学易金卷：高二数学上学期期中模拟卷01（人教A版选择性必修第一册第一章～第三章，全国卷地区适用）

2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷01 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D C C B B A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD BCD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．2 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得；（6分） （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，， 平面，平面， 平面平面， 为等边三角形，， 又平面平面，平面， 平面. ，点为中点， ，且， 又，，， 四边形是平行四边形，， 平面.（7分） （2）由（1）可知平面，平面， ，，两两垂直， 故以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，. ，，. 设平面的法向量， 则即 令，则，，. 设直线与平面的夹角为， 则， 直线与平面夹角的正弦值为.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）根据题意，双曲线的实轴长为，离心率为， 则，解得， 所以双曲线的方程为.（6分） （2）由（1）知，双曲线的方程为， 设，， 联立，化简得， 则，且，， 由为的中点，得，解得，，且满足， 所以直线的方程为.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）在直三棱柱中，连接，使得与交于点， 易知为中点，再连接，则为的中位线图①（如图①）， 于是， 而在平面外，平面， 所以平面．（4分） （2）根据题意可将已知直三棱柱补成如图②直四棱柱， 取中点中点，连接，DF，取中点，连接， 于是有， 与直线所成角等于与所成角，即为所成角， 不妨令， 易得，即为正三角形， 即，进而知与直线所成角等于， 显然点与点重合，故存在点，且点为的中点．（9分） （3）在（2）的题设条件下，两两垂直， 取为空间原点，即，，的正方向依次为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图③所示，即得相关点的坐标， 即依次为，，，，，， 相关向量，，，， 设平面的法向量为，则有 ，取，则得 设平面的法向量为， 则有，取，则得， 设法向量为与法向量为夹角为，则， 事实上平面与平面所成角为锐角， 显然平面与平面的余弦值为，（17分） 19．（17分） 【详解】（1）因为点关于x轴对称，设点P的坐标为， 双曲线的渐近线方程为， 因为点P在双曲线的渐近线上，所以， 所以点的坐标为， 又点在抛物线上，所以，所以， 故抛物线的标准方程为：；（4分） （2）（i）设直线的方程为，联立，消得，， 方程的判别式，即， 设，则①，②， ， ，代入①②得，则， 直线的方程为或；（10分） （ii）设关于轴的对称点为，则直线为， 根据抛物线的对称性，知定点必定在轴上， 令得： 直线过定点.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 … ……………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _ ____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章—第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线的斜率为，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A． B． C． D． 3．双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，且轴.若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 7．已知圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图，，分别是双曲线的左、右焦点，C，A分别是双曲线上第一、二象限的点，若，则四边形的面积的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．圆和圆的交点为A，B，则有（    ） A．公共弦AB所在直线的方程为 B．公共弦AB所在直线的方程为 C．公共弦AB的长为 D．若P为圆上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为 10．下列结论正确的是（    ） A．椭圆的焦点坐标是 B．双曲线的顶点坐标是 C．抛物线的准线方程是 D．双曲线的离心率 11．已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得∥面 B．存在点，使得面 C．若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D．若为面的中心，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为 ． 13．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 14．曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. 16．（15分） 如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 17．（15分） 已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 18．（17分） 如图所示在直三棱柱中，，，M是的中点， (1)求证：平面， (2)试问在棱上是否存在点，使得与与所成角为?若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由， (3)在（2）题设条件下，试求平面与平面所成角的余弦值. 19．（17分） 已知抛物线与双曲线的渐近线在第一､四象限的交点分别为P，，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，关于轴的对称点为. （i）若，求直线的方程. （ii）证明：直线必过定点. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷01 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章—第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线的斜率为，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率（直线的倾斜角）求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率是，所以， 又因为，所以，即直线的倾斜角为． 故选：C 2．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量线性运算原则求解即可. 【详解】由题意，， ， 则， 故选：D. 3．双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据渐近线方程的公式即可求解. 【详解】由双曲线方程可知，又，所以双曲线的渐近线方程为， 故选：C. 4．已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 5．在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成角的向量法求解即可. 【详解】因为直三棱柱，所以底面， 又底面，所以，， 又因为，所以两两垂直， 以为轴建立如图所示坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：B 6．已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，且轴.若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题意，推得点在双曲线左支上，利用题设条件和双曲线定义可求出，借助于勾股定理建立方程，化简得，即可求得离心率. 【详解】因轴，点为上一点，则点在双曲线左支上，则， 因，联立解得， 在中，由勾股定理，，化简得， 则. 故选：B. 7．已知圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得圆心到直线的距离应小于等于，列出不等式即可求解, 【详解】由题意：圆心坐标为，半径为，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于， 所以 ， ，解得 故选：A 8．如图，，分别是双曲线的左、右焦点，C，A分别是双曲线上第一、二象限的点，若，则四边形的面积的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】设，与双曲线的另一个交点分别为B，D，结合对称性可知，设直线CD：，联立方程结合韦达定理可得，换元令，结合二次函数性质求最值. 【详解】如图，设，与双曲线的另一个交点分别为B，D， 连接AD，BC，BD，由对称性易知四边形ABDC为平行四边形，且， 由题意可知：，，则，， 且直线CD的斜率不为0，设直线CD：，，， 联立方程消去x得， 则，可得，， 由图可知，解得， 则， 且点到直线CD的距离，， 可得， 令，，则， 当且仅当时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．圆和圆的交点为A，B，则有（    ） A．公共弦AB所在直线的方程为 B．公共弦AB所在直线的方程为 C．公共弦AB的长为 D．若P为圆上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为 【答案】AD 【分析】两圆的方程作差可知公共弦AB所在直线的方程，由此可判断AB，利用点到直线距离以及半径及勾股定理可以计算公共弦长，从而可以判断C，数形结合找到P到直线AB的距离最大的情况即可判断D. 【详解】由两圆的方程作差可知公共弦AB所在直线的方程为，即；故A正确，B错误， 由， 易知，半径， 则点到直线的距离， 故弦长；故C正确， 当，并在如图所示位置时， P到直线AB的距离最大，为； 故选：AD. 10．下列结论正确的是（    ） A．椭圆的焦点坐标是 B．双曲线的顶点坐标是 C．抛物线的准线方程是 D．双曲线的离心率 【答案】BCD 【分析】由题意，根据椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与性质依次判断选项即可. 【详解】A：在椭圆中，因为，， 则，且焦点在轴上，故A错误； B：在双曲线中，，顶点在y轴上， 所以双曲线的顶点为，故B正确； C：抛物线的准线为，故C正确； D：双曲线中，，则， 所以双曲线的离心率为，故D正确． 故选：BCD． 11．已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得∥面 B．存在点，使得面 C．若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D．若为面的中心，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】A项，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，通过证明∥即可得出结论；B项，求出面的法向量，计算出面时点的坐标，即可得出结论；C项，求出点的轨迹，即可求出点的轨迹长度；D项，作出取最小值时的图，根据对称性和两点之间距离公式即可求出的最小值. 【详解】由题意， 在正方体中，棱长为4， 动点在正方体表面上（不包括边界）， 连接，设的中点为，连接，设两线段交点为，连接， 建立空间直角坐标系如下图所示， ， ∴， ∴∥， ∵面，面， ∴∥面， ∴当点在处时，面， ∴存在点，使得∥面，故A正确； B项，在面中，， 设面的法向量为， 即，解得， 当时，， 若面，则，， ∵动点在正方体表面上， ∴，此时，与重合， ∵点不在边界上，故不存在点，使得面，B错误； C项，因为，与的夹角为， 所以与所成的角为， 则 由几何知识得，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的四分之一（即）， 在中，，，， ∴， ∴点的轨迹长度为：，C正确； D项，为面的中心，作点关于平面的对称点， 连接，当最小时，， ∴，， ∴，D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为 ． 【答案】2 【分析】设所求双曲线方程为，将点代入即可求解. 【详解】设所求双曲线方程为， 将点代入双曲线方程得， 故双曲线方程为，则双曲线的实轴长为2． 故答案为：2. 13．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 【答案】 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】空间向量，，则向量在向量上的投影向量为： . 故答案为： 14．曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为 ． 【答案】 【分析】在曲线上任取一点，求出点关于直线的对称点的坐标，将点的坐标代入曲线的方程，化简可得出曲线的方程. 【详解】在曲线上任取一点，则点关于直线的对称点为， 因为点在曲线上，则有， 即为. 故曲线的方程为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解. 【详解】（1）由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或. 16．（15分） 如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理和性质定理，结合平行线的性质、平行四边形的判定定理和性质进行证明即可； （2）结合（1）的结论建立空间直角坐标系，利用线面角的定义、空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，， 平面，平面， 平面平面， 为等边三角形，， 又平面平面，平面， 平面. ，点为中点， ，且， 又，，， 四边形是平行四边形，， 平面. （2）由（1）可知平面，平面， ，，两两垂直， 故以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，. ，，. 设平面的法向量， 则即 令，则，，. 设直线与平面的夹角为， 则， 直线与平面夹角的正弦值为. 17．（15分） 已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意条件，结合双曲线性质列方程组，联立求解，即可得双曲线的方程； （2）联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式，即可求解. 【详解】（1）根据题意，双曲线的实轴长为，离心率为，则 ，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的方程为， 设，， 联立，化简得， 则，且，， 由为的中点，得，解得，，且满足， 所以直线的方程为. 18．（17分） 如图所示在直三棱柱中，，，M是的中点， (1)求证：平面， (2)试问在棱上是否存在点，使得与与所成角为?若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由， (3)在（2）题设条件下，试求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为的中点 (3) 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为构造中位线，证明线线平行，即连结，使得与交于点，证明； （2）利用补体法，结合线线角的定义，转化为相交线所成角，即可说明； （3）以点为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和的法向量，根据法向量求二面角的夹角的余弦值. 【详解】（1）在直三棱柱中，连接，使得与交于点， 易知为中点，再连接，则为的中位线图①（如图①）， 于是， 而在平面外，平面， 所以平面 （2）根据题意可将已知直三棱柱补成如图②直四棱柱， 取中点中点，连接，DF，取中点，连接， 于是有， 与直线所成角等于与所成角，即为所成角， 不妨令， 易得，即为正三角形， 即，进而知与直线所成角等于， 显然点与点重合，故存在点，且点为的中点， （3）在（2）的题设条件下，两两垂直， 取为空间原点，即，，的正方向依次为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图③所示，即得相关点的坐标， 即依次为，，，，，， 相关向量，，，， 设平面的法向量为，则有 ，取，则得 设平面的法向量为， 则有，取，则得， 设法向量为与法向量为夹角为，则， 事实上平面与平面所成角为锐角， 显然平面与平面的余弦值为， 19．（17分） 已知抛物线与双曲线的渐近线在第一､四象限的交点分别为P，，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，关于轴的对称点为. （i）若，求直线的方程. （ii）证明：直线必过定点. 【答案】(1)； (2)（i）或；（ii）证明见解析. 【分析】（1）设点P的坐标为，根据点在渐近线上列方程求得，再代入抛物线求参数，即可得方程； （2）（i）设直线的方程为，联立抛物线并应用韦达定理，结合的坐标表示列方程得，即可得直线方程；（ii）设关于轴的对称点为，写出直线的方程，根据对称性知定点在必定在轴上，令结合韦达公式化简，即可证. 【详解】（1）因为点关于x轴对称，设点P的坐标为， 双曲线的渐近线方程为， 因为点P在双曲线的渐近线上，所以， 所以点的坐标为， 又点在抛物线上，所以，所以， 故抛物线的标准方程为：； （2）（i）设直线的方程为，联立，消得，， 方程的判别式，即， 设，则①，②， ， ，代入①②得，则， 直线的方程为或； （ii）设关于轴的对称点为，则直线为， 根据抛物线的对称性，知定点必定在轴上， 令得： 直线过定点. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷01 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章—第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线的斜率为，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 3．双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，且轴.若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 7．已知圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图，，分别是双曲线的左、右焦点，C，A分别是双曲线上第一、二象限的点，若，则四边形的面积的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．圆和圆的交点为A，B，则有（    ） A．公共弦AB所在直线的方程为 B．公共弦AB所在直线的方程为 C．公共弦AB的长为 D．若P为圆上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为 10．下列结论正确的是（    ） A．椭圆的焦点坐标是 B．双曲线的顶点坐标是 C．抛物线的准线方程是 D．双曲线的离心率 11．已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得∥面 B．存在点，使得面 C．若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D．若为面的中心，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为 ． 13．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 14．曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. 16．（15分） 如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 17．（15分） 已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 18．（17分） 如图所示在直三棱柱中，，，M是的中点， (1)求证：平面， (2)试问在棱上是否存在点，使得与与所成角为?若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由， (3)在（2）题设条件下，试求平面与平面所成角的余弦值. 19．（17分） 已知抛物线与双曲线的渐近线在第一､四象限的交点分别为P，，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，关于轴的对称点为. （i）若，求直线的方程. （ii）证明：直线必过定点. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷01 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 学 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 口 3[A][B][C][D] 7[AJ[B][C][D] 款 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A[B][C][D] 11[AJ[B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 的1 12 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) D B-- 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) AB C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）