专题2.1.2有理数的减法（知识点梳理+题型举一反三+同步练习）易错重难点同步备课2025-2026学年 人教版（2024）七年级数学上册

2.1.2有理数的减法 【题型1】有理数减法法则的直接应用 1. 知识点 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，用字母表示为 。 法则核心：“两变一不变”——运算符号“-”变“+”，减数变其相反数，被减数不变。 差的符号规律：① 较大的数 - 较小的数 = 正数；② 较小的数 - 较大的数 = 负数；③ 相等的数相减 = 0。 2. 考点 直接计算两个有理数的减法（含正数、负数、0的减法，如、、）。 区分有理数减法与小学减法的差异（允许差为负数）。 3. 易错点 忽略“减数变相反数”，如将 误算为（正确应为）。 0减负数时符号处理错误，如将 误算为（正确应为）。 4. 解题技巧 第一步：将减法转化为加法，即把“ 减数”变成“ 减数的相反数”。 第二步：按照有理数加法法则计算（同号相加取同号，异号相加取绝对值较大的符号）。 【例题1】．（2024-2025•南关区校级一模）计算﹣5﹣3的结果是（　　） A．2 B．﹣8 C．8 D．﹣2 【变式题1-1】．（2024-2025•河北区一模）计算（﹣2）﹣（﹣4）的结果等于（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6 【变式题1-2】．（2024-2025•大同期末）比﹣3小3的数是（　　） A．0 B．﹣6 C．3 D．6 【变式题1-3】．（2024-2025•五莲县期末）比﹣1小1的数是（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．﹣2 【题型2】数轴上两点间距离的计算 1. 知识点 数轴上两点间的距离公式：若点 表示数，点 表示数，则、 两点间的距离为 （距离是非负数）。 距离的简化计算：若，则距离 = ；若，则距离 =（即“大数减小数”）。 2. 考点 已知两点表示的数，求两点间的距离（如点 表示，点 表示，求 的距离）。 已知两点间的距离和其中一个点表示的数，求另一个点表示的数（如点 表示，，求点 表示的数）。 3. 易错点 忽略距离的非负性，直接用 计算（如、 时，误算为 ，正确应为）。 已知距离求点的数时漏解，如、 表示 时，只算 ，忽略。 4. 解题技巧 求距离：先确定两点表示的数、，若能判断大小，直接用“大数减小数”；若不能，加绝对值符号。 已知距离求数：设未知点表示的数为，列方程，解出 的两个可能值（正负方向）。 【例题2】．（2024-2025•松原模拟）若数轴上点A，B分别表示数为﹣1，2，则A，B两点之间的距离可表示为（　　） A．（﹣1）+2 B．2+（﹣1） C．2﹣（﹣1） D．（﹣1）﹣2 【变式题2-1】．（2024-2025•鄄城县期中）若数轴上A、B两点表示的数分别为﹣4、6，那么A、B两点间的距离为　 　 ． 【变式题2-2】．（2024-2025•廉江市校级期中）点A在数轴上距离原点3个单位长度，将A向右移动4个单位长度，再向左移动2个单位长度，此时点A表示的数是　 　 ． 【变式题2-3】．（2024-2025•埇桥区校级月考）如图，已知有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C，点O表示原点．若|b|＝4，A、C两点间的距离为2，则a+b﹣c的值为　 　 ． 【题型3】含绝对值的有理数减法运算 1. 知识点 绝对值的性质：若，则；若，则，绝对值结果恒非负。 含绝对值的减法运算步骤：先判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号，再进行减法计算。 2. 考点 直接计算含绝对值的减法（如、）。 已知含绝对值的式子的值，求字母的取值（如 ，求 的值）。 3. 易错点 去绝对值时不判断符号，直接去掉绝对值符号（如将 误算为，正确应为）。 解方程时漏解，如 时，只算，忽略。 4. 解题技巧 第一步：先计算绝对值内式子的结果，判断其正负（或直接比较绝对值内两数的大小）。 第二步：根据绝对值性质去掉绝对值符号（正数不变，负数变相反数）。 第三步：按有理数减法法则计算最终结果（若含字母，解方程时需考虑绝对值的两解情况）。 【例题3】．（2024-2025•望奎县校级开学）若|a|＝3，|b|＝2，且a+b＜0，那么a﹣b的值是（　　） A．5或1 B．﹣5或1 C．5或﹣1 D．﹣5或﹣1 【变式题3-1】．（2024-2025•叙州区期末）已知|x|＝4，|y|＝3，且x+y＜0，则x﹣y的值等于（　　） A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．﹣7或﹣1 【变式题3-2】．（2024-2025•电白区期末）若|x|＝9，|y|＝4，且x+y＜0，那么x﹣y的值是（　　） A．5或1 B．5或﹣13 C．﹣5或13 D．﹣5或﹣13 【变式题3-3】．（2024-2025•唐河县一模）计算|﹣3﹣9|的结果（　　） A．1 B．12 C．11 D．6 【题型4】有理数加减混合运算的步骤应用 1. 知识点 加减混合运算的核心：统一成加法运算（即 ）。 加法运算律的应用：① 加法交换律（）；② 加法结合律（），用于简化计算。 运算步骤：统一加法 → 省略加号 → 结合简便数 → 计算结果。 2. 考点 按步骤计算加减混合运算（如）。 用加法交换律、结合律简便计算（如将 结合为）。 3. 易错点 “带符号搬家”时漏带数的性质符号，如将 误写成（虽结果正确，但需注意规范，避免复杂题目出错）。 结合数时符号错误，如将 误结合为（正确，但更简便的是）。 4. 解题技巧 “带符号搬家”：将数和其前面的性质符号一起移动，保证每个数的符号不脱离数（如）。 简便结合策略：① 同号结合（正数与正数结合，负数与负数结合）；② 凑整结合（和为整数的数结合，如 ）；③ 相反数结合（和为0的数结合，如）。 【例题4】．（2024-2025•雁塔区校级期末）计算：（﹣5）﹣（）+7． 【变式题4-1】．（2024-2025•青浦区校级期末）计算：． 【变式题4-2】．（2024-2025•东坡区期末）计算：． 【变式题4-3】．（2024-2025•杨陵区期末）计算：（﹣2）+6﹣（﹣5）． 【题型5】有理数加减混合运算的简便运算 1. 知识点 简便运算的核心：利用加法交换律和结合律，将“易计算”的数结合（如和为整数、和为0的数），减少计算量。 常见简便类型：① 小数与小数凑整（如）；② 分数与分数凑整（如 ）；③ 同号结合（如）；④ 相反数结合（如）。 2. 考点 小数类混合运算的简便计算（如）。 分数类混合运算的简便计算（如）。 小数与分数混合的简便计算（如，可将分数化为小数或小数化为分数）。 3. 易错点 凑整时忽略符号，如将 误结合为（更简便的是 ，需注意符号统一）。 分数与小数互化错误，如将 误化为（正确应为 ）。 4. 解题技巧 观察式子特征：先判断是否有同号、凑整、相反数的数，优先结合此类数。 统一形式：若式子中既有小数又有分数，可将小数化为分数（如）或分数化为小数（如），避免混合计算出错。 分步计算：先计算结合后的部分，再将结果相加（如）。 【例题5】．（2024-2025•朝阳区校级月考）用简便方法计算： （1）； （2）． 【变式题5-1】．（2024-2025•西峰区校级月考）利用简便方法计算下列各题： （1）6.6+（﹣4.5）﹣（﹣3.4）﹣（+15.5）； （2）； （3）． 【变式题5-2】．（2024•莲池区校级开学）李老师在黑板板书了两道例题的解题过程： 运用“被减数、减数同时增加或减小相同的数，它们的差不变”的性质，可以使一些运算过程变得简便． 例1； 例2． 请你参考黑板中老师的讲解，用上述运算性质简便计算： （1）； （2）． 【变式题5-3】．（2024-2025•扬州月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7． （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①|7﹣21|＝　 　 ； ②　 　 ； （2）用合理的方法计算：； （3）用简便方法计算：． 【题型6】有理数减法的实际应用 1. 知识点 温差计算：温差 = 最高气温 - 最低气温（最高气温为被减数，最低气温为减数）。 高度差计算：相对高度 = 较高高度 - 较低高度（如山峰高度 - 盆地高度）。 实际问题中正负的意义：上升、高于、收入记为正；下降、低于、支出记为负。 2. 考点 温差计算（如某天最高气温，最低气温，求温差）。 高度差计算（如珠穆朗玛峰海拔，吐鲁番盆地海拔，求相对高度）。 结合表格数据计算连续几天的温差或高度变化（如根据一周气温表求某天温差）。 3. 易错点 混淆“被减数”和“减数”，如温差误算为“最低气温 - 最高气温”（导致结果为负，不符合实际）。 处理负数高度时符号错误，如将“海拔”误理解为“高于海平面”。 4. 解题技巧 第一步：从题干或表格中提取“最高/较低”的量（被减数）和“最低/较高”的量（减数），明确其正负。 第二步：代入公式（温差/高度差 = 被减数 - 减数），按有理数减法法则计算（减负数转化为加正数）。 第三步：验证结果的合理性（温差、高度差均为非负数，若为负则说明被减数、减数颠倒）。 【例题6】．（2024-2025•靖边县期末）潜水艇停在海平面以下800m处，先上浮150m，又下潜200m，则此时潜水艇的位置是在（　　） A．海平面以下850m处 B．海平面以下﹣850m处 C．海平面以上850m处 D．海平面以上800m处 【变式题6-1】．（2024-2025•孝义市期末）“冬至不端饺子碗，冻掉耳朵没人管”．冬至是一个很重要的节气，这一天北方地区太阳高度角达到一年中的最小值，如图是2024年冬至孝义的天气预报图，气温为﹣11～﹣2℃，西北风2级，空气质量优．孝义这天的最高气温与最低气温的温差是（　　） A．13℃ B．9℃ C．﹣11℃ D．﹣13℃ 【变式题6-2】．（2024-2025•山亭区期末）北京2023年1月1日的天气显示为如图，该天的温差是（　　） A．1℃ B．10℃ C．19℃ D．9℃ 【变式题6-3】．（2024-2025•安岳县期末）某水库上周日的水位是30m，下表是该水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升量，用负数记水位比前一日下降量），那么本周水位最低的是（　　） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/m +0.12 ﹣0.02 ﹣0.13 ﹣0.20 ﹣0.08 ﹣0.02 +0.32 A．星期日 B．星期三 C．星期四 D．星期六 【题型7】有理数减法与相反数的综合计算（提升） 1. 知识点 相反数的定义：若与互为相反数，则 ，即（相反数的和为0）。 减法与相反数的结合：若，则；。 2. 考点 已知两数互为相反数，求它们的差（如 与 互为相反数，求）。 已知一个数的相反数，求该数与另一个数的差（如 是 的相反数，求）。 3. 易错点 混淆“相反数”和“倒数”，如误将“ 与 互为相反数”理解为（导致代入错误）。 代入计算时符号错误，如，（互为相反数），误算（正确应为）。 4. 解题技巧 第一步：根据相反数的定义，求出未知字母的值（如 与 互为相反数，则）。 第二步：将求出的字母值代入减法式子中，按有理数减法法则计算（注意减负数转化为加正数）。 验证：若 与 互为相反数，可先验证，再检查减法计算结果。 【例题7】．（2024-2025•磐石市期末）若a与b互为相反数，则a﹣b等于（　　） A．2a B．﹣2a C．0 D．﹣2 【变式题7-1】．（2024-2025•金乡县期末）若|a|＝5，|b|＝3，且a+b的绝对值与相反数相等，则a﹣b的值是 　 　 ． 【变式题7-2】．（2024-2025•海口期末）已知a，b互为相反数，则3﹣a﹣b＝ 　 　 ． 【变式题7-3】．（2024-2025•凉州区校级月考）有理数的减法法则是减去一个数，等于加上这个数的相反数，老师让四位同学用字母表示法则，则四位同学中表示完全正确的是（　　） A．甲：a﹣b＝a+（﹣b） B．乙：a﹣b＝a﹣b C．丙：a﹣b＝a+b D．丁：a﹣b＝﹣a+b 【题型8】数轴上点的移动与有理数减法的综合（提升） 1. 知识点 数轴上点的移动规律：向右移动为加，向左移动为减（如点表示的数为，向右移 个单位后表示 ，向左移 个单位后表示）。 移动与减法的结合：已知起点、移动方向和距离，求终点表示的数（用加法）；已知起点和终点，求移动距离（用减法，即）。 2. 考点 已知起点和移动过程，求终点数（如点 表示，先向右移 个单位，再向左移 个单位，求最终点表示的数）。 已知起点、终点和部分移动过程，求未知移动距离（如点 从 出发，先向左移 个单位，再向右移 个单位后到达，求）。 3. 易错点 移动方向与运算符号对应错误，如“向左移 个单位”误算为“”（正确应为）。 计算多步移动时漏步或符号错误，如点 表示，先右移 再左移，误算为 （正确应为）。 4. 解题技巧 分步记录：用“起点数 + 右移距离 - 左移距离”表示最终点（如起点为，右移、左移，则终点为 ）。 列方程求解：已知起点、终点和部分移动，设未知移动距离为，列方程（如），解方程时按有理数减法法则移项（如，）。 数轴验证：在数轴上标出起点、每步移动后的位置，直观检查终点是否正确。 【例题8】．（2024-2025•玉田县期末）把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动7个单位长度，再向右移动2个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（　　） A．7+2＝9 B．﹣7﹣2＝﹣9 C．﹣7+2＝﹣5 D．7﹣2＝5 【变式题8-1】．（2024-2025•垦利区校级月考）一个点，从直线上的0处出发，先向右移动4个单位，再向左移动7个单位，这时这个点所对的数是（　　） A．+3 B．﹣2 C．﹣3 D．+2 【变式题8-2】．（2024-2025•晋源区月考）把笔尖放在数轴表示﹣2的点上，沿数轴先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度．下列用算式表示上述过程与结果，其中正确的是（　　） A．﹣2﹣（﹣3）+4＝﹣1 B．﹣2+（﹣3）+4＝﹣2 C．﹣2+3+（﹣4）＝﹣3 D．﹣2+（﹣3）+4＝﹣1 【变式题8-3】．（2021秋•宁远县校级月考）点A到原点的距离为4，且位于原点的左侧，若一个点从A处向右移动2个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时终点所表示的数为　 　 ． 【题型9】有理数减法的规律探究（培优） 1. 知识点 循环规律的识别：通过前几次的运算结果，总结出重复出现的周期（如奇数次、偶数次的结果不同）。 有理数减法与循环的结合：如数轴上点的跳动（左跳为减，右跳为加），每次跳动的距离按规律变化（如第1次跳1，第2次跳2，…）。 2. 考点 数轴上点的循环跳动：已知起点，求第 次跳动后的位置（如点从原点出发，第1次左跳1，第2次右跳2，第3次左跳3，…，求第10次后的位置）。 有理数减法的序列规律：已知序列前几项（如 ，，，…），求第 项的值。 3. 易错点 找不到规律，盲目计算（如第100次跳动时，逐次计算到第100次，耗时且易出错）。 混淆“左跳”“右跳”对应的运算（左跳为减，右跳为加），导致符号错误。 4. 解题技巧 列表法：写出前5 ~ 6次的结果，观察规律（如第 次跳动，若 为偶数，结果为；若 为奇数，结果为）。 公式法：根据规律推导通项公式（如序列），代入 的值计算。 验证：用前几次的结果验证规律是否正确，再用规律计算未知项。 【例题9】．（2024-2025•张店区校级月考）在有些情况下，不需要计算结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝6+7；|7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7．根据上述规律，计算：||+||+||+…+||＝　 　 ． 【变式题9-1】．（2024-2025•清城区校级月考）【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如： |6+7|＝6+7，|6﹣7|＝7﹣6，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①|7﹣21|＝ 　 　 ；② 　 　 ；③ 　 　 ． 【拓广应用】 （2）计算：． 【变式题9-2】．（2024-2025•东海县校级月考）【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6+7|＝6+7，|6﹣7|＝7﹣6，|7﹣6|＝7﹣6，|﹣6﹣7|＝6+7． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①|5﹣12|＝　 　 ； ②|3.5﹣7|＝　 　 ； ③　 　 ； ④　 　 ． 【拓广应用】 （2）合适的方法计算：　 　 ． （3）简便的方法计算：． 【变式题9-3】．（2024-2025•宽甸县月考）根据绝对值的运算性质可知一个正数的绝对值是其本身，一个负数的绝对值是其相反数，0的绝时值是0，由此可知求一个算式整体的绝对值，可先判断数的正负性，再求它的绝对值，再化简． 例如：|7+8|＝7+8，|5﹣7|＝﹣（5﹣7）＝7﹣5，|7﹣4|＝7﹣4，|﹣6﹣8|＝﹣（﹣6﹣8）＝6+8． 【牛刀小试】 （1）根据上面的规律，把下列各式去掉绝对值符号，不要算出最后结果． ①|3﹣10|＝ 　 　 ； ② 　 　 ； ③|π﹣4|＝ 　 　 ； ④ 　 　 ． 【拓展延伸】 （2）． 【题型10】新定义运算中的有理数减法应用（培优） 1. 知识点 新定义运算的本质：根据题干给出的新规则（如“”“”），将新运算转化为有理数的常规运算（含减法）。 新定义与减法的结合：新规则中常包含减法或绝对值（本质与有理数减法相关），需严格按规则计算。 2. 考点 直接按新定义计算：如定义“”，计算 。 已知新定义运算的结果，求字母的值：如定义“”，且，求。 3. 易错点 误解新定义规则，如将“”误理解为“”（顺序颠倒）。 计算新定义中的减法时符号错误，如 误算为（正确应为 ）。 4. 解题技巧 第一步：“翻译”新定义：将新运算符号（如※、Δ ）替换为题干给出的规则（如 替换为 ）。 第二步：代入数值：将具体的数或字母代入规则中，注意“”“”的对应顺序（如 中，，）。 第三步：按有理数减法法则计算：若规则中含减法或绝对值，按对应知识点计算，确保符号正确。 【例题10】．（2024-2025•营山县校级月考）定义a※b＝a﹣b，如1※2＝1﹣2＝﹣1，则（﹣1※2）※（﹣3）＝ 　 　 ． 【变式题10-1】．（2024-2025•马尾区校级期中）现定义某种新运算：对任意两个有理数a、b，有a※b＝|a|﹣b．如：2※3＝|2|﹣3＝﹣1，（a+1）※4＝|a+1|﹣4． （1）计算：（﹣3）※（﹣2）； （2）计算：[（﹣4）※5]※2． 【变式题10-2】．（2024-2025•醴陵市期末）定义：‖‖x‖‖表示有理数x到离它最近的整数的距离，如‖‖﹣2‖‖＝0，‖‖1.7‖‖＝0.3，‖‖﹣3.2‖‖＝0.2． ①‖‖3.5‖‖＝　 　 ； ②若‖‖x﹣1‖‖＝‖‖7x+3‖‖，则‖‖x﹣1‖‖有　 　 种可能的值． 【变式题10-3】．（2024-2025•延安月考）定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的对称数：若x≥0，则[x]＝x﹣2，若x＜0，则[x]＝x+2．例：[1]＝1﹣2＝﹣1，[﹣2]＝﹣2+2＝0． （1）求[3]+[﹣8]的值； （2）求[2]﹣（[﹣3]﹣[5]）的值． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动5个单位长度，再向右移动2个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（　　） A．﹣5﹣2＝﹣7 B．5+2＝7 C．5﹣2＝3 D．﹣5+2＝﹣3 2．甲、乙、丙三地海拔高度分别为﹣100米、﹣300米、500米，那么最高的地方比最低的地方高（　　） A．400米 B．600米 C．200米 D．800米 3．北京3月份某天的最高气温是11℃，最低气温是﹣3℃，则这天的温差是（　　） A．﹣8℃ B．﹣14℃ C．8℃ D．14℃ 4．下表是小明的妈妈元旦当天的微信零钱收支明细（单位/元）：观察表格信息，可知小明的妈妈元旦当晚微信零钱余额和前一天相比（　　） 微信转账 +80 如意水果店 ﹣75 微信红包 +36 便民菜场 ﹣18 A．多了23元 B．少了23元 C．多了116元 D．少了95元 5．若（　　）﹣（﹣2）＝3，则括号内的数是（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 二．填空题（共5小题） 6．一个自然数与自己相减，相加，相除所得的差、和、商加起来正好等于201，这个自然数是　 　 ． 7．一个减法算式，被减数、减数和差三个数的平均数是8，那么这个减法算式的被减数是　 　 ． 8．矿区某一天的最高气温是5℃，最低气温是﹣7℃，这天矿区的温差是　 　 ℃． 9．计算|﹣2|﹣（﹣1）的结果是 　 　 ． 10．规定图形表示运算a﹣b+c，图形表示运算x+z﹣y﹣w，则+＝ 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 11．计算：9.57﹣（2.57+3.38）﹣2.62． 12．计算题． （1）6.32+3.68； （2）． 13．利用简便方法计算下列各题： （1）6.6+（﹣4.5）﹣（﹣3.4）﹣（+15.5）； （2）； （3）． 14．外卖送餐为我们生活带来了许多便利．某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） ﹣4 +3 ﹣5 ﹣6 +9 +10 +12 （1）该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？ （2）若平均每送一单能获得5元的酬劳，请计算外卖小哥这一周的收入． 15．武功山作为国家5A级旅游景区，被中国国家地理评为中国十大“非著名”山峰之一．某登山爱好者组团徒步攀登武功山，沿路经过了A，B，C，D四个补给点．已知A地海拔是300米，B地海拔是﹣200米，C地比A地低50米，D地比B地高50米，试问： （1）C地海拔为多少？D地海拔为多少？ （2）四处补给点中，最高处比最低处高多少米？ 16．请根据甲乙的对话解答下列问题． 甲：“我不小心把老师留的作业题丢了，只记得式子是：8﹣a+b﹣c．” 乙：我告诉你：“a的相反数是3，b＜a，且b的绝对值是6，c与b的和是﹣8．” （1）直接写出a，b，c的值； （2）求8﹣a+b﹣c的值． 17．（1）有10袋小麦，以90kg为标准，它们分别各重：1，1，1.5，﹣1，1.2，1.3，﹣1.3，﹣1.2，1.8，1.1，那么，10袋小麦一共超出（或者不足）总标准多少重量？ （2）某公司第一季度平均每月亏损1.5万，第二季度平均每月盈利2万，第三季度平均每月盈利1.7万，第四季度平均每月亏损2.3万．求公司全年总的盈亏状况． 18．小明用如图直观解释4﹣（﹣3）＝7，请你用类似的方法直观解释3﹣（﹣2）＝5． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.2有理数的减法 【题型1】有理数减法法则的直接应用 1. 知识点 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，用字母表示为 。 法则核心：“两变一不变”——运算符号“-”变“+”，减数变其相反数，被减数不变。 差的符号规律：① 较大的数 - 较小的数 = 正数；② 较小的数 - 较大的数 = 负数；③ 相等的数相减 = 0。 2. 考点 直接计算两个有理数的减法（含正数、负数、0的减法，如、、）。 区分有理数减法与小学减法的差异（允许差为负数）。 3. 易错点 忽略“减数变相反数”，如将 误算为（正确应为）。 0减负数时符号处理错误，如将 误算为（正确应为）。 4. 解题技巧 第一步：将减法转化为加法，即把“ 减数”变成“ 减数的相反数”。 第二步：按照有理数加法法则计算（同号相加取同号，异号相加取绝对值较大的符号）。 【例题1】．（2024-2025•南关区校级一模）计算﹣5﹣3的结果是（　　） A．2 B．﹣8 C．8 D．﹣2 【答案】B 【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【解答】解：﹣5﹣3＝﹣8． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 【变式题1-1】．（2024-2025•河北区一模）计算（﹣2）﹣（﹣4）的结果等于（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6 【答案】B 【分析】利用有理数的减法法则计算即可． 【解答】解：（﹣2）﹣（﹣4）＝﹣2+4＝2， 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的减法，解题的关键是熟练掌握有理数的减法法则． 【变式题1-2】．（2024-2025•大同期末）比﹣3小3的数是（　　） A．0 B．﹣6 C．3 D．6 【答案】B 【分析】由题意可得算式为﹣3﹣3，然后进行求解即可． 【解答】解：﹣3﹣3＝﹣6， 所以比﹣3小3的数是﹣6． 故选：B． 【点评】本题主要考查有理数的减法运算，熟练掌握有理数的减法运算是解题的关键． 【变式题1-3】．（2024-2025•五莲县期末）比﹣1小1的数是（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．﹣2 【答案】D 【分析】用﹣1减去1，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【解答】解：﹣1﹣1＝﹣2． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 【题型2】数轴上两点间距离的计算 1. 知识点 数轴上两点间的距离公式：若点 表示数，点 表示数，则、 两点间的距离为 （距离是非负数）。 距离的简化计算：若，则距离 = ；若，则距离 =（即“大数减小数”）。 2. 考点 已知两点表示的数，求两点间的距离（如点 表示，点 表示，求 的距离）。 已知两点间的距离和其中一个点表示的数，求另一个点表示的数（如点 表示，，求点 表示的数）。 3. 易错点 忽略距离的非负性，直接用 计算（如、 时，误算为 ，正确应为）。 已知距离求点的数时漏解，如、 表示 时，只算 ，忽略。 4. 解题技巧 求距离：先确定两点表示的数、，若能判断大小，直接用“大数减小数”；若不能，加绝对值符号。 已知距离求数：设未知点表示的数为，列方程，解出 的两个可能值（正负方向）。 【例题2】．（2024-2025•松原模拟）若数轴上点A，B分别表示数为﹣1，2，则A，B两点之间的距离可表示为（　　） A．（﹣1）+2 B．2+（﹣1） C．2﹣（﹣1） D．（﹣1）﹣2 【答案】C 【分析】即数轴上两点之间的距离等于两点所表示数的差的绝对值，或用右边的点表示的数减去左边的点表示的数． 【解答】解：数轴上两点之间的距离等于两点所表示数的差的绝对值或用右边的点表示的数减去左边的点表示的数可得： ∵数轴上点A，B分别表示数为﹣1，2， ∴A，B两点之间的距离可表示为2﹣（﹣1）． 故选：C． 【点评】本题考查的是数轴上两点间的距离，正确记忆修改知识点是解题关键． 【变式题2-1】．（2024-2025•鄄城县期中）若数轴上A、B两点表示的数分别为﹣4、6，那么A、B两点间的距离为　10　 ． 【答案】10． 【分析】根据数轴上两点距离可直接进行求解． 【解答】解：根据数轴上两点距离可得：AB＝|﹣4﹣6|＝10， 故答案为：10． 【点评】本题主要考查数轴上两点距离及有理数的减法运算，熟练掌握数轴上两点距离及有理数的减法运算是解题的关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•廉江市校级期中）点A在数轴上距离原点3个单位长度，将A向右移动4个单位长度，再向左移动2个单位长度，此时点A表示的数是　5或﹣1　 ． 【答案】5或﹣1． 【分析】先求出点A表示的数，再根据数轴上点的移动规律分别计算即可． 【解答】解：∵点A在数轴上距离原点3个单位长度， ∴点A表示的数是3或﹣3， 当点A表示的数是3时，将A向右移动4个单位长度，再向左移动2个单位长度， 此时点A表示的数3+4﹣2＝5； 当点A表示的数是﹣3时，将A向右移动4个单位长度，再向左移动2个单位长度， 此时点A表示的数﹣3+4﹣2＝﹣1； 综上，点A表示的数是5或﹣1， 故答案为：5或﹣1． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，数轴，熟练掌握数轴上点的移动规律是解题的关键． 【变式题2-3】．（2024-2025•埇桥区校级月考）如图，已知有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C，点O表示原点．若|b|＝4，A、C两点间的距离为2，则a+b﹣c的值为　﹣6　 ． 【答案】﹣6． 【分析】根据已知条件可得b＝﹣4，c﹣a＝2，进而得出答案． 【解答】解：∵|b|＝4，且点B在原点的左侧， ∴b＝﹣4， 由图可知，c﹣a＝2， 则原式＝﹣（a﹣c）+b ＝﹣2﹣4 ＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】本题主要考查有理数的加减混合运算、数轴、绝对值，根据已知条件求出b＝﹣4，c﹣a＝2是解题的关键． 【题型3】含绝对值的有理数减法运算 1. 知识点 绝对值的性质：若，则；若，则，绝对值结果恒非负。 含绝对值的减法运算步骤：先判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号，再进行减法计算。 2. 考点 直接计算含绝对值的减法（如、）。 已知含绝对值的式子的值，求字母的取值（如 ，求 的值）。 3. 易错点 去绝对值时不判断符号，直接去掉绝对值符号（如将 误算为，正确应为）。 解方程时漏解，如 时，只算，忽略。 4. 解题技巧 第一步：先计算绝对值内式子的结果，判断其正负（或直接比较绝对值内两数的大小）。 第二步：根据绝对值性质去掉绝对值符号（正数不变，负数变相反数）。 第三步：按有理数减法法则计算最终结果（若含字母，解方程时需考虑绝对值的两解情况）。 【例题3】．（2024-2025•望奎县校级开学）若|a|＝3，|b|＝2，且a+b＜0，那么a﹣b的值是（　　） A．5或1 B．﹣5或1 C．5或﹣1 D．﹣5或﹣1 【答案】D 【分析】先运用绝对值的性质和有理数的加法法则求得a，b的值，再代入、计算． 【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝2， ∴a＝±3，b＝±2， 即a＝3，b＝2或a＝3，b＝﹣2或a＝﹣3，b＝2或a＝﹣3，b＝﹣2， ∵a+b＜0， ∴a＝﹣3，b＝﹣2或a＝﹣3，b＝2． 当a＝﹣3，b＝2时， a﹣b＝﹣3﹣2＝﹣5； 当a＝﹣3，b＝﹣2时， a﹣b＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1， ∴a﹣b的值为﹣5或﹣1， 故选：D． 【点评】此题考查了绝对值的性质和有理数的加法法则的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行准确地计算、讨论． 【变式题3-1】．（2024-2025•叙州区期末）已知|x|＝4，|y|＝3，且x+y＜0，则x﹣y的值等于（　　） A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．﹣7或﹣1 【答案】D 【分析】先化简绝对值可得x＝±4，y＝±3，再根据x+y＜0可得x＝﹣4，y＝3或x＝﹣4，y＝﹣3，代入计算即可得． 【解答】解：∵|x|＝4，|y|＝3， ∴x＝4或﹣4，y＝3或﹣3， 根据题干要求x+y＜0， 则x＝﹣4，y＝3或x＝﹣4，y＝﹣3， ∴x﹣y＝﹣4﹣3＝﹣7或x﹣y＝﹣4﹣（﹣3）＝﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查了化简绝对值、有理数的加减法、代数式求值，正确求出x，y的值是解题关键． 【变式题3-2】．（2024-2025•电白区期末）若|x|＝9，|y|＝4，且x+y＜0，那么x﹣y的值是（　　） A．5或1 B．5或﹣13 C．﹣5或13 D．﹣5或﹣13 【答案】D 【分析】根据|x|＝9，|y|＝4，且x+y＜0，得到x＝﹣9，y＝±4，代入计算即可． 【解答】∵|x|＝9，|y|＝4， ∴x＝±9，y＝±4， ∵x+y＜0， ∴x﹣y＝﹣9﹣4＝﹣13或x﹣y＝﹣9﹣（﹣4）＝﹣5， 故选D． 【点评】本题考查了绝对值的化简计算，有理数的加减运算，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． 【变式题3-3】．（2024-2025•唐河县一模）计算|﹣3﹣9|的结果（　　） A．1 B．12 C．11 D．6 【答案】B 【分析】先计算减法，然后计算绝对值即可． 【解答】解：|﹣3﹣9| ＝|﹣12| ＝12， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的减法，绝对值，解题关键在于掌握运算法则． 【题型4】有理数加减混合运算的步骤应用 1. 知识点 加减混合运算的核心：统一成加法运算（即 ）。 加法运算律的应用：① 加法交换律（）；② 加法结合律（），用于简化计算。 运算步骤：统一加法 → 省略加号 → 结合简便数 → 计算结果。 2. 考点 按步骤计算加减混合运算（如）。 用加法交换律、结合律简便计算（如将 结合为）。 3. 易错点 “带符号搬家”时漏带数的性质符号，如将 误写成（虽结果正确，但需注意规范，避免复杂题目出错）。 结合数时符号错误，如将 误结合为（正确，但更简便的是）。 4. 解题技巧 “带符号搬家”：将数和其前面的性质符号一起移动，保证每个数的符号不脱离数（如）。 简便结合策略：① 同号结合（正数与正数结合，负数与负数结合）；② 凑整结合（和为整数的数结合，如 ）；③ 相反数结合（和为0的数结合，如）。 【例题4】．（2024-2025•雁塔区校级期末）计算：（﹣5）﹣（）+7． 【答案】． 【分析】根据有理数加减混合运算的方法解答． 【解答】解： ． 【点评】此题考查有理数加减混合运算，关键是根据有理数加减混合运算的方法解答． 【变式题4-1】．（2024-2025•青浦区校级期末）计算：． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据有理数的加减混合运算计算即可． 【解答】解：原式＝32.4+11.6 ＝（31）﹣（2.4+1.6） ＝5﹣4 ＝1． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，根据加法的交换律结合律计算是关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•东坡区期末）计算：． 【答案】9． 【分析】根据有理数的加减运算法则计算即可． 【解答】解：原式 ＝10﹣1 ＝9． 【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题4-3】．（2024-2025•杨陵区期末）计算：（﹣2）+6﹣（﹣5）． 【答案】9． 【分析】按照从左到右的顺序计算即可． 【解答】解：原式＝﹣2+6+5 ＝9． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【题型5】有理数加减混合运算的简便运算 1. 知识点 简便运算的核心：利用加法交换律和结合律，将“易计算”的数结合（如和为整数、和为0的数），减少计算量。 常见简便类型：① 小数与小数凑整（如）；② 分数与分数凑整（如 ）；③ 同号结合（如）；④ 相反数结合（如）。 2. 考点 小数类混合运算的简便计算（如）。 分数类混合运算的简便计算（如）。 小数与分数混合的简便计算（如，可将分数化为小数或小数化为分数）。 3. 易错点 凑整时忽略符号，如将 误结合为（更简便的是 ，需注意符号统一）。 分数与小数互化错误，如将 误化为（正确应为 ）。 4. 解题技巧 观察式子特征：先判断是否有同号、凑整、相反数的数，优先结合此类数。 统一形式：若式子中既有小数又有分数，可将小数化为分数（如）或分数化为小数（如），避免混合计算出错。 分步计算：先计算结合后的部分，再将结果相加（如）。 【例题5】．（2024-2025•朝阳区校级月考）用简便方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1）29； （2）4． 【分析】（1）将和结合起来，13和|﹣17|结合起来，再按照有理数的加法法则进行计算即可； （2）将和结合起来，和结合起来，再按照有理数的加法法则进行计算即可． 【解答】解：（1） ＝﹣1+30 ＝29； （2） ＝11+（﹣7） ＝4． 【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题5-1】．（2024-2025•西峰区校级月考）利用简便方法计算下列各题： （1）6.6+（﹣4.5）﹣（﹣3.4）﹣（+15.5）； （2）； （3）． 【答案】（1）﹣10； （2）﹣20； （3）． 【分析】根据有理数的汇合运算法则，利用结合律，交换律等计算求值即可． 【解答】解：（1）6.6+（﹣4.5）﹣（﹣3.4）﹣（+15.5）＝6.6+3.4（﹣4.5）+（﹣15.5）＝10﹣20＝﹣10． （2）（）12﹣18+4.5+5.5 ＝﹣30+10＝﹣20． （3）（）（） ＝（）（）． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是关键． 【变式题5-2】．（2024•莲池区校级开学）李老师在黑板板书了两道例题的解题过程： 运用“被减数、减数同时增加或减小相同的数，它们的差不变”的性质，可以使一些运算过程变得简便． 例1； 例2． 请你参考黑板中老师的讲解，用上述运算性质简便计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）仿照例1求解即可； （2）仿照例2求解即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•扬州月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7． （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①|7﹣21|＝　21﹣7　 ； ②　　 ； （2）用合理的方法计算：； （3）用简便方法计算：． 【答案】（1）①21﹣7；②；（2）；（3）． 【分析】（1）利用题干中的方法解答即可； （2）利用（1）中的方法去掉绝对值符号后化简运算即可； （3）利用（1）中的方法去掉绝对值符号后化简运算即可． 【解答】解：（1）①|7﹣21|＝21﹣7， ②． 故答案为：①21﹣7；②； （2） ； （3） ••• ． 【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，绝对值，掌握有理数的加减混合运算法则，绝对值的意义是关键． 【题型6】有理数减法的实际应用 1. 知识点 温差计算：温差 = 最高气温 - 最低气温（最高气温为被减数，最低气温为减数）。 高度差计算：相对高度 = 较高高度 - 较低高度（如山峰高度 - 盆地高度）。 实际问题中正负的意义：上升、高于、收入记为正；下降、低于、支出记为负。 2. 考点 温差计算（如某天最高气温，最低气温，求温差）。 高度差计算（如珠穆朗玛峰海拔，吐鲁番盆地海拔，求相对高度）。 结合表格数据计算连续几天的温差或高度变化（如根据一周气温表求某天温差）。 3. 易错点 混淆“被减数”和“减数”，如温差误算为“最低气温 - 最高气温”（导致结果为负，不符合实际）。 处理负数高度时符号错误，如将“海拔”误理解为“高于海平面”。 4. 解题技巧 第一步：从题干或表格中提取“最高/较低”的量（被减数）和“最低/较高”的量（减数），明确其正负。 第二步：代入公式（温差/高度差 = 被减数 - 减数），按有理数减法法则计算（减负数转化为加正数）。 第三步：验证结果的合理性（温差、高度差均为非负数，若为负则说明被减数、减数颠倒）。 【例题6】．（2024-2025•靖边县期末）潜水艇停在海平面以下800m处，先上浮150m，又下潜200m，则此时潜水艇的位置是在（　　） A．海平面以下850m处 B．海平面以下﹣850m处 C．海平面以上850m处 D．海平面以上800m处 【答案】A 【分析】设海平面以下800m处记作﹣800m，根据题意，得﹣800+150﹣200＝﹣850m即海平面以下850m处，解答即可． 【解答】解：根据题意，得﹣800+150﹣200＝﹣850（m）， 故位于海平面以下850m处． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． 【变式题6-1】．（2024-2025•孝义市期末）“冬至不端饺子碗，冻掉耳朵没人管”．冬至是一个很重要的节气，这一天北方地区太阳高度角达到一年中的最小值，如图是2024年冬至孝义的天气预报图，气温为﹣11～﹣2℃，西北风2级，空气质量优．孝义这天的最高气温与最低气温的温差是（　　） A．13℃ B．9℃ C．﹣11℃ D．﹣13℃ 【答案】B 【分析】直接用最高气温减去最低气温即可得到答案． 【解答】解：∵最高气温是﹣2℃，最低气温是﹣11℃， ∴﹣2﹣（﹣11）＝﹣2+11＝9（℃）， ∴孝义这天的最高气温与最低气温的温差是9℃， 故选：B． 【点评】本题主要考查了有理数减法的应用，正确计算是解题的关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•山亭区期末）北京2023年1月1日的天气显示为如图，该天的温差是（　　） A．1℃ B．10℃ C．19℃ D．9℃ 【答案】C 【分析】根据温差＝高温﹣低温，列出算式，进行计算即可． 【解答】解：由题意得： 9﹣（﹣10） ＝9+10 ＝19（℃）， ∴该天的温差为19℃， 故选：C． 【点评】本题主要考查了有理数的减法，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则． 【变式题6-3】．（2024-2025•安岳县期末）某水库上周日的水位是30m，下表是该水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升量，用负数记水位比前一日下降量），那么本周水位最低的是（　　） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/m +0.12 ﹣0.02 ﹣0.13 ﹣0.20 ﹣0.08 ﹣0.02 +0.32 A．星期日 B．星期三 C．星期四 D．星期六 【答案】D 【分析】根据表格中的数据，求出每天的水位，在比较大小即可． 【解答】解：根据题意得，上周日的水位是30m， ∵用正数记水位比前一日上升量，用负数记水位比前一日下降量 ∴星期一的水位：30+0.12＝30.12（m）， 星期二的水位：30.12﹣0.02＝30.10（m）， 星期三的水位：30.1﹣0.13＝29.97（m）， 星期四的水位：29.97﹣0.20＝29.77（m）， 星期五的水位：29.77﹣0.08＝29.69（m）， 星期六的水位：29.69﹣0.02＝29.67（m）， 星期日的水位：29.67+0.32＝29.99（m）， ∵29.67＜29.69＜29.77＜29.97＜29.99＜30.10＜30.12， ∴本周水位最低的是星期六， 故选：D． 【点评】本题考查了正数，负数，有理数的加减法运算，有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【题型7】有理数减法与相反数的综合计算（提升） 1. 知识点 相反数的定义：若与互为相反数，则 ，即（相反数的和为0）。 减法与相反数的结合：若，则；。 2. 考点 已知两数互为相反数，求它们的差（如 与 互为相反数，求）。 已知一个数的相反数，求该数与另一个数的差（如 是 的相反数，求）。 3. 易错点 混淆“相反数”和“倒数”，如误将“ 与 互为相反数”理解为（导致代入错误）。 代入计算时符号错误，如，（互为相反数），误算（正确应为）。 4. 解题技巧 第一步：根据相反数的定义，求出未知字母的值（如 与 互为相反数，则）。 第二步：将求出的字母值代入减法式子中，按有理数减法法则计算（注意减负数转化为加正数）。 验证：若 与 互为相反数，可先验证，再检查减法计算结果。 【例题7】．（2024-2025•磐石市期末）若a与b互为相反数，则a﹣b等于（　　） A．2a B．﹣2a C．0 D．﹣2 【答案】A 【分析】依据相反数的定义可得到b＝﹣a，然后代入计算即可． 【解答】解：∵a与b互为相反数， ∴b＝﹣a． ∴a﹣b＝a﹣（﹣a）＝a+a＝2a． 故选：A． 【点评】本题主要考查的是相反数的定义，有理数的减法，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 【变式题7-1】．（2024-2025•金乡县期末）若|a|＝5，|b|＝3，且a+b的绝对值与相反数相等，则a﹣b的值是 　﹣2或﹣8　 ． 【答案】﹣2或﹣8． 【分析】由绝对值与相反数的意义，得出a＝±5，b＝±3，a+b＜0，进而逐一计算，即可得到答案． 【解答】解：根据题意可知，a＝±5，b＝±3， ∵a+b的绝对值与相反数相等， ∴a+b＜0， 当a＝﹣5，b＝﹣3时，a+b＝﹣8＜0，此时a﹣b＝﹣5﹣（﹣3）＝﹣2； 当a＝﹣5，b＝3时，a+b＝﹣2＜0，此时a﹣b＝﹣5﹣3＝﹣8； 当a＝5，b＝﹣3时，a+b＝2＞0，不符合题意，舍去； 当a＝5，b＝3时，a+b＝8＞0，不符合题意，舍去； 综上可知，a﹣b的值是﹣2或﹣8． 故答案为：﹣2或﹣8． 【点评】本题考查了绝对值与相反数，有理数的减法，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 【变式题7-2】．（2024-2025•海口期末）已知a，b互为相反数，则3﹣a﹣b＝ 　3　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用整体思想求值即可． 【解答】解：根据题意可知，a+b＝0， ∴3﹣a﹣b＝3﹣（a+b）＝3﹣0＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查相反数，有理数的减法，掌握相应的运算法则是关键． 【变式题7-3】．（2024-2025•凉州区校级月考）有理数的减法法则是减去一个数，等于加上这个数的相反数，老师让四位同学用字母表示法则，则四位同学中表示完全正确的是（　　） A．甲：a﹣b＝a+（﹣b） B．乙：a﹣b＝a﹣b C．丙：a﹣b＝a+b D．丁：a﹣b＝﹣a+b 【答案】A 【分析】利用有理数的加法法则解答即可． 【解答】解：∵有理数的减法法则是减去一个数，等于加上这个数的相反数， ∴a﹣b＝a+（﹣b）． 故选：A． 【点评】本题主要考查了有理数的减法法则，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键． 【题型8】数轴上点的移动与有理数减法的综合（提升） 1. 知识点 数轴上点的移动规律：向右移动为加，向左移动为减（如点表示的数为，向右移 个单位后表示 ，向左移 个单位后表示）。 移动与减法的结合：已知起点、移动方向和距离，求终点表示的数（用加法）；已知起点和终点，求移动距离（用减法，即）。 2. 考点 已知起点和移动过程，求终点数（如点 表示，先向右移 个单位，再向左移 个单位，求最终点表示的数）。 已知起点、终点和部分移动过程，求未知移动距离（如点 从 出发，先向左移 个单位，再向右移 个单位后到达，求）。 3. 易错点 移动方向与运算符号对应错误，如“向左移 个单位”误算为“”（正确应为）。 计算多步移动时漏步或符号错误，如点 表示，先右移 再左移，误算为 （正确应为）。 4. 解题技巧 分步记录：用“起点数 + 右移距离 - 左移距离”表示最终点（如起点为，右移、左移，则终点为 ）。 列方程求解：已知起点、终点和部分移动，设未知移动距离为，列方程（如），解方程时按有理数减法法则移项（如，）。 数轴验证：在数轴上标出起点、每步移动后的位置，直观检查终点是否正确。 【例题8】．（2024-2025•玉田县期末）把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动7个单位长度，再向右移动2个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（　　） A．7+2＝9 B．﹣7﹣2＝﹣9 C．﹣7+2＝﹣5 D．7﹣2＝5 【答案】C 【分析】根据向左（负方向）移动7个单位长度记作﹣7，向右移动2个单位长度记作+2，有理数的加法意义列式计算即可． 【解答】解：﹣7+2＝﹣5． 故选：C． 【点评】本题考查正负数，有理数加法应用，解题的关键是正确理解有理数的加法法则，本题属于基础题型． 【变式题8-1】．（2024-2025•垦利区校级月考）一个点，从直线上的0处出发，先向右移动4个单位，再向左移动7个单位，这时这个点所对的数是（　　） A．+3 B．﹣2 C．﹣3 D．+2 【答案】C 【分析】先列式，再根据有理数的加减运算计算，即可． 【解答】解：根据题意得：这时这个点所对的数是0+4﹣7＝﹣3． 故选：C． 【点评】本题主要考查了有理数的加减运算，掌握有理数的加减运算法则是关键． 【变式题8-2】．（2024-2025•晋源区月考）把笔尖放在数轴表示﹣2的点上，沿数轴先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度．下列用算式表示上述过程与结果，其中正确的是（　　） A．﹣2﹣（﹣3）+4＝﹣1 B．﹣2+（﹣3）+4＝﹣2 C．﹣2+3+（﹣4）＝﹣3 D．﹣2+（﹣3）+4＝﹣1 【答案】D 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：由题意得﹣2+（﹣3）+4＝﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【变式题8-3】．（2021秋•宁远县校级月考）点A到原点的距离为4，且位于原点的左侧，若一个点从A处向右移动2个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时终点所表示的数为　﹣9　 ． 【答案】﹣9． 【分析】根据数轴上点的运动规律“左减右加”解答此题． 【解答】解：∵点A到原点的距离为4，且位于原点的左侧， ∴点A表示的数为﹣4， ∵一个点从A处向右移动2个单位长度，再向左移动7个单位长度， ∴﹣4+2﹣7＝﹣9， 故答案为：﹣9． 【点评】本题考查数轴，解题的关键是能看懂题意，根据题意可以得到点A的运动路线． 【题型9】有理数减法的规律探究（培优） 1. 知识点 循环规律的识别：通过前几次的运算结果，总结出重复出现的周期（如奇数次、偶数次的结果不同）。 有理数减法与循环的结合：如数轴上点的跳动（左跳为减，右跳为加），每次跳动的距离按规律变化（如第1次跳1，第2次跳2，…）。 2. 考点 数轴上点的循环跳动：已知起点，求第 次跳动后的位置（如点从原点出发，第1次左跳1，第2次右跳2，第3次左跳3，…，求第10次后的位置）。 有理数减法的序列规律：已知序列前几项（如 ，，，…），求第 项的值。 3. 易错点 找不到规律，盲目计算（如第100次跳动时，逐次计算到第100次，耗时且易出错）。 混淆“左跳”“右跳”对应的运算（左跳为减，右跳为加），导致符号错误。 4. 解题技巧 列表法：写出前5 ~ 6次的结果，观察规律（如第 次跳动，若 为偶数，结果为；若 为奇数，结果为）。 公式法：根据规律推导通项公式（如序列），代入 的值计算。 验证：用前几次的结果验证规律是否正确，再用规律计算未知项。 【例题9】．（2024-2025•张店区校级月考）在有些情况下，不需要计算结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝6+7；|7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7．根据上述规律，计算：||+||+||+…+||＝　　 ． 【答案】． 【分析】先根据题意先将式子进行变形，再根据绝对值的性质去绝对值符号，最后根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可． 【解答】解：||+||+||+…+|| ＝||+||+||+⋯+|| ⋯ ． 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算和绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【变式题9-1】．（2024-2025•清城区校级月考）【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如： |6+7|＝6+7，|6﹣7|＝7﹣6，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①|7﹣21|＝ 　21﹣7　 ；② 　　 ；③ 　　 ． 【拓广应用】 （2）计算：． 【答案】（1）21﹣7；；；（2）． 【分析】（1）利用题干中的方法解答即可； （2）利用题干中的方法去掉绝对值符号后，利用加法的运算律解答即可． 【解答】解：（1）|7﹣21|＝21﹣7；；． 故答案为：21﹣7；；； （2）原式 ． 【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，绝对值，正确利用绝对值的意义进行化简是解题的关键． 【变式题9-2】．（2024-2025•东海县校级月考）【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6+7|＝6+7，|6﹣7|＝7﹣6，|7﹣6|＝7﹣6，|﹣6﹣7|＝6+7． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①|5﹣12|＝　12﹣5　 ； ②|3.5﹣7|＝　7﹣3.5　 ； ③　　 ； ④　　 ． 【拓广应用】 （2）合适的方法计算：　　 ． （3）简便的方法计算：． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）①②③④根据题目可得规律当a＞0，b＞0时，|a+b|＝a+b；当a≥b时|a﹣b|＝a﹣b；当a＜b时，|a﹣b|＝b﹣a；运用规律可得答案； （2）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为0可得答案； （3）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为0可得答案． 【解答】解：（1）由题目运算可得：当a＞0，b＞0时，|a+b|＝a+b；当a≥b时|a﹣b|＝a﹣b；当a＜b时，|a﹣b|＝b﹣a； ①∵5＜12， ∴|5﹣12|＝12﹣5； ②∵3.5＜7， ∴|3.5﹣7|＝7﹣3.5； ③∵， ∴； ④∵， ∴； 故答案为：12﹣5；7﹣3.5；；； （2）， 故答案为：． （3） ． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键． 【变式题9-3】．（2024-2025•宽甸县月考）根据绝对值的运算性质可知一个正数的绝对值是其本身，一个负数的绝对值是其相反数，0的绝时值是0，由此可知求一个算式整体的绝对值，可先判断数的正负性，再求它的绝对值，再化简． 例如：|7+8|＝7+8，|5﹣7|＝﹣（5﹣7）＝7﹣5，|7﹣4|＝7﹣4，|﹣6﹣8|＝﹣（﹣6﹣8）＝6+8． 【牛刀小试】 （1）根据上面的规律，把下列各式去掉绝对值符号，不要算出最后结果． ①|3﹣10|＝ 　10﹣3　 ； ② 　　 ； ③|π﹣4|＝ 　4﹣π　 ； ④ 　　 ． 【拓展延伸】 （2）． 【答案】（1）①10﹣3； ②； ③4﹣π； ④ （2）． 【分析】（1）根据绝对值的意义，化简各式即可； （2）先化简绝对值，再进行加法运算即可． 【解答】解：（1）①|3﹣10|＝10﹣3， 故答案为：10﹣3； ②， 故答案为：； ③|π﹣4|＝4﹣π， 故答案为：4﹣π； ④， 故答案为：； （2）原式 ． 【点评】本题考查化简绝对值，有理数的加减混合运算，掌握绝对值的意义，是解题的关键． 【题型10】新定义运算中的有理数减法应用（培优） 1. 知识点 新定义运算的本质：根据题干给出的新规则（如“”“”），将新运算转化为有理数的常规运算（含减法）。 新定义与减法的结合：新规则中常包含减法或绝对值（本质与有理数减法相关），需严格按规则计算。 2. 考点 直接按新定义计算：如定义“”，计算 。 已知新定义运算的结果，求字母的值：如定义“”，且，求。 3. 易错点 误解新定义规则，如将“”误理解为“”（顺序颠倒）。 计算新定义中的减法时符号错误，如 误算为（正确应为 ）。 4. 解题技巧 第一步：“翻译”新定义：将新运算符号（如※、Δ ）替换为题干给出的规则（如 替换为 ）。 第二步：代入数值：将具体的数或字母代入规则中，注意“”“”的对应顺序（如 中，，）。 第三步：按有理数减法法则计算：若规则中含减法或绝对值，按对应知识点计算，确保符号正确。 【例题10】．（2024-2025•营山县校级月考）定义a※b＝a﹣b，如1※2＝1﹣2＝﹣1，则（﹣1※2）※（﹣3）＝ 　0　 ． 【答案】0． 【分析】根据新定义先计算出﹣1※2，其结果再与﹣3按新定义的运算进行即可． 【解答】解：∵a※b＝a﹣b， ∴（﹣1※2）※（﹣3） ＝[（﹣1）﹣2]※（﹣3） ＝[﹣1+（﹣2）]※（﹣3） ＝（﹣3）※（﹣3） ＝（﹣3）﹣（﹣3） ＝﹣3+3 ＝0， 故答案为：0． 【点评】本题考查了有理数的减法运算，新定义，理解新定义是关键． 【变式题10-1】．（2024-2025•马尾区校级期中）现定义某种新运算：对任意两个有理数a、b，有a※b＝|a|﹣b．如：2※3＝|2|﹣3＝﹣1，（a+1）※4＝|a+1|﹣4． （1）计算：（﹣3）※（﹣2）； （2）计算：[（﹣4）※5]※2． 【答案】（1）5； （2）﹣1． 【分析】（1）根据新定义的运算，转化成有理数减法运算，计算即可； （2）根据新定义的运算，将中括号内转化成有理数减法运算计算，再根据新定义的运算，转化成有理数减法运算，计算即可． 【解答】解：（1）原式＝|﹣3|﹣（﹣2） ＝3+2 ＝5； （2）原式＝（|﹣4|﹣5）※2 ＝（﹣1）※2 ＝|﹣1|﹣2 ＝﹣1． 【点评】本题考查新定义运算，有理数减法运算，绝对值，理解新定义的运算，熟练掌握有理数减法运算法则是解题的关键． 【变式题10-2】．（2024-2025•醴陵市期末）定义：‖‖x‖‖表示有理数x到离它最近的整数的距离，如‖‖﹣2‖‖＝0，‖‖1.7‖‖＝0.3，‖‖﹣3.2‖‖＝0.2． ①‖‖3.5‖‖＝　0.5　 ； ②若‖‖x﹣1‖‖＝‖‖7x+3‖‖，则‖‖x﹣1‖‖有　7　 种可能的值． 【答案】0.5；7． 【分析】①根据题意得到||3.5||＝3.5﹣3或||3.5||＝4﹣3.5，即可求解； ②由题意||x﹣1||＝||7x+3||，相当于x＝7x＝d，设x的小数部分为a，根据||x||表示有理数x到离它最近的整数的距离，分两种情况讨论，即可求解． 【解答】解：①||3.5||＝3.5﹣3＝0.5或||3.5||＝4﹣3.5＝0.5， 故答案为：0.5； ②设||x﹣1||＝||7x+3||＝d，相当于x＝7x＝d，则0， 设x的小数部分为a，当0≤d时，0≤7a≤3.5，此时d＝a， ∴a＝|7a|或a＝|7a﹣1|或a＝|7a﹣2|或a＝|7a﹣3|， 解得：a＝0或a或a或a或a或a或a， 当时，3.5＜7a＜7， ∴1﹣a＝|7a﹣4|或1﹣a＝|7a﹣5|或1﹣a＝|7a﹣6|或1﹣a＝|7a﹣7|， 解得：a或a（舍去）或a或a或a或a或a＝1（舍去）， 则d或d或d或d， 综上所述，||x﹣1||可能为0，，，，，，，共7种可能的值． 故答案为：7． 【点评】本题考查了新定义，有理数的大小比较，一元一次方程的应用．熟练掌握以上知识点是关键． 【变式题10-3】．（2024-2025•延安月考）定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的对称数：若x≥0，则[x]＝x﹣2，若x＜0，则[x]＝x+2．例：[1]＝1﹣2＝﹣1，[﹣2]＝﹣2+2＝0． （1）求[3]+[﹣8]的值； （2）求[2]﹣（[﹣3]﹣[5]）的值． 【答案】（1）﹣5； （2）4． 【分析】（1）根据新定义的运算，进行计算即可； （2）根据新定义的运算，进行计算即可． 【解答】解：（1）∵3＞0，﹣8＜0， ∴[3]+[﹣8]＝3﹣2+（﹣8+2）＝1+（﹣6）＝﹣5； （2）∵2＞0，﹣3＜0，5＞0， ∴[2]＝2﹣2＝0，[﹣3]＝﹣3+2＝﹣1，[5]＝5﹣2＝3， ∴[2]﹣（[﹣3]﹣[5]）＝0﹣（﹣1﹣3）＝0﹣（﹣4）＝0+4＝4． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是理解新定义的运算． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 D D D A C 一．选择题（共5小题） 1．把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动5个单位长度，再向右移动2个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（　　） A．﹣5﹣2＝﹣7 B．5+2＝7 C．5﹣2＝3 D．﹣5+2＝﹣3 【答案】D 【分析】根据数轴上，向左是减，向右是加，由此即可求解． 【解答】解：根据题意可知，用算式表示上述过程与结果为﹣5+2＝﹣3． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，数轴，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． 2．甲、乙、丙三地海拔高度分别为﹣100米、﹣300米、500米，那么最高的地方比最低的地方高（　　） A．400米 B．600米 C．200米 D．800米 【答案】D 【分析】根据有理数的减法运算，可得两地的距离差，再用最大数减最小数，可得最高的地方比最低的地方高多少米． 【解答】解：500﹣（﹣300）＝800（米）． 答：最高的地方比最低的地方高800米． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的减法，减一个数等于加这个数的相反数． 3．北京3月份某天的最高气温是11℃，最低气温是﹣3℃，则这天的温差是（　　） A．﹣8℃ B．﹣14℃ C．8℃ D．14℃ 【答案】D 【分析】温差为最高温度减去最低温度，由此列式计算即可． 【解答】解：根据题意，得11﹣（﹣3）＝11+3＝14（℃）， 即温差是14℃， 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的减法，正数和负数，熟知有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数是解题的关键． 4．下表是小明的妈妈元旦当天的微信零钱收支明细（单位/元）：观察表格信息，可知小明的妈妈元旦当晚微信零钱余额和前一天相比（　　） 微信转账 +80 如意水果店 ﹣75 微信红包 +36 便民菜场 ﹣18 A．多了23元 B．少了23元 C．多了116元 D．少了95元 【答案】A 【分析】将表格中的数据相加后，根据和的情况进行判断即可． 【解答】解：+代表收入，﹣代表支出，全部相加后的结果说明跟前一天的差别， +80﹣75+36﹣18＝+23（元）； 故小明的妈妈元旦当晚微信零钱余额和前一天相比多了23元； 故选：A． 【点评】本题考查正负数的应用，有理数加法的应用，解题的关键是正确列式计算． 5．若（　　）﹣（﹣2）＝3，则括号内的数是（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 【答案】C 【分析】根据被减数＝减数+差，列出算式计算即可求解． 【解答】解：3+（﹣2）＝1． 答：括号内的数是1． 故选：C． 【点评】考查了有理数的减法，关键是熟悉被减数＝减数+差的知识点． 二．填空题（共5小题） 6．一个自然数与自己相减，相加，相除所得的差、和、商加起来正好等于201，这个自然数是　100　 ． 【答案】100． 【分析】先设这个自然数为x，再运用加法、减法和除法知识列出方程式，并进行正确地求解． 【解答】解：设这个自然数为x． 则x﹣x＝0，x+x＝2x，x÷x＝1， 可得0+2x+1＝201， 解得x＝100， 故答案为：100． 【点评】此题考查了有理数加法、减法和除法的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行准确地列式、计算． 7．一个减法算式，被减数、减数和差三个数的平均数是8，那么这个减法算式的被减数是　12　 ． 【答案】12． 【分析】先求出被减数，减数，差这三个数的和为8×3＝24，再结合减法中存在如下关系：被减数﹣减数＝差，减数+差＝被减数，由此可得被减数+减数+差＝被减数×2，进行求解，即可作答． 【解答】解：∵被减数、减数和差三个数的平均数是8， ∴被减数，减数，差这三个数的和为8×3＝24， ∵被减数＝减数+差， ∴被减数＝24÷2＝12， 故答案为：12 【点评】本题考查了平均数，减法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 8．矿区某一天的最高气温是5℃，最低气温是﹣7℃，这天矿区的温差是　12　 ℃． 【答案】12． 【分析】根据温差的计算公式，用最高气温减去最低气温，再依据有理数减法法则进行计算． 【解答】解：5﹣（﹣7）＝5+7＝12℃．故答案为：12． 【点评】本题考查了有理数的减法，正数和负数，掌握有理数的减法的运算法则是关键． 9．计算|﹣2|﹣（﹣1）的结果是 　3　 ． 【答案】3． 【分析】根据题意，先求绝对值，再算减法即可求解． 【解答】解：∵|﹣2|＝2， ∴|﹣2|﹣（﹣1）＝2+1＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查有理数的减法和绝对值，正确处理绝对值是解题的关键． 10．规定图形表示运算a﹣b+c，图形表示运算x+z﹣y﹣w，则+＝ 　2　 ． 【答案】2． 【分析】根据题意列式求解即可． 【解答】解：原式＝（1﹣2+3）+（4+7﹣6﹣5） ＝1﹣2+3+4+7﹣6﹣5 ＝2+0 ＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． 三．解答题（共8小题） 11．计算：9.57﹣（2.57+3.38）﹣2.62． 【答案】1． 【分析】根据去括号法则和加法结合律简便计算即可． 【解答】解：9.57﹣（2.57+3.38）﹣2.62 ＝（9.57﹣2.57）﹣（3.38+2.62） ＝7﹣6 ＝1． 【点评】本题考查的是有理数的加减混合运算，掌握小数的加减运算是解题的关键． 12．计算题． （1）6.32+3.68； （2）． 【答案】（1）10；（2）． 【分析】（1）根据小数运算法则计算即可； （2）先计算括号内，然后再计算括号外即可． 【解答】解：（1）原式＝10； （2）原式 ． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． 13．利用简便方法计算下列各题： （1）6.6+（﹣4.5）﹣（﹣3.4）﹣（+15.5）； （2）； （3）． 【答案】（1）﹣10； （2）﹣20； （3）． 【分析】根据有理数的汇合运算法则，利用结合律，交换律等计算求值即可． 【解答】解：（1）6.6+（﹣4.5）﹣（﹣3.4）﹣（+15.5）＝6.6+3.4（﹣4.5）+（﹣15.5）＝10﹣20＝﹣10． （2）（）12﹣18+4.5+5.5 ＝﹣30+10＝﹣20． （3）（）（） ＝（）（）． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是关键． 14．外卖送餐为我们生活带来了许多便利．某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） ﹣4 +3 ﹣5 ﹣6 +9 +10 +12 （1）该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？ （2）若平均每送一单能获得5元的酬劳，请计算外卖小哥这一周的收入． 【答案】（1）该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多18单； （2）外卖小哥这一周的收入为1845元． 【分析】（1）用表格中这7天送餐量最大的数减去最小的数即可得到答案； （2）把表格中这7天的送餐量求和再加上50×7即可求出总送餐量，再乘以每一单的单价即可得到答案． 【解答】解：（1）∵送餐量最多的是星期六，送餐量最少的是星期四， ∴+12﹣（﹣6）＝12+6＝18（单）， 答：该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多18单； （2）50×7+（﹣4）+（+3）+（﹣5）+（﹣6）+（+9）+（+10）+（+12） ＝350﹣4+3﹣5﹣6+9+10+12 ＝369（单）， ∵平均每送一单能获得5元的酬劳， ∴369×5＝1845元， 答：外卖小哥这一周的收入为1845元． 【点评】本题主要考查了有理数四则混合计算的应用，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 15．武功山作为国家5A级旅游景区，被中国国家地理评为中国十大“非著名”山峰之一．某登山爱好者组团徒步攀登武功山，沿路经过了A，B，C，D四个补给点．已知A地海拔是300米，B地海拔是﹣200米，C地比A地低50米，D地比B地高50米，试问： （1）C地海拔为多少？D地海拔为多少？ （2）四处补给点中，最高处比最低处高多少米？ 【答案】（1）C地海拔为250米，D地海拔为﹣150米；（2）最高处比最低处高500米． 【分析】（1）根据有理数的加减运算计算即可； （2）先比较A，B，C，D的大小，再用最大值减最小值即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，C地比A地低50米，D地比B地高50米， ∴C地海拔为：300﹣50＝250（米），D地海拔为：﹣200+50＝﹣150（米）． 答：C地海拔为250米，D地海拔为﹣150米； （2））根据题意可知，﹣200＜﹣150＜250＜300， ∴300﹣（﹣200）＝300+200＝500（米）， 答：最高处比最低处高500米． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数大小的比较，正数和负数，掌握相应的运算法则是关键． 16．请根据甲乙的对话解答下列问题． 甲：“我不小心把老师留的作业题丢了，只记得式子是：8﹣a+b﹣c．” 乙：我告诉你：“a的相反数是3，b＜a，且b的绝对值是6，c与b的和是﹣8．” （1）直接写出a，b，c的值； （2）求8﹣a+b﹣c的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）直接利用相反数、绝对值的定义分别得出a，b，c的值，进而得出答案； （2）利用（1）中所求，结合有理数的加减运算法则计算得出答案． 【解答】解：（1）∵a的相反数是3，b＜a，且b的绝对值是6，c与b的和是﹣8， ∴a＝﹣3，b＝﹣6，c＝﹣2； （2）由（1）知，a＝﹣3，b＝﹣6，c＝﹣2， ∴8﹣a+b﹣c＝8﹣（﹣3）+（﹣6）﹣（﹣2）＝8+3+（﹣6）+2＝7． 【点评】此题主要考查了有理数的加减混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 17．（1）有10袋小麦，以90kg为标准，它们分别各重：1，1，1.5，﹣1，1.2，1.3，﹣1.3，﹣1.2，1.8，1.1，那么，10袋小麦一共超出（或者不足）总标准多少重量？ （2）某公司第一季度平均每月亏损1.5万，第二季度平均每月盈利2万，第三季度平均每月盈利1.7万，第四季度平均每月亏损2.3万．求公司全年总的盈亏状况． 【答案】（1）10袋小麦总计超过5.4千克； （2）这个公司去年总的盈利﹣0.3万元． 【分析】（1）先求出10袋小麦90千克的增减量，然后相加即可得解； （2）根据题目中的数据，可以列出算式﹣1.5×3+2×3+1.7×3﹣2.3×3，然后计算即可．． 【解答】解：（1）以90千克为标准，10袋小麦的记录如下： 1，1，1.5，﹣1，1.2，1.3，﹣1.3，﹣1.2，1.8，1.1， ∵1+1+1.5﹣1+1.2+1.3﹣1.3﹣1.2+1.8+1.1 ＝5.4（千克）． 答：10袋小麦总计超过5.4千克； （2）解：由题意可得， ﹣1.5×3+2×3+1.7×3﹣2.3×3 ＝﹣4.5+6+5.1﹣6.9 ＝﹣0.3（万元）， 即这个公司去年总的盈利﹣0.3万元． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，正数和负数，关键确定标准后用正负数来表示出小麦的重量． 18．小明用如图直观解释4﹣（﹣3）＝7，请你用类似的方法直观解释3﹣（﹣2）＝5． 【答案】见解析． 【分析】根据已知和有理数减法运算法则先画图，然后即可求解． 【解答】解：故由题可知3﹣（﹣2）＝5，可以解释如下： ． 【点评】本题考查有理数减法运算的直观解释，理解题中图形解释是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $