专题04 圆与圆的方程（期中真题汇编，黑龙江专用）高二数学上学期人教A版

专题04 圆与圆的方程 4大高频考点概览 考点01 圆的标准方程 考点02 圆的一般方程 考点03 直线和圆的位置关系 考点04 圆与圆的位置关系 ( 地 城 考点01 圆的标准方程 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）圆C：的半径为（    ） A．9 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）已知两直线和的交点为M，则以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·期中）过点，且圆心在直线上的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）设有一组圆，下列命题正确的是（　　） A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点 C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为4 6．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，则圆的方程（    ） A． B． C． D． 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江黑河·期中）若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆的方程为 ． 8．（24-25高二上·黑龙江七台河·期中）以点为圆心，且与轴相切的圆的方程是 . 9．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线，直线，与交于点点. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程. ( 地 城 考点0 2 圆的一般方程 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）若点在圆：的外部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江黑河·期中）方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·期中）若圆：过坐标原点，则实数的值为（    ） A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-1 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）圆（　　） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 6．（24-25高二上·黑龙江伊春·期中）若方程表示圆，则实数a的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D． 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）经过坐标原点，且圆心坐标为的圆的一般方程是 ． 8．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点,的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点,间的距离为，动点满足，则的最大值为 9．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）分别根据下列条件求圆的标准方程： (1)圆心在直线上，半径为2，且与直线相切； (2)过三点，，. ( 地 城 考点0 3 直线与圆的位置关系 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知是圆上的两个动点，点，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）若直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若圆关于直线对称，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）在圆的所有经过坐标原点的弦中，最短的弦的长度为（    ） A．1 B．2 C． D．4 5．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习）设，．若动直线与交于点A，C，动直线与交于点B，D，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A．的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．满足四边形是正方形的点有且只有一个 D．直线恒过定点 7．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别切圆C于点A，B．则下列说法正确的是（    ） A．四边形PACB的面积最小值为 B．M为圆C上一动点，则最小值为 C．的最小值为 D．最短时，PC长度最短 三、填空题 8．（24-25高二上·黑龙江黑河·期中）直线与圆的位置关系是 . 9．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线被圆截得的弦长为 . 10．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）圆上的点到直线的最大距离是 ． 11．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知圆. (1)求过点与圆相切的直线方程. (2)求过点与圆相交且弦长为的直线方程. ． 12．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点且斜率为的直线被圆截得的弦长； (2)求过点与圆相切的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. ( 地 城 考点0 4 圆与圆的位置关系 ) 一、单选题 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知圆与圆外切，则的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知圆，点，若直线，分别切圆于，两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知圆与圆相切，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．2 D． 5．（24-25高二上·黑龙江·期中）圆：和圆：的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 6．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）以下四个命题表述正确的是（    ） A．若圆：上有且仅有两个不同的点到直线：的距离为1，则的取值范围是 B．点为圆：上的点，则的最大值为25 C．两圆与的公共弦所在的直线方程为 D．圆：与圆：恰有三条公切线 7．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）以下四个命题表述正确的是（    ） A．两圆与的公共弦所在的直线方程为 B．圆：与圆：恰有三条公切线 C．为圆：上的点，则的最大值为25 D．若圆：上有且仅有两个不同的点到直线：的距离为1，则的取值范围是 三、非选择题 8．（24-25高二上·黑龙江伊春·期中）两圆与上的点之间的最短距离是 . 9．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知.若存在满足的点使为钝角，则t的取值范围是 . 10．（24-25高二上·黑龙江黑河·期中）已知圆与圆只有一条公切线，则 . 11．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知圆 (1)若直线过点，且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程． 12．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求： (1)求圆心为的圆的标准方程； (2)设点在圆上，点在直线上，求的最小值； (3)若过点作圆的两条切线，求过两个切点的直线方程. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆与圆的方程 4大高频考点概览 考点01 圆的标准方程 考点02 圆的一般方程 考点03 直线和圆的位置关系 考点04 圆与圆的位置关系 ( 地 城 考点01 圆的标准方程 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）圆C：的半径为（    ） A．9 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由圆的标准方程直接得出答案． 【详解】∵以为圆心，为半径的圆的标准方程是， ∴圆C：的半径为3， 故选：C． 2．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）已知两直线和的交点为M，则以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得两直线交点，即可根据圆的标准方程性质求解圆的方程. 【详解】，则，又半径长为1， 则圆M的方程为：. 故选：B 3．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线过定点可得圆心坐标，再结合半径可得圆的方程. 【详解】由，得， 令，则， 即直线恒过定点， 则圆的方程为，即， 故选：D. 4．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·期中）过点，且圆心在直线上的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设得的中垂线方程为，其与交点即为所求圆心，并应用两点距离公式求半径，写出圆的方程即可． 【详解】由题设，的中点坐标为，且， ∴的中垂线方程为，联立， ∴，可得，即圆心为，而， ∴圆的方程是． 故选：B． 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）设有一组圆，下列命题正确的是（　　） A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点 C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为4 【答案】AB 【分析】对于AD：由题意可知：圆，的圆心，半径，进而分析判断；对于CD：分别将点，代入方程，通过解的个数分析判断. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径. 对于选项A：不论k如何变化，圆心始终在直线上，故A正确； 对于选项B：令，整理得， 因为，可知方程无解， 所以所有圆均不经过点，故B正确； 对于选项C：令，整理得， 因为，可知方程有两个不同的解， 所以经过点的圆有且只有两个，故C错误； 对于选项D：因为半径，所以所有圆的面积均为，故D错误； 故答案为：AB. 6．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，则圆的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设圆心坐标为，半径为，根据圆与轴相切，得到圆的半径等于圆心横坐标的绝对值，把圆心坐标代入直线得到关于与的方程 , 再由垂径定理得到的一个关系式，三者联立即可求出 及的值，从而确定出圆的方程. 【详解】设所求圆的方程为 ，则圆心到直线的距离为， 所以，即. 因为所求圆与轴相切，所以 又因为所求圆的圆心在直线上， 所以， 所以 或 故所求圆的方程为 或. 故选：BD 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江黑河·期中）若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆的方程为 ． 【答案】或 【分析】由题意可得所求的圆的方程为 ，，再把点代入，求得的值，得出答案. 【详解】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为，，则半径为. 故圆的方程为，再将点代入，得，求得或1 故要求的圆的方程为或． 故答案为：或． 8．（24-25高二上·黑龙江七台河·期中）以点为圆心，且与轴相切的圆的方程是 . 【答案】 【分析】结合已知条件求出圆的半径，进而得到答案. 【详解】因为为圆心，且圆与轴相切， 所以圆的半径， 故所求圆的方程为. 故答案为：. 9．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线，直线，与交于点点. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立两直线方程可得交点，求解中点坐标，即可根据斜率公式求解，即可根据垂直的斜率关系，结合点斜式即可求解直线方程， （2）联立两直线方程可得圆心坐标，进而可求解半径，即可得解. 【详解】（1），故， 因为，所以中点坐标为且. 所以的垂直平分线方程为，即. （2），故圆心坐标为，半径为. 所以圆的标准方程为. ( 地 城 考点0 2 圆的一般方程 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】将圆的一般方程化成标准方程即可求解. 【详解】的标准方程为，故所求分别为，. 故选：A. 2．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）若点在圆：的外部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知点与圆心的距离大于圆的半径，由此可以列出与有关的不等式，从而解不等式即可求解. 【详解】一方面：将圆：化为标准方程可得， 首先有圆心，其次圆的半径满足，解得， 另一方面：又因为点在圆：的外部， 所以，即，解得； 综上所述：的取值范围为. 故选：A. 3．（24-25高二上·黑龙江黑河·期中）方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简方程为，根据圆的标准方程，得到不等式，即可求解. 【详解】由方程，可化为， 要使得方程表示一个圆，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 4．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·期中）若圆：过坐标原点，则实数的值为（    ） A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-1 【答案】C 【分析】根据圆的一般方程的定义，结合过原点列方程即可求解. 【详解】∵表示圆， ∴ ∴. 又圆过原点， ∴， ∴或（舍去）； . 故选:C. 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）圆（　　） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】ABC 【分析】将圆的方程转化为标准方程，可得圆心，进而判断各选项. 【详解】由圆的方程为，即， 即圆心的坐标为， A选项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点是圆心，A选项正确； B选项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线过圆心，B选项正确； C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线过圆心，C选项正确； D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线不过圆心，D选项不正确； 故选：ABC. 6．（24-25高二上·黑龙江伊春·期中）若方程表示圆，则实数a的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】AB 【分析】根据圆的一般方程列式求得，结合选项即可得结果. 【详解】若方程表示圆， 则，解得， 结合选项可知：AB正确，CD错误. 故选：AB. 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）经过坐标原点，且圆心坐标为的圆的一般方程是 ． 【答案】 【分析】依题意设圆的方程为，根据圆过坐标原点求出，即可得到圆的方程，再化为一般式即可. 【详解】解：依题意设圆的方程为，又圆过坐标原点， 所以，所以圆的方程为，即. 故答案为： 8．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点,的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点,间的距离为，动点满足，则的最大值为 【答案】/ 【分析】先建立平面直角坐标系，写出，，的坐标，然后求出的轨迹方程，然后利用坐标表示出 ，利用点的轨迹方程消元求解即可. 【详解】由题可知,, 不妨设：, 所以有，, 因为, 得，整理得，得， 显然，得，解得： , 有=, 因为， 所以当时，有最大值为, 故答案为：. 9．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）分别根据下列条件求圆的标准方程： (1)圆心在直线上，半径为2，且与直线相切； (2)过三点，，. 【答案】(1)或 (2). 【分析】（1）由半径为2，且与直线相切，可得圆心纵坐标，后结合圆心在直线上可得圆心坐标即可得答案； （2）设相应圆方程为，代入三点坐标，解相应三元一次方程可得答案. 【详解】（1）因圆半径为2，且与直线相切，则圆心纵坐标为或. 又圆心在直线上，则圆心坐标为或. 故相应圆的标准方程为：或； （2）设相应圆方程为，代入三点，，， 则，即圆的一般方程为：. 故圆的标准方程为：. ( 地 城 考点0 3 直线与圆的位置关系 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知是圆上的两个动点，点，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的中点为，要使最大只需最小，可求得的轨迹方程，从而可求得的最小值，从而可求得最大值. 【详解】设的中点为，则，因为，    所以要使最大只需最小，由，得， 所以，设，则， 整理得，所以轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又，即在此圆内，故， 所以，故. 故选：B. 2．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）若直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出曲线，它是半圆，直线过定点，由图可知四条直线产生临界条件，两条过半圆的两个端点，两条是半圆的切线，求出其斜率后可得结论． 【详解】直线过定点， 又曲线可化为：，， 画出直线与曲线图象如图所示： 数形结合可得直线在，，，处产生临界条件， 设直线，，，的斜率分别为 则 设直线的方程为， 圆心到直线的距离为，解得舍去或， 要使两图象有个不同交点，则 故选：D． 3．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若圆关于直线对称，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆的标准方程、点在直线上运算即可得解. 【详解】解：∵圆的方程可化为， ∴圆心为， ∵圆关于直线对称， ∴圆心在直线上， ∴， ∴． 故选：C. 4．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）在圆的所有经过坐标原点的弦中，最短的弦的长度为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】利用配方法化简圆的方程，结合垂径定理与勾股定理，可得答案. 【详解】由，则圆的标准方程为，如下图： 图中，，为圆的圆心，为直线与圆的交点， 易知为所有经过坐标原点的弦中的最短弦，. 故选：B. 5．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习）设，．若动直线与交于点A，C，动直线与交于点B，D，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线的距离为d，根据几何关系表示出，利用基本不等式即可求出其最大值. 【详解】， 圆心，半径， 过定点， 过定点，且⊥， 如图，设和中点分别为F、G，则四边形为矩形，    设，，则， 则＝ ，当且仅当即时取等号. 故选：B. 二、多选题 6．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A．的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．满足四边形是正方形的点有且只有一个 D．直线恒过定点 【答案】ABD 【分析】由勾股定理得当最小时，最小，计算可判断A选项；由题意可得最小时，四边形的面积最小，计算可判断B选项；当最小时，最大，，可判断C选项；根据与圆相切，得到直线的方程，从而求得定点可判断D选项. 【详解】如图所示， 对于选项A，因为，所以当最小时，最小， 而0，则． 此时，正确； 对于选项B，因为， 所以最小时，四边形的面积最小，且为，正确； 对于选项C，当最小时，最大，而此时是锐角， 所以不存在点使四边形PAOB是正方形，错误； 对于选项D，圆的圆心为，半径为．设， 因为在直线上，所以． 又为圆的切线，故以OP为直径的圆的方程为， 联立，两式作差可得直线的方程为， 将代入得，即， 所以直线恒过定点，正确． 故选：ABD. 7．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别切圆C于点A，B．则下列说法正确的是（    ） A．四边形PACB的面积最小值为 B．M为圆C上一动点，则最小值为 C．的最小值为 D．最短时，PC长度最短 【答案】ACD 【分析】对于选项ACD：根据切线性质可知，，结合圆的性质分析求解；对于B：根据圆的性质结合点到直线的距离分析求解. 【详解】对于选项ACD：由切线长定理可得，且，则， 所以四边形的面积， 因为， 可知取到最小值等价于取到最小值，等价于取到最小值， 当时，取最小值，且， 可知的最小值为， 所以四边形的面积的最小值为， 故ACD正确； 对于选项B：因为， 所以最小值为，故B错误； 故选：ACD. 三、填空题 8．（24-25高二上·黑龙江黑河·期中）直线与圆的位置关系是 . 【答案】相交 【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交. 故答案为：相交 9．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线被圆截得的弦长为 . 【答案】2 【分析】将直线方程代入圆的一般方程，解方程得出两个交点的坐标，结合两点距离公式计算即可求解. 【详解】由题意知，， 代入圆的一般方程，得， 解得， 当时，，对应的点为， 当时，，对应的点为， 所以该弦长为. 故答案为：2. 10．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）圆上的点到直线的最大距离是 ． 【答案】 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，求得圆心和半径，利用圆心到直线的距离加上半径，可求解. 【详解】将圆化为标准方程可得， 所以圆的圆心为，半径， 根据点到直线距离公式可得圆心到直线的距离为， 所以可得最大距离为. 故答案为： 11．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知圆. (1)求过点与圆相切的直线方程. (2)求过点与圆相交且弦长为的直线方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分直线斜率存在和不存在，利用圆心到直线的距离等于半径列式求解； （2）由弦长求得圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式求解. 【详解】（1）∵圆，即， ∴圆心，半径， 当直线斜率存在时，设直线，即， 圆心到直线的距离，解得， 此时直线方程为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切， 综上，所求直线方程为或． （2）∵过点与圆相交且弦长为， ∴圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离为7，不合题意； ∴直线斜率存在，设直线方程为，即， ∵圆心到直线的距离， 整理得，即，解得或， ∴所求直线方程为或． 12．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点且斜率为的直线被圆截得的弦长； (2)求过点与圆相切的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 【答案】(1) (2)和 (3)定值， 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，然后根据半径、圆心到直线的距离、半弦长之间的关系求解出弦长； （2）先直接分析直线斜率不存在的情况，当直线斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求解出切线方程，由此结果可知； （3）设以及直线的方程，联立直线与圆的方程，得到坐标的韦达定理形式，然后将化简至用韦达定理表示的形式，代入计算可得结果. 【详解】（1）过点斜率为的直线方程为， 圆心到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为. （2）圆的圆心为，半径为2， 若过点的直线垂直于轴，则方程为，显然与圆相切，符合题意； 若过点的直线不垂直于轴，设直线的斜率与， 则直线方程为，即， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以切线方程为； 综上所述，切线方程为和. （3）由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立，得， 设，则， 且， 所以 ， 所以是定值，定值为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，再将其与圆的方程联立得到韦达定理式，最后代入斜率之和的表达式化简即可. ( 地 城 考点0 4 圆与圆的位置关系 ) 一、单选题 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断两圆相交，再将两圆方程相减即得公共弦所在直线的方程. 【详解】圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径 ∵，∴圆与圆相交， 两圆相减，化简得直线，即为圆与圆的公共弦所在直线，故B正确. 故选：B. 2．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知圆与圆外切，则的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和.先求出两圆的圆心坐标和半径，再根据两圆外切的性质列出等式求解的值. 【详解】对于圆，其圆心坐标，半径. 对于圆，即， 其圆心坐标，半径， 因为两圆外切，所以两圆的圆心距等于两圆半径之和. 两圆的圆心距， 根据两圆外切性质，即，解得. 故选：B. 3．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知圆，点，若直线，分别切圆于，两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知直线为圆和以为直径的圆的公共弦，求出以为直径的圆，即可求出结果． 【详解】因为直线，分别切圆于，两点， 所以， 所以点在以为直径的圆上． 因为， 所以以为直径的圆的圆心为， 半径为， 故以为直径的圆的方程，即， 又圆，即， 两圆方程相减得， 所以直线的方程为：． 故选：A． 4．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知圆与圆相切，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，按两圆外切和内切分类讨论求出最小值. 【详解】圆的圆心为，半径为3，圆的圆心为，半径为1， 若圆与圆外切，则，即， 则，当且仅当时取等号； 若圆与圆内切，则，即， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：C 5．（24-25高二上·黑龙江·期中）圆：和圆：的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据圆的方程确定出两圆的圆心和半径，然后根据圆心距与半径的关系判断两圆位置关系，由此得到公切线条数. 【详解】因为两个圆：和：， 即，， 所以圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 所以两圆圆心距为， 因为，所以两圆外切，有3条公切线， 故选：C. 二、多选题 6．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）以下四个命题表述正确的是（    ） A．若圆：上有且仅有两个不同的点到直线：的距离为1，则的取值范围是 B．点为圆：上的点，则的最大值为25 C．两圆与的公共弦所在的直线方程为 D．圆：与圆：恰有三条公切线 【答案】BCD 【分析】由圆心到直线的距离，即可求得m的取值范围，从而判断A；由圆上的点到定点的距离知识即可判断B；由两圆公切线所在直线方程的求法即可判断C；通过判断两圆的位置关系即可判断D. 【详解】对于A，因为圆C：上有且仅有两个不同的点到直线：的距离为1，所以圆心到直线的距离，即，解得或，故A错误； 对于B，因为表示圆上的点到点的距离，由圆心到点的距离，得的最大值为，故B正确； 对于C，将两圆方程相减得：，故C正确； 对于D，将圆C：化为标准方程为：，其圆心，半径，将圆：化为标准方程为：，其圆心，，则，则两圆外切，故两圆有3条公切线，故D正确； 故选：BCD. 7．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）以下四个命题表述正确的是（    ） A．两圆与的公共弦所在的直线方程为 B．圆：与圆：恰有三条公切线 C．为圆：上的点，则的最大值为25 D．若圆：上有且仅有两个不同的点到直线：的距离为1，则的取值范围是 【答案】ABC 【分析】对A，将两圆的方程相减即可；对B，根据两圆的位置关系判断即可；对C，根据的几何意义求解即可；对D，由圆心到直线的距离，即可求得m的取值范围，从而判断. 【详解】对于A，将两圆方程相减得：，故A正确； 对于B，将圆C：化为标准方程为：， 其圆心，半径，将圆：化为标准方程为： ，其圆心，， 则，则两圆外切，故两圆有3条公切线，故B正确； 对于C，因为表示圆上的点到点的距离， 由圆心到点的距离， 得的最大值为，故C正确； 对于D，由圆C：上有且仅有两个不同的点到直线的距离为1， 所以圆心到直线的距离，即， 解得或，故D错误； 故选：ABC. 三、非选择题 8．（24-25高二上·黑龙江伊春·期中）两圆与上的点之间的最短距离是 . 【答案】 【分析】判断两圆的位置关系，计算出圆心距，结合圆的几何性质可求得两圆上的点之间的最短距离. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心距为，即两圆外离， 故两圆上的点之间的最短距离为. 故答案为：. 9．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知.若存在满足的点使为钝角，则t的取值范围是 . 【答案】 【分析】求得点的轨迹方程，求得以为直径的圆的方程，由题意可得t的取值范围. 【详解】设，因为，， 所以，化简得， 配方得，圆心为，半径为， 以为直径的圆的方程为， 若存在满足的点使为钝角， 则圆与圆有两个公共点或圆在圆内部或圆在圆内切， 所以，又，所以，解得， 所以t的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：关键在于求得的轨迹方程与以为直径的圆，利用圆与圆的位置关系求解. 10．（24-25高二上·黑龙江黑河·期中）已知圆与圆只有一条公切线，则 . 【答案】16 【分析】首先求出两圆的圆心坐标与半径，依题意可知两圆相内切，即可得到，从而得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 因为圆与圆只有一条公切线， 所以两圆相内切，所以，即， 所以. 故答案为： 11．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知圆 (1)若直线过点，且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据题意，可分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合直线与圆相切，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解； （2）设，由两圆相外切，得到，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：由圆，可得原心，半径为， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由圆心到直线的距离等于半径，可得，解得， 此时直线的方程为， 综上可得，所求直线的方程为或. （2）解：由圆的半径为3，圆心在直线上， 设，且圆的圆心，半径为， 由两圆相外切，可得，即， 解得或，所以或， 所以所求圆的方程为或. 12．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求： (1)求圆心为的圆的标准方程； (2)设点在圆上，点在直线上，求的最小值； (3)若过点作圆的两条切线，求过两个切点的直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先设圆的标准方程，再代入点的坐标及圆心在直线上即可求解； （2）应用点到直线距离公式，结合圆的性质求解； （3）圆心和两切点的连线分别和两条切线垂直，这就意味着两切点在以点和圆心的连线段为直径的圆上，同时它们又在已知圆上．因此，过两切点的直线方程，其实就是：这两个圆的公共弦所在直线的方程． 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 所以，解得：， 所以圆的标准方程为. （2）因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离， 所以的最小值为. （3）记点和圆心， 则线段的中点为，， ∴以为直径的圆的方程为，即， 又圆的标准方程为，即， 将两圆的方程相减可得公共弦的方程为， 即过两个切点的直线方程为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $