2.4 用因式分解法求解一元二次方程教学设计 2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册

初中数学北师大版（2012）九年级上册 4 用因式分解法求解一元二次方程 课标分析 根据《义务教育数学课程标准(2022年版)》要求，本课例重点培养学生运用因式分解法解一元二次方程的能力，属于"数与代数"领域中的"方程与不等式"内容。课标要求初中生掌握通过因式分解将二次方程转化为两个一次方程求解的方法，理解"若，则或"的数学原理。通过对比三种解法，引导学生认识到因式分解法的优越性，培养其选择合适解法的能力。同时，课标强调要让学生体会数学方法的多样性，通过"议一议"等活动发展批判性思维，理解约去可能漏解的局限性，建立严谨的数学思维习惯。 教材分析 本节课通过实际问题引出一元二次方程的求解，展示了不同解法的思维过程，重点介绍了因式分解法解一元二次方程的方法。教学过程从问题提出、方程建立、方法比较到归纳总结，引导学生理解因式分解法的原理和适用条件。本节内容承接了前面用配方法、直接开平方法解一元二次方程的知识，同时为后续灵活选择方法解方程及解决实际问题打下基础。通过比较不同解题方法的合理性，培养学生逻辑思维能力和判断能力，提升学生对数学问题的分析与反思意识，也为后续学习二次函数和方程应用提供了重要支撑。 学情分析 九年级学生已经掌握了一元二次方程的基本概念以及解方程的常用方法，如直接开平方法和配方法，具备一定的代数运算能力和方程求解经验，同时，这个阶段的学生抽象思维能力逐步增强，能够理解较为抽象的数学概念，但在面对因式分解法解方程时，可能会对“降次”思想和“ab=0则a=0或b=0”的原理理解不深，尤其容易出现类似小明那样错误地约去未知数的情况，本节课通过实际问题引入并对比不同解法，帮助学生理解因式分解法的本质和适用条件，引导学生在解方程时注意不能随意约去含未知数的因式，从而避免漏解，进一步提升学生的逻辑推理能力和解题严谨性，为后续学习其他解方程方法及函数关系奠定基础。 教学目标 1. 理解因式分解法解一元二次方程的原理，掌握将方程转化为乘积形式的方法，提升逻辑推理与数学运算能力，发展符号意识与问题解决能力。 2. 能判断何时使用因式分解法求解一元二次方程，通过对例题的辨析，增强模型观念与批判性思维，提高数学建模与反思能力。 3. 通过讨论不同解法的合理性，理解“若，则或”的基本数学规则，培养严谨的数学思维和交流合作意识。 重点难点 重点：掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，会用此方法解方程。 难点：理解因式分解法的原理，避免如小明那样的错误约项。 课堂导入 同学们，先看这样一个场景：学校要建一个面积为24平方米的长方形花坛，已知它的长比宽多2米，那花坛的长和宽各是多少呢？设宽为米，则长为米，可列出方程，展开得到 。我们之前学过的直接开平方法和配方法，解这个方程有些复杂。那有没有更简便的方法呢？其实，当一元二次方程具备一定特征时，有一种巧妙的解法。就像生活中不同的锁要用不同钥匙开一样，今天我们就来探索一种新的解一元二次方程的方法——因式分解法。 课前任务 1.知识回顾： 上节课学习了一元二次方程的直接开平方法，大家回忆下直接开平方法适用的方程形式。请用直接开平方法解，巩固对该方法的运用。 2.预习教材： 阅读教材中用因式分解法求解一元二次方程的内容。了解小颖、小明、小亮对的不同解法，重点关注小亮的解法，理解因式分解法的概念，将疑问记录在预习笔记上。 3.问题思考： 对于方程，思考能否用类似小亮解的方法求解？对比小颖、小明、小亮的解法，哪种更简便？为什么？ 用因式分解法求解一元二次方程 探究新知 （一）知识精讲 同学们，让我们一起来探究如何用因式分解法解一元二次方程。首先看这个实际问题：一个数的平方与这个数的3倍相等，这个数是多少？设这个数为，可以得到方程。小颖、小明、小亮给出了不同的解法，我们重点来看小亮的方法。 小亮将方程变形为，然后进行因式分解得到。这里运用了一个重要性质：如果两个数的乘积为0，那么至少有一个数为0。因此可以得到或，即，。这种将方程一边化为0，另一边分解因式的方法，就是因式分解法。 因式分解法的关键步骤是：首先将方程整理成标准形式，然后对左边进行因式分解，最后利用"若，则或"的性质求解。这种方法特别适用于方程一边为0，另一边容易分解因式的情况。 （二）师生互动 教师提问：同学们，为什么小明的解法只得到一个解，而小颖和小亮得到两个解呢？ 学生思考后回答：因为小明在两边同时除以时，忽略了可能为0的情况，这样会漏掉一个解。 教师追问：很好！那在解方程时，应该怎样用因式分解法来解呢？ 学生回答：可以先将方程化为，然后用平方差公式分解为，最后解得，。 （三）设计意图 通过对比三种不同的解法，引导学生发现因式分解法的优越性和适用条件，培养学生分析问题和选择最优解法的能力。通过具体例题的讲解和师生互动，帮助学生掌握因式分解法的基本步骤和注意事项，理解数学方法的严谨性。让学生在探究过程中体会数学思维的逻辑性和灵活性，培养他们运用数学知识解决实际问题的能力。 新知应用 例题题目：解下列方程： (1) ； (2) 。 解答： (1) 我们先来看第一个方程： 第一步：将方程整理为标准形式。 把右边的项移到左边，使方程右边为0： 第二步：提取公因式。 观察左边的两个项，发现它们都有一个公共因子 ，可以提取出来： 第三步：利用“乘积为0，则至少一个因子为0”的原理进行求解。 根据这个原理，我们得到两个方程： 第四步：分别求解这两个方程。 第一个方程： 第二个方程： 第五步：写出原方程的两个解。 所以，原方程的解是： (2) 我们再来看第二个方程： 第一步：将方程整理为标准形式。 把右边的项移到左边，使方程右边为0： 第二步：提取公因式。 观察左边的两个项，发现它们都有一个公共因子 ，可以提取出来： 第三步：利用“乘积为0，则至少一个因子为0”的原理进行求解。 根据这个原理，我们得到两个方程： 第四步：分别求解这两个方程。 第一个方程： 第二个方程： 第五步：写出原方程的两个解。 所以，原方程的解是： 总结： 1.题目考查内容 ① 一元二次方程的因式分解法求解； ② 提取公因式的方法； ③ 利用“乘积为0，则至少一个因子为0”的原理求解方程。 2.题目求解要点 ① 将方程整理为“右边为0”的形式； ② 对左边进行因式分解，提取公因式； ③ 利用“乘积为0”的性质列出两个一次方程分别求解； ④ 注意不要在未确认变量不为0的情况下直接约去变量（如），否则可能漏解。 板书设计 用因式分解法求解一元二次方程 ─ 因式分解法定义 适用条件：一边为0，另一边易分解为两个一次因式乘积 想一想：，的因式分解法求解 教学反思 本节课围绕“用因式分解法求解一元二次方程”展开，通过实际问题引出方程，并展示了三种不同的解题思路，引导学生思考并讨论不同方法的合理性，进而引出因式分解法的基本原理。教学中通过议一议、想一想等环节促进学生合作交流，强化了对“若，则或”这一关键结论的理解与应用。整体来看，学生能积极参与讨论，基本掌握因式分解法的思路与步骤，达成了教学目标。成功之处在于通过对比不同解法，激发学生思维，提升逻辑推理能力；不足在于对“约去”这一易错点的剖析不够深入，部分学生仍存在误解。今后应加强辨析训练，提升学生对解题过程严谨性的认识。 学科网（北京）股份有限公司 $