹣2＝﹣1 综上，m的值为3或﹣1． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，相反数、倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 14．对于一个正整数n1若存在正整数k，使得n能表示为k和k﹣2的平方差，那么称这个正整数n为k系平方差数．例如：24＝72﹣52，则24为7系平方差数． （1）直接写出8系平方差数； （2）已知M＝（3k﹣2）（3k+2）﹣3k（3k﹣1）+5为k系平方差数，求M的值； （3）已知x、y为正整数（x＞y），且（x+3y）2﹣4（2y2+3）﹣（8xy﹣3）为k系平方差数，请写出x与y之间的数量关系． 【答案】（1）28； （2）16； （3）x﹣y＝5． 【分析】（1）根据k系平方差数的计算方法求解即可； （2）根据k系平方差数的计算方法求解即可； （3）计算（x+3y）2﹣4（2y2+3）﹣（8xy﹣3）＝（x﹣y）2﹣32，则由题意得到（x﹣y）2﹣32＝k2﹣（k﹣2）2，则k﹣2＝3，则k＝5，即可求解． 【解答】解：（1）82﹣62＝28， ∴8系平方差数为28； （2）依题意可知，M＝（3k﹣2）（3k+2）﹣3k（3k﹣1）+5＝k2﹣（k﹣2）2， ∴3k+1＝4k﹣4， 解得k＝5， ∴M＝52﹣32＝16； （3）∵（x+3y）2﹣4（2y2+3）﹣（8xy﹣3）为k系平方差数，且x＞y， ∴（x+3y）2﹣4（2y2+3）﹣（8xy﹣3） ＝x2+6xy+9y2﹣8y2﹣12﹣8xy+3 ＝（x﹣y）2﹣32 ＝k2﹣（k﹣2）2， ∴k﹣2＝3，则k＝5， ∴x﹣y＝5． 【点评】本题主要考查新定义，整式的混合运算，理解新定义的运算方法，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 15．你的房间长6米，宽4米，高3米，门窗的面积是4平方米，要粉刷房间的墙壁和天花板． （1）请你计算粉刷的实际面积是多少平方米？ （2）粉刷墙壁要刷两遍，第一遍平均每平方米用涂料0.6升，第二遍用的涂料比第一遍省，粉刷你的房间共需要多少升涂料？ 【答案】（1）粉刷的实际面积是80平方米；（2）粉刷房间共需要84升涂料． 【分析】（1）根据长方体的表面积公式进行列式计算，即可作答； （2）结合第一遍平均每平方米用涂料0.6升，第二遍用的涂料比第一遍省，进行列式计算，即可作答． 【解答】解：（1）6×4+（6×3+4×3）×2﹣4 ＝24+60﹣4 ＝84﹣4 ＝80（平方米）， 答：粉刷的实际面积是80平方米； （2）80×0.6＝48， 48+48×（1） ＝48+36 ＝84（升）， ∴粉刷房间共需要84升涂料． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． 16．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣8 ﹣12 ﹣16 0 +22 +31 +33 （1）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （2）已知汽油车每行驶100km需用汽油5.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）计算出表格中的和再加上7天每天50km求出总路程即可． （2）利用（1）中的总路程计算总费用即可． 【解答】解：（1）50×7+（﹣8﹣12﹣16+0+22+31+33）＝400（km）， ∴七天一共行驶了400km． （2）油车的费用：400÷100×5.5×8.2＝180.4（元）， 电车的费用：400÷100×15×0.56＝33.6（元）， 改用电车，节省的费用为：180.4﹣33.6＝146.8（元）， 答：这7天的行驶费用比原来节省146.8元． 【点评】本题主要考查负数的实际应用及有理数的混合运算，计算总和是要注意每天的基准是50km． 17．大荔冬枣肉细嫩，果肉乳白色，口感细嫩酥脆，晓芸家新摘了6筐冬枣，以每筐20kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录（单位：kg）如下： 第1筐 第2筐 第3筐 第4筐 第5筐 第6筐 ﹣1.2 +2 +1.5 ﹣0.8 ﹣0.5 +3 （1）第1筐冬枣重 　18.8　 千克． （2）这6筐冬枣中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ （3）如果该冬枣以每千克15元的价格售出，这6筐冬枣一共可以卖多少元？ 【答案】（1）18.8； （2）4.2千克； （3）1860元． 【分析】（1）根据有理数减法，列式计算即可． （2）根据表格中的数据，计算出最重的和最轻的质量，然后作差即可． （3）先计算总质量：20×6+[﹣1.2+2+1.5﹣0.8﹣0.5+3]＝124（kg），再算总钱数即可． 【解答】解：（1）由表格可得， 第1筐冬枣重20﹣1.2＝18.8（千克）， 故答案为：18.8； （2）由表格可得， 最重的是第6筐，质量为20+3＝23（千克）， 最轻的是第1筐，质量是20﹣1.2＝18.8（千克）， ∴最重的一筐比最轻的一筐重23﹣18.8＝4.2（千克）， 即最重的一筐比最轻的一筐重4.2千克； （3）冬枣的总质量为：20×6+（﹣1.2+2+1.5﹣0.8﹣0.5+3）＝124（kg）， 故卖出的总钱数为124×15＝1860（元）， 即这6筐冬枣一共可以卖1860元． 【点评】本题考查了正负数的应用，有理数的大小比较，有理数的加、减、乘的混合运算，加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18．如图，嘉淇做了一个“小鱼”形状的计算程序．输入x的值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如输入x＝1，得到 m＝1×（﹣2）+（﹣3）＝﹣5，n＝（1﹣5）÷（﹣3）． （1）若输入x＝4，试比较m与n的大小； （2）若得到m＝7，求输入的x的值及相应n的值． 【答案】（1）m＜n；（2）∴x＝﹣5，n． 【分析】（1）先列出关于x的方程，求出x的值，进而可得出n的值； （2）根据题意得出m，n的表达式，求出x即可． 【解答】解：（1）∵m＝4×（﹣2）+（﹣3）＝﹣11， ∴n＝（4﹣5）÷（﹣3）， ∵﹣11， ∴m＜n； （2）由题意得，m＝x（﹣2）+（﹣3），n＝（x﹣5）÷（﹣3）， ∵m＝7， ∴7＝x（﹣2）+（﹣3）， x＝﹣5， ∴n＝（x﹣5）÷（﹣3）， ∴x＝﹣5，n． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 19．阅读理解：把数用大括号围起来，如：{2}、{﹣1.5，0}，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得﹣2a+4还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”． （1）“集”{0，4} 　是　 “回归集”，“集”{﹣1，0，3} 　不是　 “回归集”（横线上填“是”或“不是”）； （2）若“集”{1，n}是“回归集”，求n的所有可能值； （3）现有三个“集”A、B、C都是“回归集”，元素个数分别为1、2、3，且这三个“集”含有相同的元素t．若这三个“集”的6个元素之和为0，且“集”B中含有元素1，直接写出“集”C中除t之外的另外两个元素之和是 　﹣5　 ． 【答案】（1）是，不是； （2）n的可能值有2，，； （3）﹣5． 【分析】（1）根据新定义，把元素代入﹣2a+4中，判断是否是“集”中的元素，即可得到结果； （2）“集”{1，n}是“回归集”，逐一判断其中的元素，即可得到结果； （3）“集”A中只有一个元素，且是“回归集“，从而求得t的集，结合题意得到“集B“中元素，利用三个“集”的6个元素之和为0，求得结果． 【解答】解：（1）∵﹣2×0+4＝4，4是“集”{0，4} 的元素， ∴“集”{0，4}是“回归集”， ∵﹣1×（﹣2）+4＝6，6不是“集”{﹣1，0，3}的元素， ﹣2×0+4＝4，4不是“集”{﹣1，0，3}的元素， 3×（﹣2）+4＝﹣2，﹣2不是“集”{﹣1，0，3}的元素， ∴“集”{﹣1，0，3}不是“回归集”， 故答案为：是，不是； （2）①n＝﹣2×1+4＝2， ②﹣2n+4＝1，则n， ③﹣2n+4＝n，则n， 综上所述，n的可能值有2，，； （3）∵依题意，“集”A{t}，且是“回归集” ∴﹣2t+4＝t， ∴t， ∴“集”A{}， ∵“集”B中含有元素1， ∴“集”B{，1}， ∵“集”C中含有元素和另两个元素，且这三个“集”的6个元素之和为0， 设“集”C中除t之外的另外两个元素之和为x， ∴3+1+x＝0， ∴x＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了新定义，涉及到有理数的运算，读懂题意，熟练应用“集”、“回归集”的定义是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数的运算全章复习 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点梳理 1.有理数运算法则： 加法：同号取同号算绝对值和；异号取绝对值大的符号算绝对值差；互为相反数和为0；与0加得原数。 减法：（减一个数=加它的相反数）。 乘法：同号得正，异号得负，绝对值相乘；0乘任何数得0。 除法：除以非0数=乘它的倒数；同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以非0数得0。 乘方：正数任何次幂正；负数奇次幂负、偶次幂正；0的正整数次幂为0。 2.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内（小→中→大）。 3.运算律：加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、分配律。 4.科学记数法：(，为正整数，=原数整数位数-1)。 5.近似数：四舍五入取近似值，精确到某一位(如十分位、万位)或保留有效数字(从第一个非0数字起)。 二、重难点突破 重点：有理数混合运算(符号判断、顺序)、科学记数法的应用、运算律简化计算。 难点：乘方的符号判断、绝对值与乘方的非负性应用、有理数运算的实际情境建模。 三、高频易错点警示 乘方符号：混淆与(如，)。 运算顺序：先算乘除再算乘方，或忽略括号优先(如误算为)。 科学记数法： 的范围错误(或)、的值计算错误(漏数整数位数)。 4.倒数与相反数：忽略0没有倒数，或混淆倒数(乘积1)与相反数(和为0)。 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【题型1】有理数的加减运算 1.知识点 有理数加法法则(同号、异号、与0相加)。 减法法则：(减法转加法)。 2.考点 同号/异号两数的加减计算。 加减混合运算转化为省略加号的和式计算。 3.易错点 异号两数相加时，符号判断错误(忽略“取绝对值较大的符号”)。 减法转加法时，忘记改变减数的符号(如误转为)。 4.解题技巧 先定符号，再算绝对值(同号相加，异号相减)。 利用加法交换律/结合律凑整(如凑相反数、整数，简化计算)。 【例题1】．（2024-2025•朝阳区校级一模）根据有理数加法法则，计算4+（﹣5）过程正确的是（　　） A．+（5+4） B．﹣（4﹣5） C．﹣（4+5） D．﹣（5﹣4） 【变式题1-1】．（2024-2025•肇源县期中）把﹣6﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣9）写成省略加号和括号的形式后的式子是（　　） A．﹣6﹣7+2﹣9 B．﹣6+7﹣2﹣9 C．﹣6﹣7﹣2+9 D．﹣6+7﹣2+9 【变式题1-2】．（2024-2025•武城县期末）已知|（﹣3）+□|＝5，那么“□”表示的数为（　　） A．2 B．2或8 C．﹣2 D．﹣2或8 【变式题1-3】．（2024-2025•肇源县期中）计算： （1）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13； （2）； （3）﹣3+（﹣5）﹣|﹣6|﹣（﹣4）； （4）（）（﹣0.5）+（）． 【题型2】有理数的乘除运算 1.知识点 乘法法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘；0乘任何数得0。 除法法则：除以非0数=乘它的倒数；同号得正，异号得负。 2.考点 两数及多个有理数的乘除计算。 乘除混合运算(同级运算从左到右)。 3.易错点 多个负数相乘时，负因数个数判断错误(奇负偶正，如误算为24)。 除法转乘法时，倒数找错(如误转为)。 4.解题技巧 先定符号：多个非0数相乘，负因数个数为奇数则积负，偶数则积正。 再算绝对值：乘除混合运算先转全乘法，再约分简化(如)。 【例题2】．（2024-2025•中山市校级期中）计算（﹣2025）×（﹣1）的结果等于（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 【变式题2-1】．（2024-2025•安平县校级期末）计算（﹣7）÷（）×7的结果为（　　） A．1 B．﹣7 C．7 D．343 【变式题2-2】．（2024-2025•天元区校级月考）计算： （1）； （2）1（﹣0.8）； （3）； （4）． 【变式题2-3】．（2024-2025•川汇区校级月考）根据下列语句列式并计算： （1）﹣3与0.3的和乘以2的倒数； （2）45加上15与﹣3的积； （3）34与6的商减去； （4）与﹣5的差的平方． 【题型3】倒数的识别与计算 1.知识点 倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数。 2.考点 判断两个数是否互为倒数(如与)。 求整数、分数、小数的倒数(如的倒数为4)。 3.易错点 忽略“0没有倒数”，误求0的倒数。 求负数倒数时符号错误(如的倒数误算为)。 4.解题技巧 整数的倒数：除以该整数(如的倒数为)。 分数的倒数：交换分子与分母(如的倒数为)。 小数的倒数：先化为分数，再求倒数(如，倒数为2)。 【例题3】．（2024-2025•北碚区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．若两个数相乘结果为正，则这两个数都是正数 B．任何有理数都有倒数 C．正数的倒数比自身小 D．0的相反数是0 【变式题3-1】．（2024-2025•重庆校级月考）若a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，则代数式a+b﹣c的值为（　　） A．0 B．﹣2 C．2 D．﹣1 【变式题3-2】．（2024-2025•北碚区校级月考）（1）若有理数x，y满足|x|＝8，|y|＝3，且|x﹣y|＝y﹣x，求x+y的值； （2）已知a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，m的绝对值为5，求的值． 【变式题3-3】．（2024-2025•旬阳市期末）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为1，求x2024+cd+a+b． 【题型4】科学记数法表示较大数 1.知识点 科学记数法定义：(，为正整数)。 的确定：。 2.考点 将大数(如149亿)表示为科学记数法。 根据科学记数法还原原数(如)。 3.易错点 的范围错误：(如)或(如)。 的值计算错误：漏数原数整数位数(如123000误算为)。 4.解题技巧 数原数整数位数：如149亿=14900000000，整数位11位，故，，即。 还原原数：的小数点右移位(如)。 【例题4】．（2024-2025•东莞市校级一模）《康熙字典》是中国古代汉字字数最多的字典，共收录汉字47000余个．将47000用科学记数法表示应为（　　） A．0.47×105 B．4.7×104 C．4.7×103 D．47×103 【变式题4-1】．（2024-2025•姑苏区校级期中）2024年我国GDP总量超130万亿元，将“130万亿”用科学记数法表示为　 　 ． 【变式题4-2】．（2024-2025•澧县期末）省希望工程办公室收到社会各界人士捐款共1500万元．以此来资助贫困失学儿童． （1）如果每名失学儿童可获得500元的资助，那么共可资助多少名失学儿童？用科学记数法表示结果． （2）如果社会各界人士的捐款数平均为10元/人，则需要多少人捐款才能获得这笔捐款？用科学记数法表示结果． 【变式题4-3】．（2024-2025•吴江区期中）光在真空中的传播速度约是3×108m/s，光在真空中传播一年的距离称为光年． （1）1光年约是多少千米？（一年以3×107s计算） （2）银河系的直径达10万光年，约是多少千米？ （3）如果一架飞机的飞行速度为1000km/h，那么光的速度是这架飞机速度的多少倍？（1m/s＝3.6km/h） 【题型5】近似数的判断与精确度 1.知识点 近似数定义：四舍五入得到的接近准确值的数。 精确度：精确到某一位(如十分位、千位)或保留有效数字。 2.考点 判断近似数的精确度(如24.0精确到十分位)。 根据精确度取近似数(如1.7375精确到0.01为1.74)。 3.易错点 精确到“万”“亿”位时忽略科学记数法：如精确到万位，非个位。 有效数字判断错误：忽略末尾的0(如24.00的有效数字为2、4、0、0，共4个)。 4.解题技巧 精确到某一位：看最后一位数字所在的数位(如24.0的“0”在十分位)。 科学记数法的精确度：看的最后一位对应的原数数位(如中“1”在千位)。 【例题5】．（2024-2025•北林区校级期末）近似数3.25亿是精确到　 　 位． 【变式题5-1】．（2024-2025•斗门区期末）我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．圆周率π≈3.1415926按照四舍五入法对π精确到百分位是　 　 ． 【变式题5-2】．（2024-2025•义乌市校级期末）一个三位小数“四舍五入”保留两位小数是6.80，这个小数最小可能是 　 　 ，最大可能是 　 　 ． 【变式题5-3】．（2024-2025•长兴县校级月考）用四舍五入方法，按下列要求对 159 897 000 000 分别取近似值： （1）精确到千万位； （2）精确到亿位； （3）精确到百亿位． 【题型6】含乘方的有理数混合运算(提升) 1.知识点 乘方符号法则：正数任何次幂正；负数奇次幂负、偶次幂正。 混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右。 2.考点 含乘方的混合运算(如)。 利用运算律简化含乘方的计算。 3.易错点 混淆与：如，(前者底数为-3，后者为3)。 运算顺序错误：先算乘除再算乘方(如误算为)。 4.解题技巧 第一步计算乘方：先确定乘方的符号，再算绝对值的乘方。 第二步算乘除：将除法转乘法，按从左到右计算。 第三步算加减：有括号先算括号内，最后算加减。 【例题6】．（2024-2025•鼓楼区月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式题6-1】．（2024-2025•望奎县校级开学）计算： （1）（﹣7）+11+（﹣13）+9； （2）6.8﹣（﹣4.2）+（﹣9）； （3）； （4）． 【变式题6-2】．（2024-2025•东平县期末）计算（能用简便方法计算的，尽量用简便方法计算） （1）43+（﹣77）+37+（﹣23）； （2）； （3）； （4）． 【变式题6-3】．（2024-2025•阜南县月考）对式子进行简便计算，如图所示，②运用到的运算律是（　　） 解： ① ② ＝﹣20+75 ＝55 A．乘法结合律 B．乘法交换律 C．乘法分配律 D．加法结合律 【题型7】有理数运算的实际应用(提升) 1.知识点 正负数表示实际意义(如收入为正、支出为负，上升为正、下降为负)。 有理数的加减乘除运算(如计算温差、路程、利润)。 2.考点 根据实际情境列运算式(如计算月球车耐受温差：)。 解决实际问题(如购物费用、行程距离、评分统计)。 3.易错点 正负数的实际意义混淆：如“下降-5℃”误理解为下降5℃(实际为上升5{}^\circC)。 忽略单位换算：如千米与米、元与万元的换算错误。 4.解题技巧 第一步：确定正负数的表示规则(如“超过标准为正，不足为负”)。 第二步：根据题意列算式(如求平均垫球数：标准数+差值的平均数)。 第三步：计算结果并验证(结合实际情境判断结果合理性，如人数、费用不能为负)。 【例题7】．（2024-2025•遵义校级开学）在下面边长为8cm的正方形中，剪去一个长4cm，宽2cm的长方形，下面的四种方法中，剩下的部分（　　）的周长最长． A． B． C． D． 【变式题7-1】．（2024-2025•顺德区开学）采摘园种植草莓秧苗．每行种植107棵，种植了25行，一共种植了多少棵草莓秧苗？在解决这个问题的竖式中．如图中箭头所指的这一步是在计算（　　） A．2行种植了多少棵秧苗 B．5行种植了多少棵秧苗 C．20行种植了多少棵秧苗 D．25行种植了多少棵秧苗 【变式题7-2】．（2024-2025•北碚区校级月考）被誉为“中国汽车之城”的重庆，拥有雄厚的汽车产业底蕴和完整的产业链集群．作为全国重要的汽车生产基地，重庆不仅孕育了长安、力帆、赛力斯等知名车企，更形成了涵盖整车制造、核心零部件、智能网联及新能源汽车的千亿级产业生态，堪称中国汽车工业版图上的璀璨明珠．重庆某汽车厂原计划一周生产汽车4200辆，平均每天生产600辆，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．如表是该厂某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 ﹣10 +4 ﹣8 +24 ﹣16 +32 ﹣12 根据以上内容解答下列问题： （1）这周产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆汽车？ （2）若每辆汽车的售价为10万元，不考虑其他因素，那么该厂这一周的生产总额是多少万元？ 【变式题7-3】．（2024-2025•邯郸校级开学）我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民节水意识，某市自来水公司规定如下用水标准：每户每月的用水不超过20吨时，水费按“基本价”收费：超过20吨时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过部分按“调节价”收费，小丽家5，6月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量（吨） 水费（元） 5 16 56 6 24 85.6 （1）该市水费的调节价每吨多少钱？ （2）小丽家7月份用水29吨，你知道她家缴了多少水费吗？ 【题型8】程序流程图与有理数计算(提升) 1.知识点 有理数的混合运算(加、减、乘、除、乘方)。 程序流程的逻辑判断(如循环、条件分支：“结果>100则输出，否则继续运算”)。 2.考点 根据输入值，按流程图步骤计算输出值(如输入18，按“结果≤100则继续运算”循环)。 根据输出值反向推导输入值(如输出288，求初始输入值)。 3.易错点 漏看流程图的循环条件：如“结果不大于100则继续”误理解为“大于则继续”。 运算顺序错误：在流程图的某一步骤中，忽略乘方优先或括号优先。 4.解题技巧 正向计算：按流程图步骤逐步计算，标注每一步的结果(如输入18→第一步运算结果→判断是否输出→不输出则继续)。 反向推导：从输出值倒推，每一步逆运算(如“乘2”逆运算为“除以2”)，注意条件限制(如“结果>100”则前一步结果≤100)。 【例题8】．（2024-2025•长顺县期中）如图，某同学设计了一种计算程序流程图，当输入的x的值为﹣3时，输出的y的值为 　 　 ． 【变式题8-1】．（2024-2025•潘集区期中）[程序计算题]按如图所示的程序流程计算，若开始输入的值为x＝4，则最后输出的结果是 　 　 ． 【变式题8-2】．（2024-2025•泗洪县期中）有一个特殊的计算程序，若输入一个有理数a，按如图流程进行往复计算． （1）完成如表：（填最简结果） 计算次数 第1次 第2次 第3次 第4次 …… 计算结果 　 　 　 　 　 　 　 　 …… （2）填空：在前10次运算中，结果等于a的最少有 　 　 次，最多有 　 　 次； （3）问：在前2024次运算中，结果大于a的最多有多少次？为什么？ 【变式题8-3】．（2023秋•温州期中）如图是一个有理数混合运算的流程图，根据这个运算流程，当输入a的值为9时，最后输出的结果为 　 　 ． 【题型9】绝对值与乘方的非负性应用(提升) 1.知识点 非负性：(绝对值非负)、(乘方非负，为任意有理数)。 非负性性质：若多个非负数的和为0，则每个非负数都为0(如，则且)。 2.考点 利用非负性求字母的值(如已知，求)。 结合代数式求值(如求、的值)。 3.易错点 忽略非负性的前提：如不具有非负性(负数的奇次幂为负)，误用于非负性计算。 多个非负数相加时漏项：如，漏判。 4.解题技巧 第一步：识别非负性表达式(常见：、、、等)。 第二步：根据“和为0”列方程：每个非负性表达式等于0，求解字母(如得，得)。 第三步：代入代数式计算(如)。 【例题9】．（2024-2025•慈利县期末）已知（x+y+3）2+|2x﹣4|＝0，则y＝ 　 　 ． 【变式题9-1】．（2024-2025•渠县校级月考）若，求的值． 【变式题9-2】．（2024-2025•龙马潭区校级期末）若|x+3|+（y﹣2）2＝0，则x+y的值为　 　 ． 【变式题9-3】．（2024-2025•綦江区校级期中）正数和零统称为非负数，我们已经学习了“数的偶次幂”和“绝对值”这两种非负数．非负数的常用性质有：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0；一般从以下6种模型中选择一种出题，①|a|+|b|＝0②|a|+b2＝0③a2+b2＝0④|a|＝﹣|b|⑤|a|＝﹣b2⑥a2＝﹣b2．请你仔细观察理解，解答下面的问题． （1）（x+1）2+（y﹣2）2＝0是上面六种模型中的（填编号） 　 　 模型； （2）若|x﹣2|+（2y+4）2＝0，求x2+y2的值．根据非负数的性质写出必要的解答过程． 【题型10】有理数规律探究(培优) 1.知识点 有理数的排列规律(如等差数列：-2011，-2004，-1997…；等比数列：，，…)。 乘方的末位数字规律(如2的乘方末位：2、4、8、6循环)。 2.考点 探究数列的第项(如等差数列为)。 求循环规律中的某一项(如的末位数字)。 3.易错点 规律归纳不全面：仅看前2-3项就定规律(如1，-1，1…误判为“全为1”)。 循环周期判断错误：如3的乘方末位(3、9、7、1)循环周期为4，误算为3。 4.解题技巧 数列规律：多列前5-6项，标注序号与数值的关系(如序号1：-2011，序号2：-2004，差值为7，故)。 末位数字规律：列出前几项的末位，找循环周期(如，，，，周期为4)，用求余数(余数为0则对应周期最后一项)。 【例题10】．（2024-2025•五华区校级模拟）观察下列算式：21＝2 22＝4 23＝8 24＝16 25＝32 26＝64 27＝128 28＝256…，根据上述算式中的规律，你认为22011的末位数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式题10-1】．（2024-2025•岳麓区校级期末）课本再现：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说逢几进一，就是几进制，几进制的基数就是几．规定当a≠0时，a0＝1．日常生活中，我们用十进制来表示数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．例如：168＝1×102+6×101+8×100.计算机中采用的是二进制，只要用到两个数码：0，1．如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×20，可以表示十进制中的10． 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如，有一种密钥破解方式，先将明码二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为2x+5．按上述规定，则二进制明码“101101”译成密码为　 　 ． 【变式题10-2】．（2024-2025•芜湖期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： （+2）*（+4）＝+（22+42）；（﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]； （﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]；（+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]； 0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2；（+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2． 0*0＝02+02＝0 （1）归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，　 　 ．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，　 　 ． （2）计算：（+1）*[0*（﹣2）]＝　 　 ． （3）是否存在有理数m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【变式题10-3】．（2024-2025•定海区一模）综合与实践 有趣的“乘法运算” 小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究． 【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘． 【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数． 例：14×94＝100×（1×9+4）+42＝1316，前积是13，后积是16 （1）26×86＝100×（2×8+6）+62＝2236，前积是　 　 ，后积是　 　 ； 【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果． （2）25×85＝　 　 ＝　 　 ； 【推理算法】记两位数分别是和，且a+b＝10，其中． （3）请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明． 【题型11】有理数的新定义运算(培优) 1.知识点 有理数的基本运算(加、减、乘、除、乘方)。 新运算规则的理解(如定义)。 2.考点 根据新定义规则计算具体数值(如，按计算)。 结合新定义求解字母(如已知，求)。 3.易错点 误解新运算符号的规则：如定义，误算为。 忽略新运算的限制条件：如定义()，忽略的限制。 4.解题技巧 第一步：精读新定义规则，标注运算顺序和符号含义(如：先算的次方，再算乘，最后相减)。 第二步：代入数值计算，严格按规则分步算(如)。 第三步：求解字母时，按规则列方程(如，解方程得)。 【例题11】．（2024-2025•电白区期末）定义新运算“*”，规定a*b＝a×b﹣（b﹣1）×b，则2*（﹣3）的值为（　　） A．6 B．﹣18 C．﹣6 D．18 【变式题11-1】．（2024-2025•沙坡头区校级期末）定义运算a△b＝a（1﹣b），下面给出了关于这种运算的几个结论：①2△（﹣2）＝6；②a△b＝b△a；③若a+b＝0，则（a△a）+（b△b）＝2ab；④若a△b＝0，则a＝0．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题11-2】．（2024-2025•碑林区校级月考）将4个数a，b，c，d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义．上述记号叫做2阶行列式，若．则x的值为　 　 ． 【变式题11-3】．（2024-2025•颍州区期末）若数P可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数．例如：3＝22+11﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11…所以3，39，147是“希尔伯特”数． （1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数：　 　 ； （2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明：所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3． 【题型12】数轴与有理数运算结合(培优) 1.知识点 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 数轴上两点间距离：(、为两点对应的数)。 有理数的加减运算(数轴上的平移：向右加，向左减)。 2.考点 根据数轴上点的位置判断代数式符号(如，判断、的符号)。 结合数轴计算(如动点P从A出发，按速度平移，求某时刻P对应的数)。 3.易错点 数轴上点的位置判断错误：如在左侧，误判(实际)。 距离公式应用错误：忽略绝对值，如、，误算距离为(虽结果对，但需明确)。 4.解题技巧 第一步：在数轴上标注各点对应的数(如A(-3)、B(2)，明确，)。 第二步：判断数的大小和符号(如，，，)。 第三步：结合运算需求计算(如求，求；动点P从A出发，向右移4个单位，对应数为）。 【例题12】．（2024-2025•济南月考）阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道|5﹣3|可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，|5﹣（﹣2）|可以表示5与﹣2之差的绝对值． （1）|4﹣1|表示数轴上 　 　 与 　 　 所对应的两点之间的距离． （2）|x﹣5|表示数轴上有理数x所对应的点到 　 　 所对应的点之间的距离；|x+2|表示数轴上有理数x所对应的点到 　 　 所对应的点之间的距离． （3）利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7．这样的整数x有 　 　 ． （4）利用绝对值的几何意义，写出|x+3|+|x﹣2|的最小值． 【变式题12-1】．（2024-2025•七台河期末）已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面．操作一：若数轴上表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则折痕经过的点表示的数是0；操作二：若数轴上表示数﹣4的点与表示数0的点重合，则解答下列各题： （1）此时折痕经过的点表示的数是 　 　 ；数轴上表示数3的点与表示数 　 　 的点重合； （2）若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B表示的数是 　 　 ； （3）若数轴上经折叠后重合的两点A、B之间的距离为12（A在B的左侧），则A点表示的数是 　 　 ；B点表示的数是 　 　 ． （4）若数轴上M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合，如果点M表示的数比点N表示的数大，直接写出点M，N表示的数． 【变式题12-2】．（2024-2025•周口月考）如图，数轴上点A表示的倒数，点B表示﹣3的绝对值，点C表示（﹣2）2． （1）写出A、B，C表示的数，并在数轴上描出A，B，C三个点； （2）若把数轴的原点取在点B处，A、B、C每两点之间的距离不变，求出此时点A和C表示的数． 【变式题12-3】．（2024-2025•衡东县期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： （1）比较|a|，b，c的大小（用“＜”连接）； （2）若m＝|a﹣b|+|a﹣c|﹣|1﹣b|，求1﹣2024（m﹣c）2024的值． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约2kg的月背样本，实现世界首次月背采样返回．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　） A．3.84×103 B．3.84×104 C．3.84×105 D．3.84×106 2．万达某服装商店出售一种优惠购物卡，花300元买这种卡后，凭卡可在这家商店按7折购物，若小颖妈妈购物1500元时，那一种付款方式合算（　　） A．买卡合算 B．不买卡合算 C．买卡与不买卡一样合算 D．无法确定 3．用四舍五入法，把5.86精确到十分位，取得的近似数是（　　） A．6 B．5.8 C．5.9 D．5.87 4．已知a，b互为相反数，c是绝对值最小的数，m，n互为倒数，则a+b+c﹣mn﹣1的值等于（　　） A．2 B．4 C．﹣3 D．﹣2 5．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．a+b＞0 B．ab＞0 C．|a|＞|b| D．a﹣b＞0 二．填空题（共5小题） 6．《国家统计局关于2024年夏粮产量数据的公告》显示，2024年全国夏粮总产量为149780000吨，比2023年增加362.7万吨，增长2.5%．横线上的数改写成以“万”为单位的数是　 　 万． 7．若|x+3|+（y﹣2）2＝0，则x+y的值为　 　 ． 8．定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则　 　 ． 9．比较．三个数的大小：　 　 ＜　 　 ＜　 　 （填字母A、B、C即可）． 10．2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“π节”．某校今年“π节”策划了五个活动，规则见图： “π节”活动规则 ●活动前每人先发放一枚“π币” ●每参与一个活动消耗一枚“π币” ●没有“π币”不能参与活动 ●每个活动至多参与一次 ●挑战成功，按右表发放奖励 ●挑战失败，谢谢参与 活动名称 奖励的“π币”数量/枚 24点 2 数独 2 华容道 3 魔方 3 鲁班锁 4 小云参与了所有活动． （1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 　 　 ； （2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“π币”数量的所有可能取值为 　 　 ． 三．解答题（共9小题） 11．（1）计算：（﹣3）×（﹣2）+（﹣5）÷（﹣1）； （2）计算：． 12．简便计算． （1）199×4.5； （2）； （3）3.4×2.77+2.3×0.34； （4）； （5）（16.9×24）÷（8×13）． 13．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． （1）直接写出a+b、cd、m的值； （2）求m的值． 14．对于一个正整数n1若存在正整数k，使得n能表示为k和k﹣2的平方差，那么称这个正整数n为k系平方差数．例如：24＝72﹣52，则24为7系平方差数． （1）直接写出8系平方差数； （2）已知M＝（3k﹣2）（3k+2）﹣3k（3k﹣1）+5为k系平方差数，求M的值； （3）已知x、y为正整数（x＞y），且（x+3y）2﹣4（2y2+3）﹣（8xy﹣3）为k系平方差数，请写出x与y之间的数量关系． 15．你的房间长6米，宽4米，高3米，门窗的面积是4平方米，要粉刷房间的墙壁和天花板． （1）请你计算粉刷的实际面积是多少平方米？ （2）粉刷墙壁要刷两遍，第一遍平均每平方米用涂料0.6升，第二遍用的涂料比第一遍省，粉刷你的房间共需要多少升涂料？ 16．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣8 ﹣12 ﹣16 0 +22 +31 +33 （1）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （2）已知汽油车每行驶100km需用汽油5.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 17．大荔冬枣肉细嫩，果肉乳白色，口感细嫩酥脆，晓芸家新摘了6筐冬枣，以每筐20kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录（单位：kg）如下： 第1筐 第2筐 第3筐 第4筐 第5筐 第6筐 ﹣1.2 +2 +1.5 ﹣0.8 ﹣0.5 +3 （1）第1筐冬枣重 　 　 千克． （2）这6筐冬枣中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ （3）如果该冬枣以每千克15元的价格售出，这6筐冬枣一共可以卖多少元？ 18．如图，嘉淇做了一个“小鱼”形状的计算程序．输入x的值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如输入x＝1，得到 m＝1×（﹣2）+（﹣3）＝﹣5，n＝（1﹣5）÷（﹣3）． （1）若输入x＝4，试比较m与n的大小； （2）若得到m＝7，求输入的x的值及相应n的值． 19．阅读理解：把数用大括号围起来，如：{2}、{﹣1.5，0}，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得﹣2a+4还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”． （1）“集”{0，4} 　 　 “回归集”，“集”{﹣1，0，3} 　 　 “回归集”（横线上填“是”或“不是”）； （2）若“集”{1，n}是“回归集”，求n的所有可能值； （3）现有三个“集”A、B、C都是“回归集”，元素个数分别为1、2、3，且这三个“集”含有相同的元素t．若这三个“集”的6个元素之和为0，且“集”B中含有元素1，直接写出“集”C中除t之外的另外两个元素之和是 　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $