2.4用因式分解法求解一元二次方程（教学设计）数学北师大版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“用因式分解法求解一元二次方程”，核心知识点包括解法依据、步骤及解法选择。课堂导入先复习已学一元二次方程解法和因式分解方法，再通过“若ab=0则a=0或b=0”的结论判断问题，搭建旧知与新知的学习支架。 这份资料特色鲜明，通过对比不同解法（如小颖公式法、小明约去x漏根、小亮因式分解法）引导学生分析错误，培养推理意识，用表格归纳四种解法适用类型助力学生形成模型意识，结合三角形边长问题强化根的合理性判断渗透应用意识。学生能提升因式分解与方程求解能力，教师可借助清晰流程和分层练习高效教学。

2.4用因式分解法求解一元二次方程 教学设计 1.教学内容 本节课选自北师大版九年级上册第二章一元二次方程第4节“用因式分解法求解一元二次方程”。核心知识点包括：因式分解法解一元二次方程的依据（若，则或）、步骤（移项、化积、转化、求解），以及根据一元二次方程的特点选用恰当解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）。 2.内容解析 概念形成逻辑：从“若，则或”这一基本结论出发，结合因式分解知识，将一元二次方程化为两个一次式乘积为0的形式，实现降次求解，体现“降次”的数学思想。知识价值：因式分解法是解一元二次方程的重要方法，相比公式法更简洁，能提升解题效率，同时为后续学习二次函数、一元二次不等式等内容奠定基础。教学重点是会用因式分解法解特殊一元二次方程，以及根据方程特点选恰当解法。 1.教学目标 1. 理解用因式分解法解方程的依据； 2. 会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程（重点）； 3. 会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程（难点）。 2.目标解析 1. 理解依据：能准确表述“若，则或”，并说明该结论为何能用于解一元二次方程； 2. 掌握因式分解法：面对如、等特殊一元二次方程，能按步骤（移项、化积、转化、求解）正确求出方程的两个根； 3. 选择恰当解法：观察方程结构（如一次项系数为0、常数项为0等），能判断出用直接开平方法、因式分解法、公式法或配方法更合适，并正确求解。 1. 已有知识基础 学生已学过一元一次方程的解法，掌握了因式分解的三种主要方法（提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法），还学习了一元二次方程的直接开平方法、配方法和公式法，具备一定的方程求解经验和代数变形能力； 2. 学习难易点分析 - 易点：理解因式分解法的依据和步骤，对简单的可提公因式或用平方差公式分解的一元二次方程，能较快掌握求解方法，概念归纳难度较低； - 难点：一是面对复杂方程（如含多项式乘积的方程），难以准确移项并分解因式；二是根据方程特点灵活选择恰当解法，容易混淆不同解法的适用场景；三是列方程解决实际问题（如三角形边长相关问题）时，建模过程较难，易忽略实际意义对根的限制。 1.复习回顾 提问学生“我们已经学过哪些一元二次方程的解法？”（引导学生回答直接开平方法、配方法、公式法），“因式分解的主要方法有哪些？”（提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法），并板书因式分解公式（如）。 2.问题引入 提出问题“若，可以得到哪两个结论？（1）和都为0；（2）和至少有一个为0”，让学生判断对错，再追问“你能根据正确结论解一元二次方程吗？” 【设计意图】通过复习旧知，唤醒学生对一元二次方程解法和因式分解的记忆，为新知识学习铺垫；借助的结论判断，自然引出因式分解法的核心依据，激发学生探究兴趣，明确本节课学习方向。 探究点1　因式分解法解一元二次方程 1.问题探究 提出问题“一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？”，让学生自主思考并求解，展示小颖、小明、小亮三位同学的解法： - 小颖：由得，用公式法求得，即，； - 小明：由两边约去，得； - 小亮：由得，因式分解为，得或，即，。 2. 师生活动 1. 教师提问：“他们做的对吗？为什么？对比小颖和小亮的方法，你有什么发现？”； 2. 学生分组讨论5分钟，每组派代表发言，教师引导学生分析：小明解法错误，因为约去时未保证，漏掉根；小颖用公式法正确但步骤较多，小亮方法更简洁。 3. 详细过程 1. 归纳依据：从亮的解法出发，强调依据“若，则或”，说明将一元二次方程化为两个一次式乘积为0的形式，可将二次方程转化为两个一次方程，实现“降次”； 2. 总结概念：给出因式分解法定义“通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法”，并明确适用范围“方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积”； 3. 提炼步骤：结合小亮的解题过程，总结因式分解法步骤：移项（将方程右边化为0）、化积（左边因式分解为两个一次式乘积）、转化（转化为两个一元一次方程）、求解（解一元一次方程）。 知识归纳 因式分解法解一元二次方程： （1）通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. （2）适用范围:一元二次方程为一般形式，方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积. 依据:若a·b＝0，则a＝0或b=0. . 练一练 1. 题目：解下列方程（1）；（2） 2. 解析步骤： - （1）解：移项，得；化积，提取公因式，得；转化，得或；求解，得，。 - （2）解：移项，得；化积，提取公因式，得；转化，得或；求解，得，。 3. 答案总结：（1），；（2），。 【设计意图】通过实际问题引发学生思考，对比不同解法让学生直观感受因式分解法的优势；师生互动讨论纠正错误解法，加深对因式分解法依据的理解；例题巩固帮助学生掌握解题步骤，突破“用因式分解法解特殊一元二次方程”的重点。 探究点2 选用适当的方法解一元二次方程 1．问题引入 提出问题“你能用因式分解法解下列方程吗？（1）；（2）”，让学生尝试求解，再追问“这种解法是不是最好的方法？还有其他方法吗？” 2．师生活动 1. 学生独立解题后，教师展示学生解法（如用平方差公式分解求解），并引导学生思考直接开平方法（如可化为，开平方得）； 2. 教师呈现例题“用适当的方法解方程（1）；（2）”，让学生先判断用哪种方法，再分组完成解题，教师巡视指导。 3．例题巩固 1. 分析例题1：： - 观察方程：左右两边都有公因式，适合用因式分解法； - 解题步骤：移项得，提取公因式得，转化为或，解得，。 2. 分析例题2：： - 观察方程：左边是平方形式，右边是常数，适合用直接开平方法； - 解题步骤：开平方得，分情况求解：当时，，；当时，，。 3. 归纳解法适用类型： 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 (x+m)2 ＝n（n ≥ 0） 配方法 x 2 + p x + q = 0 （p 2 - 4q ≥0） 公式法 ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) 因式分解法 (x + m)（x + n）＝0 4. 总结解法选择思路： - 一次项系数为0（），选直接开平方法； - 常数项为0（），选因式分解法； - 一次项系数和常数项都不为0（），先看左边是否易因式分解，易则选因式分解法，否则选公式法； - 二次项系数为1且一次项系数为偶数，选配方法较简单。 练一练 1. 题目：下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（ ） A. B. C. D. 2. 解析步骤： - 选项A：展开得，即，左边不易因式分解； - 选项B：右边因式分解为，方程化为，提取公因式得，易因式分解； - 选项C：，左边不易因式分解，适合公式法； - 选项D：化为，适合直接开平方法。 3. 答案总结：B 【设计意图】通过方程解法的对比和选择，让学生理解不同解法的适用场景，培养根据方程特点灵活选法的能力；例题和练习题帮助学生巩固解法选择思路，突破“根据方程特点选用恰当方法”的难点。 1. 一元二次方程 的根是( C ) A. 1 B. 3 C. 1和3 D. 1和2 2. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程 的根，则该三角形的周长可以是( B ) A. 5 B. 7 C. 5或7 D. 10 3. 经计算，整式 与 的积为 ，则一元二次方程 的根为( B ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 方程x 2 ＝| x |的 的根是 0，±1 . 5. 如果 ，那么 的值为 2 . 6. 若正数 是一元二次方程 的一个根， 是一元二次方程 的一个根，则 的值是 5 . 7. 小华在解一元二次方程 时，只得出一个根是 ，则被她漏掉的一个根是 x=0 . 8. 用因式分解法解下列方程: (1) 解: ， ， ， 解得 ， (2) 解: ， ， 解得 ， (3) 解: ， ， ， 解得 ， 9. 已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程 的一个根，求这个三角形的周长. 解:解方程 ， ， 得 ，， 当 时，，不满足三角形三边关系， 不合题意，舍去， ∴这个三角形的周长为 . （设计意图：通过不同难度层次的练习，全面检验学生对知识的掌握情况，及时发现学生在学习过程中存在的问题，并进行有针对性的查漏补缺。） （教学建议：让学生独立完成练习后，同桌之间相互检查答案。教师针对错误率较高的题目进行集中讲解，特别要强调在实际问题中，解的合理性至关重要.） 1. 知识梳理：回顾因式分解法解一元二次方程的依据（若，则或）、步骤（移项、化积、转化、求解）； 2. 方法归纳：总结一元二次方程四种解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）的适用类型和选择思路； 3. 思想提炼：强调“降次”的数学思想在解一元二次方程中的应用。 (设计意图：帮助学生系统梳理本节课的知识体系，强化重点内容，培养学生的总结归纳能力，使学生构建起清晰的知识框架。) (教学建议：采用 “学生先说，教师后补” 的方式，鼓励学生用自己的语言表达学习收获。对于学生遗漏的要点，教师通过提问的方式引导学生回忆) 1. 必做题：教材习题2.7第1-2题，巩固因式分解法解方程及解法选择的基础能力； 2. 探究性作业：教材习题2.7第3题，引导学生深入探究因式分解法在复杂问题中的应用，提升探究能力和知识迁移能力。 （设计意图：巩固学生对本课核心知识点的掌握，兼顾基础练习与思维延伸。） 2.4 用因式分解法求解一元二次方程 1. 知识回顾 - 一元二次方程解法：直接开平方法、配方法、公式法 - 因式分解方法：提公因式法（）、平方差公式（）、完全平方公式（）、十字相乘法（） 2. 核心依据：若，则或 3. 因式分解法 - 定义：将一元二次方程化为两个一次式乘积为0的形式，再使一次式为0求解 - 步骤：移项→化积→转化→求解 4. 解法选择 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 (x+m)2 ＝n（n ≥ 0） 配方法 x 2 + p x + q = 0 （p 2 - 4q ≥0） 公式法 ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) 因式分解法 (x + m)（x + n）＝0 - 选择思路：一次项系数为0→直接开平方法；常数项为0→因式分解法；均不为0→先看是否易因式分解，再选公式法；二次项系数为1且一次项系数为偶数→配方法 1. 教学目标达成度：因式分解法的依据和步骤目标基本达成，多数学生能正确用因式分解法解简单方程；但解法选择目标达成度一般，部分学生仍难以快速判断方程适用解法。 2. 学生学习难点突破情况：简单因式分解（如提公因式、平方差公式）的方程求解难点已突破，但复杂方程（如需多次变形的方程）的因式分解和实际问题建模仍有困难，部分学生列方程时忽略实际意义对根的限制。 3. 改进方向：后续教学可增加复杂方程因式分解的专项练习，设计更多实际问题让学生分组合作建模，加强对根的合理性判断的引导；同时，可通过口诀、表格等形式帮助学生记忆解法选择思路。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $