专题04 立体几何中的截面、轨迹问题（七大压轴题专项训练）高二数学沪教版必修第三册

**基本信息** 以平面基本性质与空间关系为核心，通过“通法+题型+挑战”三阶体系，系统构建截面作法与轨迹推导的思维框架，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|2大核心方法|作截面遵循“两点定线、交点共线”，轨迹推导满足平行/垂直/长度约束|以平面基本性质为起点，关联线面关系公理，形成空间问题平面化的转化逻辑| |题型归纳|7题型（每题型含2例+3变式）|截面问题用平面交线法，轨迹问题转化为平面几何约束（如平行传递、垂直判定、角度/长度模型）|从静态截面（作法、周长面积、体积）到动态轨迹（平行、垂直、角度、长度），层层递进覆盖空间几何核心应用| |压轴挑战|13题（选择/填空/解答）|综合运用多条件约束下的截面作图与轨迹分析，结合几何体表面展开与空间角转化|整合复杂几何体（如正四面体、四棱锥）中的多维度空间关系，提升综合推理与几何直观能力|

专题04 立体几何中的截面、轨迹问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、截面的作法 题型二、求截面的周长和面积 题型三、截面与体积问题 题型四、平行关系求轨迹 题型五、垂直关系求轨迹 题型六、角度关系求轨迹 题型七、定长或长度关系求轨迹 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 立体几何截面与轨迹相关题型是高中立体几何重难点，所有题型均围绕平面的基本性质、线面平行与垂直判定、平面相交公理、动点约束条件四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是作截面严格遵循 “两点确定一条直线，平面内交点必共线”，二是轨迹推导必须持续满足题干给定的平行、垂直、长度约束. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、截面的作法 题型模版 1.特征：已知几何体表面若干点，要求画出平面截几何体得到的截面，点分布在棱上，部分点不在同一个面内。 2.方法：依据平面基本性质，利用延长棱找交点、平行线传递性确定截面顶点；依次连接共面交点得到封闭多边形，作图完成后验证所有顶点都在截面平面与几何体棱的交点上。 【例1】如图，在平行六面体中，.若是棱的中点，过点作平面，使得平面平面，在图中画出平面截平行六面体所得的截面；（不需写出作法和证明过程） 【答案】作图见解析 【详解】取的中点，的中点，的中点，的中点，的中点，顺次连接，六边形即为所作的截面，如图， 理由如下：因为为的中位线，所以， 同理可得， 而，故， 面，面，则面，同理面， 且都在面，故截面平面，则六边形即为所作的截面， 【例2】正四棱锥的棱上各有一点，其中分别为的中点，，过三点作出正四棱锥的截面（图）. 【答案】作图见解析 【详解】延长至点，使得， 因为是的中点，， 所以， ， 所以，即三点共线，即与交于点， 同理，延长交于点，， 因为，所以点为的中点， 即与交于点，连接， 则四边形即是过三点的正四棱锥的截面，如图所示． 【变式1-1】在正三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过点，，的截面一定是（    ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【答案】B 【详解】如图，取的中点，连接，，，.因为棱的中点为，棱的中点为， 所以.同理，所以， 所以四边形为经过点，，的截面. 因为棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，所以，， 所以，所以四边形是平行四边形. 因为三棱锥是正三棱锥，所以，所以， 所以四边形是矩形，即经过点，，的截面一定是矩形. 【变式1-2】如图，在四棱锥中，底面是边长为2为菱形，是以为斜边的等腰直角三角形，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)设为的中点，过三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明. 【答案】(1) 如图，取中点，连接， 因为为中点，所以，且， 又因为四边形为菱形，且为中点， 所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面平面， 所以平面； (2) 为的中点，证明： 因为且，故为平行四边形，故， 平面，平面，故平面， 又平面，平面平面，所以， 又，所以， 因为为的中点，所以点为的中点. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-3】在正方体中，已知，Q是棱上的动点（可与D、重合）. 当Q是中点时，画出过A，Q，的截面； 【答案】作图见解析 【详解】取的中点为，连接，易证， 则四边形即为所求截面，如图阴影部分， 题型二、求截面的周长和面积 题型模版 1.特征：已经确定截面形状，或是先作出截面，给出几何体棱长，计算截面多边形周长、面积，截面常为三角形、平行四边形、梯形等。 2.方法：先利用线面平行、面面平行确定截面各边长度；遇到斜三角形、梯形，通过解三角形求出高，再套用周长、面积公式；注意区分截面是平面图形，不要混淆几何体表面折线长度。 【例3】如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为（   ）．    A． B．6 C． D． 【答案】A 【详解】如图，取的中点，连接，则. 则在正方形中，，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又，所以， 则四边形即为过三点截面， 因为正方体的棱长为2， 所以，，, 则其周长为.    故选：A. 【例4】如图，已知棱长均为4的正四棱锥P-ABCD中，M和N分别为棱AB、PC的中点，过M和N可以作平面使得，则平面截正四棱锥P-ABCD所得的截面面积为___________. 【答案】 【详解】 取中点为，取中点为，连结四点可得四边形， 结合题意可知，所以， 同理：，所以，即四边形是平行四边形， 因为平面， 平面，所以平面， 设，可得，再在上取点，满足， 此时，所以，可得截面五边形， 由正四棱锥可知：平面，且平面，所以， 又因为，，平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，所以，从而可得四边形是矩形， 由正四棱锥所有棱长均为4，可知，， 所以四边形的面积为， 再由，，可知： 又因为，所以三角形的面积为， 所以截面五边形的面积为 故答案为：. 【变式2-1】如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 【答案】/ 【详解】如图，取的中点，连结，，，， 因为为的中点，所以，又， 所以，则平面为平面，且 四边形为截面四边形，为等腰梯形， ，，， 所以梯形的高， 所以梯形的面积. 故答案为： 【变式2-2】已知棱长为的正方体中，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)过三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长. 【答案】(1)连接，则由中位线定理得， 又由正方体性质得且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面.    (2) 周长为. 【分析】 【详解】（1）略 （2）如图，延长，与的交点分别为， 则连接即可得到过三点的正方体的截面， 由题意可知，故， 所以截面的周长为. 【变式2-3】如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点.    (1)在图中作出面和面的交线，并证明：平面； (2)若，，在四棱锥中，求过点，及棱的中点的截面周长. 【答案】(1)证明：如图，延长交于点F，则面，且面， 连接，则面，且面，即是面和面的交线， 取中点，因为，且， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以为的中点，又点为棱的中点， 所以，因为平面，在平面外， 所以平面，即平面； (2). 【分析】 【详解】（1）略 （2）因为，为的中点，所以B为的中点，连接，则， 取中点，连接，则即，所以， 所以四点共面，则四边形即为所求截面， 因为，， 所以， 又， 所以， 所以在四棱锥中，求过点，及棱的中点的截面周长为. 题型三、截面与体积问题 题型模版 1.特征：平面截取棱柱、棱锥等几何体，将几何体分割为两部分，求解分割后其中一块几何体的体积或者两部分体积之比。 2.方法：先准确确定截面位置，分清分割得到的多面体形状；选用底面积乘高的体积公式，优先寻找便于计算的底面与高，计算结束核对几何体范围，防止选错空间区域。 【例5】在正方体中，，，分别是，，的中点，过，，三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，延长，相交于，连接，交于， 同理可作，则，，三点的截面为五边形， 不妨设正方体棱长为1，则，所以， 又，所以． 同理可得，， 可知截得较小部分体积， 所以， 又立方体体积为1，所以较大部分与总体积之比为． 故选：C． 【例6】在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】设三棱柱的体积为，因为侧棱上各有一动点， 满足，所以四边形与四边形的面积相等， 故四棱锥的体积等于三棱柱的体积的，即， 则几何体的体积等于， 故过的截面将三棱柱分成上，下两个部分的体积之比为或. 故选：A. 【变式3-1】在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，过E，F，G三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图所示，延长相较于，连接，交于，相同方法，做出， 则五边形为截面， 不妨设正方体棱长为1， 则，所以，在，所以. 同理可得， 可知截得较小部分体积，边长代入得， 较大部分体积为，立方体体积为1，所以较大部分与总体积之比为. 故选：C. 【变式3-2】如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，过，，三点的截面把正方体分成两部分，则这两部分的体积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，延长，交的延长线于点，连接，交于 因为是棱的中点，且，所以， 又，所以为中点，故过，，三点的截面为， 又正方体的棱长为，则正方体的体积为， 又，， 所以棱台的体积为， 则两部分的体积比为. 【变式3-3】已知正三棱柱有内切球O（球O与各个面有且仅有一个公共点），过O，A，B三点的平面截该三棱柱所得截面为，截面将该三棱柱分成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为__________. 【答案】 【详解】如图： 不妨设正三棱柱的高为4. 设正三棱柱中，下底面的中心为，上底面的中心为，直线交于，直线交于，则分别为的中点. 因为正三棱柱有内切球，且内切球半径. 所以，所以，所以. 延长交于点，则为中点，过作，分别交，于点，. 则等腰梯形即为截面. 所以平面截三棱柱成两部分，棱台与几何体. 设面积为，因为，则. 所以， . 所以. 所以较小部分与较大部分的体积之比为. 题型四、平行关系求轨迹 题型模版 1.特征：几何体棱上存在动点，满足直线与平面平行、平面与平面平行条件，要求判断动点运动轨迹图形以及轨迹范围。 2.方法：运用线面平行、面面平行的判定与性质定理，推导出动点始终落在某条直线或者线段上；结合几何体棱的边界限制轨迹端点，轨迹不能超出几何体表面。 【例7】如图，棱长为的正方体中，、分别为、的中点，点在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点的轨迹长度为_____________ 【答案】/ 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）上， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点的轨迹长度为. 【例8】已知正方体中，，点为线段上靠近的三等分点，为底面正方形内的动点，平面，点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 过作交延长线于，连接交于， 因为，平面，平面， 所以平面， 连接，取使得， 则，所以，因为平面，平面， 所以平面，,所以平面平面， 为底面正方形内的动点，平面，所以在上， 过作交于，因为，所以， ，,，所以，， 所以，所以. 故轨迹长度为 【变式4-1】如图，长方体中，，，，点，分别是和的中点，是侧面内一动点（含边界），若平面，则动点的轨迹的长度为（    ）    A． B． C． D．9 【答案】C 【详解】如图所示：    取的中点，取的中点，连接， 所以，又因为点，分别是和的中点， 所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又点是棱的中点，点是棱的中点，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以，， 又因为，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面． 又是侧面内一动点（含边界），且平面， 所以点的运动轨迹为，又在长方体中，，， 所以. 故选：C 【变式4-2】在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，动点是侧面内一点，若平面，则点的轨迹长度为__________. 【答案】 【详解】如下图所示，分别取棱的中点，连接 ， ∵分别为所在棱的中点，则 ∴，又不在平面， 平面， ∴平面． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又不在平面，平面， ∴平面， 又，平面， ∴平面平面． ∵是侧面内一点，且平面， ∴点必在线段上． 所以点的轨迹长度为， 故答案为：. 【变式4-3】如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【详解】由题意知，，在上取点，使得， 则且，所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 在上取点，使得， 有，所以，则， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，则点M的轨迹为线段. 在中，，由余弦定理， 得， 即点M的轨迹长度为. 故选：B 题型五、垂直关系求轨迹 题型模版 1.特征：空间内有动点，满足线线垂直、线面垂直条件，在几何体表面寻找动点形成的轨迹，常用来判断轨迹是线段、圆弧等。 2.方法：借助线面垂直判定定理锁定动点所在平面，结合空间垂直约束转化为平面内垂直关系；注意区分完整轨迹与几何体相交的有效部分，剔除几何体外部区域。 【例9】如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为的正方形，，，分别是棱，的中点，是侧面内的一个动点，若平面，则动点的轨迹长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，取棱PD的中点G，连接FG，EG． 因为F，G分别是棱AD，PD的中点，所以． 因为平面ABCD，所以平面ABCD． 因为平面ABCD，所以． 由正方形的性质易证． 因为平面EFG，平面EFG，， 所以平面EFG，则平面EFG． 因为M是侧面PCD内的一个动点，所以动点M的轨迹为线段EG． 因为，所以． 因为E，G分别是棱CD，PD的中点，所以， 即动点M的轨迹长度是． 【例10】如图，在长方体中，为棱的中点，为四边形内（含边界）的一个动点.且，则动点的轨迹长度为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【详解】如下图所示： 作交于点，易知四边形是边长为4的正方形， 利用三角形相似可知，即可得，所以， 由勾股定理可知， 利用正方体性质可知平面，平面，所以； 又，，平面， 可知平面； 由可知平面，又为四边形内（含边界）的一个动点， 所以动点的轨迹为平面与四边形的交线，即为， 因此可得动点的轨迹长度为. 故选：B 【变式5-1】如图，在长方体中，，，，点P是长方体表面上的动点，若，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接相交于，取的中点，连接， 由于平面，平面，故， 又，故，平面， 故平面，平面，故， 由，，故， 在中，， 在中，， 故，进而得， 故，由于，故， 又平面，故平面 故点的轨迹为线段，其轨迹所围成的图形为三角形； 其中， 故三角形面积为. 故选：C. 【变式5-2】如图，在圆柱中，AB为底面直径，E是的中点，D是母线BC的中点，M是上底面上的动点，若，且，则线段OM的轨迹面积为（    ）    A． B． C． D．6 【答案】B 【详解】如图，    连接OE，作，交CF于点N， 是的中点， ， 平面ABE，平面ABE， ， ，AB，平面ABCF， 平面ABCF，又平面ABCF， ， 又，，OE，平面ONE， 平面ONE，设平面ONE与上底面交于PQ， ， ∴点M的轨迹为PQ，线段OM的轨迹为等腰三角形， ，D是母线BC中点， ， ，，， . 故选：B. 【变式5-3】在三棱锥中，平面，点为内（包含边界）一点，且，则点的轨迹的长度为_____． 【答案】/ 【详解】因为平面，且平面，所以 又由，可得，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 如图所示，连接，若，且，且平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 即在平面内，若，则，即点落在以为直径的四分之一圆上， 因为，所以点的轨迹长度为. 故答案为：. 题型六、角度关系求轨迹 题型模版 1.特征：动点与定点连线形成定角，或者直线与平面成固定角度，依托几何体表面设置问题，确定动点轨迹形状。 2.方法：将空间角转化到合适的平面中，利用圆锥母线与轴夹角模型分析轨迹；结合几何体表面进行截取，得到有效轨迹，留意轨迹是否受到棱的限制出现截断。 【例11】已知点是边长为1的正方体表面上的动点，若直线与平面所成的角大小为，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若点P在正方形内，过点P作平面于，连接. 则为直线与平面所成的角，则， 又，则，得， 则点的轨迹为以为圆心半径为1的圆（落在正方形内的部分）， 若点P在正方形内或内，轨迹分别为线段和， 因为点P不可能落在其他三个正方形内，所以点的轨迹如图所示： 故点P的轨迹长度为. 故选：D 【例12】已知四棱柱中，底面是边长为的菱形且，底面，，点是四棱柱表面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为______. 【答案】 【详解】∵，直线与所成的角为， ∴直线与所成的角为， ∴点的轨迹是以为轴（其中为顶点），母线与轴所成角为的圆锥的侧面与四棱柱的表面的交线． 如图，在线段和上分别取点，使得，连接， ∵在四棱柱中，底面， ∴平面， ∵平面，∴， ∴，故， ∴点在四边形与四边形上的运动轨迹为线段和，且. 当在四边形上运动时，其轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧， 故点在四边形上运动的轨迹长度为， 综上得，点的轨迹长度为． 故答案为：. 【变式6-1】已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则动点的轨迹长度为______． 【答案】 【详解】将正三棱台补全为三棱锥， 则三棱锥为棱长为3的正四面体， 如图（一）所示.设点在侧面的射影为点，可得， 取点为的中点，可求得，，， 为的中心， 又直线与平面所成角的正切值为，所以， 在等腰梯形内（含边界），动点的轨迹为到的距离为1的圆弧与圆弧， 为的中心， 由对称性可知为正六边形， ，， 如图（二）所示，所以动点的轨迹长度为．    故答案为：． 【变式6-2】在棱长为2的正方体中，点P是侧面正方形内的动点，点Q是正方形的中心，且PQ与平面所成角的正弦值是，则动点P的轨迹图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在棱长为2的正方体中，取正方形的中心，连接， 由Q是正方形的中心，得平面，则是PQ与平面所成的角， 则，而，于是，， 因此动点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，其面积为. 故选：A    【变式6-3】点是棱长为3的正方体的表面上一个动点，当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为________． 【答案】 【详解】 因为直线与平面所成的角为， 由平面，得直线与所成的角为， 因为，故点不能在平面和平面内； 若点在平面内，则点的轨迹是； 若点在平面内，点的轨迹是； 若点在平面内，作平面于点，如图所示， 因为，所以，又因为，则，故， 所以点的轨迹是以点为圆心，以3为半径的四分之一圆， 此时点的轨迹长度为， 综上，点的轨迹的总长度为. 题型七、定长或长度关系求轨迹 题型模版 1.特征：空间动点到定点距离为定值，或是满足两条线段长度之和、差为常数，在几何体表面探究动点轨迹。 2.方法：空间到定点距离为定值的点的集合为球面，找出球面与几何体表面相交曲线；若在几何体表面，可展开侧面转化为平面问题，最后结合几何体边界确定轨迹范围。 【例13】在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，且平面，均与底面垂直.点在侧面上运动，若，则点的轨迹长为_____________. 【答案】/ 【详解】首先证明，，，则； 如下图所示：    设，， 在平面内取一点，过点作直线，过点作直线， 由面面垂直的性质定理可得平面，平面； 又，即，所以可得； 又，且平面，可得； 因为平面，均与底面垂直，平面平面， 所以平面，在平行六面体中，则平面， 又底面是边长为的菱形，，连接，则为边长为的等边三角形， 取的中点，连接，则，且， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又点在侧面上运动，即平面， 所以，又，所以， 所以点在以为圆心，半径的圆（圆弧）上， 在、分别取点、，使得， 即，且， 又，所以点在弧上，且圆心角， 所以点的轨迹长为. 故答案为：    【点睛】关键点点睛：本题解答的关键首先根据面面垂直的性质确定平面，再证明平面，即可确定点的轨迹. 【例14】如图，在棱长为的正方体中，点是平面内的一个动点，当时，点的轨迹长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设平面，连接，，，， 因为，， 所以三棱锥为正三棱锥， 因为平面，平面，所以， 因为，，所以平面， 又平面，所以， 同理可证，又，平面， 所以平面，则为正三角形的中心， 则，所以， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 即，， 因为，即， 因为，解得，所以点的轨迹是半径为的圆， 所以点的轨迹长度是. 故选：. 【变式7-1】将边长为的正方形沿着对角线折起，使点到达点的位置，得到三棱锥，点平面，且若则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，取棱的中点，连接，则， 又平面，则平面，由平面， 得平面平面，在中，，由余弦定理得 ，为钝角，且， 在平面内过点作交的延长线于点，而平面平面， 于是平面，连接，又平面，则， 在中，， 在中，，， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以点的轨迹长度为. 故选：C. 【变式7-2】如图，在正方体中，是空间一动点，若点到直线的距离相等，则动点的轨迹是______. 【答案】直线 【详解】因是正方体中两两互相异面垂直的棱所在直线， 由对称性及地位等同性知：轨迹是体对角线所在的直线． 【变式7-3】在三棱锥中，，若点在的内部及边界上运动，且，则点的轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以三棱锥为正三棱锥，底面三角形是边长为的等边三角形， 所以点在底面上的投影是的外心，记为， 所以平面， 取中点，连接，则为的三等分点靠近点的点， 所以 所以， 因为点在的内部及边界上运动，且， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在内及边界上的弧，如图所示， 所以，点的轨迹的长度为的长度， 因为，所以为等腰直角三角形， 所以， 所以点的轨迹的长度为的长度占以为圆心，为半径圆的周长的 所以，点的轨迹的长度 故选：B 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】B 【详解】在正方体中，取，， 连接，，，，，，如下图所示： 因为在正方体中，，分别是棱和上的点，，， 所以，且，则四边形为平行四边形，则，， 又因为，且，所以四边形为平行四边形， 则，， 所以，，所以为平行四边形， 则正方体中过点，，的截面形状为四边形. 故选：B 2．如图，在长方体中，，，点，分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】在长方体中，取的中点，连接, 由点为的中点，得，则四边形是平行四边形， ，又，则四边形是平行四边形， 于是，取中点，在上取点，使得，连接， 而，则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 于是平面，由为的中点，得，而平面，平面， 则平面，又平面，因此平面平面， 由直线平面，点平面，则点在平面与平面的交线上， 从而点的轨迹是线段，而， 所以点的轨迹长度为. 故选：C 3．已知正四面体的棱长为2，点是的中点，点在正四面体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹周长为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】 因为，所以，平面，所以平面， 由于点 P 始终保持 PE 垂直于 BC ，且 P 在正四面体表面运动，因此 P 的轨迹为平面 与正四面体表面的交线，即的边界. 为等腰三角形，其中 AD 为底边，长为2，AE 和 DE 为腰，长均为. 因此，三角形 的周长为. 故答案为 ：D . 4．在棱长为的正方体中，点分别为线段的中点，点在线段上，且，则过三点的平面截正方体得到的截面多边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，取中点，则三点共线，在上取点，满足；在上取点，满足；在上取点，满足；连接； ，，，又， ，五点共面； 同理可得：五点共面， 四边形即为过三点的平面截正方体得到的截面多边形； ，平面，平面， 又平面，，四边形为矩形； ，，， 又，. 故选：B. 5．已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内一点，且五点在同一个球面上，若，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将四面体放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为，，， 依题意，可知，， 则，，，解得，， 由于，即异面直线和的距离为， 由于长方体的左右侧面为正方形，所以， 取中点，连接，则左侧面，在左侧面，所以， 又平面，故平面， 四面体的外接球半径为，球心为， 由，知点的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为，圆心为， 过作球的一个轴截面， 所以，且， ，且， 解得， 所以的轨迹长度为． 故选：D． 6．如图，在直三棱柱中，是边长为4的正三角形，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（    ） A． B． C． D．π 【答案】C 【详解】取中点P，连接，的中点为，如图， 是中点，是等边三角形，所以， 又N为棱上的中点，由直三棱柱性质知， 又因为，平面， ∴平面，又平面，∴平面⊥平面， 过N作,为垂足， 又平面 平面，平面，∴⊥平面， 所以O点轨迹是在平面内且以为直径的圆弧， 当点M在点C时，O点位于P点，当点M到点时，O点到最高点， 此时， 所以直角中， ，从而，∴弧长， ∴当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为. 故选：C. 二、填空题 7．将边长为2的正方形沿着对角线折起，使点到达点的位置，得到三棱锥，点平面，且，若，则点的轨迹长度为______. 【答案】 【详解】取棱的中点，连接， 则， 又平面， 则平面，由平面， 得平面平面. 在中，，由余弦定理得， 为钝角，且. 在平面内过点作交的延长线于点，而平面平面， 于是平面，连接，又平面，则. 在中，. 在中，， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以其轨迹长度为. 故答案为：. 8．如图，在棱长为2的正方体中，为中点，为中点，过、、三点作正方体的截面，则截面的周长为_________. 【答案】/ 【详解】设直线与直线分别交于，连接, 分别交于，连接， 则五边形即为过、、三点作正方体的截面； 由于为中点，为中点，故， 由于，故，同理, 又，则，则，， 同理可求得，， 则，， , 故截面的周长为， 故答案为：. 9．正四棱锥的底面边长为4，高为3，E是边的中点，P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为___________ 【答案】/ 【详解】    设S在底面的投影为O，由正四棱锥的特征知O亦为的交点， 取的中点， 设，由中位线的性质可知， 显然正方形中，为的中点， 所以，所以底面， 而底面，所以， 又平面， 所以平面，即动点P在的三条边上， 根据正四棱锥的底面边长为4，高为3， 可知，， 所以P的轨迹的周长为. 故答案为： 10．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，点在四棱锥表面上，且，则与底面的夹角为_____________；点所形成的轨迹长度是_____________. 【答案】 【详解】因为平面，所以为与底面所成的角， 又底面为菱形，，，所以， 在中，由余弦定理可得， 在中，，所以； 取的中点，连接交于，连接， 由底面为菱形，所以且为的中点， 所以，所以平面，平面，又平面， 所以，又，平面，所以平面， 又，点在四棱锥表面上， 所以点所形成的轨迹为线段， 由，，所以可得是等边三角形，所以， 易求得，，在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 所以，易证，从而可得， 所以点所形成的轨迹长度是. 故答案为：；. 三、解答题 11．如图，在正方体中，H是的中点，E，F，G分别是DC，BC，HC的中点. (1)求证：平面平面； (2)若正方体棱长为2，请在正方体的表面完整做出过A，E，三点的截面，写出作图过程，并求出截面的面积. 【答案】(1)证明： 连接BH，且FG为的中位线，∴， ∵面，面，∴面， ∵，面，面，∴面， ∵，EF，FG都在平面EFG内，∴平面平面. (2)作图： 截面面积为 【分析】 【详解】（1）略 （2）如图，四边形为所求截面. 取的中点N，连接，NE， ∴，， 取的中点M，连接AM，， ∴，， ∴，， ∴平行四边形为过A，E，三点的截面， 又，则四边形为菱形， ∴. 12．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，且，，，点E、F分别为棱、的中点． (1)若，线段中点为，且，求证：； (2)若，请作出四棱锥过点B、E、F三点的截面，并求出截面的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析， 【分析】 【详解】（1） 因为，故， 又，，由直角梯形可得必定相交， 且平面，所以平面， 而平面，故. 由结合可得， 而平面，故平面， 而平面，故. （2）取线段的中点，连接， 因为，且，所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段中点，所以， 所以，则梯形为四棱锥过点的截面， 则，，， 在中，，， 所以，则， 所以截面周长为. 13．如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）；    【答案】答案见解析 【详解】所作截面如图1所示.    作法：延长交于点，连接交于，连接， 延长交于点，连接交于，连接， 则截面是五边形. 理由如下：不妨设截面为，由作法知，,因交于点，则, 因交于，,则，又平面, 故即平面与四棱锥的侧面的交线， 同理可得即平面与四棱锥的侧面的交线, 于是，即平面分别与四棱锥的侧面，的交线, 故可得，截面是五边形. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 立体几何中的截面、轨迹问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、截面的作法 题型二、求截面的周长和面积 题型三、截面与体积问题 题型四、平行关系求轨迹 题型五、垂直关系求轨迹 题型六、角度关系求轨迹 题型七、定长或长度关系求轨迹 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 立体几何截面与轨迹相关题型是高中立体几何重难点，所有题型均围绕平面的基本性质、线面平行与垂直判定、平面相交公理、动点约束条件四大核心展开，解题贯穿：一是作截面严格遵循 “两点确定一条直线，平面内交点必共线”，二是轨迹推导必须持续满足题干给定的平行、垂直、长度约束. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、截面的作法 题型模版 1.特征：已知几何体表面若干点，要求画出平面截几何体得到的截面，点分布在棱上，部分点不在同一个面内。 2.方法：依据平面基本性质，利用延长棱找交点、平行线传递性确定截面顶点；依次连接共面交点得到封闭多边形，作图完成后验证所有顶点都在截面平面与几何体棱的交点上。 【例1】如图，在平行六面体中，.若是棱的中点，过点作平面，使得平面平面，在图中画出平面截平行六面体所得的截面；（不需写出作法和证明过程） 【例2】正四棱锥的棱上各有一点，其中分别为的中点，，过三点作出正四棱锥的截面（图）. 【变式1-1】在正三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过点，，的截面一定是（    ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【变式1-2】如图，在四棱锥中，底面是边长为2为菱形，是以为斜边的等腰直角三角形，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)设为的中点，过三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明. 【变式1-3】在正方体中，已知，Q是棱上的动点（可与D、重合）. 当Q是中点时，画出过A，Q，的截面； 题型二、求截面的周长和面积 题型模版 1.特征：已经确定截面形状，或是先作出截面，给出几何体棱长，计算截面多边形周长、面积，截面常为三角形、平行四边形、梯形等。 2.方法：先利用线面平行、面面平行确定截面各边长度；遇到斜三角形、梯形，通过解三角形求出高，再套用周长、面积公式；注意区分截面是平面图形，不要混淆几何体表面折线长度。 【例3】如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为（   ）．    A． B．6 C． D． 【例4】如图，已知棱长均为4的正四棱锥P-ABCD中，M和N分别为棱AB、PC的中点，过M和N可以作平面使得，则平面截正四棱锥P-ABCD所得的截面面积为___________. 【变式2-1】如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 【变式2-2】已知棱长为的正方体中，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)过三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长. 【变式2-3】如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点.    (1)在图中作出面和面的交线，并证明：平面； (2)若，，在四棱锥中，求过点，及棱的中点的截面周长. 题型三、截面与体积问题 题型模版 1.特征：平面截取棱柱、棱锥等几何体，将几何体分割为两部分，求解分割后其中一块几何体的体积或者两部分体积之比。 2.方法：先准确确定截面位置，分清分割得到的多面体形状；选用底面积乘高的体积公式，优先寻找便于计算的底面与高，计算结束核对几何体范围，防止选错空间区域。 【例5】在正方体中，，，分别是，，的中点，过，，三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（   ） A． B． C． D． 【例6】在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（    ） A．2 B． C． D． 【变式3-1】在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，过E，F，G三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，过，，三点的截面把正方体分成两部分，则这两部分的体积比为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知正三棱柱有内切球O（球O与各个面有且仅有一个公共点），过O，A，B三点的平面截该三棱柱所得截面为，截面将该三棱柱分成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为__________. 题型四、平行关系求轨迹 题型模版 1.特征：几何体棱上存在动点，满足直线与平面平行、平面与平面平行条件，要求判断动点运动轨迹图形以及轨迹范围。 2.方法：运用线面平行、面面平行的判定与性质定理，推导出动点始终落在某条直线或者线段上；结合几何体棱的边界限制轨迹端点，轨迹不能超出几何体表面。 【例7】如图，棱长为的正方体中，、分别为、的中点，点在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点的轨迹长度为_____________ 【例8】已知正方体中，，点为线段上靠近的三等分点，为底面正方形内的动点，平面，点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，长方体中，，，，点，分别是和的中点，是侧面内一动点（含边界），若平面，则动点的轨迹的长度为（    ）    A． B． C． D．9 【变式4-2】在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，动点是侧面内一点，若平面，则点的轨迹长度为__________. 【变式4-3】如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 题型五、垂直关系求轨迹 题型模版 1.特征：空间内有动点，满足线线垂直、线面垂直条件，在几何体表面寻找动点形成的轨迹，常用来判断轨迹是线段、圆弧等。 2.方法：借助线面垂直判定定理锁定动点所在平面，结合空间垂直约束转化为平面内垂直关系；注意区分完整轨迹与几何体相交的有效部分，剔除几何体外部区域。 【例9】如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为的正方形，，，分别是棱，的中点，是侧面内的一个动点，若平面，则动点的轨迹长度为（     ） A． B． C． D． 【例10】如图，在长方体中，为棱的中点，为四边形内（含边界）的一个动点.且，则动点的轨迹长度为（    ） A．5 B． C． D． 【变式5-1】如图，在长方体中，，，，点P是长方体表面上的动点，若，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在圆柱中，AB为底面直径，E是的中点，D是母线BC的中点，M是上底面上的动点，若，且，则线段OM的轨迹面积为（    ）    A． B． C． D．6 【变式5-3】在三棱锥中，平面，点为内（包含边界）一点，且，则点的轨迹的长度为_____． 题型六、角度关系求轨迹 题型模版 1.特征：动点与定点连线形成定角，或者直线与平面成固定角度，依托几何体表面设置问题，确定动点轨迹形状。 2.方法：将空间角转化到合适的平面中，利用圆锥母线与轴夹角模型分析轨迹；结合几何体表面进行截取，得到有效轨迹，留意轨迹是否受到棱的限制出现截断。 【例11】已知点是边长为1的正方体表面上的动点，若直线与平面所成的角大小为，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【例12】已知四棱柱中，底面是边长为的菱形且，底面，，点是四棱柱表面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为______. 【变式6-1】已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则动点的轨迹长度为______． 【变式6-2】在棱长为2的正方体中，点P是侧面正方形内的动点，点Q是正方形的中心，且PQ与平面所成角的正弦值是，则动点P的轨迹图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】点是棱长为3的正方体的表面上一个动点，当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为________． 题型七、定长或长度关系求轨迹 题型模版 1.特征：空间动点到定点距离为定值，或是满足两条线段长度之和、差为常数，在几何体表面探究动点轨迹。 2.方法：空间到定点距离为定值的点的集合为球面，找出球面与几何体表面相交曲线；若在几何体表面，可展开侧面转化为平面问题，最后结合几何体边界确定轨迹范围。 【例13】在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，且平面，均与底面垂直.点在侧面上运动，若，则点的轨迹长为_____________. 【例14】如图，在棱长为的正方体中，点是平面内的一个动点，当时，点的轨迹长度是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】将边长为的正方形沿着对角线折起，使点到达点的位置，得到三棱锥，点平面，且若则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，在正方体中，是空间一动点，若点到直线的距离相等，则动点的轨迹是______. 【变式7-3】在三棱锥中，，若点在的内部及边界上运动，且，则点的轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．如图，在长方体中，，，点，分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（    ） A．2 B． C． D． 3．已知正四面体的棱长为2，点是的中点，点在正四面体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹周长为（    ） A．4 B． C． D． 4．在棱长为的正方体中，点分别为线段的中点，点在线段上，且，则过三点的平面截正方体得到的截面多边形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内一点，且五点在同一个球面上，若，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在直三棱柱中，是边长为4的正三角形，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（    ） A． B． C． D．π 二、填空题 7．将边长为2的正方形沿着对角线折起，使点到达点的位置，得到三棱锥，点平面，且，若，则点的轨迹长度为______. 8．如图，在棱长为2的正方体中，为中点，为中点，过、、三点作正方体的截面，则截面的周长为_________. 9．正四棱锥的底面边长为4，高为3，E是边的中点，P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为___________ 10．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，点在四棱锥表面上，且，则与底面的夹角为_____________；点所形成的轨迹长度是_____________. 三、解答题 11．如图，在正方体中，H是的中点，E，F，G分别是DC，BC，HC的中点. (1)求证：平面平面； (2)若正方体棱长为2，请在正方体的表面完整做出过A，E，三点的截面，写出作图过程，并求出截面的面积. 12．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，且，，，点E、F分别为棱、的中点． (1)若，线段中点为，且，求证：； (2)若，请作出四棱锥过点B、E、F三点的截面，并求出截面的周长． 13．如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）；    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $