拓展专题01 勾股定理折叠动点和综合性问题（7种类型42道）（高效培优期中专项训练）数学北师大版2024八年级上册

拓展专题01 勾股定理折叠动点和综合性问题 （7种类型42道） 考点01 折叠问题求线段长 考点02 折叠问题求面积 考点03 勾股定理相关综合性问题 考点04 最值问题 考点05 动点求值 考点06 折叠与最值问题综合 考点07 折叠与动点问题综合 考点01 折叠问题求线段长 1．如图，在中，，，，将沿翻折，使点与边上的点重合，则的长是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，现将进行折叠，使顶点重合，则折痕的长为（   ） A． B． C． D．5cm 3．如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 5．如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 6．如图，已知正方形，边长为12．现将正方形沿折叠，使得点折到边上的点，且折痕，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D． 考点02 折叠问题求面积 7．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 8．如图一直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 9．如图，矩形沿对角线折叠，已知长，宽，那么折叠后重合部分的面积是(    ) A． B． C． D． 10．在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，如果设折痕为EF，那么重叠部分△AEF的面积等于（   ）cm2 A． B． C． D． 11．如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿着直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，若AE＝5，BF＝3．则FCD的面积是（　 　）． A．24 B．40 C．48 D．54 12．如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是（   ）． A． B． C． D． 考点03 勾股定理相关综合性问题 13．如图，，点为边上的两点，且，连结，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．如图，在中，，，，平分交于点，过点作于点，连接．则下列结论： ①垂直平分；        ②的周长为8； ③的长是；        ④的面积为． 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，过点作于点，交于点，若，．则下列结论中正确的有：①；②；③；④．（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 16．如图，在中，，，点D为中点，在边上取一点E，连接，过点D作交边于点F，连接．下列结论正确的个数是（     ） ①；② 四边形的面积等于面积的一半；③；④ A．4 B．3 C．2 D．1 17．如图，点P是等边内部一点，连接，且，现将绕点A顺时针旋转到的位置，对于下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．如图，正方形的边长为4，为上的点，，将沿对折至，延长交于．连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 考点04 最值问题 19．如图，中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 20．在四边形中，，，，，在、上分别找一点、，使得的周长最小，求周长的最小值为 21．如图，在中，，，，是的平分线．若点P和Q分别是线段和上的动点，则的最小值是 ． 22．如图，在中，，平分，、分别是、上的动点．若，则的最小值为 ． 23．如图，在四边形中，，，，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则 °，线段的最小值为 ． 24．如图，四边形中，，，，，点是边上一动点，则周长的最小值为 ． 考点05 动点求值 25．如图所示，等腰三角形的底边为，腰长为，一动点P在底边上从点B向点C以的速度移动，请你探究：当P运动 秒时，P点与顶点A的连线与腰垂直． 26．如图，点P是长方形边上的一个动点，从A点开始，沿顺时针运动一周，运动速度是．当运动时间t为或时，点P均满足，则的长为 ． 27．如图，已知，，点为的边上一动点，则当 时，为直角三角形． 28．已知：中，，于．点为射线上一动点，若为等腰三角形，的值为 ． 29．如图，在中，，为射线上一动点，连接，将沿对折，已知点的对应点为点，，．当点落在直线上时，线段的长为 ． 30．如图，在中，，，，D是的中点，E是边上一动点．将沿折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为 ． 考点06 折叠与最值问题综合 31．如图，在中，，，，D，E分别是，边上的点．把沿直线折叠，若B落在边上的点处，则最小值是 ，最大值是 32．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，点E是AD的中点，点F是AB上一动点，将AEF沿直线EF折叠，点A落在处，则的最小值是 ． 33．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，M是AD的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△，连接，则的最小值是 ． 34．如图，在中，，点为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点，则的最大值为 ． 35．如图，菱形ABCD中，对角线长AC、BD的长分别为4、4，点P、Q分别在边AB、BC上运动，连接PQ，将△BQP沿着PQ翻折得到△B'QP，若点B的对称点B'恰好落在边AD上，则AB的长为 ，CQ长的最大值为 ． 36．如图，矩形中，，，P，Q分别是上的两个动点，，沿EQ翻折形成，连接，则的最小值是 ． 考点07 折叠与动点问题综合 37．如图，在长方形中，，，点为边上的一个动点，把沿折叠，若点的对应点刚好落在边上，则的长为 ． 38．如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 39．如图，在中，，，，D为斜边上的一动点（不包含A，B两端点），将沿折叠，点A落在点处，与相交于点E，若，则的长为 ．    40．如图，在矩形中， ，，为边上一点，，为边上一动点，连接、，将沿折叠，点的对应点为点，当落在边上时，的长为 ． 41．在矩形中，，点为线段上的动点，将沿折叠，使点落在点处，当点落在矩形对角线上时，则的长为 ． 42．如图，在中，，点E、F分别是上的动点，沿所在直线折叠，使点B落在上的点处，当是直角三角形时，的长为 ．    1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题01 勾股定理折叠动点和综合性问题 （7种类型42道） 考点01 折叠问题求线段长 考点02 折叠问题求面积 考点03 勾股定理相关综合性问题 考点04 最值问题 考点05 动点求值 考点06 折叠与最值问题综合 考点07 折叠与动点问题综合 考点01 折叠问题求线段长 1．如图，在中，，，，将沿翻折，使点与边上的点重合，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，，，， ， 将沿翻折，使点与边上的点重合， ，，， ， 设， ， 在中，， ，解得， 即， 在中，． 故选：A． 2．如图，在中，，现将进行折叠，使顶点重合，则折痕的长为（   ） A． B． C． D．5cm 【答案】C 【详解】解：，，， ， ． 由折叠的性质可得，． 设，则，． 在中，， ，解得， 即， ， ． 故选C． 3．如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，图形的翻折变换，掌握相关知识点是解题的关键． 先在中由勾股定理求出，再利用翻折的性质求出，再求的长． 【详解】在中，，，， ， 由翻折的性质知，， ． 故选：B． 4．如图，在中，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点D为的中点， ， 由折叠的性质可得， 设，则， 由勾股定理得， ， 解得：， ， 故选：D． 5．如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理和翻折的性质即可求解． 【详解】解：点是边的中点， ， 由翻折的性质得，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故选：A． 6．如图，已知正方形，边长为12．现将正方形沿折叠，使得点折到边上的点，且折痕，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点N作，垂足为H， ∵正方形纸片的边长为， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵对称轴的性质可得知， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 设，由翻折的性质可知，则. 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：． ∴． 故选：D． 考点02 折叠问题求面积 7．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：B． 8．如图一直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解决问题的关键．首先由勾股定理求得，然后由翻折的性质求得，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，，， ． 由折叠的性质可知：，，， ，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ∴． 故选：B． 9．如图，矩形沿对角线折叠，已知长，宽，那么折叠后重合部分的面积是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质易得，那么可用表示出，利用的三边关系即可求得长，然后三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解决此类问题，应利用折叠找到相应的直角三角形，利用勾股定理求得所需线段长度． 10．在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，如果设折痕为EF，那么重叠部分△AEF的面积等于（   ）cm2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形及折叠的性质可得AE=AF，再由勾股定理可求得AE的长，从而可求得重叠部分的面积． 【详解】∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC ∴∠AFE=∠FEC 由折叠的性质知：∠AEF=∠FEC，AE=CE ∴∠AFE=∠AEF ∴AE=AF 设BE=xcm，则AE=CE=(4-x)cm 在Rt△ABE中，由勾股定理得： 解得： ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形与折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，运用勾股定理建立方程求得AE的长是解题的关键． 11．如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿着直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，若AE＝5，BF＝3．则FCD的面积是（　 　）． A．24 B．40 C．48 D．54 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可得AD=DF，设CF=x，则DF=AD=BC=BF+CF=3+x，然后利用勾股定理列出方程求出x值，进而可以求出△CDF的面积． 【详解】解：由折叠的性质得，EF=AE=5，AD=DF， 在长方形ABCD中，∠B=90°， 在RtBEF中，由勾股定理得， BE=＝4， ∴AB=AE+BE=9， 折叠的性质得，AD=DF， 在长方形ABCD中，∠C=90°，BC=AD，CD=AB=9， 设CF=x，则DF=AD=BC=BF+CF=3+x， 在RtCDF中，由勾股定理得，， ∴， ∴x=12， ∴CDF的面积． 故选：D． 12．如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据面积求出BF、AF、CF，设DE为x，列方程求出即可． 【详解】解：ABCD是长方形纸片， ∴AB=CD=3， ， ∴， ∴BF=4， ∴AF=， ∴AF=AD=BC=5，CF=1， 设DE为x，EF=DE=x，EC=3-x， x2=(3-x)2+1， 解得，x= ， ∴， 故选：B． 考点03 勾股定理相关综合性问题 13．如图，，点为边上的两点，且，连结，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键． 利用已知条件证明三角形全等从而得出边和角的关系是解题的关键，再利用三角形的性质判断各个结论的正确性即可． 【详解】解： ，， ， 在与中， ， ，故①正确； ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 在中，， ，故③正确； ， ， ， ， 在中，， ， ，故④正确； 由题干条件无法证明出， 综上所述，其中正确的有①③④，共3个． 故选C． 14．如图，在中，，，，平分交于点，过点作于点，连接．则下列结论： ①垂直平分；        ②的周长为8； ③的长是；        ④的面积为． 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形面积，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．根据角平分线的定义和垂线的定义，易证，可判断①结论；由勾股定理求出，再结合全等三角形的性质，可判断②结论；设，利用勾股定理解方程，可判断③结论；根据等高三角形面积之比等于高所在的边之比，可判断④结论． 【详解】解：平分 ， ， ， 又， ， ，， 垂直平分，①结论正确； 在中，，，， ， ， ，， ， 的周长，②结论正确； 设，则 在中，， ， 解得：， 的长是，③结论正确； 在中，，，， ， 和是等高三角形， ， ，④结论正确， 故选：D． 15．如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，过点作于点，交于点，若，．则下列结论中正确的有：①；②；③；④．（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形的面积公式和勾股定理进行计算是解决问题的关键．①根据角平分线性质即可对结论①进行判断； ②根据，，得，根据平分，得，进而得，再根据，得，由此可对结论②进行判断； ③先由勾股定理求出，证明，得，进而得，设，则，在中，由勾股定理得，继而得，由此可对结论③进行判断；④过点G作于点H，根据角平分线性质得，由三角形面积公式得，再由三角形的面积公式求出，进而由勾股定理求出，继而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵平分，，， ∴，故结论①正确； ②在中，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴，故结论②正确； ③在中，，，， 由勾股定理得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴，故结论③错误； ④过点G作于点H，如图所示： ∵点G是平分线上的点，， ∴， ∴，， ∴， 由三角形的面积公式得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②④． 故选：C． 16．如图，在中，，，点D为中点，在边上取一点E，连接，过点D作交边于点F，连接．下列结论正确的个数是（     ） ①；② 四边形的面积等于面积的一半；③；④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识．由，，得，，则，而，即可证明，得，可判断①正确；由，可推导出，可判断②正确；因为，所以，可判断③正确；由，，可推导出，而，则，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，为的中点， ，， ， ， ， ，， ， ， ，故①正确； ，故②正确； ， ， ， ，故③正确； ，， ， ， ， ，故④错误， 故选：B． 17．如图，点P是等边内部一点，连接，且，现将绕点A顺时针旋转到的位置，对于下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由题意知旋转角，可得是等边三角形；由知，可得与不全等；由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，有；推出，，再根据三角形内角和定理可得；进而可得正确答案． 【详解】解：由题意知旋转角， ∴是等边三角形，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴与不全等，故②错误； ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴ ，故④正确； 综上，正确的有①③④． 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的逆应用，三角形的内角和定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． 18．如图，正方形的边长为4，为上的点，，将沿对折至，延长交于．连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①正确，根据进行证明即可； ②正确．利用全等三角形的性质解决问题即可； ③错误，在中，利用勾股定理求出，即可解决问题； ④正确，根据计算即可． 【详解】解：①四边形是正方形， ，， 由翻折可知：，，， ，， 在和中， ， ，故①正确， ②， ， ，， ，故②正确， ③， ， ，， ，， 在中，，，， 根据勾股定理，得， 即， 解得， ， ， ．故③错误． ④∵，， ∴， 又∵，， ， ∴，故④正确． 所以其中正确的是①②④，一共3个． 故选：C． 考点04 最值问题 19．如图，中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】7 【详解】解：垂直平分， 关于对称， 如图，连接， ， ， ∴当P和D重合时，的值最小， 此时，， 在中，，，， ， 周长的最小值是． 故答案为：7． 20．在四边形中，，，，，在、上分别找一点、，使得的周长最小，求周长的最小值为 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，与、分别交于点、，则此时的周长最小， ， 由轴对称的性质可得，，， ∴的周长， ∵两点之间线段最短， ∴此时的周长最小，为， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 21．如图，在中，，，，是的平分线．若点P和Q分别是线段和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图：作关于直线的对称点，过C作于F， ∵是的平分线 ∴点在直线上， ∵点和点关于直线AD对称， ∴， ∴， 点随着点的运动而运动，当且仅当点和点F重合时有最小值， 在中，，，， ∴，即， ∴， ∴的最小值，即的最小值． 故答案为：． 22．如图，在中，，平分，、分别是、上的动点．若，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，解答中涉及两点之间线段最短，垂线段最短，能够根据相关知识得到的最小值为的长是解题的关键． 在上取一点，使，连接，过点B作于点H，可推出的最小值为的长，再根据面积求出的长即可解决问题． 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，过点B作于点H， ∵平分， ∴点与点E关于直线对称， ∴， ∴， 即的最小值为的长， ∵，， ∴， 解得， ∴的最小值为8， 故答案为：8． 23．如图，在四边形中，，，，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则 °，线段的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了勾股定理、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 求出，由三角形内角和定理得到，取的中点，连接、，由直角三角形斜边中线的性质得到，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得，即可得到的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接、， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由三角形三边关系定理得到：． 故答案为： ． 24．如图，四边形中，，，，，点是边上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】18 【分析】本题考查轴对称最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 如图，作点关于的对称点，连接证明，再计算周长即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接 ，， ， ， ， 垂直平分线段， ， ， 的最小值为， 的周长最小值为． 考点05 动点求值 25．如图所示，等腰三角形的底边为，腰长为，一动点P在底边上从点B向点C以的速度移动，请你探究：当P运动 秒时，P点与顶点A的连线与腰垂直． 【答案】7或25 【详解】解：∵点P从点B向点C以的速度移动，设运动的时间为t秒， ∴运动的路程， ∵P点与顶点A的连线与腰垂直， ∴有以下两种情况： ①当时，过点A作于D，如图1所示： ∴等腰三角形的底边为，腰长为， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 解得：， ∴当点P运动7秒时，． ②当时，过点A作于D，如图2所示： 由①可知：，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 解得：， ∴当点P运动25秒时，． 综上所述：当P运动7或25秒时，P点与顶点A的连线与腰垂直， 故答案为：7或25． 26．如图，点P是长方形边上的一个动点，从A点开始，沿顺时针运动一周，运动速度是．当运动时间t为或时，点P均满足，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 利用“到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上”，确定点位置，再证明，得，运用勾股定理列式，代入数值得，求解得出的长度． 【详解】解：∵， ∴点在的垂直平分线上， 连接 则长方形中的垂直平分线是过、交点, 依题意，运动时间时，在上，； 依题意时，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 在中，， 即， ∴， 解得． 故答案为：12． 27．如图，已知，，点为的边上一动点，则当 时，为直角三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的动点问题，解题关键是掌握勾股定理． 分为直角边或斜边来讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：若为三角形的直角边，则为该三角形的斜边； ∵， ∴， ∴， 设， ，， ，解得：（负值舍去）， ∴； 若为斜边，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ，解得：（负值舍去）， 综上所述，或， 故答案为：或． 28．已知：中，，于．点为射线上一动点，若为等腰三角形，的值为 ． 【答案】或或． 【分析】本题考查了勾股定理和等腰三角形的性质，分三种情况讨论是解决问题的关键，一定不要忘记讨论某一种情况，围绕三个顶点、三条边分别讨论即可． 分三种情况讨论，分别为或或，应用等角对等边和勾股定理即可求解． 【详解】∵为等腰三角形， ∴分三种情况： ①若，则， ②若， 过点D作于点E，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴， ③若PD＝PB，如图2所示： ∵， ∴， ∵， ∴且， ∴ ∴， ∴ ∴， 综上所述：当为等腰三角形时，或或． 故答案为：或或． 29．如图，在中，，为射线上一动点，连接，将沿对折，已知点的对应点为点，，．当点落在直线上时，线段的长为 ． 【答案】或6 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．利用勾股定理求出的长，然后分两种情况：当点P在线段上时，当点P在线段的延长线上时，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 如图，当点P在线段上时， 由折叠的性质得：， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即； 如图，当点P在线段的延长线上时， 由折叠的性质得：， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的长为或6． 故答案为：或6． 30．如图，在中，，，，D是的中点，E是边上一动点．将沿折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或6/6或3 【分析】此题考查翻折变换(折叠问题)，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形：当时，当时，由直角三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：如图，当时， ∵， ∴， ∴点共线， ∵，， ∴， 设，则， 在中，则有， 解得：， ∴． 如图，当时，，    ∵， ∴， ∴； 综上所述，满足条件的的值为3或6． 故答案为：3或6． 考点06 折叠与最值问题综合 31．如图，在中，，，，D，E分别是，边上的点．把沿直线折叠，若B落在边上的点处，则最小值是 ，最大值是 【答案】 【分析】此题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 本题分点与点重合，此时的值最大，点与点重合，此时的值最小，求出两个极值即可． 【详解】解：作交的延长线于点， ∴，如图1： 点与点重合，此时的值最大， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， 点与点重合，此时的值最小，如图2： ∵点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上所述，最小值是，最大值是， 故答案为：，； 32．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，点E是AD的中点，点F是AB上一动点，将AEF沿直线EF折叠，点A落在处，则的最小值是 ． 【答案】4﹣4 【分析】根据勾股定理求出，利用折叠的性质，根据三角形三边关系和角的和差关系即可出的最小值． 【详解】解：如图，连接CE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝12，AD＝BC＝8， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE＝＝4， ∴CE＝＝4， ， ， 故答案为：4﹣4． 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 33．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，M是AD的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据矩形折叠的性质得到，确定出当点在线段MC上时，有最小值，利用勾股定理计算即可； 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∵M是AD的中点， ∴， ∵将△AMN沿MN所在直线折叠， ∴， ∴点在以点M为圆心，AM为半径的圆上， ∴如图，当点在线段MC上时，有最小值， ∵， ∴的最小值； 故答案是． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和翻转折叠的知识点，准确计算是解题的关键． 34．如图，在中，，点为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了折叠问题：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应 角相等，也考查了等腰三角形的性质，勾股定理．过A点作于H点，如图，先根据等腰三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，接着根据折叠的性质得到，所以，从而可判断最短时，最大，根据垂线段最短，此时，然后利用 面积法求出此时的长，从而得到的最大值． 【详解】解：过A点作于H点，如图， ∵， ∴， 在中， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， ∴， ∴当最短时，最大， 此时， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：6． 35．如图，菱形ABCD中，对角线长AC、BD的长分别为4、4，点P、Q分别在边AB、BC上运动，连接PQ，将△BQP沿着PQ翻折得到△B'QP，若点B的对称点B'恰好落在边AD上，则AB的长为 ，CQ长的最大值为 ． 【答案】 4 【分析】设AC与BD交于点O，过点A作AH⊥BC，垂足为H，由折叠得：，则点时，最小，即BQ最小，则CQ最大，根据菱形的性质，以及勾股定理即可解决本题． 【详解】解：设AC与BD交于点O，过点A作AH⊥BC，垂足为H， 由折叠得：， ∴点时，最小，即BQ最小，则CQ最大， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AB⊥BD，AB=BC，，， ∴， ∴AB=BC=AC=4， ∴△ABC是等边三角形， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∴∠BAH=90°－∠ABH=30°， ∴，， ∵AD∥BC，AH⊥BC，， ∴， ∴CQ的最大值=， 故答案为：4，． 【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解决本题的关键． 36．如图，矩形中，，，P，Q分别是上的两个动点，，沿EQ翻折形成，连接，则的最小值是 ． 【答案】4 【分析】如图作点D关于的对称点，连接，由，推出，又是定值，即可推出当E、F、P、共线时，定值最小，最小值． 【详解】解：如图作点D关于的对称点，连接， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∵是定值， ∴当E、F、P、共线时，定值最小，最小值， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题． 考点07 折叠与动点问题综合 37．如图，在长方形中，，，点为边上的一个动点，把沿折叠，若点的对应点刚好落在边上，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质，由折叠的性质可得：，，计算出，，设，则，由勾股定理可得，，求出的值即可，熟练掌握勾股定理以及折叠的性质是解此题的关键． 【详解】解：在长方形中，，， ，，， 由折叠的性质可得：，， ， ， 设，则， 由勾股定理可得， ， 解得：， ， 故答案为：． 38．如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．熟练掌握翻折的性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 分三种情形，当或或时，画出图形来解答． 【详解】解：当时， ∵将沿折叠到， ． ． ∴点A、、三点共线． ∵，D是的中点， ∴， ， ∴． ∴． 设，则． ∵在中，， ∴． 解得． ． 当时，， ∵， ． ． 当时， ∵， ∴当时，四边形是矩形． ∴． 但， ∴矛盾． ∴不可能为． 综上，或． 故答案为：3或． 39．如图，在中，，，，D为斜边上的一动点（不包含A，B两端点），将沿折叠，点A落在点处，与相交于点E，若，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用．利用平行线的性质以及折叠的性质，即可得到，即，再根据勾股定理可得，最后利用面积法得出，可得，进而依据，即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得，， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 40．如图，在矩形中， ，，为边上一点，，为边上一动点，连接、，将沿折叠，点的对应点为点，当落在边上时，的长为 ． 【答案】/ 【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理是解题的关键．由折叠的性质可得，,再由勾股定理求得，得,最后由列方程求解即可． 【详解】在矩形中， ，，， ，，，, 将沿折叠，点的对应点为点， ，, 在中，， ∴, ，且 ∴. 解得. 故答案为： 41．在矩形中，，点为线段上的动点，将沿折叠，使点落在点处，当点落在矩形对角线上时，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理．熟练掌握矩形与折叠的性质是解题的关键． 由折叠的性质得出，，，得出，，设，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：∵矩形 ∴ 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质得：，，， ，， 设， 则， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：， 的长为3． 故答案为：3． 42．如图，在中，，点E、F分别是上的动点，沿所在直线折叠，使点B落在上的点处，当是直角三角形时，的长为 ．    【答案】或 【分析】利用直角三角形的性质得到，由折叠的性质推出，然后分两种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质知：，是线段的垂直平分线， 在中，，    取的中点G，连接，则， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 当时，是直角三角形，如图：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； 当时，是直角三角形，如图：    ∵， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， 解得：，即， ∴， 综上，当是直角三角形时，的长为或． 故答案为：或． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $