专题02简单几何体 （8大题型）（期中专项训练）高二数学上学期沪教版

专题02简单几何体 题型1 几何体的结构特征与有关计算（常考点） 题型5 锥体表面积有关计算（常考点） 题型2 柱体体积有关计算（重点） 题型6 组合体的表面积与体积 题型3 柱体表面积有关计算（重点） 题型7 多面体与球体内切外接问题（难点） 题型4 锥体体积有关计算（重点） 题型8 简单几何体综合应用（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 几何体的结构特征与有关计算（共4小题） 1．（24-25高二上·上海·期中）木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面上过点画直线，则与直线的位置关系是（   ）. A．平行 B．相交 C．异面 D．重合 2．（24-25高二上·上海宝山·期中）若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为 ． 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    4．（24-25高二上·上海·期中）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则 题型二 柱体体积有关计算（共3小题） 5．（23-24高二上·上海奉贤·期中）一张A4纸的规格为：，把它作为一个圆柱的侧面．则卷成的圆柱体体积为 ．（结果精确到） 6．（23-24高二上·上海虹口·期中）如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，，圆O的直径，圆柱的高． (1)求圆柱的体积； (2)求点A到平面的距离． 7．（22-23高二上·上海静安·期中）我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：“阳马”是指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示，在堑堵中，若， . (1)求证：四棱锥为阳马； (2)若直线与平面所成的角为时，求该堑堵的体积； (3)当阳马的体积最大时，求点到平面的距离. 题型三 柱体表面积有关计算（共3小题） 8．（24-25高二上·上海·期中）底面半径为2，高为2的圆柱的侧面积为 .（结果保留） 9．（24-25高二上·上海·期中）若圆柱的底面半径为，高为，若，则圆柱侧面积的最大值为 . 10．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱柱中，，，，点在底面的射影为的中点，点为的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线和夹角的大小； (3)设点为底面内（包括边界）的动点，且平面，若点的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 题型四 锥体体积有关计算（共8小题） 11．（24-25高二上·上海·期中）已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D．3 12．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为．则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，，，，分别为，的中点，点在矩形内运动（包括边界），若平面，则取最小值时，三棱锥的体积为 .    14．（24-25高二上·上海·期中）如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为． (1)若，求水的体积； (2)若水的体积为水杯体积的一半，求．（精确到0.01） 15．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积. 16．（24-25高二上·上海静安·期中）已知在正四棱柱中，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)求三棱锥的体积. 17．（24-25高二上·上海·期中）已知四棱锥的底面为平行四边形. (1)若交于平面，判断是否为菱形，并说明理由； (2)在射线上有点（均与不重合），三棱锥和的体积分别为和，求证：； (3)设为中点，过的平面分别与棱交于点，设四棱锥和的体积分别为，求的最小值. 18．（24-25高二上·上海静安·期中）已知四棱柱中，底面为梯形，，⊥平面，，其中，．是上的一动点，是上的一动点． (1)当的长是多少时，平面⊥平面，请说明理由； (2)当是的中点时，求点到平面的距离； (3)若是的中点，且平面时，求三棱锥的体积． 题型五 锥体表面积有关计算（共5小题） 19．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的底面积与侧面积之比为，则其轴截面顶角的正弦值为 . 20．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为 . 21．（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图所示，绕直角边所在直线旋转一周形成一个圆锥，已知在空间直角坐标系中，点和点均在圆锥的母线上，则圆锥的表面积为 ． 22．（24-25高二上·上海·期中）如图所示，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴AO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧 的中点，点P为母线SA的中点. (1)求此圆锥的表面积； (2)求异面直线PQ与SO所成角的大小； (3)一只蚂蚁从Q点沿着圆锥的侧表面爬至P点，请计算该蚂蚁行程的最小值(精确到0.01m) 23．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在正四棱锥中，，.    (1)求四棱锥的表面积； (2)求二面角的大小.（结果用反三角表示） 题型六 组合体的表面积与体积（共3小题） 24．（23-24高二上·上海闵行·期中）将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为的正六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（    ）    A． B．864 C．576 D． 25．（24-25高二上·上海静安·期中）如图所示，一种机器零件由两部分组成，下部分是实心的正六棱柱，上部分是实心的圆柱（尺寸单位：）电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11千克，则电镀10000个这种零件需要锌 千克.（结果精确到0.01）      26．（22-23高二上·上海杨浦·期中）如图在四面体ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，△DBC为直角三角形，其中D为直角顶点，．E、F、G、H分别是线段AB、AC、CD、DB上的动点，且四边形EFGH为平行四边形． (1)求证：BC∥平面EFGH (2)试探究当二面角从0°增加到90°的过程中，线段DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域的面积； (3)设（），且△ACD是以CD为底的等腰三角形，当为何值时，多面体ADEFGH的体积恰好为? 题型七 多面体与球体内切外接问题（共6小题） 27．（24-25高二上·上海·期中）已知矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的体积为 . 28．（24-25高二上·上海·期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 . 29．（24-25高二上·上海徐汇·期中）正四棱柱的底面边长为1，若直线与底面所成的角的大小为，则正四棱柱的外接球表面积为 ． 30．（24-25高二上·上海·期中）防蝇罩是我国南方城市家庭中普遍使用的餐桌用品，可以使饭菜不受苍蝇的污染，某家庭预计购买一个防蝇罩，要求防蝇罩可以将摆放在桌面上四只等大的、直径为的碗完全罩住（防蝇罩与碗皆可视为半球且厚度忽略不计，且碗正放在桌上），则防蝇罩与桌面接触处半径至少为 .（结果取整数） 31．（24-25高二上·上海·期中）设A，B，C，D是半径为1的球面上的四个不同点，且AB，AC，AD两两互相垂直，用，，分别表示，，的面积，则的最大值是 ． 32．（24-25高二上·上海静安·期中）如图1所示的是等腰梯形，，，，DE⊥AB于E点，现将沿直线DE折起到的位置，形成一个四棱锥，如图2所示． (1)若，求证：PE⊥平面； (2)在（1）的条件下，若点P，E，C，D四点在一个球的球面上，求此球的表面积与体积； (3)若直线PE与平面所成的角为，求二面角的大小． 题型八 简单几何体综合应用（共12小题） 33．（24-25高二上·上海·期中）设A、B为夹在两个平行平面间的两个几何体，p：A、B的体积相等，q：A、B在同一高处的截面面积总相等，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 34．（24-25高二上·上海静安·期中）已知三角形ABC中AB＝3，BC＝4，AC＝5，点P在△ABC内部．假设对于任意点P，满足PQ≤1的点Q都在几何体T内，且对于几何体T内任意一点Q，都存在点P，满足PQ≤1，则几何体T的体积为（　　） A．12+7π B． C．14+7π D． 35．（24-25高二上·上海宝山·期中）已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为 ． 36．（24-25高二上·上海·期中）如图，半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱侧面积之和为 ． 37．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为 .    38．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在长方体中，，，.    (1)求证：； (2)若该长方体沿着截面去掉三棱锥，求剩下的多面体的体积. 39．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴的截面是等边三角形，点半圆弧的中点，点为母线的中点. (1)求此圆锥的表面积与体积； (2)求直线与底面圆所成角的大小. 40．（23-24高二上·上海·期中）某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6cm，圆柱筒长4cm． (1)这种“浮球”的体积是多少cm3？（结果精确到0.1） (2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克？（结果精确到个位）． 41．（24-25高二上·上海松江·期中）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上.    (1)若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积； (2)规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？ 42．（24-25高二上·上海·期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度. (1)求球的体积； (2)正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称为“劣球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积. 43．（24-25高二上·上海·期中）在矩形中，. (1)将矩形绕直线旋转一周，求所得几何体的表面积； (2)将矩形绕直线旋转一周，求所得几何体的体积. 44．（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图1，在中，，，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点为旋转过程中形成的圆的圆心，为圆上任意一点． (1)求新的几何体的体积； (2)记与底面所成角为，求的取值范围． $专题02简单几何体 题型1 几何体的结构特征与有关计算（常考点） 题型5 锥体表面积有关计算（常考点） 题型2 柱体体积有关计算（重点） 题型6 组合体的表面积与体积 题型3 柱体表面积有关计算（重点） 题型7 多面体与球体内切外接问题（难点） 题型4 锥体体积有关计算（重点） 题型8 简单几何体综合应用（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 几何体的结构特征与有关计算（共4小题） 1．（24-25高二上·上海·期中）木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面上过点画直线，则与直线的位置关系是（   ）. A．平行 B．相交 C．异面 D．重合 【答案】B 【详解】在四棱台中，侧棱、、、的延长线交于一点，令此点为，    由，平面，得平面，同理平面， 而平面，平面，则平面平面， 即直线为所求作的直线，所以直线与直线相交， 故选：B. 2．（24-25高二上·上海宝山·期中）若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为 ． 【答案】 【详解】设所截圆面的半径为， 由题意可知，，解得， 所以截面圆的面积为， 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ．    【答案】 【详解】如图，圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧长， 则， 则. 故答案为：.    4．（24-25高二上·上海·期中）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则 【答案】 【详解】如图：    正四棱锥和正三棱锥组成了一个三棱柱，设正三棱锥和正四棱锥的棱长均为，    连接相交于点，在正四棱锥中平面，∴， 取中点，连接，取的三等分点，连接，在正三棱锥中平面，∴， 在三棱柱中，∵平面，平面，平面，∴， 在正方形中，，∴， 在正三角形中，，则，则， ∴. 故答案为：. 题型二 柱体体积有关计算（共3小题） 5．（23-24高二上·上海奉贤·期中）一张A4纸的规格为：，把它作为一个圆柱的侧面．则卷成的圆柱体体积为 ．（结果精确到） 【答案】或 【详解】①如果以的边为高，，， 此时圆柱体的体积为. ②如果以的边为高，，， 此时圆柱体的体积为. 故答案为：或. 6．（23-24高二上·上海虹口·期中）如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，，圆O的直径，圆柱的高． (1)求圆柱的体积； (2)求点A到平面的距离． 【详解】（1）由已知可得，圆柱的底面半径，圆柱的高， 圆柱体积为：； （2）设点到平面的距离为， 在等腰中，由，则， 为直径，， 在中，， 则， 由底面，底面,所以， 又，平面，所以平面， 平面， 故， ， ， 由等体积法，得， 解得：． 即点到平面的距离为． 7．（22-23高二上·上海静安·期中）我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：“阳马”是指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示，在堑堵中，若， . (1)求证：四棱锥为阳马； (2)若直线与平面所成的角为时，求该堑堵的体积； (3)当阳马的体积最大时，求点到平面的距离. 【详解】（1）证明：由题意在堑堵中，底面， 由底面，底面， 所以 在三棱柱中，四边形为平行四边形， 所以四边形为平行四边形为矩形， 又，， 所以平面， 所以根据题意得：四棱锥为阳马. （2）由（1）知平面， 所以斜线在平面的射影为， 所以直线与平面所成的角为， 在中，， 所以 在中，， 所以， 又，所以在中， ， 所以堑堵的体积为： . （3）过作交于点，如图所示： 由平面，平面， 所以，又， 所以平面， 所以为点到平面的距离， 由， 因为， 当且仅当时， 阳马的体积最大且为， 在中，, 由等面积法得：， 即， 所以当阳马的体积最大时，点到平面的距离为. 题型三 柱体表面积有关计算（共3小题） 8．（24-25高二上·上海·期中）底面半径为2，高为2的圆柱的侧面积为 .（结果保留） 【答案】 【详解】圆柱侧面展开图为矩形，长为圆柱底面圆周长，宽为圆柱的高. 故圆柱的侧面积为. 故答案为：. 9．（24-25高二上·上海·期中）若圆柱的底面半径为，高为，若，则圆柱侧面积的最大值为 . 【答案】 【详解】由题意可知：圆柱的母线长度为， 侧面积， 当且仅当，即时取等号， 所以侧面积的最大值为， 故答案为：. 10．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱柱中，，，，点在底面的射影为的中点，点为的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线和夹角的大小； (3)设点为底面内（包括边界）的动点，且平面，若点的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 【详解】（1）在三棱柱中，连接， 由，O为的中点，得， 又平面，且平面，则，， 由，平面，得平面， 在中，分别为的中点，则，， 而，，则，， 即四边形为平行四边形，则， 所以平面. （2）在三棱柱中，， 由（1）知，，则， 所以异面直线和夹角的大小为. （3）连接， 由（1）可知：，且平面，平面，则平面， 在平行四边形中，分别为的中点，则，， 四边形为平行四边形，，且平面，平面， 于是平面，且，平面，所以平面平面， 且平面平面，则点P的轨迹为线段，即， 由，，为的中点，得， ，且为矩形，则， 在中，，则边上的高， 可得， 所以三棱柱的侧面积. 题型四 锥体体积有关计算（共8小题） 11．（24-25高二上·上海·期中）已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】设圆锥的底面半径为，因为圆锥的轴截面为正三角形， 所以圆锥的高为，因为圆锥的体积为， 所以，解得， 故圆锥的高为，故A正确. 故选：A 12．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为．则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为， ，解得：，， 圆锥体积. 故选：C. 13．（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，，，，分别为，的中点，点在矩形内运动（包括边界），若平面，则取最小值时，三棱锥的体积为 .    【答案】1 【详解】在长方体中，取的中点E，的中点F，连接EF，，，    而分别为的中点，则， 由，得四边形为平行四边形，， 又平面，平面，则平面，同理平面AMN， 又平面，因此平面平面，又平面AMN， 则平面，即点在平面与平面的交线EF上， 当时，取最小值，又，则当取最小值时，P为EF的中点， 此时的面积， 三棱锥的体积. 故答案为：1 14．（24-25高二上·上海·期中）如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为． (1)若，求水的体积； (2)若水的体积为水杯体积的一半，求．（精确到0.01） 【详解】（1）设水形成的圆锥底面半径为， 如图，由相似性可知，则， ； 故水的体积为. （2）由相似性可得，则， ， 化简得，解得. 故约为. 15．（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积. 【详解】（1） 因为，故或其补角为异面直线与所成角的余弦值， 因为平面平面，所以， 而，，故， 故异面直线所成的角为. （2）. 16．（24-25高二上·上海静安·期中）已知在正四棱柱中，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)求三棱锥的体积. 【详解】（1）连接，交于点，则为的中点， 又因为为的中点，连接，则， 平面，平面， 平面； （2）由（1）知，， 所以为异面直线与所成角或其补角， 在中，，， 由余弦定理，得， 故异面直线与所成角为； （3）因为正方形，所以，且，， 又在正四棱柱中，平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 所以. 17．（24-25高二上·上海·期中）已知四棱锥的底面为平行四边形. (1)若交于平面，判断是否为菱形，并说明理由； (2)在射线上有点（均与不重合），三棱锥和的体积分别为和，求证：； (3)设为中点，过的平面分别与棱交于点，设四棱锥和的体积分别为，求的最小值. 【详解】（1）由于平面平面故, 又，平面， 故平面，又平面，故, 因此，结合四边形为平行四边形， 故四边形为菱形， （2）， 其中,分别表示点到平面的距离， 根据相似可得, 故 （3）设, 故, 同理, 由于底面为平行四边形，故， 故 ， , , , 由于共面，所以存在，使得， 故 ， 因此，化简可得，进而， 因此， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为， 18．（24-25高二上·上海静安·期中）已知四棱柱中，底面为梯形，，⊥平面，，其中，．是上的一动点，是上的一动点． (1)当的长是多少时，平面⊥平面，请说明理由； (2)当是的中点时，求点到平面的距离； (3)若是的中点，且平面时，求三棱锥的体积． 【详解】（1）当时，平面⊥平面，理由如下： 由题意知，两两垂直，故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设，则， 设平面的法向量为， 则， 取，则，所以， 易知平面的一个法向量为， 因为平面⊥平面，所以， 即， 所以当时，平面⊥平面． （2）当是的中点时，，即， 所以平面的法向量为，而， 所以点B到平面的距离为. （3）当是的中点时，，平面的法向量为， 设，，所以， 因为平面，所以， 解得，即点N是的中点， 所以，， 所以点到平面的距离， 因为，所以，，， 所以的面积， 所以三棱锥的体积． 题型五 锥体表面积有关计算（共5小题） 19．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的底面积与侧面积之比为，则其轴截面顶角的正弦值为 . 【答案】 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，轴截面顶角为， 圆锥的底面积与侧面积之比为，，即， ，，， . 故答案为：. 20．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为 . 【答案】 【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，则底面圆周长为，解得； 所以圆锥侧面展开图的圆心角为，解得； 所以该圆锥的高为． 故答案为：． 21．（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图所示，绕直角边所在直线旋转一周形成一个圆锥，已知在空间直角坐标系中，点和点均在圆锥的母线上，则圆锥的表面积为 ． 【答案】 【详解】由题意可得圆锥的高为，地面半径为，则，所以， 则圆锥的母线， 则侧面积，底面积， 所以表面积. 故答案为： 22．（24-25高二上·上海·期中）如图所示，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴AO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧 的中点，点P为母线SA的中点. (1)求此圆锥的表面积； (2)求异面直线PQ与SO所成角的大小； (3)一只蚂蚁从Q点沿着圆锥的侧表面爬至P点，请计算该蚂蚁行程的最小值(精确到0.01m) 【详解】（1）因为 ， 所以，则 ， 所以圆锥的体积为 ，表面积为 . （2）建立如图所示空间直角坐标系， 则 ， ， 所以 设异面直线 与 所成角为 ， 则 所以异面直线 与所成角为 . （3）将该圆锥的侧面夹在母线的部分展开，如图连接， 因为， 所以中，由余弦定理可得 所以 . 23．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在正四棱锥中，，.    (1)求四棱锥的表面积； (2)求二面角的大小.（结果用反三角表示） 【详解】（1）如图：连接，相交于点，连接，取中点，连接，    在正四棱锥中，平面，为、中点， 因为平面，所以， 因为平面，所以， 因为为中点，为中点，所以， 在正方形中，，在中， 在中， 因为在正四棱锥中，，所以， 所以， 所以四棱锥的表面积： （2）由（1）可知，，，所以以为坐标原点，为轴，为轴，为轴如图建立空间直角坐标系，    由（1）可知，，，， 所以，，，， 设分别为平面和平面的一个法向量， 所以，令，则，即 所以，令，则，即 设为二面角，由图形可知为钝角， 所以 ， 所以. 题型六 组合体的表面积与体积（共3小题） 24．（23-24高二上·上海闵行·期中）将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为的正六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（    ）    A． B．864 C．576 D． 【答案】B 【详解】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②， 所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为， 故    故选： 25．（24-25高二上·上海静安·期中）如图所示，一种机器零件由两部分组成，下部分是实心的正六棱柱，上部分是实心的圆柱（尺寸单位：）电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11千克，则电镀10000个这种零件需要锌 千克.（结果精确到0.01）      【答案】 【详解】把六棱柱的底面分为六个全等的等边三角形， 每个等边三角形的面积为， 六棱柱的底面积为， 六棱柱的侧面积为， 六棱柱的表面积为， 圆柱的侧面积为， 圆柱的底面积和六棱柱的部分底面积重合 零件的表面积 电镀10000个零件需锌（千克）． 故答案为：. 26．（22-23高二上·上海杨浦·期中）如图在四面体ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，△DBC为直角三角形，其中D为直角顶点，．E、F、G、H分别是线段AB、AC、CD、DB上的动点，且四边形EFGH为平行四边形． (1)求证：BC∥平面EFGH (2)试探究当二面角从0°增加到90°的过程中，线段DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域的面积； (3)设（），且△ACD是以CD为底的等腰三角形，当为何值时，多面体ADEFGH的体积恰好为? 【详解】（1）证明:四边形EFGH为平行四边形，. 而面面BCD，面BCD. 而面ABC，面面，. 而面面EFGH 面EFGH. （2） 在平面BCD上的投影满足，即在平面BCD上的投影在线段BC的中垂线上. 如图所示，将补成边长为2的正三角形， 当二面角为角时，即点在平面BCD上，此时为， 当二面角为角时，此时为BC中点， 故DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域为， 而， 故线段DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域的面积为. （3），且为等腰三角形，. 取BC中点，由题意得:,， 满足，根据勾股定理可知 平面 而多面体ADEFGH的体积恰好为，即多面体ADEFGH的体积恰为四面体ABCD体积的一半. 连接AH、AG，设点到平面的距离为，点到平面的距离为， 设点到平面的距离为， . ，整理得 ， 解得舍去). 题型七 多面体与球体内切外接问题（共6小题） 27．（24-25高二上·上海·期中）已知矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的体积为 . 【答案】 【详解】设为为中点，连接，由于，，故, 则由为直角可得， 故外接球半径为1， 故三棱锥的外接球的体积为， 故答案为： 28．（24-25高二上·上海·期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 . 【答案】 【详解】如图所示，等腰梯形为圆台轴截面， 内接圆与梯形切于点，其中分别为上、下底面圆心， 则梯形的腰长，即圆台的母线长为， 所以该圆台的表面积为. 故答案为：. 29．（24-25高二上·上海徐汇·期中）正四棱柱的底面边长为1，若直线与底面所成的角的大小为，则正四棱柱的外接球表面积为 ． 【答案】 【详解】在正四棱柱中，平面， 则为直线与底面所成的角， 依题意可得，又，所以， 所以正四棱柱的外接球的半径为， 所以正四棱柱的外接球表面积为.    故答案为：. 30．（24-25高二上·上海·期中）防蝇罩是我国南方城市家庭中普遍使用的餐桌用品，可以使饭菜不受苍蝇的污染，某家庭预计购买一个防蝇罩，要求防蝇罩可以将摆放在桌面上四只等大的、直径为的碗完全罩住（防蝇罩与碗皆可视为半球且厚度忽略不计，且碗正放在桌上），则防蝇罩与桌面接触处半径至少为 .（结果取整数） 【答案】19 【详解】依题意可知，防蝇罩的半径至少为cm. 故答案为：. 31．（24-25高二上·上海·期中）设A，B，C，D是半径为1的球面上的四个不同点，且AB，AC，AD两两互相垂直，用，，分别表示，，的面积，则的最大值是 ． 【答案】2 【详解】设, 因为两两垂直，扩展为长方体， 所以该长方体的体对角线为球的直径， 所以， ， 因为 所以， 当且仅当时取得等号， 故答案为：2. 32．（24-25高二上·上海静安·期中）如图1所示的是等腰梯形，，，，DE⊥AB于E点，现将沿直线DE折起到的位置，形成一个四棱锥，如图2所示． (1)若，求证：PE⊥平面； (2)在（1）的条件下，若点P，E，C，D四点在一个球的球面上，求此球的表面积与体积； (3)若直线PE与平面所成的角为，求二面角的大小． 【详解】（1）证明：如图所示，连接CE， 因为等腰梯形ABCD，AB∥DC，AB＝2DC＝4，，DE⊥AB， 可得，，且， 即PE＝1，因为，则， 所以PE⊥EC，又因为PE⊥ED，且，CE，DE⊂平面EBCD， 所以PE⊥平面； （2）由题意知，为直角三角形，设外接圆半径为r，则r， 设四面体P﹣ECD的外接球半径为R，则， 所以四面体P﹣ECD的外接球表面积为； 四面体P﹣ECD的外接球体积为． （3）以E为原点，以，ED所在的直线分别为x，y轴，以过点E垂直于平面EBCD的数轴为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为DE⊥EB，DE⊥PE，且，平面， 所以DE⊥平面， 又因为平面，所以平面⊥平面， 过点P作PF⊥BE于点F，因为平面PEB∩平面＝BE，所以PF⊥平面， 所以为PE与平面所成的角，所以， 可得，，，则，， 设平面PBC的法向量为，则, 取，可得，所以, 又由z轴垂直平面，可得面的一个法向量为， 则 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的大小． 题型八 简单几何体综合应用（共12小题） 33．（24-25高二上·上海·期中）设A、B为夹在两个平行平面间的两个几何体，p：A、B的体积相等，q：A、B在同一高处的截面面积总相等，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】夹在两个平行平面间的两个几何体A、B在同一高处的截面面积总相等，则A、B的体积相等，即， 令是棱长为的正方体，是高为，底面积为的三棱锥，则A、B的体积都为，相等， 而A、B在同一高处的截面面积不全相等，因此不能推， 所以p是q的必要不充分条件. 故选：B 34．（24-25高二上·上海静安·期中）已知三角形ABC中AB＝3，BC＝4，AC＝5，点P在△ABC内部．假设对于任意点P，满足PQ≤1的点Q都在几何体T内，且对于几何体T内任意一点Q，都存在点P，满足PQ≤1，则几何体T的体积为（　　） A．12+7π B． C．14+7π D． 【答案】B 【详解】空间中，T在垂直于平面ABC的角度看，如下图所示： 其中：BCDF，ACEI和ABGH区域内的几何体为底面半径为1的半圆柱； CDE，BFG，AHI区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为C，B，A； ABC区域内的几何体是高为2的直三棱柱，因为四边形BCDF和ACEI为矩形， 则， 可得∠DCE＝2π﹣π﹣∠ACB＝π﹣∠ACB， 同理可得：∠FBG＝π﹣∠ABC，∠HAI＝π﹣∠CAB， 所以∠DCE+∠FBG+∠HAI＝3π﹣（∠ACB+∠ABC+∠CAB）＝3π﹣π＝2π， 可得CDE，BFG，AHI区域内的几何体合成一个完整的，半径为1的球， 则CDE，BFG，AHI区域内的几何体的体积之和； 又因为BCDF，ACEI和ABGH区域内的几何体的体积之和； ABC区域内的直三棱柱体积， 所以T的体积为． 故选：B． 35．（24-25高二上·上海宝山·期中）已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为 ． 【答案】 【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得：， 则圆锥底面周长为，设圆锥的母线长为， 则，解得：， 由勾股定理得：， 故圆锥的体积为. 故答案为：. 36．（24-25高二上·上海·期中）如图，半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱侧面积之和为 ． 【答案】 【详解】如图是圆柱的轴截面， 其外接圆是球的大圆，是圆柱上底面圆心，是圆柱母线， 设圆柱底面半径为，高为， 则，，， 因此， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 圆柱侧面积为，最大值为， 此时球的表面积与该圆柱的侧面积之和为． 故答案为：. 37．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为 .    【答案】 【详解】由题，为等腰直角三角形，作于点，如图， 则绕着直径所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥和，    由半径为2可得圆锥底面圆半径为，圆锥的高为2， 则圆锥的体积为， 半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为， 因此剩余部分所形成的几何体的体积为. 故答案为：. 38．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在长方体中，，，.    (1)求证：； (2)若该长方体沿着截面去掉三棱锥，求剩下的多面体的体积. 【详解】（1）由题设面，面，则， 在长方体中，即，则为正方形，故， 由且都在面内，故面，面， 所以；    （2）由题设，剩下的多面体的体积. 39．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴的截面是等边三角形，点半圆弧的中点，点为母线的中点. (1)求此圆锥的表面积与体积； (2)求直线与底面圆所成角的大小. 【详解】（1）因为圆锥的底面半径，经过旋转轴的截面是等边三角形， 解得， 所以圆锥的表面积， 体积. （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则， 由题意可得底面圆，设底面圆的法向量为，， 设直线与底面圆所成角为， 则， 所以. 40．（23-24高二上·上海·期中）某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6cm，圆柱筒长4cm． (1)这种“浮球”的体积是多少cm3？（结果精确到0.1） (2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克？（结果精确到个位）． 【详解】（1） 该半球的直径， 所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径， 所以两个半球的体积之和为， 而， 该“浮球”的体积是； （2）上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以1个“浮球”的表面积为， 因此，2500个“浮球”的表面积的和为， 因为每平方米需要涂胶100克， 所以总共需要胶的质量为：（克）． 41．（24-25高二上·上海松江·期中）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上.    (1)若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积； (2)规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？ 【详解】（1）令陀螺外接球半径为，则，可得， 由题意，圆柱的矩形轴截面对角线长为，又圆柱的高为， 所以圆柱底面直径，则底面半径， 综上，圆锥的高为，母线长为， 所以陀螺的体积为， 陀螺表面积为. （2）令圆柱的高为，由（1）知陀螺外接球半径， 所以圆柱底面直径为，圆锥的高为， 所以陀螺的高为， 由圆柱体侧面积， 当且仅当时取等号， 所以陀螺的高是()时，圆柱体侧面积最大. 42．（24-25高二上·上海·期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度. (1)求球的体积； (2)正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称为“劣球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积. 【详解】（1）设球的半径为， 则由题可知球心到正方体上底面中心的距离为，且过正方体上底面截球所得截面圆的半径为， 所以即，， 所以球的体积为. （2）圆柱体的体积为小圆锥的体积为大圆锥的体积为圆台的体积为 则劣球缺的体积为 43．（24-25高二上·上海·期中）在矩形中，. (1)将矩形绕直线旋转一周，求所得几何体的表面积； (2)将矩形绕直线旋转一周，求所得几何体的体积. 【详解】（1）若将矩形绕直线旋转一周，则可得到以为底面半径以为高的圆柱， 因为，所以, 该圆柱体的体积为； （2） 过B作的垂线，垂足为M,,延长使交于, 过D作的垂线，垂足为N,延长使交于, 因为,以为斜边的直角三角形， 斜边上的高，, 若将矩形绕直线旋转一周，旋转一周， 所得几何体为相同的两个圆锥，几何体的底面半径为，两个圆锥的高为， 四边形绕直线旋转一周得出的几何体体积为四边形绕直线旋转一周得出的圆柱体积减去三角形绕直线旋转一周得出的圆锥体积， 四边形绕直线旋转一周得出以为底面半径，高为的圆柱, 在中，, 绕直线旋转一周得出为底面半径，高为的圆锥， 所得几何体体积为. 44．（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图1，在中，，，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点为旋转过程中形成的圆的圆心，为圆上任意一点． (1)求新的几何体的体积； (2)记与底面所成角为，求的取值范围． 【详解】（1）连接，在中，由题可得， 因为新的几何体是以为高的圆锥减去以为高的圆锥后剩余的部分， 所以新的几何体的体积. （2）如图，取的中点，连接， 因为为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 所以为与底面所成的角，所以， 又因为，所以， 所以，所以． $