空间角的求法 专项训练-2026届高三数学一轮复习

空间角的求法 基础性 1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，则异面直线EC1与AD所成角的正切值为(　　) A. B. C. D. 解析：C　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，B1C1∥AD，所以异面直线EC1与AD所成的角为∠EC1B1.如图，设正方体的边长为2a，则由E为棱AA1的中点，可得A1E＝a，所以B1E＝a， 则tan∠EC1B1＝＝＝.故选C. 2．已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　) A. B. C. D. 解析：B　如图所示，底面是边长为的正三角形，可得S△ABC＝×××sin 60°＝. 设点O是△ABC的中心，连接OA交BC于D，A1P交B1C1于E，连接OP，AP， 所以VABC­A1B1C1＝S△ABC·OP＝·OP＝，解得OP＝. 又OA＝××＝1，在Rt△OAP中，tan∠OAP＝＝， 又0<∠OAP<，所以∠OAP＝.故选B. 3．如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，A1C1上的点．记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F­BC­A的平面角为γ，则(　　) A．α≤β≤γ B．β≤α≤γ C．β≤γ≤α D．α≤γ≤β 解析：A　如图所示，过点F作FP⊥AC于P，过P作PM⊥BC于M，连接PE，FC，FM， 则α＝∠EFP，β＝∠FEP，γ＝∠FMP，tan α＝＝≤1，tan β＝＝≥1，tan γ＝≥＝tan β，所以α≤β≤γ，故选A. 4．P是二面角α­AB­β棱上的一点，分别在平面α，β上引射线PM，PN，若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，则二面角α­AB­β的大小为________． 解析：90°　不妨设PM＝a，PN＝b，如图，作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F. 因为∠EPM＝∠FPN＝45°， 所以PE＝a，PF＝b， 所以·＝(－)·(－) ＝·－·－·＋· ＝abcos 60°－a×bcos 45°－a×bcos 45°＋a×b ＝－－＋＝0， 所以⊥，所以二面角α­AB­β的大小为90°. 5．直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1.求： (1)BM与AN所成角的余弦值； (2)BM与平面ABC所成角的正弦值． 解析：以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 设CA＝CB＝CC1＝1， 则B(0，1，0)，M(，，1)，A(1，0，0)，N(，0，1)． (1)设BM与AN所成的角为θ， 因为＝(，－，1)，＝(－，0，1)， 所以cos θ＝|cos 〈，〉| ＝＝＝. 所以BM与AN所成角的余弦值为. (2)因为＝(，－，1)，平面ABC的一个法向量为n＝(0，0，1)， 设BM与平面ABC所成的角为φ， 则sin φ＝|cos〈，n〉|＝＝＝. 所以BM与平面ABC所成角的正弦值为. 6．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点． (1)证明：PB∥平面ACM. (2)证明：AD⊥平面PAC. (3)求直线AM与平面ABCD所成角的余弦值． 解析：(1)证明：如图，连接BD，OM，因为底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点， 故BD与AC相交于O.因为M为PD的中点，则OM∥PB， 因为OM⊂平面ACM，PB⊄平面ACM， 所以PB∥平面ACM. (2)证明：因为∠ADC＝45°，AD＝AC＝1， 由余弦定理得 cos∠ADC＝， 即cos 45°＝，解得CD＝， 因为AD2＋AC2＝CD2，所以AD⊥AC. 因为PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD， 因为AC，PO⊂平面PAC，AC∩PO＝O， 所以AD⊥平面PAC. (3)取OD的中点N，连接MN，AN，则MN∥OP，如图所示， 因为PO⊥平面ABCD，所以MN⊥平面ABCD， 则∠MAN为直线AM与平面ABCD所成角，其中PO＝2，故MN＝OP＝1. 因为AD⊥AC，AO＝AC＝， 由勾股定理得OD＝＝＝， 故AN＝OD＝， 由勾股定理得AM＝＝， 所以cos∠MAN＝＝＝. 7．如图，四边形ABCD是圆柱OO1的轴截面，EF是圆柱的母线，P是线段AD的中点，AB＝4，BC＝6. (1)证明：BF⊥平面EPF. (2)若直线AB与平面EPF所成角为60°，求三棱锥B­EPF的体积． 解析：(1)证明：如图，连接AF，DE，因为四边形ABCD是圆柱OO1的轴截面，所以AB为圆O的直径，所以AF⊥BF. 又EF是圆柱的母线，所以EF⊥平面ABF， 因为BF⊂平面ABF，所以EF⊥BF. 又因为AF∩EF＝F，AD∥EF，AF，EF⊂平面ADEF，所以BF⊥平面ADEF. 又因为P是线段AD的中点， 所以平面ADEF即为平面EPF，所以BF⊥平面EPF. (2)由(1)知BF⊥平面EPF，所以BF为三棱锥B­EPF的高，且AF为AB在平面EPF内的射影， 所以AB与平面EPF所成角为∠BAF. 已知∠BAF＝60°，AB＝4，BC＝6， 所以BF＝ABsin 60°＝2，AF＝ABcos 60°＝2，S△EPF＝EF·AF＝6， 所以VB­EPF＝S△EPF·BF＝×6×2＝4. 综合性 8．在四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，∠ABC＝120°，AD＝4，BC＝3，AB＝2，CD＝CE，AP⊥ED. (1)求证：DE⊥平面PEA. (2)已知点F为AB的中点，点P在底面ABCD上的射影为点Q，直线AP与平面ABCD所成角的余弦值为，当三棱锥P­QDE的体积最大时，求异面直线PB与QF所成角的余弦值． 解析：(1)证明：因为AD∥BC，BC⊥CD，∠ABC＝120°，AD＝4，BC＝3，AB＝2，所以CD＝＝. 又CD＝CE，所以CE＝1，BE＝2. 在△ABE中，由余弦定理得 AE＝ ＝＝2. 又DE＝＝＝2， 所以DE2＋AE2＝AD2，所以AE⊥DE. 因为AP⊥DE，又AP∩AE＝A，AP，AE⊂平面PEA，所以DE⊥平面PEA. (2)由(1)知DE⊥平面PEA，DE⊂平面ABCD， 所以平面ABCD⊥平面PEA，所以点Q在AE上，∠PAQ为直线AP与平面ABCD所成的角，cos∠PAQ＝＝，如图所示． 设AQ＝x(0<x≤2)，则PQ＝x，QE＝2－x， S△QDE＝×2×(2－x)＝2－x， VP­QDE＝PQ·S△QDE＝－(x2－2x)＝－(x－)2＋≤，当且仅当x＝时等号成立，则当VP­QDE最大时，AQ＝，所以Q为AE的中点． 因为F为AB的中点，所以FQ∥BC， 所以∠PBE为异面直线PB与QF所成的角(或补角)． 又QB＝1，QE＝， 则由PQ⊥平面ABCD，易知PE＝＝3，PB＝＝， 又BE＝2，则cos∠PBE＝＝， 所以异面直线PB与QF所成角的余弦值为. 9．(2024·广东深圳校考一模)如图，在圆锥SO中，AB是圆O的直径，且△SAB是边长为4的等边三角形，C，D为圆弧AB的两个三等分点，E是SB的中点． (1)证明：DE∥平面SAC. (2)求平面SAC与平面SBD所成锐二面角的余弦值． 解析：(1)证明：取SA的中点F，连接CF，EF. 因为C，D为圆弧AB的两个三等分点，所以CD∥AB，CD＝AB. 因为E，F分别为SB，SA的中点， 所以EF∥AB，EF＝AB， 则CD∥EF，EF＝CD，所以四边形CDEF为平行四边形， 故DE∥CF. 因为DE⊄平面SAC，CF⊂平面SAC，所以DE∥平面SAC. (2)如图，在平面ABCD中，过点O作OP⊥AB交CD于点P，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为AB＝SA＝4，所以A(0，－2，0)，B(0，2，0)，C(，－1，0)，D(，1，0)，S(0，0，2)， 则＝(，1，0)，＝(0，2，2)，＝(，－1，0)，＝(0，－2，2)． 设平面SAC的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则 令x1＝1，得m＝(1，－，1)． 设平面SBD的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 则 令x2＝1，得n＝(1，，1)． 设平面SAC与平面SBD所成锐二面角为θ， 则cos θ＝|cos〈m，n〉|＝＝. 故平面SAC与平面SBD所成锐二面角的余弦值为. 10．如图，三棱台ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，AC⊥BB1，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝6，BC＝4，BB1＝2，AC1与A1C相交于点D，＝2，且DE∥平面BCC1B1. (1)求三棱锥C­A1B1C1的体积． (2)平面A1B1C与平面ABC的夹角为α，CC1与平面A1B1C所成角为β，求证：α＋β＝. 解析：(1)因为平面ABB1A1⊥平面ABC， 且平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，AB⊥BC，BC⊂平面ABC， 所以BC⊥平面ABB1A1. 又因为BB1⊂平面ABB1A1，所以BC⊥BB1. 又AC⊥BB1，BC∩AC＝C，BC，AC⊂平面ABC， 所以BB1⊥平面ABC. 连接C1B， 因为DE∥平面BCC1B1，DE⊂平面ABC1，平面ABC1∩平面BCC1B1＝C1B， 所以DE∥C1B. 因为＝2，所以＝2，所以A1C1＝AC. 所以三棱锥C­A1B1C1中底面△A1B1C1的面积S＝×2×3＝3，高h＝BB1＝2， 所以三棱锥C­A1B1C1的体积为V＝Sh＝×3×2＝2. (2)证明：以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图． 则A(6，0，0)，C(0，4，0)，B1(0，0，2)，A1(3，0，2)，C1(0，2，2)， 所以＝(3，0，0)，＝(0，4，－2)，＝(0，－2，2)． 设平面A1B1C的法向量为n＝(x，y，z)， 则取n＝(0，1，2)． 又平面ABC的一个法向量为＝(0，0，2)， 所以cos α＝|cos〈n，〉|＝＝＝， sin β＝＝＝. 又α，β∈(0，]， 所以sin α＝，cos β＝. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝. 又α＋β∈(0，π]，所以α＋β＝. 创新性 11．如图，四棱锥P­ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，Q是线段PC上的点(不含端点)．设AQ与BC所成的角为α，AQ与平面ABCD所成的角为β，二面角Q­AB­C的平面角为γ，则(　　) A．α<β<γ B．β<α<γ C．γ<β<α D．β<γ<α 解析：D　如图，取AD的中点E，连接PE，因为PA＝PD，所以PE⊥AD.而平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD. 连接EC，作QO∥PE交EC于O，则QO⊥平面ABCD. 因为AD∥BC，所以∠DAQ为直线AQ与BC所成的角， 即∠DAQ＝α，作QN⊥AD于N，连接ON， 所以sin α＝. 连接AO，则∠QAO是直线AQ与平面ABCD所成的角，即∠QAO＝β，显然QO⊥OA，所以sin β＝. 作OM∥BC交AB于M，则OM⊥AB，连接QM，由OQ⊥平面ABCD得QO⊥AB， QO∩OM＝O，所以AB⊥平面QOM，所以AB⊥QM，所以∠QMO是二面角Q­AB­C的平面角，即∠QMO＝γ， 又QO⊥OM，所以sin γ＝. 由图可知OQ<QN，所以sin α>sin β，则α>β(α，β都是锐角)． 又QM<AQ，所以sin β<sin γ，则β<γ(γ也是锐角)． 又cos α＝，cos γ＝， 根据上面作图过程知四边形OMAN是矩形，OM＝AN， 所以cos α＝<＝cos γ，所以α>γ， 综上β<γ<α.故选D. 12．(2024·新课标Ⅰ卷)如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝. (1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC. (2)若AD⊥DC，且二面角A­CP­D的正弦值为，求AD. 解析：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD. 又AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB. 又AB⊂平面PAB， 所以AD⊥AB. 因为BC2＋AB2＝AC2， 所以BC⊥AB， 根据平面知识可知AD∥BC. 又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， 所以AD∥平面PBC. (2)如图所示，过点D作DE⊥AC于E，再过点E作EF⊥CP于F，连接DF， 因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD，而平面PAC∩平面ABCD＝AC， 所以DE⊥平面PAC. 又CP⊂平面PAC，所以DE⊥CP. 又EF⊥CP，DE，EF⊂平面DEF，DE∩EF＝E，所以CP⊥平面DEF. 根据二面角的定义可知，∠DFE即为二面角A­CP­D的平面角， 即sin∠DFE＝，即tan∠DFE＝. 因为AD⊥DC，设AD＝x，则CD＝，由等面积法可得，DE＝， 又CE＝＝，而△EFC为等腰直角三角形， 所以EF＝， 故tan∠DFE＝＝，解得x＝，即AD＝. 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间角的求法 基础性 1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，则异面直线EC1与AD所成角的正切值为(　　) A. B. C. D. 2．已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　) A. B. C. D. 3．如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，A1C1上的点．记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F­BC­A的平面角为γ，则(　　) A．α≤β≤γ B．β≤α≤γ C．β≤γ≤α D．α≤γ≤β 4．P是二面角α­AB­β棱上的一点，分别在平面α，β上引射线PM，PN，若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，则二面角α­AB­β的大小为________． 5．直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1.求： (1)BM与AN所成角的余弦值； (2)BM与平面ABC所成角的正弦值． 6．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点． (1)证明：PB∥平面ACM. (2)证明：AD⊥平面PAC. (3)求直线AM与平面ABCD所成角的余弦值． 7．如图，四边形ABCD是圆柱OO1的轴截面，EF是圆柱的母线，P是线段AD的中点，AB＝4，BC＝6. (1)证明：BF⊥平面EPF. (2)若直线AB与平面EPF所成角为60°，求三棱锥B­EPF的体积． 综合性 8．在四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，∠ABC＝120°，AD＝4，BC＝3，AB＝2，CD＝CE，AP⊥ED. (1)求证：DE⊥平面PEA. (2)已知点F为AB的中点，点P在底面ABCD上的射影为点Q，直线AP与平面ABCD所成角的余弦值为，当三棱锥P­QDE的体积最大时，求异面直线PB与QF所成角的余弦值． 9．(2024·广东深圳校考一模)如图，在圆锥SO中，AB是圆O的直径，且△SAB是边长为4的等边三角形，C，D为圆弧AB的两个三等分点，E是SB的中点． (1)证明：DE∥平面SAC. (2)求平面SAC与平面SBD所成锐二面角的余弦值． 10．如图，三棱台ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，AC⊥BB1，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝6，BC＝4，BB1＝2，AC1与A1C相交于点D，＝2，且DE∥平面BCC1B1. (1)求三棱锥C­A1B1C1的体积． (2)平面A1B1C与平面ABC的夹角为α，CC1与平面A1B1C所成角为β，求证：α＋β＝. 创新性 11．如图，四棱锥P­ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，Q是线段PC上的点(不含端点)．设AQ与BC所成的角为α，AQ与平面ABCD所成的角为β，二面角Q­AB­C的平面角为γ，则(　　) A．α<β<γ B．β<α<γ C．γ<β<α D．β<γ<α 12．(2024·新课标Ⅰ卷)如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝. (1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC. (2)若AD⊥DC，且二面角A­CP­D的正弦值为，求AD. 学科网（北京）股份有限公司 $