第一章 勾股定理 素养测评卷-【优品单元卷】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步试卷（北师大版2024）

18.解：由题意可知，∠ABE=∠DBE=90°。 所以AC2+BC2=AB2。 参考答案 在Rt△DBE中，DE=150米，BE=120米， 所以△ABC是直角三角形，∠ACB=90° 由勾股定理，得BD2=DE2-BE2=1502-1202 (2)学校C会受噪声影响。理由如下： 8100(米)。 如图，过点C作CD⊥AB于点D ●第一章素养测评卷● 所以BD=90米。 当小狗在小路CA上奔跑，且跑到点H的位置时，小 1.D2.B3.B4.B5.D6.C7.A8.A9.C 所以AB=AD-BD=250-90=160(米)。 因为2AC·BC=2AB·CD, 狗与淇淇的距离最近。 10.B 所以AE2=AB2+BE2=1602+1202=4000(米)。 11.5012.113.C14.315.12 所以CD=AC·BC_120X160 因为AB=20m,CB=15m,AC=25m, AB 200 16.48解析：如图，把各个小正方形标上字母」 所以AE=200米。 所以AC2=625m,AB2+BC=202+15=625(m)。 所以小华和小丽分别从公交站牌E走到A处和面馆 96(m) 所以AC2=AB2+BC% 因为吊车周围120m以内为受噪声影响区域， D处，两人的总路程为200+150=350（米）。 所以∠ABC=90°。 且96<120， (2)因为DE2+AE2=1502+2002=62500, 所以学校C会受噪声影响」 所以S6=号AB·BC=AC·BH。 AD2=2502=62500, (3)如图，在AB上取一点E,使CE=120m,连 所以BH=AB:BC-20X15=12m. 设正方形A的边长为x,正方形B的边长为y。 所以DE2+AE2=AD AC 接CE。 25 所以正方形A的面积为x2,正方形B的面积为y2。 所以∠AED=90°。 所以CE=AC=120m。 所以HC2=BC2-BH2=152-122=81(m)。 根据题意，得正方形C的边长为2，并且是直角三角 所以面馆D到公路AC的距离为DE=150米。 所以当吊车在线段AE上时产生的噪声会影响 所以HC=9m 形的斜边。所以正方形C的面积为4。 19.解：(1)因为AD⊥BC, 学校。 所以小狗跑的路程为HC+BC=9+15=24(m)。 根据勾股定理，得x2十y2=22=4。 所以∠ADB=∠ADC=90° 因为CD⊥AB, 因为小狗奔跑的速度为2m/s, 所以正方形A的面积十正方形B的面积=4。 因为BD=3,AB=5, 所以24÷2=12(s)。 所以题图1中所有正方形的面积和为4十4=8。 所以AD2=AB2-BD2=52-32=16。 所以ED=AD 所以当小狗从点B出发，奔跑12s后到达小路CA 所以AD=4。 在Rt△CDA中，AD=AC-CD=√1202-96 同理可得，正方形E的面积十正方形F的面积=正方 上是某点，此时小狗与淇淇的距离最近。 =72(m)。 形A的面积，正方形G的面积十正方形H的面积=正 因为CD的长为x, 所以t的值为12。 所以AC2=AD2+CD2=4+x2=16+x2。 所以AE=2AD=144m,144÷60=2.4(分). 方形B的面积， 24.解：(1)a2-b2a2-b2=(a十b)(a-b) 所以正方形E的面积十正方形F的面积十正方形G 故答案为16十x2。 所以噪声影响该学校持续的时间为2.4分钟。 (2)证明：将小正方形的一边延长，得到两个小长方 (2)因为∠BAC=90°，AB=5,BD=3,CD=x 22.解：(1)在△BCD中，因为CD⊥AB, 的面积十正方形H的面积=正方形A的面积十正 形，两个小长方形的面积和，即阴影部分的面积为 所以BC=BD+CD=3十x. 所以∠BDC=90°. 方形B的面积=4。 a(a-b)+b(a-b)=(a+b)(a-b), 所以题图2中所有正方形的面积和=题图1中所有 因为AC2=BC2-AB2,AC2=16+x2, 所以BD+CD=BC 所以a2-b2=(a+b)(a-b)。 所以(3+x)2-52=16十x2。 所以CD2=BC2-BD2=15-92=144。 正方形的面积和十4=8十4=12，即1次操作后所有 (3)因为大正方形由四个全等的直角三角形和一个 16 所以CD=12。 正方形的面积和=题图1中所有正方形的面积和 解得x=了· 小正方形组成，直角三角形中较长的直角边的长度 (2)在△ACD中，因为CD⊥AB, 4=8+4=12。 为a,较短的直角边的长度为b,斜边的长度为c, 20.解：(1)如图所示，点P即为所求作。 所以∠ADC=90°。 同理可得，2次操作后增加的8个小正方形的面积和 所以CD2十AD2=AC2 所以(a-b)+4x号×ab=c。 也是4。 所以AD=AC2-CD2=202-122=256 所以2次操作后所有正方形的面积和=题图1中所 所以a2-2ab+b2+2ab=c2。 所以AD=16。 有正方形的面积和十2×4=8十8=16。 所以a2+b2=c2。 所以AB=AD+BD=16+9=25 所以10次操作后所有正方形的面积和=题图1中所 ·第二章素养测评卷。 (2)如图，过点B作BE垂直AC于点E (3)因为BC2+AC2=152+202=625,AB2=252=625, 有正方形的面积和十10×4=8十40=48。 1.C2.C3.B4.B5.C6.B7.B8.D9.D 在Rt△A,BE中，由勾股定理，得 所以AB2=BC2+AC2 17.解：因为在△ABE中，DE是边AB上的高，DE= 10.C解析：由题意可知，第1个正方形的边长AB=1 12,S△ABE=60, A,B=A,E+BE=(18-4+2+() =400(cm)。 所以△ABC是直角三角形。 根据勾股定理，得第2个正方形的边长AC=√2； 23.解：(1)因为∠D=90°，AD=7m,DC=24m, 所以2AB·DE=60,即2×ABX12=60。 所以A,B=20cm。 所以在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2=72+242= 根据勾股定理，得第3个正方形的边长CF=(√2)： 所以蚂蚁爬行的最短路径长是20cm。 625(m)。 根据勾股定理，得第4个正方形的边长GF=(√2)'； 解得AB=10。 21.解：(1)因为点C与直线AB上两点A,B的距离分 又因为在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8, 所以AC=25m。 根据勾股定理，得第5个正方形的边长GN=(√2)； 别为120m和160m,AB=200m, 所以BC2=AB2-AC2=102-82=36。 所以小路AC的长为25m。 根据勾股定理，得第6个正方形的边长为（√2）。故 又因为1202+1602=2002， 所以BC=6。 (2)如图，过点B作BH⊥AC于点H。 选C。 704 11.412.x<113.-√5-214.6cm =9+3√5-(W2-1)+ 1 15.-2+6 √5-√2 4 =9+35-√2+1+ √5+√2 5 5 (3-√2)（√5+√2） 16.(1D/5-26=526 (2)520 解析：(1)第5个等 =9+35-√2+1+√5+√2 5 需=5√：(2)根据题中的规律，得 =10+4√3 (4)(W7+√5-√2)(W2-√5+√7) n n2+1 =√n2+1 n≥1且n为正整数). =[√7+(5-√2)][√7-（√5-√2）] =(7)2-(5-√2)2 =7-(5-2√10+2) 所以a=8,b=82+1=65。所以ab=8×65=520。 =7-(7-2√10) 17.有理数集合：{(-√2)°，8,0，√，-0.333…， =2√10。 3.1415,…}; 20.解：(1)因为6a十3的立方根是3,27的立方根是3， 无理数集合：诉，5,0.01001001…（相邻两个 所以6a十3=27。 1之间0的个数逐次加1)，…}： 解得a=4。 负实数集合：{一0.333…，…}。 又因为3a十b-1的算术平方根是4,16的算术平方 18解：1)原式==品。 根是4，即√16=4， 所以3a+b-1=16。解得b=5。 (2)原式=-1)=-1。 所以a=4,b=5。 (3)原式=-3。 (2)由(1)知，a=4,b=5, (4)原式=√5×√5=√5×5=5。 所以b2-a2=52-42=25-16=9。 (5)原式=7。 因为9的平方根为士3， 19.解：1(2厘-2®)÷ 所以b2-a2的平方根为土3。 21.解：(1)因为a=3+2√2，b=3-22, 所以a十b=(3+22)+(3-2√2)=6，a-b=(3十 2√2)-(3-2√2)=4√2。 所以a2-b2=(a+b)(a-b)=6×4√2=24√2 (2)a2-3ab+b =(a-b)2-ab =(4√2)2-(3+22)(3-2√2) =32-1 1 =31。 =2×2-2×3-4 22.解：(1)因为a,b,c满足|a-8|十√b-5+(c 2 二一 3√2)2=0， (2)-12+√5-3-2(W5-2) 所以a-8=0,b-5=0,c-3√2=0。 =-1+3-√5-2√3+4 解得a=8,b=5,c=3√2。 =6-3w3。 (2)因为5+3√2>8， 所以以a,b,c为边的长度能组成三角形。 8(-号'+m-1+后万 三角形的周长为5+8+3√2=13+3√2， ·81第一章素养测评卷 (满分：120分时间：100分钟) 八年级·上 北师版 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.(咸阳期末)下列各组数是勾股数的是 A.1,2,3 B.3,4,7 C.2.5,4,4.5 D.5,12,13 2.[数学文化]（四川中考）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题： “今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是一根竹子，原来高一丈（一丈为十 尺)，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远。问原处还有 多高的竹子？那么原处竹子的高度为 ( 和 A.4尺 B.4.55尺 C.5尺 D.5.55尺 D 色A空 2 E 第2题图 第3题图 第4题图 第6题图 新 、 3.(天津期中)如图，在△ABC中，∠B=∠C,AB=25,BC=14,AD平分∠BAC,交BC于点D, DE⊥AC于点E,则DE的长为 ( A.6 B C.7 D.8 4.[数学文化]（江苏中考）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理。如图所示的“赵爽弦 图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形。设直角三角形的两条直 茶 角边的长度分别为m,n(m>n)。若小正方形的面积为5，(m+n)2=21,则大正方形的面积为 A.12 B.13 C.14 D.15 5.(厦门期中)△ABC的三边的长度分别为a,b,c,下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 () A.a:b:c=5:12:13 B.∠A:∠B:∠C=1:1:2 的 C.a2-b2=c2 D.a2=3,b2=4,c2=5 ☒ 6.(淄博期末)如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形。S1,S2,S3是分别以直角 三角形的三条边的长度为直径的圆的面积。若S1=36,S2=64,则S3的值为 ( A.10元 0 B.10 C.100 D. 。1 7.(南阳期末)如图，一块四边形ABCD的地，已知AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°，AB= 13m,BC=12m,则这块地的面积为 () A.24m B.30m C.48m2 D.60m B c B D 40 cm A 20 cm 50cm 第7题图 第8题图 第9题图 8.(重庆期中)我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”。如图所示，它是由四 个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，已知大正方形的面积是41，每个直 角三角形的较短直角边的长度为4，则中间小正方形（阴影部分）的周长为 () A.4 B.5 C.12 D.14 9.[新情境试题]（长春期末）如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是20cm,宽都是50cm, 一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B,其爬行的最短线路的长度是 () A.100 cm B.120 cm C.130 cm D.150 cm 10.[新情境试题]（淄博期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思 想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。它不但因证明方法层出不 穷吸引着人们，更因应用广泛而使人入迷。如图，当秋千静止时，踏板离地面的垂直高度BE =1m,将它往前推6m至点C处时（即水平距离CD=6m),踏板离地面的垂直高度CF= 4m,它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是 21 A.2m C.6 m 9 D.2 m 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.(山东中考)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行 40km至C港，则A,C两港之间的距离为 km。 12.[新定义运算]（安徽中考）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提 出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创 造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角三角形ABC的边 BC上的高，则BD三)BC+ABBC)。当AB=7,BC=6,AC=5时， D CD= ·2 13.(西安期末)如图，在小正方形组成的3×2的网格中，每个小正方形的顶点称为格点.点A,B, C,D,M,N均在格点上，其中A,B,C,D四个点中能与点M,N构成一个直角三角形的是点 E M B D D∠ 第13题图 第14题图 第15题图 14.(湖北中考)如图是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称它为“赵爽弦图”。 它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形。设图中AF=a,DF= 么，连接AE,BE。若△ADE与△BEH的面积相等，则+4 62 15.(内蒙古中考)如图，AB⊥BC于点B,AB⊥AD于点A,E是CD的中点。若BC=5,AD= 0,BE三)，则AB的长是 16.[规律探究]（黑龙江中考）如图1，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一 个正方形。执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分 别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形。图2是1次操作后的图形。图3是重复 上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”。若图1中的直角三角形斜边 长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 图1 图2 图3 三、解答题（共72分） 17.(6分)（汉中期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8。在△ABE中，DE是边AB上的 高，DE=12,S△AE=60,求BC的长。 D ·3 18.[新情境试题](8分)（开封期末）如图为一街区的店铺分布图，AC为一条笔直的公路，点B,D 分别为便利店和面馆，点E为公路边的公交站牌，站牌E在便利店B的正东方向，面馆D在 便利店B的正南方向。已知点A,D之间的距离为250米，且点A在面馆D的正北方向，公 交站牌E到便利店B的距离BE长为120米，到面馆的距离DE长为150米。 (1)若小华和小丽分别从公交站牌E走到A处和面馆D处，那么两人的总路程为多少米？ (2)求面馆D到公路AC的距离。 北 →东 公路 B便利店 E公交站牌 D面馆 19.(8分)（南京期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,垂足为D。已知BD=3,AB= 5。设CD的长为x。 (1)根据勾股定理，得AC2= ;(用含x的代数式表示，结果需化简) (2)求x的值。 20.[新情境试题](8分)（新余期中）如图1，圆柱形容器高为18cm,底面周长为24cm,在杯内壁 离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对 的点A处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁A处沿着最短路径到达内壁B处。 (1)如图2是杯子的侧面展开图，请在杯沿CD上确定一点P,使蚂蚁沿A→P→B路线爬行， 距离最短； (2)结合图，求出蚂蚁爬行的最短路径长。 D 蚂蚁A A B蜂蜜 B 图 图2 。4 21.[新情境试题](10分)（青山湖区期中）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声。如图，有一台吊 车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线AB上两点A,B的距 离分别为120m和160m,AB=200m,吊车周围120m以内为受噪声影响区域。 (1)求∠ACB的度数； (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (3)若吊车的行驶速度为每分钟60，则噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？ 22.(10分)（海南期末）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D,BD=9,BC=15,AC=20。 (1)求CD的长； (2)求AB的长； (3)判断△ABC的形状。 23.[新情境试题](10分)（淄博期末）如图，某湿地公园有一块四边形草坪ABCD,公园管理处计划 修一条从点A到点C的小路，经测量，∠D=90°，AD=7m,DC=24m,AB=20m,CB=15m。 (1)求小路AC的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点B处，小狗以2m/s的速度在小路上沿B→C→ A的方向奔跑，跑到点A处停止奔跑。现在小狗从点B出发，奔跑ts后到达小路CA上的某 点，此时小狗与淇淇的距离最近，求t的值。 ·5· 24.[探索实践](12分)（合肥期末）综合与实践 探索：将边长分别为a,b(a>b)的正方形纸片叠合在一起，如图1，你能表达出未重叠（阴影） 部分的面积吗？ 图1 图2 图3 图4 学 (1)阅读并完成下面的填空： 方法一：用大正方形的面积减去小正方形的面积可得到阴影部分的面积为 方法二：将阴影分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为 (a+b)(a-),即阴影部分的面积为(a十b)a一)。 2 黑 由此我们可以得到平方差公式： 总结：上面验证平方差公式的方法我们称之为面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还 可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”。 (2)巩固：如图3，如果将小正方形的一边延长，也能验证平方差公式，请完成证明； (3)拓展：如图4，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长 的直角边的长度为a,较短的直角边的长度为b,斜边的长度为c,试说明：a2十b2=c2。 甜 啤 雪 。6