拓展专题04 抽象函数的八大常考考点8考点46题（高效培优期中专项训练）高一数学上学期北师大版

拓展专题04 抽象函数的八大常考考点 考点01 抽象函数的定义域(共7小题 1 考点02 抽象函数求值（共4小题） 3 考点03 求抽象函数的值域（共4小题） 5 考点04 抽象函数的解析式（共5小题） 8 考点05 抽象函数的单调性（共3小题） 10 考点06 抽象函数的奇偶性（共5小题） 11 考点07 抽象函数的对称性（共7小题） 17 考点08 抽象函数的周期性（共6小题）（拓展） 20 考点01 抽象函数的定义域(共7小题 1．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为 ，则 的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·吉林·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·福建龙岩·期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知的定义域为，则的定义域为 ． 7．（24-25高一上·江西赣州·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 考点02 抽象函数求值（共4小题） 8．（2025·陕西西安·模拟预测）已知表示不小于x的最小整数，如，，已知定义在R上的函数满足，，，且，则（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 9．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，，则等于（    ） A．33 B．32 C．31 D．30 10．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，对任意，有，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数满足，且，则（   ） A． B． C． D． 考点03 求抽象函数的值域（共4小题） 12．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 13．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 14．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，值域为，则函数的值域为 . 15．（23-24高二下·河北保定·期末）已知函数 的定义域和值域均为 ，则函数 的定义域和值域分别为 . 16．（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是 . 17．（2025·山东聊城·模拟预测）已知偶函数的定义域为，且，则的值域为 . 18．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知满足，且，则的值域为 19．（2025·浙江温州·二模）函数满足：①②，．则的最大值等于 ． 考点04 抽象函数的解析式 20．（2025·重庆·模拟预测）设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 21．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为 . 22．（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为 ． 23．（2025高三·全国·专题练习）设，函数满足，函数的解析式为 . 24．（24-25高二下·浙江·期末）定义在上的函数满足且是一个增函数，请写出满足条件的一个函数 .（写出一个即可） 考点05 抽象函数的单调性 25．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高一上·辽宁·期中）设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上为增函数 B．在上为减函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 27．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数是定义在上的单调递减函数，则的单调递增区间为 ． 考点06 抽象函数的奇偶性 28．(多选)（24-25高一上·陕西榆林·期末）设函数的定义域为，，，若，，则（    ） A．， B．是偶函数 C．在上单调 D．可能是奇函数 29．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数的定义域是，则下列命题中不正确的是（   ） A．若是偶函数，为奇函数，则是偶函数 B．若是偶函数，为奇函数，则是偶函数 C．若是单调递减函数，则也是单调递减函数 D．若是单调递增函数，则也是单调递增函数 30．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ） A． B．可能是单调递减函数 C．为奇函数 D．若，则 31．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 32．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数满足任意的实数，，都有，且当时，. (1)求的值，并证明：是奇函数； (2)判断在上的单调性并证明； (3)若关于的不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 33．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知定义在上的函数满足下列两个条件： ①对任意,都有； ②对任意且，都有. 请解答下列问题： (1)求的值； (2)判断的奇偶性及在定义域内的单调性并证明； (3)证明：对任意正整数，. 考点07 抽象函数的对称性（共7小题） 34．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 35．（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高一上·河北·期中）函数的定义域为R，对任意的有且函数为偶函数，则（　　） A． B． C． D． 38．（25-26高三上·湖南·开学考试）定义在上的函数的图象关于点对称，且有，当时，恒有，则（　　） A． B． C． D． 39．（多选）（24-25高一下·安徽亳州·阶段练习）已知函数的定义域为，且，下列说法正确的是（    ） A． B．若在上有最小值－1，则在上有最大值1 C．若在上为增函数，则在上为减函数 D．若时，，则时， 40．(多选)（24-25高一上·广东深圳·期中）定义在上的函数满足，且在上是增函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上是减函数 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 考点08 抽象函数的周期性（共6小题）（拓展） 41．（多选）（25-26高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数，的定义域均为，，关于直线对称，且，若，则（   ） A． B．的图象关于点中心对称 C．是偶函数 D． 42．(多选)（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数 为定义在 上的奇函数，对 ，都有 ，且 在区间上单调递增，则下列说法正确的是（   ） A． B．的一个周期为 4 C． D． 在区间上单调递增 43．(多选)（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数定义域为，其导函数为，且，则下列说法正确的是（   ） A．一个对称中心为 B．的一个周期为2 C．的图象关于对称 D． 44.(多选)（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，定义域均为，的图象关于点对称，且满足，，则（    ） A．函数的图象关于对称 B．是周期为4的函数 C． D．是奇函数 45．（多选）（25-26高三上·宁夏银川·开学考试）已知定义域为的函数满足为奇函数，，则（    ） A．是周期为8的函数 B．为偶函数 C． D． 46．(多选)（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知函数的定义域为，当时，，函数的周期为2，当时，． (1)若在上满足，，，求： (2)若的图象有一条平行于轴的对称轴，证明：是常函数： (3)若，函数是周期函数，证明：是常函数． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题04 抽象函数的八大常考考点 考点01 抽象函数的定义域(共7小题 1 考点02 抽象函数求值（共4小题） 3 考点03 求抽象函数的值域（共4小题） 5 考点04 抽象函数的解析式（共5小题） 8 考点05 抽象函数的单调性（共3小题） 10 考点06 抽象函数的奇偶性（共5小题） 11 考点07 抽象函数的对称性（共7小题） 17 考点08 抽象函数的周期性（共6小题）（拓展） 20 考点01 抽象函数的定义域(共7小题 1．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为 ，则 的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抽象函数定义域可得的定义域，结合分母不为零可得答案. 【详解】因为的定义域为 ，所以的定义域为， 因为，所以的定义域为. 故选：C 2．（25-26高一上·吉林·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意有，解不等式即可． 【详解】函数的定义域为，则对于函数， 应有，解得， 故的定义域为． 故选：B． 3．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求． 【详解】在中，，∴， ∴的定义域是， 故在中，解得， ∴的定义域是. 故选：A. 4．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由即可求函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得， 故函数的定义域为. 故选：B 5．（23-24高一上·福建龙岩·期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数定义域的求法即可得解. 【详解】设，依题意可得，解得，所以， 所以的定义域为， 对于，有，解得， 即函数的定义域是. 故选：B 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】由抽象函数的定义域求法，可得出关于的不等式组，由此可解得所求函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 所以对于函数，有， 解得， 故函数的定义域为． 7．（24-25高一上·江西赣州·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由函数的定义域为，可得，即的定义域为. 【详解】函数的定义域为， ，则， ， 函数的定义域为. 考点02 抽象函数求值（共4小题） 8．（2025·陕西西安·模拟预测）已知表示不小于x的最小整数，如，，已知定义在R上的函数满足，，，且，则（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用赋值法探讨求得函数解析式，再按定义求得结果. 【详解】定义在上的函数满足， 取，得，则， 取，得，于是， 而，则， 当时，， 因此，， 则， 所以，. 故选：C 9．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，，则等于（    ） A．33 B．32 C．31 D．30 【答案】D 【分析】先令和代入已知等式可得，进而得到①；再结合已知等式得到②，解方程组①②得到解析式可得. 【详解】令，则， 令，则，则，所以①． 所以，则， 又因为，所以，，所以②． ①－②，得，所以．所以． 故选：D． 10．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，对任意，有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由赋值法可令，求得，再令，求得的解析式，运用数列的裂项相消法求和，计算可得所求和. 【详解】在中，令，得； 令，得，所以． 所以， 所以. 故选：A． 11．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意，令可得，进而利用累加法及等比数列的前和公式求解即可. 【详解】由， 则， 则， 将以上各式相加得 ， 所以. 故选：D. 考点03 求抽象函数的值域（共4小题） 12．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】令，求得，得到的定义域为，再结合函数图象变换，得到与函数的值域相同，即可得到答案. 【详解】由函数的定义域和值域分别为和，可得和， 令，解得，所以函数的定义域为， 又由函数的图象向左平移个单位，得到的图象， 所以函数与函数的值域相同，即. 故选：D. 13．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解. 【详解】因为函数的值域是， 所以函数的值域是， 令，则， 由对勾函数的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增， 而，，， 则，即函数的值域是. 故选：B. 14．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，值域为，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】函数可由的图象向左平移得到，由此知的值域. 【详解】因为函数的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的，故值域不变， 所以函数的值域为. 15．（23-24高二下·河北保定·期末）已知函数 的定义域和值域均为 ，则函数 的定义域和值域分别为 . 【答案】， 【分析】根据抽象函数的定义域的求法及函数值域的概念求解即可. 【详解】由函数 的定义域和值域均为 ， 所以要有意义，则需，解得， 所以函数的定义域为， 因为，所以， 所以，即值域为. 16．（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是 . 【答案】 【分析】根据函数图象的关系，结合值域的定义分析即可 【详解】函数的图象向左平移3个单位得到的图象， 因此函数的值域为， 则函数的值域是. 17．（2025·山东聊城·模拟预测）已知偶函数的定义域为，且，则的值域为 . 【答案】 【分析】令可得出，令结合偶函数的性质可求得函数的解析式，由此可得出函数的值域. 【详解】对，令，则，解得； 对，令，则， 又为偶函数，，故，解得。 又，故其值域为. 18．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知满足，且，则的值域为 【答案】 【分析】根据题意，令，求得，再令，求得，令，可得，即，再令，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由函数满足，且， 令，可得，因为，可得， 再令，可得，所以， 令，可得，即， 再令，可得，所以， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的值域为. 19．（2025·浙江温州·二模）函数满足：①②，．则的最大值等于 ． 【答案】 【分析】交换可得，进而可得再令可得，最后根据基本不等式可得答案. 【详解】，①． 则交换可得，, 化为② 由①②可得③， ③中令可得， 化简可得，当时等号成立， 所以的最大值等于． 考点04 抽象函数的解析式 20．（2025·重庆·模拟预测）设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 【答案】 【分析】运用赋值法可求解. 【详解】由①， 在①中，令可得②， 在②中，令，则③， 由②可得，④， 由①可得，⑤， 由②可得，⑥， 则由③④⑤⑥可得，，即， 因，则. 21．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据，令，得，依次可得，，，累加可得函数解析式. 【详解】函数的定义域为，且满足， 取，得，所以， ，，， 以上各式相加得． 22．（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据题设，进行赋值即可求解. 【详解】是定义在上的函数，， 且对任意，，恒成立， 令，得， 则， 此时， 而， 则，满足题意， 所以. 23．（2025高三·全国·专题练习）设，函数满足，函数的解析式为 . 【答案】 【分析】利用已知条件重新构造一个方程联立方程组解出即可. 【详解】由，，① 将换成得：，② ①②得：， 即， 24．（24-25高二下·浙江·期末）定义在上的函数满足且是一个增函数，请写出满足条件的一个函数 .（写出一个即可） 【答案】（只需符合即可）. 【分析】令，可得，推导出函数为奇函数，然后验证满足题设条件，即可得出结果. 【详解】因为定义在上的函数满足， 则， 令，可得， 令可得， 由题意可得， 令，则，则函数为奇函数， 函数为增函数，则函数为增函数， 可取， 则，满足要求， 故满足题意. 考点05 抽象函数的单调性 25．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数在上单调递增，则在上单调递增，根据复合函数的单调性“同增异减”求出函数在定义域内的递减区间即可． 【详解】因为函数在上单调递增，所以在上单调递增， 设， 由，解得或， 所以在上单调递减， 所以的单调减区间为. 故选：B. 26．（24-25高一上·辽宁·期中）设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上为增函数 B．在上为减函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 【答案】D 【分析】利用特殊函数排除A、B、C，即可得答案. 【详解】由题设，满足要求，则为常数函数且定义域不是R，排除B， 、在R上不是单调函数，且后一个函数定义域不为R，排除A、C， 若函数在上为增函数，则在上为减函数，D对. 故选：D 27．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数是定义在上的单调递减函数，则的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可求得答案. 【详解】设，令，则， 即函数的定义域为， 结合题意知的定义域为； 函数是定义在上的单调递减函数， 故要求的单调递增区间，即求在上的单调递减区间， 而在上单调递减， 故在上的单调递减区间为， 则的单调递增区间为. 考点06 抽象函数的奇偶性 28．(多选)（24-25高一上·陕西榆林·期末）设函数的定义域为，，，若，，则（    ） A．， B．是偶函数 C．在上单调 D．可能是奇函数 【答案】AB 【分析】根据绝对值得意义可判断A，根据偶函数定义及性质判断B、C，利用反证法可判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 由，得，所以是偶函数， 根据偶函数的对称性可知，函数在不上单调，故B正确，C错误； 若是奇函数，结合选项B知，，所以， 即，这与矛盾，故D错误. 故选：AB. 29．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数的定义域是，则下列命题中不正确的是（   ） A．若是偶函数，为奇函数，则是偶函数 B．若是偶函数，为奇函数，则是偶函数 C．若是单调递减函数，则也是单调递减函数 D．若是单调递增函数，则也是单调递增函数 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性的定义判断A，B；举反例判断C；根据单调性的定义判断D． 【详解】对于A，令， 则， 所以为偶函数，即是偶函数，故A正确； 对于B，令， 则， 所以是偶函数，即是偶函数，故B正确； 对于C，取，则在R上单调递减， 则，在R上单调递增，故C错误； 对于D，因为是单调递增函数， 任取，且， 则， 所以， 所以也是单调递增函数，故D正确. 故选：C. 29．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ） A． B．可能是单调递减函数 C．为奇函数 D．若，则 【答案】B 【分析】由单调函数性质，奇函数定义结合赋值法可判断各选项正误. 【详解】因为定义在R上的单调函数，则，时. 对于A，令，则或， 若，则对，取，都有，不满足单调函数性质， 故，故A正确； 对于B，令，则或 由，则舍去，得， 因，结合为定义在R上的单调函数，则只能是单调递增函数，故B错误； 对于C，令，则或（舍）， 则，取， 则，又定义域为R，则为奇函数，故C正确； 对于D，令，则， 令，则， 则，故D正确. 故选：B 30．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】利用赋值法求出、及的值，从而判断AB；令，结合的值，可得，从而判断CD. 【详解】对于A，令，则， 又因为，所以， 令，则，解得，故A错误； 对于B，令，则，又， 解得，故B错误； 对于C，令，则有， 又因为，所以， 所以函数为单调递增函数，故C正确； 对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C. 31．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数满足任意的实数，，都有，且当时，. (1)求的值，并证明：是奇函数； (2)判断在上的单调性并证明； (3)若关于的不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，证明见解析 (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）用特值法可求出的值，再利用奇函数的概念即可证明； （2）利用定义法证明函数的单调性即可； （3）题设不等式恒成立可化简为对任意的恒成立，再利用换元法求出函数的单调性和最值，利用二次函数的图象的单调性结合定义域即可求解. 【详解】（1）因为函数满足任意的实数，，都有， 令，则，所以. 令，则， 所以，所以是奇函数. （2）在上单调递增. 证明：设，且，所以， 又，所以，所以，所以，即，所以在上单调递增. （3）关于的不等式对任意的恒成立，即关于的不等式对任意的恒成立， 由（2）可知在上单调递增， 令，，所以，， 令，， 当，即时，在上单调递增， 所以，解得， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，不符合题意； 当，即时，在上单调递减， 所以，解得，与矛盾，不符合题意. 综上，的取值范围是. 32．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知定义在上的函数满足下列两个条件： ①对任意,都有； ②对任意且，都有. 请解答下列问题： (1)求的值； (2)判断的奇偶性及在定义域内的单调性并证明； (3)证明：对任意正整数，. 提示：①.；②.. 【答案】(1) (2)奇函数，在上单调递减，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据赋值法令，可求得； （2）通过赋值令，可得是奇函数，可得，再结合条件即可证明单调性； （3）根据题目中提示将化简为，再消项求和，根据单调性判断，得证. 【详解】（1）令得：； （2）令得：， 是奇函数，在上单调递减. 下面证明：任取且， ，，且，则 而，则， 在上单调递减； （3） 由、知在单调递减，， 当时，，，则 得证. 考点07 抽象函数的对称性（共7小题） 34．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知关于对称，，再由在上单调递增可判断大小关系. 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以对，， 所以关于直线对称，所以， 又因为在上单调递增，所以. 故选：B 35．（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对称性及单调性求解函数不等式. 【详解】由函数的定义域为，得函数的图象关于直线对称， 又函数在上单调递减，则不等式， 即，解得，所以所求不等式的解集为. 故选：D 36．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到函数的图象关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，结合函数的单调性和对称性，即可求解. 【详解】由函数满足，可得函数的图象关于对称， 又由，都有， 根据函数单调性的定义，可得函数在上单调递减， 结合对称性知：函数在上单调递增， 因为，所以， 又因为，所以. 故选：B. 37．（25-26高一上·河北·期中）函数的定义域为R，对任意的有且函数为偶函数，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件推出在上单调递减，又由函数为偶函数，推出的图象关于直线对称，由对称性和单调性即可得的大小关系. 【详解】因为的定义域为R， 且对任意的，有， 设，则有，所以在上单调递减. 又因为函数为偶函数，即， 所以的图象关于直线对称，所以， 则. 故选：B. 38．（25-26高三上·湖南·开学考试）定义在上的函数的图象关于点对称，且有，当时，恒有，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数关于点对称可得，根据赋值法可得，结合单调性，可得当时，恒有，再利用递推式计算即可． 【详解】在中，令，得． 因为函数的图象关于点对称，所以． 令，则，所以． 又，所以． 在中，令，得，所以． 又由已知，在上是不减的函数，所以当时，恒有． 由，得． 所以． 因为，所以． 故选：C． 39．（多选）（24-25高一下·安徽亳州·阶段练习）已知函数的定义域为，且，下列说法正确的是（    ） A． B．若在上有最小值－1，则在上有最大值1 C．若在上为增函数，则在上为减函数 D．若时，，则时， 【答案】AB 【分析】根据奇函数和单调性的定义与性质逐项判断即可确定答案. 【详解】由题意可知：函数是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称. 对A：令，则，故A正确； 对B：根据奇函数图象的对称性，若在上有最小值－1，则在上有最大值1，故B正确； 对C：根据奇函数图象的对称性，若在上为增函数，则在上也为增函数，故C不正确； 对D：设，则，所以， 又，所以（）. 故D不正确. 故选：AB 40．(多选)（24-25高一上·广东深圳·期中）定义在上的函数满足，且在上是增函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上是减函数 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】ABC 【分析】利用赋值法可判断A，利用抽象函数的对称性与单调性可判断B，利用抽象函数的对称性的判定可判断C，利用反例排除D，从而得解. 【详解】对于A，由得， 又，则，A正确， 对于B，由于故是奇函数， 由在上是增函数可得在上也是增函数 由，因此关于对称， 故在上是减函数，B正确， 对于C，由， 则， 故关于对称， 结合为奇函数，故的图象关于对称，故C正确， 对于D，因为，所以， 又在上是减函数，所以， 故，即，则不是的对称轴，故D错误. 故选：ABC. 考点08 抽象函数的周期性（共6小题）（拓展） 41．（多选）（25-26高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数，的定义域均为，，关于直线对称，且，若，则（   ） A． B．的图象关于点中心对称 C．是偶函数 D． 【答案】ABC 【分析】根据函数的性质，结合题给条件得出是周期为6的偶函数，从而判断出选项C，再根据函数的性质结合已知条件逐一判断其余各选项． 【详解】关于对称， ，令，则①， ，令替换为，则， 周期为6， ，令替换为，则， 又， ，即，令替换为，则②， 联立①②得：，即， 为偶函数，选项C正确． 选项A：，令，则，解得，选项A正确． 选项B：为偶函数，， ，令替换为，则，即， ，即图象关于点中心对称，故B正确． 选项D：周期为6，， ，，， ，即一个周期的和为0， 到共项，共个周期余4项，前项和为0， 剩余4项，，，， 剩余项和为， ，令，则，即， ，故D错误． 故选：． 42．(多选)（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数 为定义在 上的奇函数，对 ，都有 ，且 在区间上单调递增，则下列说法正确的是（   ） A． B．的一个周期为 4 C． D． 在区间上单调递增 【答案】ABC 【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式求出函数的周期，再根据已知等式求出函数的一条对称轴，然后逐一判断即可. 【详解】A：因为函数 为定义在 上的奇函数， 所以，在中，令，则有，因此本选项说法正确； B：因为函数 为定义在 上的奇函数， 所以有，而，所以有， 即有，则有， 所以函数的周期为，因此本选项说法正确； C：因为奇函数的周期为， 所以， 因此本选项说法正确； D：当时，，， 由，所以该函数的一条对称轴为， 又因为 在区间上单调递增， 所以 在区间上单调递减， 在区间上单调递减，因此本选项说法不正确， 故选：ABC 43．(多选)（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数定义域为，其导函数为，且，则下列说法正确的是（   ） A．一个对称中心为 B．的一个周期为2 C．的图象关于对称 D． 【答案】ACD 【分析】对A，根据函数的对称性定义可判断；对B，由，两边求导可得的图象关于对称，结合条件可得，由周期函数的定义得解；对C，由的图象关于对称，周期为4，可判断；对D，将代入，可得，将代入结合可得，结合函数的周期性运算得解. 【详解】对于A，由满足，则关于中心对称，故A正确； 对于B，由，两边求导可得， 即，所以的图象关于对称， 又等价于， ，所以， ，即的一个周期为4，故B错误； 对于C，因为的图象关于对称，周期为4，所以的图象关于对称，故C正确； 对于D，将代入，可得， 将代入，得，又， 所以，， 所以， 又， 所以，故D正确. 故选：ACD. 44.(多选)（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，定义域均为，的图象关于点对称，且满足，，则（    ） A．函数的图象关于对称 B．是周期为4的函数 C． D．是奇函数 【答案】ABD 【分析】由的图象关于点对称，根据对称性可得，可判断D；由已知可得判断A；由已知等式推出，可推出函数的周期，判断B；再结合赋值法可判断C. 【详解】函数的定义域均为，函数的图象关于点对称，则， 即函数是奇函数，D正确； 又 ①， ②， 由①式，令 ，得， 化简可得； 由②式，令，得， 化简得； 因此，即. 故的图象关于直线对称，A正确； 由①式，令，可得 ③， ③-①可得 ④， 因为的图象关于点对称， 所以 ⑤， ④+⑤可得 令可得， 则， 故函数是周期为4的函数，B正确； 在中，令，则， 令，得，令，得， 由，令，得， 可得， 故，则，C错误， 故选：ABD. 45．（多选）（25-26高三上·宁夏银川·开学考试）已知定义域为的函数满足为奇函数，，则（    ） A．是周期为8的函数 B．为偶函数 C． D． 【答案】ABD 【分析】由得，由为奇函数得，进而，可得，即可判断A；由得，即可判断B；利用周期性和对称性即可求值判断C；先根据周期性和对称性求得，然后利用分组求和思想求和即可判断D． 【详解】由，得， 因为为奇函数，所以，即， 所以，即，所以， 所以8为的一个周期，故A正确； 由，得， 所以是偶函数，故B正确； 由，得，所以， 所以，故C错误； 由周期性和，得，所以， 同理， 由，得，所以， 则，所以 ，故D正确． 故选：ABD． 46．(多选)（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知函数的定义域为，当时，，函数的周期为2，当时，． (1)若在上满足，，，求： (2)若的图象有一条平行于轴的对称轴，证明：是常函数： (3)若，函数是周期函数，证明：是常函数． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）利用已知条件以及和，通过赋值代入化简即可求出的值； （2）利用函数的对称性和单调性来证明函数是常函数即可； （3）根据函数为周期函数以及的周期性，结合的条件即可证明函数是常函数. 【详解】（1）由，令， 则，又， 所以， 由，令， 则，所以， 令，则， 所以， 令，由， 则，所以， 由，令， 则，所以， 由在上满足，且当时，， 因为，所以， 又，所以. （2）设函数的图象关于直线（为常数）对称， 则对任意，有， 任取，由题知函数单调不减， 有， 又， 所以， 由对称性得： 所以 所以函数为常函数. （3）因为函数的周期为2， 所以 因为函数是周期函数， 设周期为，则对任意有： 即， 令，则， 因为，所以， 令，则， 因为，所以， 又，所以要使，必有，即，即， 所以是2的正整数倍，所以， 因为，所以， 当时，，所以函数是单调不减函数， 假设函数不是常函数，则存在使得，与矛盾， 故原假设不成立，所以函数为常函数. 3 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $