第三章 简单的几何图形（复习讲义）数学北京版2024七年级上册

第三章 简单的几何图形（复习讲义） 1.了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念。 2.会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义。理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离、理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线，理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离，理解平行线的概念。 3.理解角的概念，角平分线的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算。会计算角的和、差. 4.掌握基本事实：两点确定一条直线.掌握基本事实：两点之间线段最短。掌握基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 知识点 重点归纳 常见易错点 平面图形与立体图形 1.立体图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。 常见的立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。 2.平面图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。 常见的平面图形：线段、角、三角形、长方形、圆等 某些立方体图形平面展开图 1.立方体图形平面展开图 2.正方体展开图口诀（共计11种）： “一四一”“一三二”，“一”在同层可任意, “三个二”成阶梯,“二个三”“日”相连 异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如。 点线面体 直线、射线 、线段 1.几何图形的组成： 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 2. 组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体。 1.直线、射线、线段的区别与联系： 2.经过若干点画直线数量： 经过两点有一条直线，并且只有一条直线（直线公理）。 3.比较线段长短 （1）度量法；（2）用尺规作图法 线段的大小比较方法： 方法一 ：度量法 分别用刻度尺测量线段AB、线段CD的长度，再进行比较 方法二 ：叠加法 让线段某一段端点重合，比较另一边两端点的位置。 4.线段中点：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点； 5.两点之间线段最短。 6.两点距离的定义：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。 1.【射线的表示方法】表示射线时端点一定在左边，而且不能度量。 2注意：距离是线段的长度，是数量，是非负数。 角及其分类 1.角的概念：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角（静态）。 角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图（动态）。 2.角的分类： ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° 3.角的表示法（四种）： (1)角可以用三个大写字母表示,但表示顶点的字母一定要写在中间. (2)用一个字母表示角, 必须是以这个字母为顶点的角，而且只有一个. (3)用一个数字表示角,在靠近顶点处画上弧线,写上数字. (4)用一个希腊字母表示,在靠近顶点处画上弧线,写上希腊字母. (1)角可以用三个大写字母表示,但表示顶点的字母一定要写在中间. (2)用一个字母表示角, 必须是以这个字母为顶点的角，而且只有一个. (3)用一个数字表示角,在靠近顶点处画上弧线,写上数字. (4)用一个希腊字母表示,在靠近顶点处画上弧线,写上希腊字母. 角的度量及 其换算 1.角的度量：1°=60′；1′=60″； 1直角=90°；1平角=180 °；1周角=360°　 2.角的大小的比较： （1）叠合法，使两个角的顶点及一边重合，另一边在重合边的同旁进行比较； （2）度量法，分别用量角器测量两个角的大小，再进行比较。 角平分线 角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 注意：做题格式要规范。 相交线与平行线 1. 直线的位置关系：在同一平面内，不重 合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。 2. 垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。表示方法：如图，a ⊥ b，垂足为O． 记作：a ⊥ b于点O． 3.垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 4.垂线的画法：一落、二移、三画。 5.垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 注意：垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。 经过直线外一点到这条直线的垂线段有且只有一条。 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 6.平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示， 如：直线与直线互相平行，记作∥，读作a平行于b。 平行线的画法：一落、二靠、三移、四画。 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合 1.线段与线段，线段与射线，线段与直线，射线与射线，射线与直线垂直，是特指它们所在的直线互相垂直。 2.两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角；若两条直线的夹角为直角，则这两条直线互相垂直。 3.注意：经过一点画射线或线段的垂线，是指它们所在直线的垂线，垂足的位置不固定，可能会出现在射线的反向延长线或线段的延长线上。 题型一 平面图形与立体图形 【例1】 （2025·山西太原·二模）素描是在纸上描绘外在形体在空间中的位置，并借此来掌握物体的明暗层次和基本形象．素描是绘画的基础，几何体则是素描的基础．如图是一副几何体素描作品，则该作品中不存在的几何体是（   ） A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球体 【变式1-1】 （23-24七年级上·河北石家庄·期末）下面几种图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于立体图形的是（　　） A．③⑤⑥ B．①②③ C．①③⑥ D．④⑤ 【变式1-2】 （24-25七年级上·全国·课后作业）如图是小明同学在美术课上画的小动物简笔画，请你仔细观察，图中圆有 个，三角形有 个，四边形有 个． 【变式1-3】 （25-26七年级上·全国·课后作业）指出图中各物体是由哪些立体图形组成的． 题型二 几何体展开图认识 【例2】 （24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（  ） A．正方体，圆锥，圆柱，三棱锥 B．圆锥，正方体，四棱锥，圆柱 C．正方体，圆锥，圆柱，四棱柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 【变式2-1】 （2025·江西·模拟预测）如图，这是一个无下底面的几何体，它的平面展开图可能为（   ）    A．  B．   C．   D．   【变式2-2】 （2025七年级上·北京·专题练习）如图是某几何体的展开图，该几何体是 ． 【变式2-3】 （25-26七年级上·全国·课后作业）如图，把相应的立体图形与它的展开图用线连起来． 题型三 正方体展开图 【例3】 （25-26七年级上·吉林长春·开学考试）下面的展开图中，可以围成正方体的共有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3-1】 （24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）下面图形能折成一个正方体的是（   ） A．B．C． D． 【变式3-2】 （24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，在方格图中已经有五个方格涂成阴影，请从①②③④个方格中选一个涂成阴影，使得涂成阴影的部分组成正方体的展开图，则应该涂成阴影的方格是 ．    【变式3-3】 （24-25七年级上·河南周口·期末）如图，一个无盖的正方体盒子，图1是它的一种展开图，请在图2，图3中分别画出另外两种不同的展开图． 题型四 从不同方向观察立体图形 【例4】 （25-26七年级上·河南信阳·开学考试）观察下边的物体，从上面看到的图形是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】 （24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图的几何体，从前面看到的图形是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】 （24-25七年级上·四川成都·期末）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从正面看和从上面看如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最少有 个． 【变式4-3】 （24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，这是由7个小正方体搭成的几何体．请你利用下面三个网格分别画出从前面、左面和上面看这个几何体得到的形状图． 题型五 点线面体之间的关系 【例5】 （24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）汽车的雨刮器工作时，可用下面（　　）的数学知识点来解释 A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线线相交 【变式5-1】 （24-25七年级上·四川成都·期末）几何图形都是由点、线、面、体组成，点动成线，线动成面，面动成体．下列生活现象中，可以反映“面动成体”的是（　　） A．粉笔写字 B．流星划过夜空 C．硬币在桌上旋转 D．汽车雨刷转动 【变式5-2】 （24-25七年级上·全国·随堂练习）流星划过天空留下一道光线说明 ；风车旋转时看起来像个圆面，这说明 ． 【变式5-3】 （24-25七年级上·全国·课后作业）飞机表演“飞机拉线”时，我们用数学的知识可解释为点动成线.用数学知识解释下列现象： (1)流星从空中划过留下的痕迹可解释为______； (2)自行车的辐条运动可解释为_____； (3)一只蚂蚁行走的路线可解释为_____； (4)打开折扇得到扇面可解释为_____； (5)一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为____. 题型六 直线射线线段之间的区别 【例6】 （24-25七年级上·重庆永川·阶段练习）如图，下列不正确的几何语句是（    ） A．直线和直线是同一直线 B．射线和射线是同一射线 C．射线和射线是同一射线 D．线段和线段是同一线段 【变式6-1】 （24-25七年级上·北京房山·期末）如图，若射线上有一点C，下列与射线是同一条射线的是（   ） A．射线 B．射线 C．射线 D．射线 【变式6-2】 （24-25七年级上·天津北辰·期末）如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：①图中有两条直线；②图中有5条线段；③射线和射线是同一条射线；④直线经过点．其中结论正确的结论是 ． 【变式6-3】 （2024七年级上·全国·专题练习）如图，有下列结论：①以C为端点的射线共有4条；②射线和射线是同一条射线；③直线和直线是同一条直线；④射线的端点相同．其中正确的结论是 （填序号）． 题型七 画直线射线线段 【例7】 （24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）按下面语句画图：点M在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，直线a，b，c两两相交，图中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】 （24-25七年级上·广东江门·期末）如图，平面内有三点A、B、C，按下列要求画图：画射线，画直线，连接，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】 （24-25七年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，平面内三个点A，B，C，按照下列要求画图． (1)画线段； (2)画射线； (3)画直线． 【变式7-3】 （24-25七年级上·宁夏银川·阶段练习）已知四点、、、．根据下列语句，画出图形． ①画直线； ②连接、，相交于点； ③画射线、射线，相交于点． 题型八 两点确定一条直线 【例8】 （24-25七年级上·广东茂名·期末）将一根木条固定在墙上，至少需要在木条上钉2枚钉子，这样做的数学依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点之间，直线最短 D．以上说法都不对 【变式8-1】 （24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）值日生每天打扫完卫生后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．直线没有端点 D．以上说法都不对 【变式8-2】 （24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，这说明 ． 【变式8-3】 （24-25七年级上·全国·课后作业）举出一个能反映“经过两点有且只有一条直线”的实例． 题型九 两点之间线段最短 【例9】 （24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，从学校A到书店B最近的是①号路线，得出这个结论的根据是（   ）    A．两点确定一条线段 B．两点确定一条直线 C．两点之间，直线最短 D．两点之间，线段最短 【变式9-1】 （24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下列生活中出现的现象，可以用“两点之间，线段最短”来解释的是（   ） A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上 B．值日时，只要定出这列最前面和最后面两张课桌的位置，就能将其余课桌按这条直线摆放 C．在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程 D．经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线 【变式9-2】 （24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，从地到地的三条路中选择线段最近的依据是 ． 【变式9-3】 （24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求画出图形． (1)画直线，射线，线段； (2)在直线上确定一点P，使的值最小，并写出理由． 题型十 两点间的距离 【例10】 （24-25七年级下·浙江温州·期末）A，B，C三点在同一直线上，线段，，那么A，C两点的距离是（　　） A． B． C．或 D．以上答案都不对 【变式10-1】 （24-25七年级下·山东德州·阶段练习）下列语句中，定义“两点间的距离”正确的是 （填序号）． ①连接两点的线段；        ②连接两点的直线； ③连接两点的线段的长度；  ④连接两点的直线的长度． 【变式10-2】 （24-25七年级上·北京大兴·期末）如图所示，点A，点D这两点间的距离是线段 的长度． 【变式10-3】 （24-25七年级上·浙江衢州·期末）一根绳子长为，，是绳子上任意两点（在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 ． （2）当，两点间的距离为时，的长为 ． 题型十一 线段中点的有关计算 【例11】 （24-25六年级下·山东淄博·期中）已知线段，点是直线上一点，，点是线段的中点，则的长为（    ） A．或 B． C． D．或 【变式11-1】 （24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，，，E，F分别是，的中点，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D．8.5 【变式11-2】 （24-25七年级上·江苏泰州·期末）已知A，B，C三点在同一条直线上，且，．若点D是线段的中点，则线段 cm． 【变式11-3】 44．（24-25七年级上·甘肃定西·期末）如图，为线段上任一点，点、分别是、的中点．若，，求线段的长． 题型十二 角的概念 【例12】 （24-25七年级上·全国·阶段练习）有下列关于角的说法： ①两条射线组成的图形叫作角； ②角的边越长，角越大； ③在角一边的延长线上取一点D； ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． 其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式12-1】 （24-25七年级下·山东聊城·开学考试）下列说法中，正确的个数有（    ） ①两条射线组成的图形是角；②角的大小与边的长短有关；③角的两边可以画的一样长，也可以一长一短；④角的两边是两条射线；⑤因为平角的两边也成一条直线，所以一条直线可以看作一个平角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式12-2】 （24-25七年级上·全国·课后作业）角也可以看成是一条射线 的图形，这条射线的起始位置叫做角的 ，这条射线的终止位置叫做角的 ． 【变式12-3】 （23-24七年级上·全国·课后作业）归纳与猜想： （1）观察上图填空：图中有个 角；图中有 个角；图中有 个角； （2）根据（1）题猜想：在一个角内引条射线可组成 个角．    题型十三 角的表示方法 【例13】 （24-25六年级下·山东烟台·期中）下列四个图中，能用三种方法表示同一角的是（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】 （24-25七年级上·北京平谷·期末）下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】 （23-24六年级下·全国·假期作业）如图，用三个大写字母表示所标记的各角． （1）可以表示为 ； （2）可以表示为 ； （3）可以表示为 ． 【变式13-3】 （24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，点B，D，C，F在同一条直线上． (1)图中哪个角可以用一个大写字母来表示？ (2)以A为顶点的角有几个？请表示出来． (3)与是同一个角吗？请说明理由． 题型十四 角的分类 【例14】 （23-24七年级上·浙江杭州·期末）在综合与实践课上，将与两个角的关系记为，探索n的大小与两个角的类型之间的关系（　　） A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 【变式14-1】 （24-25七年级上·江西南昌·期末）若为锐角，为直角，为钝角，则的值可能是（ ） A． B． C． D． 【变式14-2】 （24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法中，正确的有 个 ①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角； ④平角等于；⑤周角等于． 【变式14-3】 （24-25七年级上·全国·课后作业）看图，回答下列问题： (1)图中共有多少个角？ (2)请分别写出图中的锐角、直角和钝角． 题型十五 角进制 【例15】 （24-25七年级上·广东东莞·期末）用度、分、秒表示为（ ） A． B． C． D． 【变式15-1】 （2024七年级上·全国·专题练习）下面等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式15-2】 （24-25七年级下·山东淄博·阶段练习） ° ′ ″． 【变式15-3】 （24-25七年级上·全国·课后作业）（1）把化成用度表示的角； （2）把化成用度、分、秒表示的角． 题型十六 角的大小比较 【例16】 （24-25六年级下·山东泰安·期中）若，，则（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式16-1】 （24-25七年级上·广东佛山·期末）若，，，则下面说法正确的是（    ） A． B． C． D．互不相等 【变式16-2】 （24-25七年级上·山东济宁·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【变式16-3】 （23-24七年级上·全国·课后作业）如图所示，写出图中符合下列条件的角．    (1)能用一个大写字母表示的角． (2)以为顶点的角． (3)图中所有小于平角的角． (4)若，，请比较与的大小． 题型十七 角的运算 【例17】 （24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式17-1】 （25-26七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【变式17-2】 （23-24六年级下·山东济南·开学考试）计算 （1） （2）． 【变式17-3】 （2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十八 角平分线 【例18】 （24-25七年级上·贵州毕节·期末）如图，射线平分．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式18-1】 （24-25七年级上·四川广元·期末）如图，是的平分线，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式18-2】 （24-25七年级下·广东梅州·开学考试）如图已知是的角平分线，如果，那么 ．（结果用度表示） 【变式18-3】 （22-23七年级上·山西太原·期末）如图，已知O是直线上一点，平分，，求的度数． 题型十九 两条直线的位置关系 【例19】 （24-25七年级下·全国·随堂练习）下列说法一定正确的是（   ） A．两条不相交的线段叫作平行线 B．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交 C．两条相交的直线有且只有1个公共点 D．在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行 【变式19-1】 （23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）下列图形满足“直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上”的是（    ） A．B． C． D． 【变式19-2】 （24-25七年级上·湖南怀化·期末）以下四个图中有直线、射线、线段，其中能相交的是（  ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．① 【变式19-3】 （23-24七年级下·全国·假期作业）如图所示，能相交的是 ，一定平行的是 ．（填图形序号） 题型二十 垂线段 【例20】 （24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，下列说法不正确的是（  ） A．点B到的垂线段是线段 B．点C到的垂线段是线段 C．线段是点A到的垂线段 D．线段是点B到的垂线段 【变式20-1】 （24-25七年级下·重庆渝中·期末）如图，过点P作，，则与重合，其理由是（   ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【变式20-2】 （24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，，则下列线段的长度中代表点M到直线l的距离的是（   ） A． B． C． D． 【变式20-3】 （24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 题型二十一 点到线的距离 【例21】 （24-25七年级下·浙江宁波·开学考试）如图，，，垂足分别为、．比较线段、、的大小： （用“”号连接），理由是 ． 【变式21-1】 （24-25七年级下·北京顺义·阶段练习）如图，，，，．则图中能表示点到直线的距离的是线段 的长． 【变式21-2】 （2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线m，n相交于点A，点P是直线m上一点，则点P到直线n的距离是线段 的长度． 【变式21-3】 （23-24七年级下·北京西城·期中）作图并回答： (1)如图，点P在的边上．  ①过点P作的垂线交于点C．  ②作点P到的垂线段． (2)上述作图中，线段 的长度表示点P到的距离； (3)线段与的大小关系是： （用“”连接），判断依据： ． 题型二十二 平行线 【例22】 （23-24七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．不相交的两条直线是平行线 B．在同一平面内，不相交的两条射线叫做平行线 C．在同一平面内，两条直线不相交就重合 D．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 【变式22-1】 （23-24七年级下·吉林白城·阶段练习）直线与平行可记作： ． 【变式22-2】 （2024七年级上·全国·专题练习）观察如图所示的长方体，回答问题： （1）与线段平行的线段是 ； （2）与所在直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”）．由此可知，在 内，两条不相交的直线才是平行线． 【变式22-3】 88．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的长方体，观察并回答下列问题． (1)用符号表示两条棱的位置关系： ①______；    ②______； ③______；    ④______． (2)与所在的直线不相交，它们______平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在______内，不相交的两条直线才是平行线． 基础巩固通关测 1．（23-24七年级上·北京顺义·期末）下列物体中，给我们以“圆柱”形象的是（   ） A． B． C． D． 2．下列图形中，能用∠1，∠AOB，∠O 三种方法表示同一个角的图形是(    ) A．B． C． D． 3．（23-24七年级上·北京顺义·期末）下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（   ） A．B．C．D． 4．（23-24七年级上·北京顺义·期末）已知线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点，点E在线段上，且，则的长是（   ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25七年级上·北京房山·期末）如图，是一副三角板，用它们可以画出一些角．在，，，，，，，，，，的角中，能画出的角有（   ） A．11个 B．10个 C．9个 D．8个 6．（23-24七年级上·北京通州·期末）计算： ． 7．（23-24七年级上·北京顺义·期末）若，，则 （填“”“”或“”）． 8．（23-24七年级上·北京顺义·期末）要把一根木条在墙上钉牢，至少要钉 枚钉子，能解释这一实际应用的数学知识是 ． 9．（23-24七年级上·河北唐山·期末）如图是一个正方体形状纸盒的展开图，将其折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则 ． 10．（23-24七年级上·北京通州·期末）如图，小军从村庄（点O所在位置）到公路（直线l）有四条小道，分别是，其中路程最短的是，小军判断的依据是 ． 11．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 12．（23-24七年级上·北京顺义·期末）如图，已知平面内有一个和三点，，，按要求画图，并回答问题： (1)画线段，射线，直线； (2)过点画，垂足为点； (3)对于内部的任意一点，点到的两边的距离中的较短距离记为，按照上述记法，请你通过测量得出______（填“”“”或“”）． 13．（24-25七年级上·北京房山·期末）完成下列说理过程： 如图，，，为的角平分线． 求：的度数． 解：因为①________（如图），，（已知）， 所以②________．因为为的角平分线（已知）， 所以③________（④________）．所以⑤________． 所以⑥________． 14．（23-24七年级上·北京通州·期末）如图，点A，点B均在数轴上，且点A在点B的左侧，点A对应的有理数是，点B对应的有理数是m． (1)如果线段，则 ． (2)点C是线段上一点，点C对应的有理数是n，如果，且，求m的值． (3)点C是直线上一点，点C对应的有理数是n，且，求m的值（用含有n的代数式表示）． 15．（23-24七年级上·北京大兴·期末）点A，B，C在数轴上，对于线段和线段外一点C给出如下定义：若点C与线段上的点的最小距离小于或等于，则称点C是线段的 “半关联点”． (1)如图，点A表示的数是1，点B表示的数是2，点D，E，F在数轴上，它们表示的数分别是，3，5，则在点D，E，F中，线段的 “半关联点”是 ； (2)若点A表示的数是1，点B表示的数是2，且点C是线段的 “半关联点”，则点C表示的数c的取值范围是 ； (3)若点A表示的数是1，如点C表示的数是，点C是线段的 “半关联点”，点B表示的数b的取值范围是 ． 能力提升进阶练 1．（24-25七年级上·北京顺义·期末）已知线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点，点E在线段上，且，则的长是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25七年级上·天津东丽·期末）已知锐角α，钝角β，赵，钱，孙，李四位同学分别计算的结果，分别为68.5°，22°，51.5°，72°，其中只有一个答案是正确的，那么这个正确的答案是（　　） A．68.5° B．22° C．51.5° D．72° 3．（24-25七年级上·北京房山·期末）如图，是一副三角板，用它们可以画出一些角．在，，，，，，，，，，的角中，能画出的角有（   ） A．11个 B．10个 C．9个 D．8个 4．（24-25七年级上·北京大兴·期末）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（   ） A．B．C．D． 5．（24-25七年级上·北京西城·期末）将正方体骰子放置于水平桌面上，在图②中，将骰子向右翻滚；然后在桌面上按逆时针方向旋转，则视作完成一次变换，若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成2024次变换后，骰子朝上面的点数是（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 6．（24-25七年级上·北京通州·期末）已知点是线段上一点（点与点、不重合），在三条线段、、中，如果其中一条线段的长度是另一条线段长度的2倍，那么称点为线段的“巧点”，如果线段，点为线段的“巧点”，那么线段的长度是 ． 7．（24-25七年级上·浙江衢州·期末）一根绳子长为，，是绳子上任意两点（在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 ． （2）当，两点间的距离为时，的长为 ． 8．（24-25七年级上·北京通州·期末）如图，在一条直线公路的异侧有两个村庄、，现在想在公路上选一点向两个村庄、铺设线路管道，使得点到村庄、的距离之和最短，下面有四种画法，其中符合题意的画法是 ．（只填序号） 9．（24-25七年级上·北京顺义·期末）如图，数轴上有M，N两点和一条线段，我们规定：若线段的中点R在线段上（点R能与点P或点Q重合），则称点M与点N关于线段 “中线对称”． 已知点O为数轴的原点，点A表示的数为，点B表示的数为4，点C表示的数为x，若点A与点C关于线段 “中线对称”，则x的最大值为 ． 10．（24-25七年级上·北京通州·期末）一副直角三角板如图1放置：直角三角板的边与直角三角板的边重合，点在线段的延长线上．如图2，将图1的直角三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当射线与射线重合时停止），在旋转过程中始终平分，当满足时，三角板的运动时间为 ． 11．（24-25七年级上·北京顺义·期末）数轴上有，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“三倍点”． 例如，数轴上点，，所表示的数分别为，，，此时点是点，的“三倍点”． (1)点表示的数是，点表示的数是，下列各数，，，所对应的点分别是，，，，其中是点，的“三倍点”的是______； (2)点D表示的数是，点表示的数是，为数轴上一个动点，若点是点，的“三倍点”，求点表示的数． 12．（24-25七年级上·北京大兴·期末）已知：，，，分别平分，．      (1)如图，当与重合时，的度数是 ； (2)若图中不动，将从图1的位置开始绕点顺时针旋转． ①如图，当时，求的度数； ②当时，直接用等式表示与的数量关系． 13．（24-25七年级上·北京通州·期末）对于数轴上，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“倍长点”．例如，数轴上点A，B，C所表示的有理数分别为0，2，3，此时点是点，的“倍长点”． (1)数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为3，下列各数，0，，4，7所对应的点分别为，，，，，其中是点，的“倍长点”的是_____； (2)数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为，点是数轴上的一个动点，对应的有理数用表示．若，且点，，中有一个点恰好是其他两个点的“倍长点”，则满足条件的的值有_____个； (3)在（2）中，若为整数，则满足条件的整数的值是_____（用含有的代数式表示）． 14．（24-25七年级上·北京大兴·期末）如图1，货轮停靠在O点，发现灯塔A在它的东北（东偏北45°或北偏东45°）方向上．货轮B在码头O的西北方向上． （1）仿照表示灯塔方位的方法，画出表示货轮B方向的射线；（保留作图痕迹，不写做法） （2）如图2，两艘货轮从码头O出发，货轮C向东偏北的OC的方向行驶，货轮D向北偏西的OD方向航行，求∠COD的度数； （3）令有两艘货轮从码头O出发，货轮E向东偏北x°的OE的方向行驶，货轮F向北偏西x°的OF方向航行，请直接用等式表示与之间所具有的数量是 ． 15．（24-25七年级上·北京大兴·期末）如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC=2BC时，则称点C是线段AB的内二倍分割点；如图2，如果BC=2AC时，则称点C是线段BA的内二倍分割点． 例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数-1、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点D是线段BA内二倍分割点． （1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示的数是 ；NM的内二倍分割点表示的数是 ． （2）数轴上，点A所表示的数为-30，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t>0）秒． ①线段BP的长为 ；（用含t的式子表示） ②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 简单的几何图形（复习讲义） 1.了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念。 2.会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义。理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离、理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线，理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离，理解平行线的概念。 3.理解角的概念，角平分线的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算。会计算角的和、差. 4.掌握基本事实：两点确定一条直线.掌握基本事实：两点之间线段最短。掌握基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 知识点 重点归纳 常见易错点 平面图形与立体图形 1.立体图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。 常见的立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。 2.平面图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。 常见的平面图形：线段、角、三角形、长方形、圆等 某些立方体图形平面展开图 1.立方体图形平面展开图 2.正方体展开图口诀（共计11种）： “一四一”“一三二”，“一”在同层可任意, “三个二”成阶梯,“二个三”“日”相连 异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如。 点线面体 直线、射线 、线段 1.几何图形的组成： 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 2. 组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体。 1.直线、射线、线段的区别与联系： 2.经过若干点画直线数量： 经过两点有一条直线，并且只有一条直线（直线公理）。 3.比较线段长短 （1）度量法；（2）用尺规作图法 线段的大小比较方法： 方法一 ：度量法 分别用刻度尺测量线段AB、线段CD的长度，再进行比较 方法二 ：叠加法 让线段某一段端点重合，比较另一边两端点的位置。 4.线段中点：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点； 5.两点之间线段最短。 6.两点距离的定义：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。 1.【射线的表示方法】表示射线时端点一定在左边，而且不能度量。 2注意：距离是线段的长度，是数量，是非负数。 角及其分类 1.角的概念：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角（静态）。 角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图（动态）。 2.角的分类： ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° 3.角的表示法（四种）： (1)角可以用三个大写字母表示,但表示顶点的字母一定要写在中间. (2)用一个字母表示角, 必须是以这个字母为顶点的角，而且只有一个. (3)用一个数字表示角,在靠近顶点处画上弧线,写上数字. (4)用一个希腊字母表示,在靠近顶点处画上弧线,写上希腊字母. (1)角可以用三个大写字母表示,但表示顶点的字母一定要写在中间. (2)用一个字母表示角, 必须是以这个字母为顶点的角，而且只有一个. (3)用一个数字表示角,在靠近顶点处画上弧线,写上数字. (4)用一个希腊字母表示,在靠近顶点处画上弧线,写上希腊字母. 角的度量及 其换算 1.角的度量：1°=60′；1′=60″； 1直角=90°；1平角=180 °；1周角=360°　 2.角的大小的比较： （1）叠合法，使两个角的顶点及一边重合，另一边在重合边的同旁进行比较； （2）度量法，分别用量角器测量两个角的大小，再进行比较。 角平分线 角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 注意：做题格式要规范。 相交线与平行线 1.直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。 2.垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。表示方法：如图，a ⊥ b，垂足为O． 记作：a ⊥ b于点O． 3.垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 4.垂线的画法：一落、二移、三画。 5.垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 注意：垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。 经过直线外一点到这条直线的垂线段有且只有一条。 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 6.平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示， 如：直线与直线互相平行，记作∥，读作a平行于b。 平行线的画法：一落、二靠、三移、四画。 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合 1.线段与线段，线段与射线，线段与直线，射线与射线，射线与直线垂直，是特指它们所在的直线互相垂直。 2.两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角；若两条直线的夹角为直角，则这两条直线互相垂直。 3.注意：经过一点画射线或线段的垂线，是指它们所在直线的垂线，垂足的位置不固定，可能会出现在射线的反向延长线或线段的延长线上。 题型一 平面图形与立体图形 【例1】 （2025·山西太原·二模）素描是在纸上描绘外在形体在空间中的位置，并借此来掌握物体的明暗层次和基本形象．素描是绘画的基础，几何体则是素描的基础．如图是一副几何体素描作品，则该作品中不存在的几何体是（   ） A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球体 【答案】B 【分析】本题考查了简单几何体的认识，根据常见几何体的特征结合选项，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，该作品中由几何体：棱锥，四棱柱，球体，圆柱， 则该作品中不存在的几何体是圆锥． 故选：B． 【变式1-1】 （23-24七年级上·河北石家庄·期末）下面几种图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于立体图形的是（　　） A．③⑤⑥ B．①②③ C．①③⑥ D．④⑤ 【答案】A 【分析】本题主要考查了立体图形的定义，根据立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内的特征一一进行判断即可． 【详解】解：①②④是平面图形，③⑤⑥是立体图形， 故选：A． 【变式1-2】 （24-25七年级上·全国·课后作业）如图是小明同学在美术课上画的小动物简笔画，请你仔细观察，图中圆有 个，三角形有 个，四边形有 个． 【答案】 10 5 1 【分析】本题考查了多边形，根据圆、三角形、四边形的定义判断即可，熟练掌握圆、三角形、四边形的定义是解此题的关键． 【详解】解：观察图形可得，图中圆有10个，三角形有5个，四边形有1个， 故答案为：10，5，1． 【变式1-3】 （25-26七年级上·全国·课后作业）指出图中各物体是由哪些立体图形组成的． 【答案】题图①由正方体、圆柱、圆锥组成；题图②由圆柱、长方体、三棱柱组成；题图③由五棱柱、球组成． 【分析】此题考查了立体图形的识别，明确常见立体图形的特征是解答此题的关键；仔细分析给出的三个立体图形，结合常见的立体图形的特征即可解答题目． 【详解】解：题图①由正方体、圆柱、圆锥组成； 题图②由圆柱、长方体、三棱柱组成； 题图③由五棱柱、球组成． 题型二 几何体展开图认识 【例2】 （24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（  ） A．正方体，圆锥，圆柱，三棱锥 B．圆锥，正方体，四棱锥，圆柱 C．正方体，圆锥，圆柱，四棱柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 【答案】D 【分析】本题主要考查了常见几何体的展开图；熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解题的关键． 根据常见的几何体的展开图进行判断，即可得出结果． 【详解】解：根据几何体的平面展开图， 从左到右，其对应的几何体名称分别为正方体，圆锥，圆柱，三棱柱． 故选：D 【变式2-1】 （2025·江西·模拟预测）如图，这是一个无下底面的几何体，它的平面展开图可能为（   ）    A．  B．   C．   D．   【答案】B 【分析】此题主要考查了几何体的展开图．由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征作答． 【详解】解：由侧面是3个矩形，上有1个三角形， 它的平面展开图可能为  ， 故选：B． 【变式2-2】 （2025七年级上·北京·专题练习）如图是某几何体的展开图，该几何体是 ． 【答案】圆锥 【分析】此题主要考查了由展开图得几何体，关键是考查同学们的空间想象能力．展开图为一个圆，一个扇形，可得是圆锥的展开图． 【详解】解：∵展开图为一个圆，一个扇形， ∴可得此几何体为圆锥． 故答案为：圆锥． 【变式2-3】 （25-26七年级上·全国·课后作业）如图，把相应的立体图形与它的展开图用线连起来． 【答案】见解析 【分析】本题考查立体图形与立体图形平面展开图的特征．根据立体图形与它的平面展开图的特征即可得解． 【详解】解：如图连线． 题型三 正方体展开图 【例3】 （25-26七年级上·吉林长春·开学考试）下面的展开图中，可以围成正方体的共有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据正方体的展开图逐项判断即可求解，掌握正方体的展开图是解题的关键． 【详解】解：第个、第个、第个图形可以围成正方体，第个不可以围成正方体， ∴可以围成正方体的共有个， 故选：． 【变式3-1】 （24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）下面图形能折成一个正方体的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体展开图的特征，判断每个选项中的图形能否折叠成正方体．本题主要考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的各种形式是解题的关键． 【详解】 解： 不符合正方体展开图的任何一种形式，故A项错误． 属于正方体展开图的“”型，能折成正方体，故B项正确． 不符合正方体展开图的特征，不能折成正方体，故C项错误． 不符合正方体展开图的特征，不能折成正方体，故D项错误． 故选：B． 【变式3-2】 （24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，在方格图中已经有五个方格涂成阴影，请从①②③④个方格中选一个涂成阴影，使得涂成阴影的部分组成正方体的展开图，则应该涂成阴影的方格是 ．    【答案】① 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，解题的关键是熟练掌握正方体的展开图的特点．根据正方体的展开图特点进行求解即可． 【详解】解：若涂成阴影的方格是①，可以折叠成正方体，符合正方体表面展开图的“型”的特征，因此涂方格①可以； 若涂成阴影的方格是②，不能折叠成正方体，正方体表面展开图的“田凹应弃之”，因此涂方格②不可以； 若涂成阴影的方格是③，不能折叠成正方体，正方体表面展开图的“田凹应弃之”，因此涂方格③不可以； 若涂成阴影的方格是④，不能折叠成正方体，正方体表面展开图中不可能出现“型”，因此涂方格④不可以． 故答案为：①． 【变式3-3】 （24-25七年级上·河南周口·期末）如图，一个无盖的正方体盒子，图1是它的一种展开图，请在图2，图3中分别画出另外两种不同的展开图． 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，由平面图形的折叠及无盖正方体的展开图解题． 【详解】解：如图，（答案不唯一） 题型四 从不同方向观察立体图形 【例4】 （25-26七年级上·河南信阳·开学考试）观察下边的物体，从上面看到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查从不同方向观察几何体，从上面观察该组合体，即可求解． 【详解】 解：从上面看到的图形是． 故选：C 【变式4-1】 （24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图的几何体，从前面看到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查从不同方向看几何体．确定从前往后看得到的图形即可． 【详解】 解：如图所示的几何体从前面看到的图形是：． 故选B． 【变式4-2】 （24-25七年级上·四川成都·期末）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从正面看和从上面看如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最少有 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体．据正面看与上面看的图形，得到搭成这个几何体底层3个，上面2层最少2个小正方体． 【详解】解：根据从上面看发现最底层有3个小立方块，从正面看发现第二层最少有1个小立方块，第三层最少有1个小立方块， 故最少有个小立方块． 故答案为：5． 【变式4-3】 （24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，这是由7个小正方体搭成的几何体．请你利用下面三个网格分别画出从前面、左面和上面看这个几何体得到的形状图． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了作图-从不同方向看几何体，从正面看从左往右3列正方形的个数依次为2，1，2；从左面看从左往右2列正方形的个数依次为2，1；从上面看从左往右3列正方形的个数依次为2，2，1；依此画出图形即可． 【详解】解：如图， 题型五 点线面体之间的关系 【例5】 （24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）汽车的雨刮器工作时，可用下面（　　）的数学知识点来解释 A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线线相交 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，利用点、线、面、体的概念解答． 【详解】解：汽车的雨刮器工作时，可用线动成面的数学知识点来解释． 故选：B． 【变式5-1】 （24-25七年级上·四川成都·期末）几何图形都是由点、线、面、体组成，点动成线，线动成面，面动成体．下列生活现象中，可以反映“面动成体”的是（　　） A．粉笔写字 B．流星划过夜空 C．硬币在桌上旋转 D．汽车雨刷转动 【答案】C 【分析】本题考查了点、线、面、体的知识．根据点，线，面，体的相关知道分析即可． 【详解】解：A、粉笔写字是“点动成线”，故本选项不合题意； B、流星划过夜空是“点动成线”，故本选项符合题意； C、硬币在桌上旋转是“面动成体”，故本选项符合题意； D、汽车雨刷转动是“线动成面”，故本选项不合题意． 故选：C． 【变式5-2】 （24-25七年级上·全国·随堂练习）流星划过天空留下一道光线说明 ；风车旋转时看起来像个圆面，这说明 ． 【答案】 点动成线 线动成面 【分析】本题考查了点、线、面、体之间的关系，解题关键是明确点动成线，线动成面，面动成体．根据点动成线，线动成面回答即可． 【详解】解：流星划过天空留下一道光线说明点动成线；风车旋转时看起来像个圆面，这说明线动成面； 故答案为：点动成线，线动成面 【变式5-3】 （24-25七年级上·全国·课后作业）飞机表演“飞机拉线”时，我们用数学的知识可解释为点动成线.用数学知识解释下列现象： (1)流星从空中划过留下的痕迹可解释为______； (2)自行车的辐条运动可解释为_____； (3)一只蚂蚁行走的路线可解释为_____； (4)打开折扇得到扇面可解释为_____； (5)一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为____. 【答案】(1)点动成线； (2)线动成面； (3)点动成线； (4)线动成面； (5)面动成体． 【分析】根据点线面体之间的关系为：点动成线，线动成面，面动成体的规律来解答即可． 【详解】（1）解：流行是点，光线是线，流星划出一条长线，所以流星从空中划过留下的痕迹可解释为点动成线； （2）解：自行车的辐条是线，在运动过程中形成面，所以自行车的辐条运动可解释为线动成面； （3）解：蚂蚁可看做是点，行走的路线是线，所以一只蚂蚁行走的路线可解释为点动成线； （4）解：折扇合起来时是一条线，打开折扇得到扇面可解释为线动成面； （5）解：一个圆是面，球是立体图形，一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为面动成体. 【点睛】此题主要考查了点、线、面、体，关键是掌握四者之间的关系． 题型六 直线、射线、线段之间的区别 【例6】 （24-25七年级上·重庆永川·阶段练习）如图，下列不正确的几何语句是（    ） A．直线和直线是同一直线 B．射线和射线是同一射线 C．射线和射线是同一射线 D．线段和线段是同一线段 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段等知识点，根据直线、射线、线段的意义作答即可，能理解直线、射线、线段的意义是解此题的关键． 【详解】解：A、直线与直线是同一条直线，原说法正确；故本选项不符合题意； B、射线与射线是同一条射线，原说法正确；故本选项不符合题意； C、射线和射线不是同一射线，原说法错误；故本选项符合题意； D、线段和线段是同一线段，原说法正确；故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式6-1】 （24-25七年级上·北京房山·期末）如图，若射线上有一点C，下列与射线是同一条射线的是（   ） A．射线 B．射线 C．射线 D．射线 【答案】B 【分析】本题考查射线的定义，射线的一端确定，另一端无限延伸，可知射线是有方向的，因此根据起点是同一点，且方向相同的射线是同一条射线，即可解答本题． 【详解】解：与射线是同一条射线的是射线． 故选：B． 【变式6-2】 （24-25七年级上·天津北辰·期末）如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：①图中有两条直线；②图中有5条线段；③射线和射线是同一条射线；④直线经过点．其中结论正确的结论是 ． 【答案】①③ 【分析】根据直线、射线、线段的定义结合图形即可分析判断求解． 【详解】解：①直线是没有端点，向两边无限延伸，图中有两条直线，分别是：直线BC和直线BD，故①说法正确； ②直线上两点及两点之间的部分是线段，图中有6条线段，分别是：线段AB、线段BC、线段BD、线段AC、线段CD、线段AD，故②说法错误； ③射线和射线是同一条射线，都是以点A为端点，同一方向的射线，故③说法正确； ④直线和直线BC相交于点B，直线经过点B，不经过点，故④说法错误， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查直线、射线、线段的定义，解题的关键是熟练掌握并区分相关定义． 【变式6-3】 （2024七年级上·全国·专题练习）如图，有下列结论：①以C为端点的射线共有4条；②射线和射线是同一条射线；③直线和直线是同一条直线；④射线的端点相同．其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】③④ 【分析】本题考查了直线、射线、线段，熟记概念以及表示方法是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义，对结论分析判断即可得解． 【详解】解：以C为端点的射线共有3条，故①错误； 因为射线和射线的端点不同，方向也不同，所以不是同一条射线，故②错误； 直线和直线是同一条直线，故③正确； 射线的端点相同，都为点A，故④正确． 综上所述，其中正确的结论是：③④． 故答案为：③④． 题型七 画直线、射线、线段 【例7】 （24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）按下面语句画图：点M在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，直线a，b，c两两相交，图中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相交线、点与直线的位置关系，正确理解题意、认识图形是解题的关键．根据相交线的概念、点与直线的位置关系进行判断即可． 【详解】解：A、点在直线上，也在直线上，不在直线上，但直线、不相交，故本选项不符合题意； B 、直线，，两两相交，且点在直线上，也在直线上，不在直线上，故本选项符合题意； C、直线，，两两相交，但点在直线上，故本选项不符合题意； D、直线，，两两相交，但点在直线上，且不在直线上，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式7-1】 （24-25七年级上·广东江门·期末）如图，平面内有三点A、B、C，按下列要求画图：画射线，画直线，连接，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查画直线、射线、线段．根据直线、射线、线段定义即可解决问题． 【详解】解：由题意作图如下： 故选：D． 【变式7-2】 （24-25七年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，平面内三个点A，B，C，按照下列要求画图． (1)画线段； (2)画射线； (3)画直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查线段、射线和直线的画法，掌握三者的画法是关键． （1）根据线段的画法：连接即可； （2）根据射线的定义画图即可，注意射线向C点方向延伸； （3）根据直线的画法画图即可，注意向A、C两个方向延伸． 【详解】（1）线段如图所示； （2）射线如图所示； （3）直线如图所示； 【变式7-3】 （24-25七年级上·宁夏银川·阶段练习）已知四点、、、．根据下列语句，画出图形． ①画直线； ②连接、，相交于点； ③画射线、射线，相交于点． 【答案】①见解析②见解析③见解析 【分析】本题考查了直线、射线、线段的作图，根据提示即可完成作图； 【详解】解：如图所示： 题型八 两点确定一条直线 【例8】 （24-25七年级上·广东茂名·期末）将一根木条固定在墙上，至少需要在木条上钉2枚钉子，这样做的数学依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点之间，直线最短 D．以上说法都不对 【答案】A 【分析】此题考查了直线的基本事实．根据题意得到数学依据是两点确定一条直线，据此即可得到答案． 【详解】解：将一根木条固定在墙上，至少需要在木条上钉2枚钉子，这样做的数学依据是两点确定一条直线， 故选：A. 【变式8-1】 （24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）值日生每天打扫完卫生后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．直线没有端点 D．以上说法都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了直线的性质．根据直线的性质“两点可以确定一条直线”进行解答． 【详解】解：值日生每天打扫完卫生后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是：两点确定一条直线． 故选：A． 【变式8-2】 （24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，这说明 ． 【答案】经过一点可以画无数条直线 【分析】此题考查了直线的性质．根据经过一点可以画无数条直线进行解答即可． 【详解】解：用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，这说明经过一点可以画无数条直线． 故答案为：经过一点可以画无数条直线． 【变式8-3】 （24-25七年级上·全国·课后作业）举出一个能反映“经过两点有且只有一条直线”的实例． 【答案】见解析． 【分析】结合实例证明“经过两点有且只有一条直线”即可． 【详解】解：例如，在正常情况下，射击时要保证目标在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标；栽树时只要确定两个树坑的位置，就能确定同一行的树坑所在的直线； 建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳，沿这根绳就可以砌出直的墙． 【点睛】本题考查了“经过两点有且只有一条直线”，熟知定义是解题的关键． 题型九 两点之间线段最短 【例9】 （24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，从学校A到书店B最近的是①号路线，得出这个结论的根据是（   ）    A．两点确定一条线段 B．两点确定一条直线 C．两点之间，直线最短 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了线段的性质，掌握两点之间，线段最短是解题关键． 【详解】解：从学校A到书店B最近的是①号路线，得出这个结论的根据是两点之间，线段最短， 故选：D． 【变式9-1】 （24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下列生活中出现的现象，可以用“两点之间，线段最短”来解释的是（   ） A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上 B．值日时，只要定出这列最前面和最后面两张课桌的位置，就能将其余课桌按这条直线摆放 C．在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程 D．经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间线段最短，结合实际情况，掌握直线的确定方法，两点之间线段最短的知识是解题的关键．根据两点确定一条直线，及两点之间线段最短进行判定即可求解． 【详解】解：A、用两个钉子就可以把木条固定在墙上，运用的两点确定一条直线，不符合题意； B、值日时，只要定出这列最前面和最后面两张课桌的位置，就能将其余课桌按这条直线摆放，运用的两点确定一条直线，不符合题意； C、在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，运用的是两点之间线段最短，符合题意； D、经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，运用的两点确定一条直线，不符合题意； 故选：C ． 【变式9-2】 （24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，从地到地的三条路中选择线段最近的依据是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题主要考查了线段的性质，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．根据两点之间线段最短进行解答即可． 【详解】解：从地到地的三条路中选择线段最近的依据是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 【变式9-3】 （24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求画出图形． (1)画直线，射线，线段； (2)在直线上确定一点P，使的值最小，并写出理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义、线段的性质，熟练掌握直线、射线、线段的定义和两点之间，线段最短的性质是解题的关键． （1）按要求画出对应的图形即可； （2）连接交于点，利用两点之间，线段最短的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，直线，射线，线段即为所求： （2）解：连接交于点， 由两点之间，线段最短性质得：，， 当点为与的交点时，的值最小， 如图所示，点即为所求： 题型十 两点间的距离 【例10】 （24-25七年级下·浙江温州·期末）A，B，C三点在同一直线上，线段，，那么A，C两点的距离是（　　） A． B． C．或 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．分点C在的延长线上和点C在线段的延长线上两种情况，根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：①如图，当点C在的延长线上时， ∵，， ∴； ②如图，当点C在线段的延长线上时， ∵，， ∴； 综上所述：的长为或， 故选：C． 【变式10-1】 （24-25七年级下·山东德州·阶段练习）下列语句中，定义“两点间的距离”正确的是 （填序号）． ①连接两点的线段；        ②连接两点的直线； ③连接两点的线段的长度；  ④连接两点的直线的长度． 【答案】③ 【分析】本题考查了两点间的距离的定义，理解定义是解题的关键． 【详解】解：连接两点的线段的长度叫做两点间的距离； 故答案为：③． 【变式10-2】 （24-25七年级上·北京大兴·期末）如图所示，点A，点D这两点间的距离是线段 的长度． 【答案】 【分析】根据两点间的距离的定义可得点与点的距离． 【详解】解：点与点的距离为线段的长度． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查两点间距离的定义，掌握两点间距离的定义是解题的关键． 【变式10-3】 （24-25七年级上·浙江衢州·期末）一根绳子长为，，是绳子上任意两点（在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 ． （2）当，两点间的距离为时，的长为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了线段的和差，两点间距离，翻折，分类讨论思想； （1）由已知，翻折后，则，两点间的距离为，由此即可求解； （2）分两种情况：及，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 由于翻折，如图，则， ∴， ∴，两点间的距离为； 故答案为：； （2）当时，如图， 由于翻折，则， 由图知，，即， ∴， ∴； 当时，如图， 则，即， ∴， ∴； 综上，的长为或． 故答案为：或． 题型十一 线段中点的有关计算 【例11】 （24-25六年级下·山东淄博·期中）已知线段，点是直线上一点，，点是线段的中点，则的长为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了线段和差的计算，线段中点的计算，理解线段中点的含义，数形结合分析即可求解． 【详解】解：如图所示，点在点左边， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴； 如图所示，点在点右边， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故选：A ． 【变式11-1】 （24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，，，E，F分别是，的中点，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D．8.5 【答案】B 【分析】根据已知条件可以求出，的长度，再根据中点的定义，可以求出，的值，再由即可求解． 本题考查的是线段和差定义，中点的性质，利用线段和差表示线段是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式11-2】 （24-25七年级上·江苏泰州·期末）已知A，B，C三点在同一条直线上，且，．若点D是线段的中点，则线段 cm． 【答案】11或5 【分析】根据题意，分两种情况画出图形．①点C在点B的右侧时；②点C在点B的左侧时．根据线段的和差计算，线段的中点定义，两点间的距离进行计算即可得出答案． 本题考查了线段的和差，两点间的距离，线段的中点定义，掌握线段的和差计算，线段的中点定义，两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示，点C在点B的右侧时， ∵，， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴； ②如图所示，点C在点B的左侧时， ∵，， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴， 综上所述，线段的长为5或11． 【变式11-3】 44．（24-25七年级上·甘肃定西·期末）如图，为线段上任一点，点、分别是、的中点．若，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的定义，与线段中点有关的计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键. 根据题意得到，继而求出，根据线段中点的定义得出. 【详解】解：点，分别是线段，的中点， ，， ， ， . 题型十二 角的概念 【例12】 （24-25七年级上·全国·阶段练习）有下列关于角的说法： ①两条射线组成的图形叫作角； ②角的边越长，角越大； ③在角一边的延长线上取一点D； ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． 其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的定义，根据角的概念对各选项分析判断后利用排除法求解，熟练掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫做角是解决此题的关键． 【详解】有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，故①错误，不符合题意； 角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，故②错误，不符合题意； 角的边是射线，不能延长，故③错误，不符合题意； 角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，④正确，符合题意， ∴只有④一个选项正确， 故选：A． 【变式12-1】 （24-25七年级下·山东聊城·开学考试）下列说法中，正确的个数有（    ） ①两条射线组成的图形是角；②角的大小与边的长短有关；③角的两边可以画的一样长，也可以一长一短；④角的两边是两条射线；⑤因为平角的两边也成一条直线，所以一条直线可以看作一个平角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了角的定义，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，注意不要忽略“公共端点”．还应注意角的大小与边的长短无关，与度数的大小一致． 根据角的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：①有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故原说法错误； ②角的大小与边的长短无关，故原说法错误； ③角的两边是两条射线，射线不能度量，所以不能说长或短，故原说法错误； ④有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故角的两边是两条射线，此说法正确； ⑤平角的两边在同一直线上，平角有顶点，而直线没有，故选项错误； 以上5种说法正确的有1个， 故选：A． 【变式12-2】 （24-25七年级上·全国·课后作业）角也可以看成是一条射线 的图形，这条射线的起始位置叫做角的 ，这条射线的终止位置叫做角的 ． 【答案】 绕着它的端点旋转而形成 始边 终边 【分析】根据角的定义回答即可． 【详解】解：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，这条射线的起始位置叫做角的始边，这条射线的终止位置叫做角的终边． 故答案为：绕着它的端点旋转而形成；始边；终边． 【点睛】本题考查了角的定义，属于基础题，熟练掌握角的定义是解题关键． 【变式12-3】 （23-24七年级上·全国·课后作业）归纳与猜想： （1）观察上图填空：图中有个 角；图中有 个角；图中有 个角； （2）根据（1）题猜想：在一个角内引条射线可组成 个角．    【答案】 【分析】根据角的定义，固定一条射线，剩余射线的条数即为可以与这条固定射线组成的角的个数． 【详解】    如图所示，射线可以与射线，组成个角，射线可以与射线组成个角，所以图中共有个角． 如图所示，射线可以与射线，，组成个角，射线可以与射线，组成个角，射线可以与射线组成个角，所以图中共有个角． 如图所示，射线可以与射线，，，组成个角，射线可以与射线，，组成个角，射线可以与射线，组成个角，射线可以与射线组成个角，所以图中共有个角． 在一个角内引条射线，则共有条射线，可以组成的角的个数． 故答案为： ， ， ，． 【点睛】本题主要考查角的定义，牢记角的定义（有公共端点的两条射线组成的图形叫做角）是解题的关键． 题型十三 角的表示方法 【例13】 （24-25六年级下·山东烟台·期中）下列四个图中，能用三种方法表示同一角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是角的表示方法，熟练掌握角度的三种正确表示方法是解题的关键．利用角度的三种表示方法，逐个进行分析即可． 【详解】解：在A、B、D选项中，以点为顶点的角不止一个，如果用表示有歧义， 只有C选项能用三种方法表示同一角，没有歧义， 故选：C． 【变式13-1】 （24-25七年级上·北京平谷·期末）下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示，理解角的表示方法是解题的关键． 【详解】解：A.表示的角不确定，故不符合题意； B.，，三种方法表示同一个角，故符合题意； C.表示的角不确定，故不符合题意； D. 表示的角不确定，故不符合题意； 故选：B． 【变式13-2】 （23-24六年级下·全国·假期作业）如图，用三个大写字母表示所标记的各角． （1）可以表示为 ； （2）可以表示为 ； （3）可以表示为 ． 【答案】 （或） （或） （或） 【分析】本题考查角的表示，根据角的表示方法直接求解即可得到答案，熟记角的表示方法是解决问题的关键． 【详解】解：（1）可以表示为或； （2）可以表示为或； （3）可以表示为或； 故答案为：（1）（或）；（2）（或）；（3）（或）． 【变式13-3】 （24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，点B，D，C，F在同一条直线上． (1)图中哪个角可以用一个大写字母来表示？ (2)以A为顶点的角有几个？请表示出来． (3)与是同一个角吗？请说明理由． 【答案】(1)图中可以用一个大写字母表示的角是． (2)以A为顶点的角有3个，分别是． (3)与不是同一个角．理由：这两个角的顶点不同． 【分析】此题考查了角和角的表示，熟练掌握角的表示方法是关键． （1）根据角的表示方法解答即可； （2）根据角的表示方法解答即可； （3）根据角的表示方法解答即可． 【详解】（1）解：图中可以用一个大写字母表示的角是． （2）以A为顶点的角有3个，分别是． （3）与不是同一个角．理由：这两个角的顶点不同 题型十四 角的分类 【例14】 （23-24七年级上·浙江杭州·期末）在综合与实践课上，将与两个角的关系记为，探索n的大小与两个角的类型之间的关系（　　） A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 【答案】A 【分析】本题考查了角的倍分关系及锐角、钝角定义，根据角的分类及倍分关系逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，若为锐角，则为锐角，正确，故本选项符合题意； B、当时，若为钝角，则为锐角，原说法错误，故本选项不符合题意； C、当时，若为锐角，则为锐角或钝角，原说法错误，故本选项不符合题意； D、当时，若为锐角，则为钝角或锐角，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式14-1】 （24-25七年级上·江西南昌·期末）若为锐角，为直角，为钝角，则的值可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的分类，掌握各种角的取值范围是解题的关键． 根据锐角，直角，钝角的定义得出各角的范围，再根据最大值和最小值求出的范围，选择合适的可能值即可． 【详解】解：∵为锐角，为直角，为钝角， ∴，，， ∴， 即， ∴值可能是， 故选B． 【变式14-2】 （24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法中，正确的有 个 ①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角； ④平角等于；⑤周角等于． 【答案】3 【分析】本题主要考查了锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义，属于基础题.掌握锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义是解答本题的关键．实际解答时，要学会举反例． 【详解】①小于的角也可能是 ，不一定是锐角，原说法错误； ②等于的角是直角，说法正确； ③平角大于但不是钝角，原说法错误； ④平角等于，说法正确； ⑤周角等于，说法正确， 故正确的有3个， 故答案为：3． 【变式14-3】 （24-25七年级上·全国·课后作业）看图，回答下列问题： (1)图中共有多少个角？ (2)请分别写出图中的锐角、直角和钝角． 【答案】(1)10个 (2)见解析 【分析】本题考查角度的概念及分类； （1）列举出来图形中所有的角度即可； （2）根据锐角、直角和钝角的定义分类即可． 【详解】（1）解：图中角有：、、、、、、、、、，共有10个角； （2）解：直角是， 锐角是， 钝角是． 题型十五 角进制 【例15】 （24-25七年级上·广东东莞·期末）用度、分、秒表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，掌握换算公式是解题的关键．根据1度等于60分，1分等于60秒，由大单位转换成小单位乘以60，按此转化即可． 【详解】解： ∴ 故选：A 【变式15-1】 （2024七年级上·全国·专题练习）下面等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角度的换算，角度换算要牢记度、分、秒之间的换算关系，并注意进位和借位的规则，以确保计算准确． 【详解】解：A．，故错误； B．，故错误： C．，故错误； D．，故正确． 故选：D． 【变式15-2】 （24-25七年级下·山东淄博·阶段练习） ° ′ ″． 【答案】 【分析】本题主要考查角度单位的换算．关键掌握度、分、秒之间的换算关系，，，根据这个换算关系进行计算，即可解答． 【详解】解：先把小数部分换算为分， ∵， ∴， 再把换算为秒， ∵， ∴， 即：． 故答案为：． 【变式15-3】 （24-25七年级上·全国·课后作业）（1）把化成用度表示的角； （2） 把化成用度、分、秒表示的角． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了度分秒之间的转化，熟练掌握度分秒的关系是解题的关键． （1）先把分化成度，再加上原来的度数即可； （2）把度化成分，即可得到答案． 【详解】解：（1）先把化成度，即，所以． （2）因为，所以，因此． 题型十六 角的大小比较 【例16】 （24-25六年级下·山东泰安·期中）若，，则（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查度数的大小比较，解题的关键是统一单位再进行比较，注意：、．据此解答即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 故选：A． 【变式16-1】 （24-25七年级上·广东佛山·期末）若，，，则下面说法正确的是（    ） A． B． C． D．互不相等 【答案】D 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的换算规则是解题的关键．将进行换算，即可得到答案． 【详解】解：，，， 互不相等， 故选：． 【变式16-2】 （24-25七年级上·山东济宁·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，单位换算．由，再比较大小即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式16-3】 （23-24七年级上·全国·课后作业）如图所示，写出图中符合下列条件的角．    (1)能用一个大写字母表示的角． (2)以为顶点的角． (3)图中所有小于平角的角． (4)若，，请比较与的大小． 【答案】(1)， (2)（或），（或）． (3)，，，，，， (4) 【分析】（1）根据角的表示即可得解； （2）根据角的表示即可得解； （3）根据平角定义及角的表示即可得解； （4）将、的大小化为同单位后比较即可． 【详解】（1）解：因为影图中以，为顶点的角各只有一个， 所以能用一个大写字母表示的角有，． （2）解：以为顶点的角有个．分别为（或），（或）． （3）解：题图中所有小于平角的角有，，，，，，． （4）解：， 所以． 【点睛】本题考查的是角的表示方法，熟知角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如，，、）表示，或用阿拉伯数字（，表示 题型十七 角的运算 【例17】 （24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的四则运算法则，熟练掌握角的四则运算法则是解题关键． （1）根据角的四则运算法则求解即可； （2）根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式17-1】 （25-26七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角度的加减运算； （1）根据角度的加减运算法则，以及角度制的换算关系，逐一进行计算即可． （2）根据角度的加减运算法则，以及角度制的换算关系，逐一进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【变式17-2】 （23-24六年级下·山东济南·开学考试）计算 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了角度的四则运算，熟练掌握是解题是关键． （1）结合，进行加法运算，即可作答． （2）结合，先进行乘法，再进行加法运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式17-3】 （2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了角度的运算，注意是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （2）两个度数相减，度与度，分与分对应相减，分的结果若不够减，则借位后再减； （3）进行角的乘法运算，应将度分秒分别与6相乘，然后依次进位； （4）一个度数除以一个数，则从度位开始除起，余数变为分，分的余数变为秒． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十八 角平分线 【例18】 （24-25七年级上·贵州毕节·期末）如图，射线平分．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，根据角平分线的定义可得． 【详解】解：∵射线平分，， ∴， 故选：C． 【变式18-1】 （24-25七年级上·四川广元·期末）如图，是的平分线，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．由，可得出，再利用求出的度数，最后利用角平分线的定义即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， 是的平分线， ． 故选：C． 【变式18-2】 （24-25七年级下·广东梅州·开学考试）如图已知是的角平分线，如果，那么 ．（结果用度表示） 【答案】/41度 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，直接根据角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， 故答案为：． 【变式18-3】 （22-23七年级上·山西太原·期末）如图，已知O是直线上一点，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确求出是解题的关键． 【详解】解：∵平分，， ∴． ∴， 即的度数为． 题型十九 两条直线的位置关系 【例19】 （24-25七年级下·全国·随堂练习）下列说法一定正确的是（   ） A．两条不相交的线段叫作平行线 B．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交 C．两条相交的直线有且只有1个公共点 D．在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行 【答案】C 【分析】本题考查了平行线、相交线的基本概念，解题的关键在于准确理解并运用这些概念； 根据平行线、相交线的定义及性质，对各选项逐一进行分析． 【详解】A．平行线的定义是在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，而线段有长度限制，即使两条线段不相交，它们所在的直线也可能相交，所以两条不相交的线段不一定是平行线，故该选项说法错误，不符合题意； B．在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交，二者不能同时成立，不存在既平行又相交的情况，故该选项说法错误，不符合题意； C．根据直线相交的定义，两条相交的直线有且只有一个公共点，故该选项说法正确，符合题意； D．射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，在同一平面内，两条射线没有交点，它们所在的直线也可能相交，所以仅根据两条射线没有交点，不能得出这两条射线平行，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式19-1】 （23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）下列图形满足“直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上”的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．根据直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A．直线与直线相交，点M在直线，不在直线上，故本选项不符合题意； B．直线与直线相交，点M不在直线，在直线上，故本选项不符合题意； C．直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上，故本选项符合题意； D．直线与直线相交，点M既不在直线，也不在直线上，故本选不项符合题意； 故选：C． 【变式19-2】 （24-25七年级上·湖南怀化·期末）以下四个图中有直线、射线、线段，其中能相交的是（  ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．① 【答案】B 【分析】根据直线可以沿着两个方向延伸，射线可以沿着一个方向延伸，线段不能延伸依次判断即可． 【详解】解：①射线和直线延伸后可以相交，符合题意； ②线段不能向两端延伸，不能相交，不符合题意； ③两条直线延伸后可以相交，符合题意； ④射线和直线延伸后不能相交，不符合题意； 故选：B． 【点睛】题目主要考查直线、线段及射线的知识，掌握直线可以沿着两个方向延伸，射线可以沿着一个方向延伸，线段不能延伸是解题关键． 【变式19-3】 （23-24七年级下·全国·假期作业）如图所示，能相交的是 ，一定平行的是 ．（填图形序号） 【答案】 ③ ⑤ 【分析】本题主要考查了相交线与平行线，熟知直线，射线，线段的特点，以及相交线和平行线的定义是解题的关键． 【详解】解：对于①，是由一条直线、一条射线组成，且射线只可向右无限延伸，与直线没有交点，故不能相交； 对于②，是由一条直线、一条线段组成，当直线延伸时与线段没有交点，故不能相交； 对于③，是由一条直线、一条线段组成，当直线线延时，与线段有交点，故可以相交； 对于④，是由两条线段组成，没有交点，故不能相交； 对于⑤，由两条直线组成，且在同一平面内，故一定平行． 故答案为：③；⑤． 题型二十 垂线段 【例20】 （24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，下列说法不正确的是（  ） A．点B到的垂线段是线段 B．点C到的垂线段是线段 C．线段是点A到的垂线段 D．线段是点B到的垂线段 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段，解题的关键是掌握垂线段的概念． 根据垂线段的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A、根据条件无法得到，点B到的垂线段是线段，该选项错误，符合题意； B、该选项正确，不符合题意； C、该选项正确，不符合题意； D、该选项正确，不符合题意； 故选：A． 【变式20-1】 （24-25七年级下·重庆渝中·期末）如图，过点P作，，则与重合，其理由是（   ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】此题主要考查了垂线的定义与性质，根据垂线的定义结合图形得出是解题关键．利用同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可． 【详解】解：，，则与重合， 其理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 故选：A． 【变式20-2】 （24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，，则下列线段的长度中代表点M到直线l的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，， ∴代表点M到直线l的距离的是线段的长度． 故选：C． 【变式20-3】 （24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离是， 故选：． 题型二十一 点到线的距离 【例21】 （24-25七年级下·浙江宁波·开学考试）如图，，，垂足分别为、．比较线段、、的大小： （用“”号连接），理由是 ． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，根据垂线段最短可得，，进而即可求解，理解垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 理由是垂线段最短， 故答案为：；垂线段最短． 【变式21-1】 （24-25七年级下·北京顺义·阶段练习）如图，，，，．则图中能表示点到直线的距离的是线段 的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，解题的关键是知道点到直线的距离是垂线段的长度． 通过观察图形可知，垂线段的长度是点到直线的距离． 【详解】解：， ∴点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：． 【变式21-2】 （2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线m，n相交于点A，点P是直线m上一点，则点P到直线n的距离是线段 的长度． 【答案】 【分析】本题考查了点到直线的距离，掌握点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度是解题的关键． 【详解】解：点P到n的距离是点P到n的垂线， ∴线段的长度是点P到n的距离， 故答案为：． 【变式21-3】 （23-24七年级下·北京西城·期中）作图并回答： (1)如图，点P在的边上．  ①过点P作的垂线交于点C．  ②作点P到的垂线段． (2)上述作图中，线段 的长度表示点P到的距离； (3)线段与的大小关系是： （用“”连接），判断依据： ． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) (3)，垂线段最短 【分析】本题考查作图——基本作图和垂线段最短，解题的关键是掌握点到直线的距离中，垂线段最短． （1）根据垂线的画法作图即可； （2）根据点到直线的距离是垂线段的长度即可判断； （3）根据垂线段最短即可判断． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴线段的长度表示点P到的距离， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，判断依据为：垂线段最短， 故答案为：；垂线段最短． 题型二十二 平行线 【例22】 （23-24七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．不相交的两条直线是平行线 B．在同一平面内，不相交的两条射线叫做平行线 C．在同一平面内，两条直线不相交就重合 D．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 【答案】D 【分析】本题考查了两条直线的位置关系、平行线的意义，熟练掌握相交线与平行线是解题关键． 根据两条直线的位置关系、平行线的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、在同一平面内，两条直线不相交就平行，则此项错误，不符合题意； B、在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，则此项错误，不符合题意； C、在同一平面内，两条线段不相交，也有可能不重合，则此项错误，不符合题意； D、在同一平面内，没有公共点的两条直线相互平行，则此项正确，符合题意； 故选：D． 【变式22-1】 （23-24七年级下·吉林白城·阶段练习）直线与平行可记作： ． 【答案】 【分析】本题考查平行的符号表示，解题的关键是掌握平行的符号表示方法．根据平行线的表示方法求解即可． 【详解】解：直线与平行可记作：． 故答案为： 【变式22-2】 （2024七年级上·全国·专题练习）观察如图所示的长方体，回答问题： （1）与线段平行的线段是 ； （2）与所在直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”）．由此可知，在 内，两条不相交的直线才是平行线． 【答案】 ，， 不是 同一平面 【分析】本题考查了平行线的定义，熟练掌握平行线的定义是解此题的关键． （1）根据平行线的定义即可得解； （2）根据平行线的定义即可得解． 【详解】解：（1）由平行线的定义可知，与线段平行的线段有，，， 故答案为：，，； （2）由平行线的定义可得：与所在直线不相交，它们不是平行线，由此可知，在同一平面内，两条不相交的直线才是平行线 故答案为：不是，同一平面． 【变式22-3】 88．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的长方体，观察并回答下列问题． (1)用符号表示两条棱的位置关系： ①______；    ②______； ③______；    ④______． (2)与所在的直线不相交，它们______平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在______内，不相交的两条直线才是平行线． 【答案】(1)①，③，②，④ (2)不是，同一平面 【分析】本题考查平行线，认识立体图形，关键是掌握平行线的判定方法，垂直的定义． （1）平行线的判定方法，垂直的定义即可判断； （2）由图形即可得到答案． 【详解】（1）根据图可知，，，， 故答案为：①，③，②，④； （2）与所在的直线不相交，它们不是平行线，由此可知，在同一平面内，不相交的两条直线才是平行线． 故答案为：不是，同一平面． 基础巩固通关测 1．（23-24七年级上·北京顺义·期末）下列物体中，给我们以“圆柱”形象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查认识立体图形，解题的关键是结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．据此解答即可． 【详解】解：A．此物体给我们以“球”的形象，故此选项不符合题意； B．此物体给我们以“正方体”的形象，故此选项不符合题意； C．此物体给我们以“圆柱”的形象，故此选项符合题意； D．此物体给我们以“圆锥”的形象，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．下列图形中，能用∠1，∠AOB，∠O 三种方法表示同一个角的图形是(    ) A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的表示方法和图形逐个进行判断即可． 【详解】A选项：不能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角，故错误； B选项：能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角，故正确； C选项：不能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角，故错误； D选项：不能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角，故错误； 故选：B． 【点睛】考查了角的表示方法，解题关键是理解角的表示方法． 3．（23-24七年级上·北京顺义·期末）下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的表示方法，理解并掌握角的表示方法是解题关键．根据角的表示方法对四个选项逐个进行分析即可． 【详解】解：A.以为顶点的角有一个，可用，，三种方法表示同一个角，符合题意； B.不能用，，三种方法表示同一个角，不符合题意； C. 与，不是同一个顶点，，，三种方法表示的不是同一个角，不符合题意； D.不能用，，三种方法表示同一个角，不符合题意． 故选：A． 4．（23-24七年级上·北京顺义·期末）已知线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点，点E在线段上，且，则的长是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差．根据线段中点的性质，可得的长，根据线段的和差，分类求解可得的长． 【详解】解：∵，点C是线段的中点， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 当点E在点C的左边， ∴； 当点E在点C的左边， ∴； 综上，的长是或， 故选：D． 5．（24-25七年级上·北京房山·期末）如图，是一副三角板，用它们可以画出一些角．在，，，，，，，，，，的角中，能画出的角有（   ） A．11个 B．10个 C．9个 D．8个 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角的计算，掌握直角三角形的性质，角的计算是解答关键． 根据角的和差计算来求解． 【详解】解：一副三角板中，角的度数有：，，，， 由这4个角中的两个角可画出，， ，，，，， 所以用一副三角板可以画出的角为，，，，，，，，，，共11个． 故选：A． 6．（23-24七年级上·北京通州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了角度的计算，将化为，再进行计算即可，熟练掌握度分秒之间的换算是解题的关键． 【详解】， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·北京顺义·期末）若，，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】此题考查了度与度分秒的换算角度大小比较，根据角度之间的换算，再进行比较即可，解题的关键是熟练掌握角度之间的换算． 【详解】∵， ∴， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·北京顺义·期末）要把一根木条在墙上钉牢，至少要钉 枚钉子，能解释这一实际应用的数学知识是 ． 【答案】 ； 两点确定一条直线． 【分析】本题考查了直线的性质，根据两点确定一条直线解答即可，熟练掌握两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】要把一根木条在墙上钉牢，至少要钉颗钉子，这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线， 故答案为：；两点确定一条直线． 9．（23-24七年级上·河北唐山·期末）如图是一个正方体形状纸盒的展开图，将其折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，相反数的定义，求代数式的值，由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知，“”与“”是对面，“”与“”是对面，由相反数的定义可得，，代入进行计算即可，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知， “”与“”是对面，“”与“”是对面， 相对面上的两数互为相反数， ，， ， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·北京通州·期末）如图，小军从村庄（点O所在位置）到公路（直线l）有四条小道，分别是，其中路程最短的是，小军判断的依据是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，准确理解题意是解题的关键． 【详解】由可知，四条小道中最短的是，判断的依据是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 11．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的四则运算法则，熟练掌握角的四则运算法则是解题关键． （1）根据角的四则运算法则求解即可； （2）根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（23-24七年级上·北京顺义·期末）如图，已知平面内有一个和三点，，，按要求画图，并回答问题： (1)画线段，射线，直线； (2)过点画，垂足为点； (3)对于内部的任意一点，点到的两边的距离中的较短距离记为，按照上述记法，请你通过测量得出______（填“”“”或“”）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段、垂线以及线段比较大小等知识，理解并掌握直线、射线、线段、垂线的定义是解题关键． （1）根据直线、射线、线段的定义直接作图即可； （2）由题意可直接进行解答； （3）过点作，，垂足为，；过点作，，垂足为，，结合题意，确定，，测量比较即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，线段，射线，直线即为所求； （2）如下图，即为所求； （3）如下图，过点作，，垂足为，；过点作，，垂足为，， 根据题意可知，，，比较可得，， 所以． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·北京房山·期末）完成下列说理过程： 如图，，，为的角平分线． 求：的度数． 解：因为①________（如图），，（已知）， 所以②________．因为为的角平分线（已知）， 所以③________（④________）．所以⑤________． 所以⑥________． 【答案】；；；角平分线的定义；； 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义；根据图形可得，根据角平分线的定义得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：因为（如图）， ，（已知）， 所以． 因为为的角平分线（已知）， 所以（角平分线的定义）． 所以． 所以． 故答案为：；；；角平分线的定义；；． 14．（23-24七年级上·北京通州·期末）如图，点A，点B均在数轴上，且点A在点B的左侧，点A对应的有理数是，点B对应的有理数是m． (1)如果线段，则 ． (2)点C是线段上一点，点C对应的有理数是n，如果，且，求m的值． (3)点C是直线上一点，点C对应的有理数是n，且，求m的值（用含有n的代数式表示）． 【答案】(1)0 (2)7 (3)或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，解一元一次方程， （1）直接根据数轴上两点间的距离得出，求解即可； （2）先根据数轴上两点间距离公式表示出，再求出，即可求解； （3）分两种情况讨论①当点C在点A的左侧时，②当点C在线段上时，再根据两点间距离公式求解即可； 熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）由题意得， 解得， 故答案为：0； （2）由题意得， ∵， ∴, ∴， 解得； （3）①当点C在点A的左侧时， 由题意得， ∵， ∴, ∴， 解得； ②当点C在线段上时， 由题意得， ∵， ∴, ∴， 解得； 综上，或 15．（23-24七年级上·北京大兴·期末）点A，B，C在数轴上，对于线段和线段外一点C给出如下定义：若点C与线段上的点的最小距离小于或等于，则称点C是线段的 “半关联点”． (1)如图，点A表示的数是1，点B表示的数是2，点D，E，F在数轴上，它们表示的数分别是，3，5，则在点D，E，F中，线段的 “半关联点”是 ； (2)若点A表示的数是1，点B表示的数是2，且点C是线段的 “半关联点”，则点C表示的数c的取值范围是 ； (3)若点A表示的数是1，如点C表示的数是，点C是线段的 “半关联点”，点B表示的数b的取值范围是 ． 【答案】(1)点D； (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，一元一次方程的定义，正确理解“半关联点”的定义是解题的关键． （1）根据数轴结合数轴上两点距离计算公式分别求出线段的长，D、E、F到线段上的点的最小距离，即可得到答案； （2）当点C在点A左边时，则点C到线段上的点的最小距离为，当点C在点右边时，则点C到线段上的点的最小距离为，再根据点C到线段上的点的最小距离恰好为时建立方程求出临界情况即可得到答案； （3）点B在点A左侧时，则点C到线段上的点的最小距离为，，当点B在点A右侧时，则点C到线段上的点的最小距离为，，再根据点C到线段上的点的最小距离恰好为时建立方程求出临界情况即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点A表示的数是1，点B表示的数是2，点D，E，F在数轴上，它们表示的数分别是，3，5， ∴点D到线段上的点的最小距离为，点E到线段上的点的最小距离为，点F到线段上的最小距离为， ∴在点D，E，F中，线段的 “半关联点”是D， 故答案为：D； （2）解：当点C在点A左边时，则点C到线段上的点的最小距离为，当点C在点B右边时，则点C到线段上的点的最小距离为， 当时，解得， 当时，解得， ∴当时满足，当时，满足， ∴当或，满足点C是线段的 “半关联点”， 故答案为：或． （3）解：当点B在点A左侧时，则点C到线段上的点的最小距离为，，当点B在点A右侧时，则点C到线段上的点的最小距离为，， 当时，解得， 当时，解得， ∴当时，满足，当时，满足， ∴当或时，满足点C是线段的 “半关联点”， 故答案为：或． 能力提升进阶练 1．（24-25七年级上·北京顺义·期末）已知线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点，点E在线段上，且，则的长是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差．根据线段中点的性质，可得的长，根据线段的和差，分类求解可得的长． 【详解】解：∵，点C是线段的中点， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 当点E在点C的左边， ∴； 当点E在点C的左边， ∴； 综上，的长是或， 故选：D． 2．（24-25七年级上·天津东丽·期末）已知锐角α，钝角β，赵，钱，孙，李四位同学分别计算的结果，分别为68.5°，22°，51.5°，72°，其中只有一个答案是正确的，那么这个正确的答案是（　　） A．68.5° B．22° C．51.5° D．72° 【答案】C 【分析】根据锐角和钝角的概念进行解答，锐角是大于0°小于直角（90°）的角，大于直角（90°）小于平角（180°）的角叫做钝角，求出范围，然后作出正确判断． 【详解】解：∵锐角是大于0°小于90°的角，大于直角（90°）小于平角（180°）的角叫做钝角， ∴0＜α＜90°，90°＜β＜180°， ∴22.5°＜＜67.5°， ∴满足题意的角只有51.5°， 故选C． 【点睛】本题考查了角的计算的知识点，理解锐角和钝角的概念，锐角是大于0°小于90°的角，大于直角（90°）小于平角（180°）的角叫做钝角． 3．（24-25七年级上·北京房山·期末）如图，是一副三角板，用它们可以画出一些角．在，，，，，，，，，，的角中，能画出的角有（   ） A．11个 B．10个 C．9个 D．8个 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角的计算，掌握直角三角形的性质，角的计算是解答关键． 根据角的和差计算来求解． 【详解】解：一副三角板中，角的度数有：，，，， 由这4个角中的两个角可画出，， ，，，，， 所以用一副三角板可以画出的角为，，，，，，，，，，共11个． 故选：A． 4．（24-25七年级上·北京大兴·期末）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点，含有圆圈，三角形和正方形的三个面是两两相邻的三个面，据此可判断A、D；再由三角形的顶点指向的边为含有圆的那个面的一边即可判断B、C． 【详解】解：由题意得，含有圆圈，三角形和正方形的三个面是两两相邻的三个面，且含有三角形的面中，三角形的顶点指向的边为含有圆的那个面的一边， ∴四个图形中只有C选项中的图形符合题意， 故选：C． 5．（24-25七年级上·北京西城·期末）将正方体骰子放置于水平桌面上，在图②中，将骰子向右翻滚；然后在桌面上按逆时针方向旋转，则视作完成一次变换，若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成2024次变换后，骰子朝上面的点数是（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查图形规律，按题意画出图，找到规律判断即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 根据上图可知：第一次变换后，朝上的点数为5， 第二次变换后，朝上的点数为6， 第三次变换后，朝上的点数为3， 由此可知，连续3次变换是一个循环． 所以， 所以按上述规则连续完成2024次变换后，骰子朝上面的点数是6， 故选：D． 6．（24-25七年级上·北京通州·期末）已知点是线段上一点（点与点、不重合），在三条线段、、中，如果其中一条线段的长度是另一条线段长度的2倍，那么称点为线段的“巧点”，如果线段，点为线段的“巧点”，那么线段的长度是 ． 【答案】8或4或6 【分析】由题意可得与的数量关系，根据的长度求解的长即可． 【详解】解：由“巧点”的定义可得或或， ∴或或， 又∵， ∴或4或6． 故答案为：8或4或6． 【点睛】本题主要考查两点间的距离，关键在于对“巧点”的理解，注意分类讨论． 7．（24-25七年级上·浙江衢州·期末）一根绳子长为，，是绳子上任意两点（在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 ． （2）当，两点间的距离为时，的长为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了线段的和差，两点间距离，翻折，分类讨论思想； （1）由已知，翻折后，则，两点间的距离为，由此即可求解； （2）分两种情况：及，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 由于翻折，如图，则， ∴， ∴，两点间的距离为； 故答案为：； （2）当时，如图， 由于翻折，则， 由图知，，即， ∴， ∴； 当时，如图， 则，即， ∴， ∴； 综上，的长为或． 故答案为：或． 8．（24-25七年级上·北京通州·期末）如图，在一条直线公路的异侧有两个村庄、，现在想在公路上选一点向两个村庄、铺设线路管道，使得点到村庄、的距离之和最短，下面有四种画法，其中符合题意的画法是 ．（只填序号） 【答案】③ 【分析】利用两点之间线段最短，连接交直线于点，点即为所求． 【详解】解：∵两点之间线段最短， ∴连接交直线于点，点即为所求． 故答案为：③． 【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，两点之间线段最短，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9．（24-25七年级上·北京顺义·期末）如图，数轴上有M，N两点和一条线段，我们规定：若线段的中点R在线段上（点R能与点P或点Q重合），则称点M与点N关于线段 “中线对称”． 已知点O为数轴的原点，点A表示的数为，点B表示的数为4，点C表示的数为x，若点A与点C关于线段 “中线对称”，则x的最大值为 ． 【答案】10 【分析】根据“中线对称”的定义列不等式组求解即可． 【详解】解∶ ∵点A表示的数为，点C表示的数为x， ∴的中点为， ∵点A与点C关于线段 “中线对称，点B表示的数为4， ∴， 解得， ∴x的最大值为10． 故答案为∶ 10． 【点睛】本题考查了新定义，不等式组的应用等，读懂题意，理解新定义是解题的关键． 10．（24-25七年级上·北京通州·期末）一副直角三角板如图1放置：直角三角板的边与直角三角板的边重合，点在线段的延长线上．如图2，将图1的直角三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当射线与射线重合时停止），在旋转过程中始终平分，当满足时，三角板的运动时间为 ． 【答案】32.5秒 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，直角三角板中角度的计算，解题的关键是根据旋转的特点，利用角平分线的定义，列出关于t的方程，解方程即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， 解得：． 故答案为：32.5秒． 11．（24-25七年级上·北京顺义·期末）数轴上有，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“三倍点”． 例如，数轴上点，，所表示的数分别为，，，此时点是点，的“三倍点”． (1)点表示的数是，点表示的数是，下列各数，，，所对应的点分别是，，，，其中是点，的“三倍点”的是______； (2)点D表示的数是，点表示的数是，为数轴上一个动点，若点是点，的“三倍点”，求点表示的数． 【答案】(1)，； (2)或或或． 【分析】（）利用两点间的距离和题中定义即可求解； （）设点表示的数为，根据题中定义，再分类讨论即可； 此题考查了数轴上两点间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴两点间的距离和解方程． 【详解】（1）解：∵点表示的数是，点表示的数是， ∴，， ∴， 则是点，的“三倍点”； ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴，， ∴， 则是点，的“三倍点”； ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴，， ∴， 则不是点，的“三倍点”； ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴，， 则不是点，的“三倍点”； 故答案为：，； （2）点表示的数为，则，， ∵点是点，的“三倍点”， ∴当时，即， 或 解得：或， 当时，即， 或 解得：或， ∴点表示的数为或或或． 12．（24-25七年级上·北京大兴·期末）已知：，，，分别平分，．      (1)如图，当与重合时，的度数是 ； (2)若图中不动，将从图1的位置开始绕点顺时针旋转． ①如图，当时，求的度数； ②当时，直接用等式表示与的数量关系． 【答案】(1) (2)①；②，理由见解析 【分析】本题考查角平分线的相关计算，角的计算， （1）如图，利用角平分线的定义求出，即可； （2）①如图，根据求解即可； ②如图，用含分别表示出与，然后将与相加即可； 解题的关键是理解题意，能用含分别表示出与． 【详解】（1）解：如图， ∵，分别平分，，，， ∴，， ∴， ∴的度数是， 故答案为：； （2）①如图， ∵，，， ∴，， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∴的度数为； ②与的数量关系：． 理由：如图， ∵，，， ∴，， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， 即．      13．（24-25七年级上·北京通州·期末）对于数轴上，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“倍长点”．例如，数轴上点A，B，C所表示的有理数分别为0，2，3，此时点是点，的“倍长点”． (1)数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为3，下列各数，0，，4，7所对应的点分别为，，，，，其中是点，的“倍长点”的是_____； (2)数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为，点是数轴上的一个动点，对应的有理数用表示．若，且点，，中有一个点恰好是其他两个点的“倍长点”，则满足条件的的值有_____个； (3)在（2）中，若为整数，则满足条件的整数的值是_____（用含有的代数式表示）． 【答案】(1)F，N (2)6 (3)或 【分析】此题考查了一元一次方程的应用、数轴上两点之间的距离． （1）根据数轴上两点距离计算公式分别求出点和点Q到，，，，5个点的距离，再根据“倍长点”的定义判断即可； （2）先求出，，再分当A是B、T的“倍长点”时， 当B是A、T的“倍长点”时， 当T是A、B的“倍长点”时，三种情况根据 “倍长点”的定义建立方程求解即可； （3）由（3）即可得到满足条件的整数的值． 【详解】（1）解：由题意得，， ，， ∴， ∴F，N是点P，Q的“倍长点”， 故答案为：F，N； （2）解：由题意得，，， 当A是B、T的“倍长点”时，则或， ∴或， ∴或； 当B是A、T的“倍长点”时，则或， ∴或， ∴或， ∴或或或（舍去）； 当T是A、B的“倍长点”时，则或， ∴或， ∴或， ∴或（舍去）或或， 综上所述，或或或或或， ∴t的值一共有6个； 故答案为：6 （3）由（2）可知其中整数t的值为或； 故答案为：或． 14．（24-25七年级上·北京大兴·期末）如图1，货轮停靠在O点，发现灯塔A在它的东北（东偏北45°或北偏东45°）方向上．货轮B在码头O的西北方向上． （1）仿照表示灯塔方位的方法，画出表示货轮B方向的射线；（保留作图痕迹，不写做法） （2）如图2，两艘货轮从码头O出发，货轮C向东偏北的OC的方向行驶，货轮D向北偏西的OD方向航行，求∠COD的度数； （3）令有两艘货轮从码头O出发，货轮E向东偏北x°的OE的方向行驶，货轮F向北偏西x°的OF方向航行，请直接用等式表示与之间所具有的数量是 ． 【答案】（1）画图见解析；（2）∠COD =90°；（3）． 【分析】(1)根据方向角西北方向上的度数，可得图； (2)根据余角的关系，可得∠COD的度数； (3)根据角的和差， ； 【详解】（1） 射线OB的方向就是西北方向，即货轮B所在的方向． （2）解：由已知可知，∠MOQ=90°，∠COQ=． 所以，∠MOC=∠MOQ-∠COQ =．                 又因为∠DOM=， 所以，∠COD =∠MOC+∠DOM =90°．     （3）因为∠FOQ =∠FOM+∠MOQ =90°+x°，∠MOE=∠MOQ-∠QOE =90°-x° 所以． 【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图,方向角,利用余角与角的和差的关系得出角的度数是解题关键． 15．（24-25七年级上·北京大兴·期末）如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC=2BC时，则称点C是线段AB的内二倍分割点；如图2，如果BC=2AC时，则称点C是线段BA的内二倍分割点． 例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数-1、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点D是线段BA内二倍分割点． （1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示的数是 ；NM的内二倍分割点表示的数是 ． （2）数轴上，点A所表示的数为-30，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t>0）秒． ①线段BP的长为 ；（用含t的式子表示） ②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点． 【答案】（1） 4 ；1；（2）①线段BP的长为 2t ；②当t为或或或75秒时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点． 【分析】（1）根据内二倍分割点的定义，找到MN的三等分点表示的数即可； （2）①根据速度与路程的关系，可得BP=2t, ②分P为其余两点的内二倍分割点和A为其余两点的内二倍分割点两种情况，按照内二倍分割点的定义，列方程求解即可． 【详解】解：（1）MN的内二倍分割点就是MN的三等分点且距N近，MN=9，则MN的内二倍分割点在N的左侧，距N点3个单位，所以，表示的数为 4 ；同理，则NM的内二倍分割点在N的左侧，距N点6个单位，所以，表示的数为1； （2）① 则线段BP的长为 2t． ② 当P在线段AB上时，有以下两种情况： 如果P是AB的内二倍分割点时，则AP=2BP， 所以50-2t = 2×2t， 解得t=； 如果P是BA的内二倍分割点时，则BP=2AP， 所以2t=2（50-2t）， 解得t=； 当P在点A左侧时，有以下两种情况： 如果A是BP的内二倍分割点时，则BA=2PA， 所以50=2（2t-50） 解得t=； 如果A是PB的内二倍分割点时，则PA=2BA， 所以2t-50=2×50， 解得t=75； 综上所述：当t为或或或75秒时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点． 【点睛】本题考查了新定义内二倍分割点、速度与路程的关系和分类讨论的思想；准确理解定义，恰当的用速度与时间表示线段长，分类讨论，建立方程是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $