专题01 空间向量与立体几何（期中真题汇编，江西专用）高二数学上学期北师大版

专题01 空间向量与立体几何 7大高频考点概览 考点01 空间向量的运算 考点02 空间向量的平行和垂直 考点03 空间直角坐标系 考点04 空间向量的综合 考点05 空间向量的综合应用 考点06 利用空间向量求直线与平面的夹角 考点07 利用空间向量求平面与平面的夹角 地 城 考点01 空间向量的运算 1．(24-25高二上·江西赣州十八县（、区）二十四校·期中)已知，则A，B两点间的距离为（    ） A． B． C．12 D．24 2．(24-25高二上·江西德兴第六高级中学·期中)在空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·江西南昌第十九中学·期中)已知点与点关于轴对称，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·江西南昌新民外语学校·期中)点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·江西部分学校·期中)设向量，，不共面，则下列集合可以作为空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·江西鹰潭余江区第一中学·期中)如图，四面体中，点为中点，为中点，为中点，设，，，若可用，，表示为（    ）    A． B． C． D． 7．(24-25高二上·江西南昌新民外语学校·期中)如图,在四面体中,是的中点,是的中点,则等于（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高二上·江西景德镇一中·期中)如图，已知四棱柱的体积为，四边形是平行四边形，点在平面内，且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高二上·江西南昌新民外语学校·期中)已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 10．(24-25高二上·江西赣州赣南师范大学附属中学·期中)（多选题）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 11．(24-25高二上·江西南昌新民外语学校·期中)（多选题）如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（    ）． A． B． C． D． 12．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期中)（多选题）《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（    ）． A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影向量为 13．(24-25高二上·江西赣州十八县（、区）二十四校·期中)（多选题）如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（    ）    A． B． C． D． 14．(24-25高二上·江西萍乡·期中)（多选题）如图，正方形的中心与圆的圆心重合，是圆上的动点，则下列叙述正确的是（    ） A．是定值 B．是定值 C．是定值 D．是定值 15．(24-25高二上·江西南昌新民外语学校·期中)（多选题）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 16．(24-25高二上·江西德兴第六高级中学·期中)在空间直角坐标系中，若点，则 . 17．(24-25高二上·江西景德镇乐平第三中学·期中)如图，已知正三棱锥的侧棱长为，过其底面中心作动平面，交线段于点，交，的延长线于，两点.则 . 18．(24-25高二上·江西南昌新民外语学校·期中)已知向量，，若，则 ． 地 城 考点02 空间向量的平行和垂直 1．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期中)若，，则以下向量中，能成为平面的法向量的是（　　） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·江西鹰潭余江区第一中学·期中)空间直角坐标系中，已知点，，，则平面的一个法向量可以是（    ）． A． B． C． D． 3．(24-25高二上·江西·期中)如图，在三棱锥中，平面，，，点为的中点，则（    ）    A．8 B．4 C．－8 D．－4 4．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期中)已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线平面α，则（    ） A． B． C． D．2 地 城 考点03 直线与平面的夹角 1．(24-25高二上·江西景德镇乐平第三中学·期中)四边形ABCD是矩形，，点E，F分别是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕旋转至与四边形重合，则直线所成角在旋转过程中（    ） A．逐步变大 B．逐步变小 C．先变小后变大 D．先变大后变小 2．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期中)如图，在直三棱柱中，且，则直线与所成的角为（    ）    A． B． C． D． 地 城 考点04 空间向量的综合 1．(24-25高二上·江西乐平中学·期中)如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为． ①当时，为四边形； ②当时，与的交点满足； ③当时，为六边形； ④当时，的面积为． 则下列选项正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．(24-25高二上·江西临川第一中学·期中)（多选题）如图，四棱锥的底面是边长为正方形，底面，，、分别为、的中点，过、、的平面与交于点，则（   ） A． B． C．四棱锥外接球体积为 D．以为球心，为半径的球面与底面的交线长为 3．(24-25高二上·江西萍乡·期中)（多选题）直四棱柱的所有棱长都为4，，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是（    ）    A．点的轨迹的长度为. B．直线与平面所成的角为定值． C．点到平面的距离的最小值为. D．的最小值为-2． 4．(24-25高二上·江西景德镇一中·期中)（多选题）在如图所示试验装置中，两个长方形框架与全等，，，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在长方形对角线与上移动，且，则下列说法正确的是（   ）    A． B．的长最小等于 C． D．当的长最小时，二面角的余弦值为 5．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期中)（多选题）“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图①是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，在其直观图中建立如图②所示的空间直角坐标系，下列说法正确的是（     ） A． B．点的坐标为 C．，，，四点共面 D．直线与直线所成角的余弦值为 地 城 考点05 空间向量的综合应用 1．(24-25高二上·江西南昌新民外语学校·期中)已知向量 (1)求 (2)求向量与夹角的余弦值． 2．(24-25高二上·江西南昌新民外语学校·期中)如图，在长方体中，，分别是的中点，，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出四点的坐标； (2)求． 3．(24-25高二上·江西德兴第六高级中学·期中)如图，在直四棱柱中，，，，，，分别为棱，，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.    (1)若，求点坐标； (2)求的值. 4．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期中)在平行六面体中，，，.    (1)求的长； (2)求到直线的距离； (3)动点在线段上运动，求的最小值. 5．(24-25高二上·江西景德镇乐平第三中学·期中)如图，平行六面体的所有棱长均为，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内． (1)若为中点，求证：； (2)若平面，求线段长度的最小值． 的夹角； 地 城 考点06 利用空间向量求直线与平面的夹角 1．(24-25高二上·江西景德镇乐平第三中学·期中)如图，平面，，，，，．    (1)求证：平面ADE； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 2．(24-25高二上·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角. (1)求证：； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值. 3．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期中)如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，， 为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求直线和平面所成的角的正弦值. 地 城 考点07 利用空间向量求平面与平面的夹角 1．(24-25高二上·江西萍乡·期中)如左图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足.现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如右图所示. (1)求证：； (2)求异面直线与BE的距离； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 2．(24-25高二上·江西乐平中学·期中)如图，E是直角梯形ABCD底边AB的中点，AB＝2DC＝2BC，将ADE沿DE折起形成四棱锥． （1）求证：DE⊥平面ABE． （2）若二面角为60°，求二面角的正切值． 3．(24-25高二上·江西萍乡·期中)如图所示的五面体为直三棱柱截去一个三棱锥后的几何体，，，D为的中点，E，F分别为，的中点.    (1)判断BF和CE是否垂直，并说明理由； (2)设（），是否存在，使得平面ABC与平面PBF夹角的余弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 4．(24-25高二上·江西景德镇乐平第三中学·期中)如图，为矩形，为梯形，平面平面，，，.    (1)若M为中点，求证：平面； (2)求直线与直线所成角的大小； (3)设平面平面，试判断l与平面能否垂直？并证明你的结论. 5．(24-25高二上·江西鹰潭余江区第一中学·期中)如图，在边长为4的等边中，分别为上的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面.    (1)求四棱锥的体积； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 6．(24-25高二上·江西鹰潭余江区第一中学·期中)已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的菱形，且，，，E为PB中点． (1)证明：； (2)若PB与底面ABCD所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 7．(24-25高二上·江西景德镇一中·期中)如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形为平行四边形，对角线和相交于点H，平面⊥平面，，，G是线段上一动点（不含端点）．      (1)当点G为线段BE的中点时，证明：平面； (2)若，且直线与平面成角，求二面角的正弦值． 8．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期中)如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥； (1)求证：； (2)若，二面角是直二面角，求二面角的正切值； (3)当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 7大高频考点概览 考点01 空间向量的运算 考点02 空间向量的平行和垂直 考点03 空间直角坐标系 考点04 空间向量的综合 考点05 空间向量的综合应用 考点06 利用空间向量求直线与平面的夹角 考点07 利用空间向量求平面与平面的夹角 地 城 考点01 空间向量的运算 1．(24-25高二上·江西赣州十八县（、区）二十四校·期中)已知，则A，B两点间的距离为（    ） A． B． C．12 D．24 【答案】B 【详解】因为， 所以， 故选：B 2．(24-25高二上·江西德兴第六高级中学·期中)在空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 3．(24-25高二上·江西南昌第十九中学·期中)已知点与点关于轴对称，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，点关于轴的对称点. 故选：A. 4．(24-25高二上·江西南昌新民外语学校·期中)点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由空间直角坐标系的性质可知， 点关于平面对称的点的坐标是. 故选：A 5．(24-25高二上·江西部分学校·期中)设向量，，不共面，则下列集合可以作为空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：，三个向量共面， 故不能作为空间的一个基底，故A不符合题意； 选项B：，三个向量共面， 故不能作为空间的一个基底，故B不符合题意； 选项C：，三个向量共面， 故不能作为空间的一个基底，故C不符合题意； 选项D：假设不能作为空间的一个基底，则共面， 存在，使得， 则向量共面，与题意矛盾，故不共面， 因此可以作为空间的一个基底，故D符合题意. 故选：D. 6．(24-25高二上·江西鹰潭余江区第一中学·期中)如图，四面体中，点为中点，为中点，为中点，设，，，若可用，，表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得， 而 . 故选：B 7．(24-25高二上·江西南昌新民外语学校·期中)如图,在四面体中,是的中点,是的中点,则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在四面体中,是的中点,是的中点 故选:C. 8．(24-25高二上·江西景德镇一中·期中)如图，已知四棱柱的体积为，四边形是平行四边形，点在平面内，且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先找两三棱锥的公共部分，由知：，故， 在上取点，使得，连接， 设，连接， 则三棱锥为三棱锥与三棱锥的公共部分， ∵∽， ， 点到平面的距离是点到平面的距离的，又， . 故选：A. 9．(24-25高二上·江西南昌新民外语学校·期中)已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知向量在向量上的投影向量为. 故选：A 10．(24-25高二上·江西赣州赣南师范大学附属中学·期中)（多选题）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】BCD 【详解】易知，显然，故A错误； 易知：， 故B正确； 易知，故C正确； 在上的投影向量，故D正确. 故选：BCD 11．(24-25高二上·江西南昌新民外语学校·期中)（多选题）如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，四边形是平行四边形，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 故选：ACD． 12．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期中)（多选题）《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（    ）． A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【详解】因为 ，故A不正确，B正确． 如图所示，故D作DU垂直BC，过U作VU垂直AB，UW垂直AC， 故向量在向量上的投影向量为,向量在向量上的投影向量为， 由题意易得故，C不正确． ，D正确． 故选：BD 13．(24-25高二上·江西赣州十八县（、区）二十四校·期中)（多选题）如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为E，F分别为BC，CD的中点，所以由中位线性质可知，故A正确； 若可得，由图可知不共线，矛盾，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD 14．(24-25高二上·江西萍乡·期中)（多选题）如图，正方形的中心与圆的圆心重合，是圆上的动点，则下列叙述正确的是（    ） A．是定值 B．是定值 C．是定值 D．是定值 【答案】ABD 【详解】根据题意，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示： 不妨设正方形边长为，圆的半径为，点坐标为； 则可得，且； 易知； 所以对于A选项，，为定值，即A正确； 对于B选项， ，为定值，所以B正确； 对于C选项，易知表达式中不能表示成只含有边长和半径的式子， 即与有关，故其不是定值，所以C错误； 对于D选项， ，为定值，故D正确； 故选：ABD 15．(24-25高二上·江西南昌新民外语学校·期中)（多选题）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】若，则，得，故A正确，B错误； 若，则，即，故C正确，D错误； 故选：AC. 16．(24-25高二上·江西德兴第六高级中学·期中)在空间直角坐标系中，若点，则 . 【答案】 【详解】因为， 所以. 故答案为： 17．(24-25高二上·江西景德镇乐平第三中学·期中)如图，已知正三棱锥的侧棱长为，过其底面中心作动平面，交线段于点，交，的延长线于，两点.则 . 【答案】 【详解】依题意，设， 则，，，    由为底面中心，连接，， ， 又因为四点共面， 所以且， 所以，即， 即. 故答案为： 18．(24-25高二上·江西南昌新民外语学校·期中)已知向量，，若，则 ． 【答案】 【详解】由，， 则，，，， 则， 解得， 故答案为：. 地 城 考点02 空间向量的平行和垂直 1．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期中)若，，则以下向量中，能成为平面的法向量的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设平面的法向量为, 则, 令，可得，故为平面的一个法向量. 令，可得，故为平面的一个法向量. 故选:C. 2．(24-25高二上·江西鹰潭余江区第一中学·期中)空间直角坐标系中，已知点，，，则平面的一个法向量可以是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得：， 设平面的法向量为，则， 令，则，即. 对A：若，由，可得：与不共线， 故不是平面的法向量，A错误； 对B：若，由，可得：与不共线， 故不是平面的法向量，B错误； 对C：若，则，即与共线， 故是平面的法向量，C正确； 对D：若，由，可得：与不共线， 故不是平面的法向量，D错误； 故选：C. 3．(24-25高二上·江西·期中)如图，在三棱锥中，平面，，，点为的中点，则（    ）    A．8 B．4 C．－8 D．－4 【答案】B 【详解】∵， ∴． 故选：B． 4．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期中)已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线平面α，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】由直线平面，可得， 所以，得. 故选：D. 地 城 考点03 直线与平面的夹角 1．(24-25高二上·江西景德镇乐平第三中学·期中)四边形ABCD是矩形，，点E，F分别是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕旋转至与四边形重合，则直线所成角在旋转过程中（    ） A．逐步变大 B．逐步变小 C．先变小后变大 D．先变大后变小 【答案】D 【详解】由题可知初始时刻与所成角为0，故错误， 在四边形AEFD绕旋转过程中，，平面， 所以平面，平面， 所以平面 平面，故在平面内的投影一直落在直线上， 所以一定存在某一时刻，而 平面，，又平面， 所以平面，此时与所成角为，然后开始变小， 故直线所成角在旋转过程中先变大后变小，故选项A错误，选项D正确. 故选：D. 2．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期中)如图，在直三棱柱中，且，则直线与所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，由题意，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 不妨设，则， 则， 则， 又由两直线所成角的范围为， 则直线与所成的角为. 故选：C. 地 城 考点04 空间向量的综合 1．(24-25高二上·江西乐平中学·期中)如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为． ①当时，为四边形； ②当时，与的交点满足； ③当时，为六边形； ④当时，的面积为． 则下列选项正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】对于①，因为正方体的棱长为1，当时，过A，P，Q三点的截面与正方体表面的交点在棱上，截面为四边形，如图（a）所示，故①正确； 对于②，如图（b）所示，当时，， 又为的中点，故，得，故②正确； 对于③，如图（c）所示，当时，过点，，的平面截正方体所得的截面为五边形，故③不正确； 对于④，如图（d）所示，当时，过点，，的截面为，其截面为菱形，对角线，， 所以的面积为，故④正确． 综上所述，正确的命题序号是①②④． 故选：B 2．(24-25高二上·江西临川第一中学·期中)（多选题）如图，四棱锥的底面是边长为正方形，底面，，、分别为、的中点，过、、的平面与交于点，则（   ） A． B． C．四棱锥外接球体积为 D．以为球心，为半径的球面与底面的交线长为 【答案】ACD 【详解】如图所示， 以，，为基底，分别表示各向量， 设，， 则，， ， 又点在平面上，可得， 即，解得， 即，，A选项正确； ，则不存在使得，即与不平行，B选项错误； 还原四棱锥到正方体，可知其外接球即为正方体外接球，且正方体棱长为， 则外接球半径，体积，C选项正确； 设以为球心，为半径的球面与底面的交线上一点为， 则，， 即点为在为圆心为半径的圆在四边形内的弧上， 即弧长为，D选项正确； 故选：ACD. 3．(24-25高二上·江西萍乡·期中)（多选题）直四棱柱的所有棱长都为4，，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是（    ）    A．点的轨迹的长度为. B．直线与平面所成的角为定值． C．点到平面的距离的最小值为. D．的最小值为-2． 【答案】BC 【详解】直四棱柱的所有棱长都为4，则底面为菱形， 又，则和都是等边三角形， 设与相交于点，由，以为原点，为轴，为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则有，， 点在四边形及其内部运动，设，， 由，有， 即， 所以点的轨迹为平面内，以为圆心，2为半径的半圆弧， 所以点的轨迹的长度为， A选项错误； 平面的法向量为，， 直线与平面所成的角为，则， 又由，则， 所以直线与平面所成的角为定值， B选项正确； ，设平面的一个法向量为， 则有，令，得，， 所以点到平面的距离， ，所以时，， 所以点到平面的距离的最小值为，C选项正确； ， ，其几何意义为点到点距离的平方减12， 由，点到点距离最小值为， 的最小值为，D选项错误. 故选：BC. 4．(24-25高二上·江西景德镇一中·期中)（多选题）在如图所示试验装置中，两个长方形框架与全等，，，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在长方形对角线与上移动，且，则下列说法正确的是（   ）    A． B．的长最小等于 C． D．当的长最小时，二面角的余弦值为 【答案】ABD 【详解】对于A，由题意可知，两两互相垂直， 以点B为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，故A正确； 对于B，， ∵，∴当时，的长取最小值，故B正确； 对于C，∵， ∴三棱锥底面上的高，边上的高为， ∴，故C错误； 对于D，当的长最小时，，此时分别是的中点， 取中点，连接和，    ∵， ∴， ∴是二面角的平面角， 中，, 可得，同理可得， 在中，由余弦定理可得， 即二面角的余弦值为，故D正确. 故选：ABD. 5．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期中)（多选题）“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图①是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，在其直观图中建立如图②所示的空间直角坐标系，下列说法正确的是（     ） A． B．点的坐标为 C．，，，四点共面 D．直线与直线所成角的余弦值为 【答案】ACD 【详解】依题意，正方形的对角线，则， 所以，，，， 对于A，，故A正确； 对于B，由，得，故B错误； 对于C，， 于是，又为三个向量的公共起点，因此四点共面，故C正确； 对于D，，， 所以直线与直线所成角的余弦值为，故D正确. 故选：ACD. 地 城 考点05 空间向量的综合应用 1．(24-25高二上·江西南昌新民外语学校·期中)已知向量 (1)求 (2)求向量与夹角的余弦值． 【详解】（1）∵，， ∴，，. （2）设与的夹角为，则， ，，，， ∴， ∴向量与夹角的余弦值为． 2．(24-25高二上·江西南昌新民外语学校·期中)如图，在长方体中，，分别是的中点，，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出四点的坐标； (2)求． 【详解】（1），， 则，，，， ，为中点，. （2）由（1）得：，， . 3．(24-25高二上·江西德兴第六高级中学·期中)如图，在直四棱柱中，，，，，，分别为棱，，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.    (1)若，求点坐标； (2)求的值. 【详解】（1）因为， 所以，，，则， 设，因为，则， 即，解得，则. （2）∵， ∴，，，， 由（1）可知，， ∴. 4．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期中)在平行六面体中，，，.    (1)求的长； (2)求到直线的距离； (3)动点在线段上运动，求的最小值. 【详解】（1）如图所示：    由题知，， 因为，所以， ， 而， ， ， 所以，即的长度为. （2）因为，所以 ， 所以， 在中，， 所以，即，又因为，平面， 所以平面， 而平面，所以，即为到直线的距离， 而，所以三角形为等边三角形，即， 即到直线的距离为. （3）设，则 ， 当时，这时的最小，且为. 5．(24-25高二上·江西景德镇乐平第三中学·期中)如图，平行六面体的所有棱长均为，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内． (1)若为中点，求证：； (2)若平面，求线段长度的最小值． 【详解】（1）由已知，，，， 所以， ， ， 因为为中点， 所以， 又， 所以， 所以 所以 （2）连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， 连接， 由正方形的性质可得三点共线，为的中点， 所以， 由第一问， 平面，， 所以平面， 以为坐标原点， 所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系 、、、、 ， 设平面法向量为，， 则，所以，     ∴， 令，则，． ∴为平面的一个法向量， 因为点在平面内， 故设点的坐标为， 因为， 所以， ，则， 所以， 所以当时，有最小值，最小值为. 的夹角； (2)若，求实数的值． (3)求的面积. 地 城 考点06 利用空间向量求直线与平面的夹角 1．(24-25高二上·江西景德镇乐平第三中学·期中)如图，平面，，，，，．    (1)求证：平面ADE； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【详解】（1）由，平面，平面，则平面， 由，平面，平面，则平面， 而，平面， 故平面平面， 又平面BCF，则平面； （2）平面ABCD，平面， 则，，又， 以为原点，分别以为轴构建空间直角坐标系，如下图所示：    又，， 所以，，，， 则，，， 令平面的一个法向量，则， 令，则，即， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． 2．(24-25高二上·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角. (1)求证：； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）由题意知平面平面， 又平面平面，，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又因为，，平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. （2）取中点为，连结.取中点为，连结. 因为，点是中点，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为点、分别是、的中点，所以，则. 则，. 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，，. 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 所以是平面的一个法向量. 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 3．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期中)如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，， 为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求直线和平面所成的角的正弦值. 【详解】（1），且为棱的中点， ， 四边形为正方形， ， 又平面，平面， ， ，，平面， 平面， 平面， ， 又，，平面， 平面； （2） 四边形为正方形， ， 以点为坐标原点，，，，方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 又为中点， ， 则，，， 设平面的法向量为， 则， 令，即， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 地 城 考点07 利用空间向量求平面与平面的夹角 1．(24-25高二上·江西萍乡·期中)如左图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足.现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如右图所示. (1)求证：； (2)求异面直线与BE的距离； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：在图1中，连接CE，易求. ∴四边形ABCE为菱形.连接AC交BE于点O，则. ∴在图2中，，.又于O， ∴平面. 又平面，∴； （2）解：由勾股定理可得，∴. 过作的垂线OM，交于M， 则OM即异面直线与BE的距离， ； （3）解：在图2中延长BE，CD，设，连接AG. ∵平面，平面. 又平面，平面. ∴是平面与平面的交线， ∵平面平面BCDE，，平面平面， ∴平面，又平面，∴， 作，垂足为H，连接CH， 又，∴平面OCH，又平面OCH，∴. ∴即为平面与平面所成锐二面角的平面角. 由（1）知，，为等边三角形， ∴，∵，∴，解得. 在中，，∴. ∴平面与平面所成锐二面角的余弦值. 2．(24-25高二上·江西乐平中学·期中)如图，E是直角梯形ABCD底边AB的中点，AB＝2DC＝2BC，将ADE沿DE折起形成四棱锥． （1）求证：DE⊥平面ABE． （2）若二面角为60°，求二面角的正切值． 【详解】（1）在直角梯形ABCD中，因为DC//BE，且DC＝BE， 所以四边形BCDE为平行四边形． 又∠B＝90°，从而DE⊥EB，DE⊥EA． 又EB∩EA＝E， 所以DE⊥平面ABE． （2）由（1）知，∠AEB即二面角A­DE­B的平面角，故∠AEB＝60°． 又因为AE＝EB，所以△AEB为等边三角形． 设BE的中点为F，CD的中点为G，连接AF，FG，AG． 从而AF⊥BE， FG∥DE， 于是AF⊥CD，FG⊥CD， 从而CD⊥平面AFG，因此CD⊥AG． 所以∠FGA即所求二面角的平面角． 因为DE⊥平面ABE，从而FG⊥平面AEB． 所以FG⊥AF． 于是在Rt△AFG中，可求得tan∠FGA＝． 即二面角的正切值为． 3．(24-25高二上·江西萍乡·期中)如图所示的五面体为直三棱柱截去一个三棱锥后的几何体，，，D为的中点，E，F分别为，的中点.    (1)判断BF和CE是否垂直，并说明理由； (2)设（），是否存在，使得平面ABC与平面PBF夹角的余弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）BF和CE不垂直，理由如下： 以点C为坐标原点，直线CA，CB，分别为轴建立空间直角坐标系，如图，    则，，，，，， ，，，， 因为， 所以BF和CE不垂直. （2）假设存在使得平面ABC与平面PBF夹角的余弦值为，由，得， 显然平面ABC的一个法向量为，， 设平面PBF的法向量为，则，取，得， 设平面ABC与平面PBF的夹角为， 则，而，解得， 所以存在实数，使得平面ABC与平面PBF夹角的余弦值为. 4．(24-25高二上·江西景德镇乐平第三中学·期中)如图，为矩形，为梯形，平面平面，，，.    (1)若M为中点，求证：平面； (2)求直线与直线所成角的大小； (3)设平面平面，试判断l与平面能否垂直？并证明你的结论. 【详解】（1）连结，交于，连接， ∵为矩形，∴为的中点， 在中，，分别为，的中点， ∴， 因为面，面， 所以平面. （2）∵，∴， ∴是直线与直线所成角. ∵为矩形，∴， ∵平面平面， 又平面，平面平面， ∴平面， ∵平面，∴，， 在中，∵，，∴， ∵，∴， 又∵，，平面，平面， ∴平面，∵平面，∴， 在中，∵，∴， ∴，从而直线与直线所成的角为； （3）l与平面垂直.证明如下： ∵为矩形，∴， ∵平面，平面，∴平面， 平面，∵平面平面， ∴，则， 由（2）可知平面，∴平面.    5．(24-25高二上·江西鹰潭余江区第一中学·期中)如图，在边长为4的等边中，分别为上的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面.    (1)求四棱锥的体积； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【详解】（1）连接与中点，由分别为上的中点， 且为等边三角形，故， 故有，且, 又平面平面，平面平面， 平面，故平面， 故为四棱锥的高， ， 则； （2）取中点，连接，可得，有， 由平面，平面，故， 故、、两两垂直， 故可以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、、、， 则、、、， 令平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 即，， 可令、，则可取，， 故， 则平面与平面的夹角的余弦值为.    6．(24-25高二上·江西鹰潭余江区第一中学·期中)已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的菱形，且，，，E为PB中点． (1)证明：； (2)若PB与底面ABCD所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 【详解】（1）连接， 因为底面ABCD是边长为2的菱形， 所以，且是的中点， 因为，所以， 又因为平面， 所以平面，因为平面， 所以. （2）因为，所以， 又因为，所以，即， 因为平面ABCD，所以平面ABCD， 则为PB与底面ABCD所成角，故， 因为，所以，则， 因为分别是的中点，则，所以平面ABCD， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则, , 设平面的法向量为， 由，令，则，， 设平面的法向量为， 由，令，则，， ， 因为二面角的大小为锐角， 故二面角的余弦值为． 7．(24-25高二上·江西景德镇一中·期中)如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形为平行四边形，对角线和相交于点H，平面⊥平面，，，G是线段上一动点（不含端点）．      (1)当点G为线段BE的中点时，证明：平面； (2)若，且直线与平面成角，求二面角的正弦值． 【详解】（1）证明： 连接，如下图（1）中所示： 因为四边形为平行四边形，所以是中点， 又点为线段的中点，则，且, 又且，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面；    （2）以为原点，为轴，过且在平面内与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图（2）所示： 由平面⊥平面，，可知， 均为边长为2的正三角形， 则有， 设， 则， 为平面的法向量， 所以， 解得（其中舍去）,所以， 设平面的法向量为，则有， 令，则，故可取． 设平面的法向量为，则有， 令，则，故可取 所以． 所以二面角的正弦值为． 即二面角的正弦值为. 8．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期中)如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥； (1)求证：； (2)若，二面角是直二面角，求二面角的正切值； (3)当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以，即平面， 平面，平面， 所以 （2）因为二面角是直二面角， 所以平面平面，平面平面，平面，平面，    以分别为轴建立空间直角坐标系， 设平面法向量为， 设平面法向量为 ， 令，得，所以， 设二面角为，则为锐角， 故， ， （3）分别以反方向和方向分别为轴，过做的垂线为z轴， 设，，显然， ， ，得出，则，则， 因为，，故， 化简得， 而在轴上的射影、构成直角三角形，则，且，解得， 设平面的法向量为， 设直线PE与平面ABC所成角为， ， 则， 令，，令，则，且， ， 根据对勾函数在上单调递减，且恒大于0， 则函数在单调递增，则，即， 则，即正弦值的取值范围. 试卷第1页，共3页 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $