学易金卷：高二数学上学期第一次月考【沪教版，测试范围：沪教版必修第三册第十章～第十一章】

**基本信息** 聚焦沪教版必修第三册立体几何，以“冰淇淋融化盛满圆锥杯”“正方体容器液体体积范围”等真实情境设计问题，分层考查空间观念与几何直观，适配高二月考学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|圆台母线长、长方体外接球、轨迹表面积|第7题“液体体积范围”考查空间想象，第9题轨迹问题融合动态几何| |选择题|4/18|异面直线对数、正四面体截面|第15题“毛豆腐几何体”体现数学建模，第16题截面计数考查逻辑推理| |解答题|5/78|球体积计算、四棱锥体积最值、正方体截面|第21题结合正方体性质探究截面面积，第20题动态截面周长范围考查创新意识|

2026-2027学年高二上学期第一次月考模拟卷 (上海专用) : 数学 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) : 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 .: 4.考试范围：沪教版2020必修第三册第十章-第十一章。 % 5.难度系数：0.61。 : ·: 尽 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分) 1.已知圆台的上、下底面半径分别为5和12，高为24，则圆台的母线长为 2.在如图所示的几何体中，AE⊥平面ABC,CD/AE,AC=BC=1, : ∠ACB=90°，AE=2CD=2,则该几何体ABCDE的体积是 杀 O : : :: 斟 3.长方体的12条棱的总长度为56m,表面积为112m2,那么长方体的外接球半径为 m 4.半径为的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，如果球心到墙角顶点的距离为2，则R= 5.如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋， : : 如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高h=cm : : cm ·: ·: 试题第1页（共4页） : : ·: 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 6.一个正方体的展开图如图所示，B、C、D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点， 在原来的正方体中，直线CD与AB所成角的余弦值为一· B 7.在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状 都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是」 8.设01,02分别是圆柱P的上、下底面m1,2的中心，Q是以0为顶点，3-为底面的圆锥体(1=1,2)， 若圆柱P的体积为1，那么圆锥Q1,Q2的公共部分的体积为 9.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动， 点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹与正方体 D 从顶点D出发的三个面所围成的几何体的表面积是 B M 、P A 10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点， D C F是侧面AA1D1D内一点（包括边界），若EF/平面BB1D1D, B 则EF长度的范围为 F D E B D 11.如图，己知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M,N分别为 B 棱AB,BC的中点，若点P为线段BN上的动点，不包括端点)， 设异面直线C1P与MN所成的角为0，则cos0的取值范围是 试题第2页（共4页） 西学科网·学易金卷 www.zxxk .com 做好卷，就用学易金卷 12.己知异面直线a、b所成角为60°，过空间内一点P作直线1，使1与a、b所成角为， 则直线1可能有f(条，则f()=」 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分： 每题有且只有一个正确选项) 13.木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块ABCD-AB1CD1时， C 为了经过木料表面CDD1C1内一点P和棱AA1将木料平整锯开， 需要在木料表面CDD1C1上过点P画直线I, D D 则1与直线AA1的位置关系是() B A.平行B.相交C.异面 D.重合 14.在正方体的12条棱、12条面对角线中，总共可以组成()对异面直线. A.72 B.96 C.102 D.126 15.豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐，将三角形豆腐ABC悬空挂在发酵空间内， 记发酵后毛豆腐所构成的几何体为T.若忽略三角形豆腐ABC的厚度，设AB=3,BC=4,AC=5, 点P在△ABC内部：假设对于任意点P,满足PQ≤1的点Q都在T内，且对于T内任意一点Q, 都存在点P,满足PQ≤1，则T的体积为() A.12+7π B.12+2 C.14+7π 0.14+警 16.过正四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，使得截面与底面BCD所成角为75°， 这样的截面共可作出()个.A.6B.12C.15D.18 试题第3页（共4页） 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分） 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm,将一个球放在容器口，再向容器注水， 当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度. R 年 h 张 (1)求球的体积；(2)正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的分称为“劣球缺”；根据 河 祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积 滞 性 试题第4页（共4页） 18.(本题满分14分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分 如图所示，有满足下列条件的五边形的彩纸ABCDE,其中DE=3cm,BC=CD=Icm, O LBCD=∠CDE=,BAE=子；现将彩纸沿BE向内进行折叠. ··. i的 B D O D 第(1)小题图 第(2)小题图 第(3)小题图 (1)求线段BE的长度；(2)若△ABE是等边三角形，折叠后使AB⊥BC,求直线AB与平面BCDE的 所成角的大小；(3)将折叠后得到的四棱锥记为四棱锥A一BCDE,求该四棱锥的体积的最大值. O :::0 ············ 试题第5页（共4页） 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题2分，第3小题8分 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1AC,AB=AC,AA1=2AB, M 点A1在底面ABC的射影为BC的中点O,点M为B1C1的中点 A B (1)求证：A1M1平面A1BC;(2)求异面直线A1O和B1C1夹角的大小： (3)设点P为底面ABC内（包括边界）的动点，且B1P/平面A1MC, 若点P的轨迹长度为V2,求三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积. 试题第2页（共4页） 西学科网·学易金卷 www.zxxk .com 做好卷，就用学易金卷 20.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N,P分别为C1D1,AD,CC1的中点，棱长为a. D M B 图一 备用图 (1)请在图一作出过M,N,P三点的平面a截正方体所得的截面B(保留作图痕迹)： (2)计算截面B的周长；(3)任作平面Y与对角线AC1垂直，使平面Y与正方体ABCD-A1B1C1D1的 每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长】和面积S的取值范围. 试题第7页（共4页） 21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分 在学习立体几何的过程中，无数公理的直观体现和定理应用都在正方体ABCD-AB1CD1中展开. 已知正方体ABCD-AB1C1D1的棱长为a 性质1：正方体的体积与表面积之比为 性质2：对角线AB与BC所成夹角大小为 ； 性质3：体对角线BD1的长度为 年 性质4：连接所有对角线后，图中有_对互相垂直的线段.… (1)请直接完成上方正方体性质表格的填写： 张 (2)求证：线段BD1被平面ACB1与平面A1C1D三等分； (3)若正方体ABCD-AB1CD1每条棱所在直线与平面所成的角都相等， 河 求：截此正方体所得截面面积的最大值并在上方性质卡片图中画出此时α与正方体的截面. 滋 时 世 试题第8页（共4页） 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考模拟卷 （上海专用） 数学·答案及评分参考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十章-第十一章。 5．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2．/ 4．/ 5．8 6． 7． 8．  9． 10． 11． 12． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．B 14．D 15．B 16．D 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水， 当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度. （1） 求球的体积；（2）正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称为“劣球缺”；根据 祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积. 17．（1）；（2） 【分析】（1）设球的半径为，根据球和正方体的结构特征结合题意可得球心到正方体上底面中心的距离 为和过正方体上底面截球所得截面圆的半径，再根据即可求解； （2）分别计算圆柱的体积，小圆锥的体积和大圆锥的体积，从而计算出圆台的体积， 从而得到劣球缺的体积. 【详解】（1）设球的半径为， 则由题可知球心到正方体上底面中心的距离为，……1分， 且过正方体上底面截球所得截面圆的半径为，……1分， 所以即，，……2分， 所以球的体积为；……2分， （2） 圆柱体的体积为……2分， 小圆锥的体积为……1分， 大圆锥的体积为……1分， 圆台的体积为……2分， 则劣球缺的体积为……2分. 18．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分 如图所示，有满足下列条件的五边形的彩纸，其中， ，；现将彩纸沿向内进行折叠． （1）求线段的长度；（2）若是等边三角形，折叠后使⊥，求直线与平面的 所成角的大小；（3）将折叠后得到的四棱锥记为四棱锥，求该四棱锥的体积的最大值． 18．（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）作出辅助线，得到为等边三角形，求出，，利用余弦定理求出答案； （2）作出辅助线，证明线面垂直，得到即为直线与平面的所成角，显然，从而求出答案；（3）先求出四边形的面积，要想折叠后得到的四棱锥体积最大，则要四棱锥的高最大，故要使平面⊥平面BCDE，且需要△ABE边BE上的高最大， 再利用余弦定理及基本不等式得到BE上的高最大值，从而求出体积的最大值. 【详解】（1）延长BC，ED相交于点F，因为， 所以，故为等边三角形，……1分， 所以，，因为，， 所以，，……1分， 在中，由余弦定理得：， 所以；……2分； （2）由（1）知：，，，所以，由勾股定理逆定理得：⊥BE， 因为⊥，，平面ABE，所以BC⊥平面ABE，……2分， 取BE的中点Q，连接AQ，CQ，因为AQ平面ABE，所以BC⊥AQ， 因为是等边三角形，由三线合一得：AQ⊥BE，因为BE，BC平面BCDE，， 所以AQ⊥平面BCDE，所以即为直线与平面的所成角，显然， 故直线与平面的所成角大小为；……2分； （3）延长BC，ED相交于点F，由（1）（2）得： BF⊥BE，且为等边三角形，故， ，故四边形的面积为，……2分， 要想折叠后得到的四棱锥体积最大，则要四棱锥的高最大，故要使平面⊥平面BCDE， 且需要△ABE边BE上的高最大，因为，，故只需使△ABE的面积最大，……2分， 由余弦定理得：，故， 由基本不等式得：，即，……1分， 所以，当且仅当时，等号成立，△ABE的面积最大值为， 故四棱锥的高最大为，该四棱锥的体积的最大值为.……1分. 19．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题2分，第3小题8分 如图，在三棱柱中，，，， 点在底面的射影为的中点，点为的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线和夹角的大小； （3） 设点为底面内（包括边界）的动点，且平面， 若点的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 19．（1）证明见解析；（1）；（3）. 【分析】（1）连接，可证平面，根据平行关系可得，进而可得结果； （2）根据给定条件，利用几何法求出直线和夹角； （3）根据面面平行分析可知：点P的轨迹为线段，结合题中的长度关系运算求解. 【详解】（1）在三棱柱中，连接，由， O为的中点，得，又平面，且平面， 则，，由，平面， 得平面，……2分， 在中，分别为的中点，则，， 而，，则，，即四边形为平行四边形， 则，所以平面；……2分； （2）在三棱柱中，，由（1）知，，则， 所以异面直线和夹角的大小为；……2分； （3）连接，由（1）可知：，且平面，平面， 则平面，……2分， 在平行四边形中，分别为的中点，则，，四边形为平行四边形，，且平面， 平面，于是平面，……2分， 且，平面， 所以平面平面，且平面平面， 则点P的轨迹为线段，即，……2分， 由，，为的中点，得，， 且为矩形，则，在中，， 则边上的高，可得， 所以三棱柱的侧面积.……2分. 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 在正方体中，，，分别为，，的中点，棱长为.    （1）请在图一作出过，，三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）； （2）计算截面的周长；（3）任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的 每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长和面积的取值范围. 20．（1）作图见解析；（2）；（3），面积的取值范围是. 【分析】（1）根据给定条件，利用平面的基本事实作出截面多边形；（2）利用平行线分线段成比例定理及勾股定理求出周长；（3）由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在的正方形的对角线平行，利用相似比即可求得截面周长，再构造截面图形，建立面积的函数关系并求出范围. 【详解】（1）画直线与线段的延长线分别交于点， 连接分别交于，……2分， 连接，则五边形为截面；……2分，   （2）由分别为的中点，得，而， 则，由，得，……2分， ，，同理，而，……2分， 所以截面的周长；……2分， （3）在正方体中，连接，，由 平面，平面，得，又，平面，则平面，……1分， 又平面，于是，同理， 而，则平面，……1分， 又平面，则平面平面，令平面与平面， 而平面平面，则，……1分， 同理得平面与正方体其他各面的交线都与所在正方形的对角线平行， 令，则，，， 同理，所以该截面多边形的周长，……1分， 由截面与正方体各面的交线平行于所在正方形的对角线， 得不论六边形如何平行移动，它的每个内角都是，且相邻边长的和为， 边长为的菱形中，，在上分别取点，使， 过作的平行线交分别于，则六边形的每个内角都是， 任意相邻相邻边长的和为，  ，……1分， 六边形的面积 ，……2分， ，，，所以截面多边形面积的取值范围是.……1分. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分 在学习立体几何的过程中，无数公理的直观体现和定理应用都在正方体ABCD-A1B1C1D1中展开. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a. 性质1：正方体的体积与表面积之比为________； 性质2：对角线A1B与BC所成夹角大小为________； 性质3：体对角线BD1的长度为________； 性质4：连接所有对角线后，图中有_____对互相垂直的线段…… （1）请直接完成上方正方体性质表格的填写； （2）求证：线段被平面与平面三等分； （3）若正方体ABCD-A1B1C1D1每条棱所在直线与平面所成的角都相等， 求：截此正方体所得截面面积的最大值并在上方性质卡片图中画出此时与正方体的截面. 21．（1），，a，132；（2）证明见解析；（3），图象见解析. 【详解】（1）正方体的体积为，表面积为，故正方体的体积与表面积之比为，……1分， 由于平面，平面，故， 故对角线A1B与BC所成夹角大小为，……1分， 体对角线BD1的长度为，……1分， ①棱与棱垂直：任何两条不平行的棱（即沿不同坐标轴的棱）都垂直； 有4条棱沿x轴、4条沿y轴、4条沿z轴，因此棱与棱垂直对数为对， ②棱与面对角线垂直：每条棱垂直于4条面对角线（位于与棱垂直的两个面上，每个面有2条面对角线）， 因此棱与面对角线垂直对数为12条棱 × 4条面对角线 = 48对； ③面对角线与面对角线垂直：包括同一面内的两条面对角线垂直（6个面，每面1对，共6对） 和平行面上的面对角线垂直（3对平行面，每对2对，共6对），总12对； ④面对角线与空间对角线垂直：每条面对角线垂直于2条空间对角线， 因此面对角线与空间对角线垂直对数为12条面对角线 × 2条空间对角线 = 24对， ⑤空间对角线与空间对角线垂直：无垂直对， ⑥棱与空间对角线垂直：无垂直对，综上可得：共对，……3分， 故答案为：；；；； （2）设正方体的棱长为1，则，设点到平面的距离为， 由于，故，所以，则， 由（1）知，是平面内的相交直线，……3分， 所以平面，且，……1分， 同理点到平面的距离也是，是的，……1分， 所以线段被平面与平面三等分；……1分； （3）如右下图所示：若此正方体的每条棱所在直线与平面所成的角都相等， 只需平面与过同一顶点的三条棱所成的角相等，……1分， 设， 则平面与正方体过顶点的三条棱所成角相等，……1分， 若点E，F，G，H，M，N分别为相应棱的中点， 可得平面平面PQR，……1分， 且六边形为正六边形，正方体的棱长为，……1分， 则正六边形的边长为，此时正六边形的面积为， 根据正方体的对称性可知当截面为正六边形时，面积最大，且最大面积为……2分. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二上学期第一次月考模拟卷 （上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：沪教版2020必修第三册第十章-第十一章。 5．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知圆台的上、下底面半径分别为5和12，高为24，则圆台的母线长为 ． 2．在如图所示的几何体中，平面ABC，，， ，，则该几何体ABCDE的体积是 . 3．长方体的12条棱的总长度为，表面积为，那么长方体的外接球半径为 ． 4．半径为的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，如果球心到墙角顶点的距离为2，则 . 5．如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋， 如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高 ． 、 6．一个正方体的展开图如图所示，B、C、D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点， 在原来的正方体中，直线与所成角的余弦值为 ． 7． 在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状 都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ． 8．设分别是圆柱的上､下底面的中心，是以为顶点，为底面的圆锥体， 若圆柱的体积为1，那么圆锥的公共部分的体积为 . 9．如图，已知正方体的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹与正方体 从顶点D出发的三个面所围成的几何体的表面积是_____. 10．如图，正方体的棱长为2，是棱的中点， 是侧面内一点（包括边界），若平面， 则长度的范围为 ． 11． 如图，已知正方体的棱长为2，分别为 棱的中点，若点为线段上的动点，不包括端点）， 设异面直线与所成的角为，则的取值范围是 . 12．已知异面直线、所成角为，过空间内一点P作直线，使l与、所成角为， 则直线可能有条，则 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时， 为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开， 需要在木料表面上过点画直线， 则与直线的位置关系是（    ） A． 平行 B．相交 C．异面 D．重合 14．在正方体的12条棱、12条面对角线中，总共可以组成（   ）对异面直线． A．72 B．96 C．102 D．126 15．豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐，将三角形豆腐ABC悬空挂在发酵空间内， 记发酵后毛豆腐所构成的几何体为T.若忽略三角形豆腐的厚度，设， 点在内部；假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点， 都存在点，满足，则的体积为（    ） A． B． C． D． 16．过正四面体的顶点作一个形状为等腰三角形的截面，使得截面与底面所成角为75°， 这样的截面共可作出（   ）个. A．6 B．12 C．15 D．18 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水， 当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度. （1） 求球的体积；（2）正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称为“劣球缺”；根据 祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积. 18．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分 如图所示，有满足下列条件的五边形的彩纸，其中， ，；现将彩纸沿向内进行折叠． （1）求线段的长度；（2）若是等边三角形，折叠后使⊥，求直线与平面的 所成角的大小；（3）将折叠后得到的四棱锥记为四棱锥，求该四棱锥的体积的最大值． 19．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题2分，第3小题8分 如图，在三棱柱中，，，， 点在底面的射影为的中点，点为的中点. （1）求证：平面；（2）求异面直线和夹角的大小； （3） 设点为底面内（包括边界）的动点，且平面， 若点的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 在正方体中，，，分别为，，的中点，棱长为.    （1）请在图一作出过，，三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）； （2）计算截面的周长；（3）任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的 每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长和面积的取值范围. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分 在学习立体几何的过程中，无数公理的直观体现和定理应用都在正方体ABCD-A1B1C1D1中展开. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a. 性质1：正方体的体积与表面积之比为________； 性质2：对角线A1B与BC所成夹角大小为________； 性质3：体对角线BD1的长度为________； 性质4：连接所有对角线后，图中有_____对互相垂直的线段…… （1）请直接完成上方正方体性质表格的填写； （2）求证：线段被平面与平面三等分； （3）若正方体ABCD-A1B1C1D1每条棱所在直线与平面所成的角都相等， 求：截此正方体所得截面面积的最大值并在上方性质卡片图中画出此时与正方体的截面. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二上学期第一次月考 模拟卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20． （18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■ ■■■ 2026-2027学年高二上学期第一次月考 模拟卷数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 ! 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 123 123 1234 1234 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 5 破。 5. 正确填涂 6789 6789 5678q 6789 5678q 123456789 123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第 1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 1 製 3 5 1! 7 8 10 11 12. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16 题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13[A][B][C][D] 14[A][B][C][D] 15[A][B][C][D] 16[A][B][C][D] 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分) 17.(14分) R ------2-f-c-. 力 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) B D D 第(1)小题图 第(2)小题图 第(3)小题图 数学第3页（共6页） 学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 1111 . a C149) ■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 20.(18分) D M 9 B A D N C 图一 备用图 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页） 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考模拟提高卷 （上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十章-第十一章。 5．本试卷部分试题分为基础卷和提高卷，请民办、普高或者区重点高中的考生做基础卷，其余 市重点或者市特色高中的考生做提高卷。 6．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知圆台的上、下底面半径分别为5和12，高为24，则圆台的母线长为 ． 1．【分析】作出圆台的轴截面，再利用勾股定理计算可得. 【详解】如图作出圆台的轴截面，设上底面圆心为，下底面圆心为， 过点作交于点， 依题意，，， 所以， 则， 所以圆台的母线长为；故答案为：. 2．在如图所示的几何体中，平面ABC，，， ，，则该几何体ABCDE的体积是 . 2．/【详解】因为平面，平面，平面，所以，， 又因为，即，，所以平面，所以该几何体ABCDE的体积 ，故答案为：. 3．长方体的12条棱的总长度为，表面积为，那么长方体的外接球半径为 ． 3．【分析】设出该长方体的长宽高分别为a，b，c，由已知有：，， 解之可得对角线的长，由此可求外接球的半径.【详解】设该长方体的长宽高分别为a，b，c， 则有：，即①，，即② ∴，∴长方体的对角线的长为： ，即外接球的直径，所以，故答案：. 4．半径为的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，如果球心到墙角顶点的距离为2，则 . 4．/【分析】不妨将球设为正方体的内切球，从而可得正方体的边长为，进而可得， 求出R的值即可. 【详解】不妨将球设为正方体的内切球，正方体的边长，由球心到墙角顶点的距离为2， 则，可得，解得；故答案为：. 5．如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子， 则杯子高 ． 5．8 【详解】根据题意半球的体积等于圆锥的体积，根据等体积法化简即可. 【详解】解：由题意得半球的半径和圆锥底面圆的半径， 如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则半球的体积等于圆锥的体积 所以，故答案为：8. 6．一个正方体的展开图如图所示，B、C、D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点， 在原来的正方体中，直线与所成角的余弦值为 ． 6．【分析】把展开图还原成正方体，确定的位置， 作出异面直线所成的角，然后求角的余弦．【详解】把展开图还原成正方体，如图中位置， 由正方体性质知与平行且相等，即是平行四边形，，直线与所成角为 （或其补角），同样棱与侧面垂直， 垂直，则可得， 设正方体棱长为1，，，， 中，，所以直线与所成角的余弦值为；故答案为：． 7．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ． 7．【详解】如图，正方体ABCD-EFGH，此时若要使液面不为三角形， 则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC．而当平面EHD平行水平面放置时， 若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形； 所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD的体积， 并且＜正方体ABCD-EFGH体积-三棱柱B-AFC体积. 8．设分别是圆柱的上､下底面的中心，是以为顶点，为底面的圆锥体， 若圆柱的体积为1，那么圆锥的公共部分的体积为 . 8．【分析】根据题意，得到圆锥的公共部分为同底的圆锥和， 结合圆柱和圆锥的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，根据题意，以是以为顶点，为底面的圆锥体，则圆锥的公共部分为同底的圆锥和，设圆锥底面圆的半径为， 高为，可得，由，且根据几何体的对称性， 可得，即公共部分的圆锥的底面圆的半径为，且每个小圆锥的高为， 所以公共部分的体积为；故答案为：. 9．如图，已知正方体的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹与正方体 从顶点D出发的三个面所围成的几何体的表面积是_____.  9．【分析】所求几何体的表面积相当于点的轨迹面面积和点的轨迹面与正方体从顶点D出发的 三个面所围成部分的面积之和.连接、，根据直角三角形性质可知点的轨迹为球面，且在正方体内部的部分为个球面，利用球的表面积公式，即可求得的轨迹面积，点的轨迹面与正方体从顶点D 出发的三个面所围成部分的面积等于以点为圆心，为半径的圆的面积的，即可求解. 【详解】连接，则为直角三角形，在中，， 为的中点，连接，则，所以点在以D为球心， 半径的球面上，又因为点只能落在正方体上或其内部， 所以点的轨迹的面积等于该球面面积的，即， 又点的轨迹面与正方体从顶点D出发的三个面所围成部分的面积 为以点为圆心，为半径的圆的面积的，即， 故所求几何体的表面积.故答案为：. 10．如图，正方体的棱长为2，是棱的中点， 是侧面内一点（包括边界），若平面， 则长度的范围为 ． 10．【分析】由面面平行的判定定理和性质定理确定F的位置，由此可求EF长度的范围. 【详解】过作，交于点，交于， 则易知底面， ，∵平面， 又易得平面，，且平面， 平面平面，又平面，平面， 又平面平面，平面 ， ∴，∵为中点,为中点，则为中点， 即在线段上，，， ， ，则线段长度的取值范围为：；故答案为：. 11．如图，已知正方体的棱长为2，分别为棱的中点，若点为线段上的动点，不包括端点），设异面直线与所成的角为，则的取值范围是 . 11．【分析】连接，证得， 得到异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，设， 利用余弦定理求得，结合换元法和二次函数的性质，即可求解. 【详解】如图所示，连接，因为分别为棱的中点，可得 在正方体中，可得，所以，所以异面直线与所成的角， 即为直线与所成的角，即，设，其中，在中， 由，由余弦定理得 ，设，则，可得，再令，则，则，设，可得函数在上为增函数， 又由，所以，所以， 所以异面直线与所成的角余弦值的取值范围为；故答案为：. 12．已知异面直线、所成角为，过空间内一点P作直线，使l与、所成角为， 则直线可能有条，则 . 12．【分析】结合等角定理，分、、、、与进行讨论即可得. 【详解】过点作异面直线、的平行线、，则直线、交成、两个角； 当时，直线不存在；当时，直线只能是直线、所夹角的平分线，故有1条； 当时，过点在空间可作2条直线与直线、均成角； 当时，直线可以是120°角的平分线，再加上前一情况的2条，此时共有3条； 当时，过点在空间可以作4条直线与直线、均成角； 当时，存在唯一一条直线与、都垂直，故有1条；故答案为：. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时， 为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开， 需要在木料表面上过点画直线， 则与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．重合 13．B【分析】延长、交于点，则、的延长线也过点， 则直线即为所求作的直线，由此可得出结论. 【详解】在四棱台中，侧棱、、、的延长线交于一点，令此点为，    由，平面，得平面，同理平面，而平面，平面，则平面平面，即直线为所求作的直线，所以直线与直线相交，故选：B. 14．在正方体的12条棱、12条面对角线中，总共可以组成（   ）对异面直线． A．72 B．96 C．102 D．126 14．D【分析】根据异面直线的定义，分每条棱与其他棱构成异面直线，每条棱 与面对角线构成异面直线，每条面对角线每条面对角线与其他面对角线构成异面直线，三种情况讨论即可.【详解】每条棱与其他棱构成异面直线，共有条； 每条棱与面对角线构成异面直线，共有条； 每条面对角线每条面对角线与其他面对角线构成异面直线， 共有条，所以共有条.故选：D. 15．豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐，将三角形豆腐ABC悬空挂在发酵空间内， 记发酵后毛豆腐所构成的几何体为T.若忽略三角形豆腐的厚度，设， 点在内部；假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点， 都存在点，满足，则的体积为（    ） A． B． C． D． 15．B【分析】由题意可知：是由三个半圆柱，三个球体的一部分和一个直三棱柱构成， 根据圆柱、球和棱柱的体积公式分别求得各个部分几何体的体积即可加和得到结果. 【详解】空间中，在垂直于平面的角度看，如下图所示： 其中：，和区域内的几何体为底面半径为的半圆柱； ，，区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为； 区域内的几何体是高为的直三棱柱，因为四边形和为矩形， 则，可得， 同理可得：，， 所以，可得，，区域内的几何体合成一个完整的，半径为的球，则，，区域内的几何体的体积之和； 又因为，和区域内的几何体的体积之和； 区域内的直三棱柱体积，所以的体积为；故选：B. 16．过正四面体的顶点作一个形状为等腰三角形的截面，使得截面与底面所成角为75°， 这样的截面共可作出（   ）个. A．6 B．12 C．15 D．18 16．D【分析】根据条件将问题转化为“截面与底面的交线与以为圆心，以为半径的圆相切”，然后分类讨论即可.【详解】不妨设正四面体的棱长为，正的中心为， 则正四面体的高为，在中，以为圆心， 以为半径画圆，则所求截面与平面的交线为该圆的切线， 下面分三种情况进行讨论： （1）切线与的任意一边平行，此时能作出个截面； （2）切线（点在边上，点在边上）且 ， 此时易证≌，所以，则截面为等腰三角形， 这样的截面有个； （3）过点作的切线，与交于点，由≌有， 对应为等腰三角形，这样的截面有个，综上，满足条件的截面共有18个，故选：D. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水， 当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度. （1） 求球的体积；（2）正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称为“劣球缺”；根据 祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积. 17．（1）；（2） 【分析】（1）设球的半径为，根据球和正方体的结构特征结合题意可得球心到正方体上底面中心的距离 为和过正方体上底面截球所得截面圆的半径，再根据即可求解； （2）分别计算圆柱的体积，小圆锥的体积和大圆锥的体积，从而计算出圆台的体积， 从而得到劣球缺的体积. 【详解】（1）设球的半径为， 则由题可知球心到正方体上底面中心的距离为，……1分， 且过正方体上底面截球所得截面圆的半径为，……1分， 所以即，，……2分， 所以球的体积为；……2分， （2） 圆柱体的体积为……2分， 小圆锥的体积为……1分， 大圆锥的体积为……1分， 圆台的体积为……2分， 则劣球缺的体积为……2分. 18．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分 如图所示，有满足下列条件的五边形的彩纸，其中， ，；现将彩纸沿向内进行折叠． （1）求线段的长度；（2）若是等边三角形，折叠后使⊥，求直线与平面的 所成角的大小；（3）将折叠后得到的四棱锥记为四棱锥，求该四棱锥的体积的最大值． 18．（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）作出辅助线，得到为等边三角形，求出，，利用余弦定理求出答案； （2）作出辅助线，证明线面垂直，得到即为直线与平面的所成角，显然，从而求出答案；（3）先求出四边形的面积，要想折叠后得到的四棱锥体积最大，则要四棱锥的高最大，故要使平面⊥平面BCDE，且需要△ABE边BE上的高最大， 再利用余弦定理及基本不等式得到BE上的高最大值，从而求出体积的最大值. 【详解】（1）延长BC，ED相交于点F，因为， 所以，故为等边三角形，……1分， 所以，，因为，， 所以，，……1分， 在中，由余弦定理得：， 所以；……2分； （2）由（1）知：，，， 所以，由勾股定理逆定理得：⊥BE， 因为⊥，，平面ABE，所以BC⊥平面ABE，……2分， 取BE的中点Q，连接AQ，CQ，因为AQ平面ABE，所以BC⊥AQ， 因为是等边三角形，由三线合一得：AQ⊥BE，因为BE，BC平面BCDE，， 所以AQ⊥平面BCDE，所以即为直线与平面的所成角，显然， 故直线与平面的所成角大小为；……2分； （3）延长BC，ED相交于点F，由（1）（2）得： BF⊥BE，且为等边三角形，故， ，故四边形的面积为，……2分， 要想折叠后得到的四棱锥体积最大，则要四棱锥的高最大，故要使平面⊥平面BCDE， 且需要△ABE边BE上的高最大，因为，，故只需使△ABE的面积最大，……2分， 由余弦定理得：，故， 由基本不等式得：，即，……1分， 所以，当且仅当时，等号成立，△ABE的面积最大值为， 故四棱锥的高最大为，该四棱锥的体积的最大值为.……1分. 19．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题2分，第3小题8分 如图，在三棱柱中，，，， 点在底面的射影为的中点，点为的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线和夹角的大小； （3） 设点为底面内（包括边界）的动点，且平面， 若点的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 19．（1）证明见解析；（1）；（3）. 【分析】（1）连接，可证平面，根据平行关系可得，进而可得结果； （2）根据给定条件，利用几何法求出直线和夹角； （3）根据面面平行分析可知：点P的轨迹为线段，结合题中的长度关系运算求解. 【详解】（1）在三棱柱中，连接，由， O为的中点，得，又平面，且平面， 则，，由，平面， 得平面，……2分， 在中，分别为的中点，则，， 而，，则，，即四边形为平行四边形， 则，所以平面；……2分； （2）在三棱柱中，，由（1）知，，则， 所以异面直线和夹角的大小为；……2分； （3）连接，由（1）可知：，且平面，平面， 则平面，……2分， 在平行四边形中，分别为的中点，则，，四边形为平行四边形，，且平面， 平面，于是平面，……2分， 且，平面， 所以平面平面，且平面平面， 则点P的轨迹为线段，即，……2分， 由，，为的中点，得，， 且为矩形，则，在中，， 则边上的高，可得， 所以三棱柱的侧面积.……2分. 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 在正方体中，，，分别为，，的中点，棱长为.    （1）请在图一作出过，，三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）； （2）计算截面的周长；（3）任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的 每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长和面积的取值范围. 20．（1）作图见解析；（2）；（3），面积的取值范围是. 【分析】（1）根据给定条件，利用平面的基本事实作出截面多边形；（2）利用平行线分线段成比例定理及勾股定理求出周长；（3）由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在的正方形的对角线平行，利用相似比即可求得截面周长，再构造截面图形，建立面积的函数关系并求出范围. 【详解】（1）画直线与线段的延长线分别交于点， 连接分别交于，……2分， 连接，则五边形为截面；……2分，   （2）由分别为的中点，得，而， 则，由，得，……2分， ，，同理，而，……2分， 所以截面的周长；……2分， （3）在正方体中，连接，，由 平面，平面，得，又，平面，则平面，……1分， 又平面，于是，同理，而， 则平面，……1分， 又平面，则平面平面，令平面与平面， 而平面平面，则，……1分， 同理得平面与正方体其他各面的交线都与所在正方形的对角线平行， 令，则，，， 同理，所以该截面多边形的周长，……1分， 由截面与正方体各面的交线平行于所在正方形的对角线， 得不论六边形如何平行移动，它的每个内角都是，且相邻边长的和为， 边长为的菱形中，，在上分别取点，使， 过作的平行线交分别于，则六边形的每个内角都是， 任意相邻相邻边长的和为，  ，……1分， 六边形的面积 ，……2分， ，，，所以截面多边形面积的取值范围是.……1分. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分 在学习立体几何的过程中，无数公理的直观体现和定理应用都在正方体ABCD-A1B1C1D1中展开. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a. 性质1：正方体的体积与表面积之比为________； 性质2：对角线A1B与BC所成夹角大小为________； 性质3：体对角线BD1的长度为________； 性质4：连接所有对角线后，图中有_____对互相垂直的线段…… （1）请直接完成上方正方体性质表格的填写； （2）求证：线段被平面与平面三等分； （3）若正方体ABCD-A1B1C1D1每条棱所在直线与平面所成的角都相等， 求：截此正方体所得截面面积的最大值并在上方性质卡片图中画出此时与正方体的截面. 21．（1），，a，132；（2）证明见解析；（3），图象见解析. 【详解】（1）正方体的体积为，表面积为， 故正方体的体积与表面积之比为，……1分， 由于平面，平面，故， 故对角线A1B与BC所成夹角大小为，……1分， 体对角线BD1的长度为，……1分， ①棱与棱垂直：任何两条不平行的棱（即沿不同坐标轴的棱）都垂直； 有4条棱沿x轴、4条沿y轴、4条沿z轴，因此棱与棱垂直对数为对， ②棱与面对角线垂直：每条棱垂直于4条面对角线（位于与棱垂直的两个面上，每个面有2条面对角线）， 因此棱与面对角线垂直对数为12条棱 × 4条面对角线 = 48对； ③面对角线与面对角线垂直：包括同一面内的两条面对角线垂直（6个面，每面1对，共6对） 和平行面上的面对角线垂直（3对平行面，每对2对，共6对），总12对； ④面对角线与空间对角线垂直：每条面对角线垂直于2条空间对角线， 因此面对角线与空间对角线垂直对数为12条面对角线 × 2条空间对角线 = 24对， ⑤空间对角线与空间对角线垂直：无垂直对， ⑥棱与空间对角线垂直：无垂直对， 综上可得：共对，……3分， 故答案为：；；；； （2）设正方体的棱长为1，则，设点到平面的距离为， 由于，故，所以，则， 由（1）知，是平面内的相交直线，……3分， 所以平面，且，……1分， 同理点到平面的距离也是，是的，……1分， 所以线段被平面与平面三等分；……1分； （3）如右下图所示：若此正方体的每条棱所在直线与平面所成的角都相等， 只需平面与过同一顶点的三条棱所成的角相等，……1分， 设， 则平面与正方体过顶点的三条棱所成角相等，……1分， 若点E，F，G，H，M，N分别为相应棱的中点， 可得平面平面PQR，……1分， 且六边形为正六边形，正方体的棱长为，……1分， 则正六边形的边长为，此时正六边形的面积为， 根据正方体的对称性可知当截面为正六边形时，面积最大，且最大面积为……2分. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考模拟卷 （上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十章-第十一章。 5．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知圆台的上、下底面半径分别为5和12，高为24，则圆台的母线长为 ． 2．在如图所示的几何体中，平面ABC，，， ，，则该几何体ABCDE的体积是 . 3．长方体的12条棱的总长度为，表面积为，那么长方体的外接球半径为 ． 4．半径为的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，如果球心到墙角顶点的距离为2，则 . 5．如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋， 如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高 ． 6．一个正方体的展开图如图所示，B、C、D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点， 在原来的正方体中，直线与所成角的余弦值为 ． 7． 在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状 都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ． 8．设分别是圆柱的上､下底面的中心，是以为顶点，为底面的圆锥体， 若圆柱的体积为1，那么圆锥的公共部分的体积为 . 9．如图，已知正方体的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹与正方体 从顶点D出发的三个面所围成的几何体的表面积是_____. 10．如图，正方体的棱长为2，是棱的中点， 是侧面内一点（包括边界），若平面， 则长度的范围为 ． 11． 如图，已知正方体的棱长为2，分别为 棱的中点，若点为线段上的动点，不包括端点）， 设异面直线与所成的角为，则的取值范围是 . 12．已知异面直线、所成角为，过空间内一点P作直线，使l与、所成角为， 则直线可能有条，则 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时， 为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开， 需要在木料表面上过点画直线， 则与直线的位置关系是（    ） A． 平行 B．相交 C．异面 D．重合 14．在正方体的12条棱、12条面对角线中，总共可以组成（   ）对异面直线． A．72 B．96 C．102 D．126 15．豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐，将三角形豆腐ABC悬空挂在发酵空间内， 记发酵后毛豆腐所构成的几何体为T.若忽略三角形豆腐的厚度，设， 点在内部；假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点， 都存在点，满足，则的体积为（    ） A． B． C． D． 16．过正四面体的顶点作一个形状为等腰三角形的截面，使得截面与底面所成角为75°， 这样的截面共可作出（   ）个. A．6 B．12 C．15 D．18 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水， 当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度. （1） 求球的体积；（2）正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称为“劣球缺”；根据 祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积. 18．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分 如图所示，有满足下列条件的五边形的彩纸，其中， ，；现将彩纸沿向内进行折叠． （1）求线段的长度；（2）若是等边三角形，折叠后使⊥，求直线与平面的 所成角的大小；（3）将折叠后得到的四棱锥记为四棱锥，求该四棱锥的体积的最大值． 19．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题2分，第3小题8分 如图，在三棱柱中，，，， 点在底面的射影为的中点，点为的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线和夹角的大小； （3） 设点为底面内（包括边界）的动点，且平面， 若点的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 在正方体中，，，分别为，，的中点，棱长为.    （1）请在图一作出过，，三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）； （2）计算截面的周长；（3）任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的 每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长和面积的取值范围. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分 在学习立体几何的过程中，无数公理的直观体现和定理应用都在正方体ABCD-A1B1C1D1中展开. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a. 性质1：正方体的体积与表面积之比为________； 性质2：对角线A1B与BC所成夹角大小为________； 性质3：体对角线BD1的长度为________； 性质4：连接所有对角线后，图中有_____对互相垂直的线段…… （1）请直接完成上方正方体性质表格的填写； （2）求证：线段被平面与平面三等分； （3）若正方体ABCD-A1B1C1D1每条棱所在直线与平面所成的角都相等， 求：截此正方体所得截面面积的最大值并在上方性质卡片图中画出此时与正方体的截面. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $