2025-2026学年沪科版八年级上册数学周周练05（13.1）

沪科版八年级上数学周周练05（13.1） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列长度的三条线段不能组成三角形的是（　　） A．3，3，6 B．6，6，3 C．4，4，4 D．3，4，5 2.在△ABC中，作BC边上的高，以下选项中正确的是（　　） A．B． C．D． 3.如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是（　　） A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以 4.如图，把△ABC的一角折叠，若∠A＝65°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．65° B．130° C．115° D．160° 5.如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．7 6.如图，已知△ABC的面积为1，分别延长BC至点D，使得CD＝BC，延长CA至点E，使得AE＝AC，延长AB至点F，使得BF＝AB，依次连接DE，EF，FD，则阴影部分面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 7.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE，BF分别是△ABC的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（　　） A．∠ABF＝∠CBF B．∠ABC＝∠CAD C．S△ABE＝S△ACE D．AF＝CF 8.如图所示．∠A＝10°，∠ABC＝90°，∠ACB＝∠DCE，∠ADC＝∠EDF，∠CED＝∠FEG．则∠F的度数等于（　　） A．60° B．55° C．50° D．45° 9.下列说法正确的个数有（　　） ①三角形的角平分线、中线和高都在三角形内； ②直角三角形只有一条高； ③三角形的高至少有一条在三角形内； ④三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10.如图，在三角形ABC中，AF平分∠BAC交BC于点F，点D在AB上，连接DF，DE平分∠BDF交BC于点E，且∠CAF＝∠BDE，下列说法：①DF∥AC；②DE∥AF；③∠DAF＝∠DFA；④∠DEC+2∠CAF＝180°，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.若△ABC的三个内角的比为2：5：3，则△ABC的形状是　 　 ． 12.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果∠A＝60°，那么∠1+∠2的大小为 　　 ． 13.当三角形中一个内角β是另一个内角α的时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角α称为“希望角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为54°，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为　 　 ． 14.如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1，则S1＝　 　 ；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；此规律继续下去，可得到△A2023B2023C2023，则其面积S2023＝　 　 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝4，b＝6． （1）求c的取值范围； （2）若c的长为小于8的偶数，求△ABC的周长． 16.如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.如图，正方形ABCD和正方形ECGF的边长分别为a和6，点C、D、E在一条直线上，点B、C、G在一条直线上，将依次连接D、E、F、B所围成的阴影部分的面积记为S阴影． （1）试用含a的代数式表示S阴影； （2）当a＝12时，比较S阴影与△BFG面积的大小． 18.如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，点E在边AB上，且不与点A、B重合，CE与BD交于点O． （1）若CE是△ABC的高，且∠OBC＝32°，则∠BOC的度数为 　 　 °； （2）若CE是△ABC的角平分线，∠BOC＝130°，求∠A的度数． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.在△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过O作OD⊥OB，交边AB于点D，如图． （1）若∠ABC＝40°，则∠AOC＝　 　 ，∠ADO＝　 　 ； （2）猜想∠AOC与∠ADO的关系，并说明理由． 20.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠DEC+2∠ECD＝180°． （1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由． （2）若∠FGB＝∠EDC，且∠BFG＝100°，求∠ADC的度数． 六、（本题满分12分） 21.在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），C（0，4），D（6，0）．点P（m，n）为线段CD上一点（不与点C和点D重合）． （1）利用三角形COP、三角形DOP及三角形COD之间的面积关系，求m与n之间的数量关系； （2）如图1，若a＝﹣2，点B为线段AD的中点，且三角形ABC的面积等于四边形AOPC面积，求m的值； （3）如图2，设a，b，m满足，若三角形ABP的面积小于5，求m的取值范围． 七、（本题满分12分） 22.定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在△ABC中，如果∠A＝80°，∠B＝40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC为“友爱三角形”． （1）如图1，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B），∠ACB＝90°． ①求∠A、∠B的度数． ②若CD是△ABC中AB边上的高，则△ACD、△BCD都是“友爱三角形”吗？为什么？ （2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠A＝66°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），连接CD，若△ACD是“友爱三角形”，直接写出∠ACD的度数． 八、（本题满分14分） 23.在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝∠D＝45°） （1）将三角尺如图1所示叠放在一起． ①∠AOD与∠BOC大小关系是 　 　 ； ②∠BOD与∠AOC的数量关系是 　 　 ． （2）小亮固定其中一块三角尺△COD不变，绕点O顺时针转动另一块三角尺，从图2的OA与OC重合开始，到图3的OA与OC在一条直线上时结束，探索△AOB的一边与△COD的一边平行的情况． ①求当AB∥CD时，如图4所示，∠AOC的大小； ②直接写出∠AOC的其余所有可能值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪科版八年级上数学周周练05（13.1） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列长度的三条线段不能组成三角形的是（　　） A．3，3，6 B．6，6，3 C．4，4，4 D．3，4，5 【解答】解：由题知， 因为3+3＝6， 所以A选项符合题意． 因为6+3＞6， 所以B选项不符合题意． 因为4+4＞4， 所以C选项不符合题意． 因为3+4＞5， 所以D选项不符合题意． 故选：A． 2.在△ABC中，作BC边上的高，以下选项中正确的是（　　） A．B． C．D． 【解答】解：在△ABC中，作BC边上的高，作法正确的是： 故选：C． 3.如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是（　　） A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以 【解答】解：根据三角形的三边关系， 假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为a，剪成两段长度分别为m、n，甲小棒长度为b． ∵乙小棒的长度大于甲小棒，即a＞b， ∴m+n＞b， ∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开甲小棒， ∵乙小棒的长度大于甲小棒， ∴同理可得，甲小棒减成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意． 综上所述，剪开的小棒是乙，所以只有选项B正确，符合题意． 故选：B． 4.如图，把△ABC的一角折叠，若∠A＝65°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．65° B．130° C．115° D．160° 【解答】解：∵△ADE沿DE折叠得到△FDE， ∴∠A＝∠F＝65°， ∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝115°，∠FDE+∠FED＝180°﹣∠F＝115°， ∴∠1+∠2＝180°×2﹣（∠ADE+∠AED）﹣（∠FDE+∠FED）＝130°， 故选：B． 5.如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：∵△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2， ∴2＜BC＜22﹣BC， 解得2＜BC＜11， 又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大2， ∴AC为整数， ∴BC边长为偶数， ∴BC＝4，6，8，10， 即BC的长可能值有4个， 故选：A． 6.如图，已知△ABC的面积为1，分别延长BC至点D，使得CD＝BC，延长CA至点E，使得AE＝AC，延长AB至点F，使得BF＝AB，依次连接DE，EF，FD，则阴影部分面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【解答】解：如图，连接AD、BE、CF． ∵AE＝AC， ∴S△ABE＝S△ABC＝1， ∵BF＝AB， ∴S△BEF＝S△ABE＝1， ∴S△AEF＝S△ABE+S△BEF＝1+1＝2， 同理可得，S△BDF＝2，S△CDE＝2， ∴S阴影＝S△AEF+S△BDF+S△CDE＝2+2+2＝6． 故选：B． 7.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE，BF分别是△ABC的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（　　） A．∠ABF＝∠CBF B．∠ABC＝∠CAD C．S△ABE＝S△ACE D．AF＝CF 【解答】解：A、∵BF是△ABC的角平分线， ∴∠ABF＝∠CBF， ∴结论A正确， 故该选项不符合题意； B、∵AD是△ABC的高线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABC+∠BAD+∠ADB＝180°， ∴∠ABC+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠ABC＝∠CAD， ∴结论B正确， 故该选项不符合题意； C、∵AE是△ABC的中线， ∴BE＝CE， ∴， 即S△ABE＝S△ACE， ∴结论C正确， 故该选项不符合题意； D、∵BF是△ABC的角平分线，无法判定BF是△ABC的中线， ∴结论D错误， 故该选项符合题意； 故选：D． 8.如图所示．∠A＝10°，∠ABC＝90°，∠ACB＝∠DCE，∠ADC＝∠EDF，∠CED＝∠FEG．则∠F的度数等于（　　） A．60° B．55° C．50° D．45° 【解答】解：∵∠A＝10°，∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝80°， ∵∠ACB＝∠DCE， ∴∠ADC＝∠DCE﹣∠A＝70°， ∵∠ADC＝∠EDF， ∴∠CED＝∠AED＝∠EDF﹣∠A＝60°， ∵∠CED＝∠FEG ∴∠F＝∠FEG﹣∠A＝60°﹣10°＝50°， 故选：C． 9.下列说法正确的个数有（　　） ①三角形的角平分线、中线和高都在三角形内； ②直角三角形只有一条高； ③三角形的高至少有一条在三角形内； ④三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①钝角三角形的三条高两条在三角形外，故错误； ②直角三角形有三条高，故错误； ③三角形的高至少有一条在三角形内，故正确； ④三角形的高，角平分线及中线都是线段，故错误； 故选：A． 10.如图，在三角形ABC中，AF平分∠BAC交BC于点F，点D在AB上，连接DF，DE平分∠BDF交BC于点E，且∠CAF＝∠BDE，下列说法：①DF∥AC；②DE∥AF；③∠DAF＝∠DFA；④∠DEC+2∠CAF＝180°，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：由题意，∵AF平分∠BAC，DE平分∠BDF， ∴∠BAC＝2∠CAF，∠BDF＝2∠BDE． ∵∠CAF＝∠BDE， ∴∠BAC＝∠BDF． ∴DF∥AC，故①正确． 又由题意，∵∠BDE＝∠CAF＝∠DAF， ∴DE∥AF，故②正确． ∴∠DAF＝∠BDE，∠DFA＝∠EDF． 又∵∠BDE＝∠EDF， ∴∠DAF＝∠DFA，故③正确． ∵DE∥AF， ∴∠DEC＝∠AFC． ∵∠AFC+∠C+∠CAF＝180°， ∴∠DEC+∠C+∠CAF＝180°． ∵∠C不一定等于∠CAF， ∴∠DEC+2∠CAF＝180°不一定成立，故④错误． 综上，正确的有①②③，共3个． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.若△ABC的三个内角的比为2：5：3，则△ABC的形状是　 　 ． 【解答】解：∵△ABC的三个内角的比为2：5：3， ∴△ABC中，最大的内角180°＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 12.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果∠A＝60°，那么∠1+∠2的大小为 　　 ． 【解答】解：由三角形内角和可知：∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A＝120°， ∵∠AED＝180°﹣∠1，∠ADE＝180°﹣∠2， ∴180°﹣∠1+180°﹣∠2＝120°， ∴∠1+∠2＝240°． 故答案为：240°． 13.当三角形中一个内角β是另一个内角α的时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角α称为“希望角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为54°，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为　 　 ． 【解答】解：①54°角是α，则希望角度数为54°； ②54°角是β，则α＝β＝54°， 所以，希望角α＝108°； ③54°角既不是α也不是β， 则α+β+54°＝180°， 所以，αα+54°＝180°， 解得α＝84°， 综上所述，希望角度数为54°或84°或108°． 故答案为：54°或84°或108°． 14.如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1，则S1＝　 　 ；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；此规律继续下去，可得到△A2023B2023C2023，则其面积S2023＝　 　 ． 【解答】解：连接AB1，BC1，CA1，如图所示： ∵△ABC和△A1BC的边AB，A1B上的高相同， ∴△ABC的面积：△A1BC的面积＝AB：A1B， ∵A1B＝2AB， ∴△ABC的面积：△A1BC的面积＝1：2， △A1BC的面积＝2×△ABC的面积＝2， 同理：△A1B1C的面积＝2×△A1BC＝4， ∴△A1B1B的面积＝△A1BC的面积+△A1B1C的面积＝6， 同理：△A1C1A的面积＝6，△B1C1B的面积＝6 ∴S1＝△A1B1B的面积+△A1C1A的面积+△B1C1B的面积+△ABC的面积＝19， 同理：第二次操作后得到的△A2B2C2，则△A2B2C2面积S2＝19S1＝192， …；照此规律继续下去，S2023＝192023． 故答案为：19；192023． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝4，b＝6． （1）求c的取值范围； （2）若c的长为小于8的偶数，求△ABC的周长． 【解答】解：（1）因为a＝4，b＝6， 所以2＜c＜10． （2）若c的长为小于8的偶数， 所以c＝4或x＝6． 当c＝4时，△ABC的周长＝4+4+6＝14； 当c＝6时，△ABC的周长＝6+4+6＝16． 综上所述，△ABC的周长为14或16． 16.如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长． 【解答】解：由题意知AC+CD+BD+AB＝100，AC+CD＝60，AB+BD＝40， ∵AC＝2BC，D为BC中点， ∴AC＝2BC＝4CD＝4BD， ∴， 即， 则BC＝24，CD＝BD＝12， 则AB＝40﹣BD＝40﹣12＝28． 且48＞28符合题意． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.如图，正方形ABCD和正方形ECGF的边长分别为a和6，点C、D、E在一条直线上，点B、C、G在一条直线上，将依次连接D、E、F、B所围成的阴影部分的面积记为S阴影． （1）试用含a的代数式表示S阴影； （2）当a＝12时，比较S阴影与△BFG面积的大小． 【解答】解：（1）S阴影＝S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABD﹣S△BGF ； （2）当a＝12时， ， ， ∴S阴影＝S△BGF． 18.如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，点E在边AB上，且不与点A、B重合，CE与BD交于点O． （1）若CE是△ABC的高，且∠OBC＝32°，则∠BOC的度数为 　 　 °； （2）若CE是△ABC的角平分线，∠BOC＝130°，求∠A的度数． 【解答】解：（1）由条件可知∠EBO＝∠OBC＝32°， ∵CE是△ABC的高， ∴CE⊥AB， ∴∠BEO＝90°， ∴∠BOC＝∠BEO+∠EBO＝90°+32°＝122°， 故答案为：122； （2）由条件可知∠OBC+∠OCB＝180°﹣130°＝50°， ∵BD、CE是△ABC的角平分线， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB， ∴∠ABC+∠ACB＝2∠OBC+2∠OCB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2×50°＝100°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣100°＝80°． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.在△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过O作OD⊥OB，交边AB于点D，如图． （1）若∠ABC＝40°，则∠AOC＝　 　 ，∠ADO＝　 　 ； （2）猜想∠AOC与∠ADO的关系，并说明理由． 【解答】解：（1）①∵∠ABC＝40°， ∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣40°＝140°， ∵△ABC中，三个内角的平分线交于点O， ∴∠OAC+∠OCA（∠BAC+∠BCA）＝70°， ∴∠AOC＝180°﹣70°＝110°， ∵OB平分∠ABC， ∴∠ABO∠ABC＝20°， ∵OD⊥OB， ∴∠BOD＝90°， ∴∠BDO＝70°， ∴∠ADO＝110°， 故答案为：110°，110°， （2）相等，理由设∠ABC＝α， ∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣α， ∵△ABC中，三个内角的平分线交于点O， ∴∠OAC+∠OCA（∠BAC+∠BCA）＝90°α， ∴∠AOC＝180°（∠OAC+∠OCA）＝90°α， ∵OB平分∠ABC， ∴∠ABO∠ABCα， ∵OD⊥OB， ∴∠BOD＝90°， ∴∠BDO＝90°α， ∴∠ADO＝180°﹣∠BOD＝90°α， ∴∠AOC＝∠ADO． 20.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠DEC+2∠ECD＝180°． （1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由． （2）若∠FGB＝∠EDC，且∠BFG＝100°，求∠ADC的度数． 【解答】解：（1）DE与BC平行． 理由：∵CD平分∠ACB， ∴∠ECD＝∠BCD∠ACB， 则2∠ECD＝2∠BCD＝∠ACB， ∵∠DEC+2∠ECD＝180°， ∴∠DEC+∠ACB＝180°， ∴DE∥BC． （2）∵∠FGB＝∠EDC， ∵DE∥BC． ∴∠EDC＝∠BCD， ∴∠FGB＝∠BCD， ∴FG∥CD， ∴∠BFG＝∠BDC＝100°， ∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝80°． 六、（本题满分12分） 21.在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），C（0，4），D（6，0）．点P（m，n）为线段CD上一点（不与点C和点D重合）． （1）利用三角形COP、三角形DOP及三角形COD之间的面积关系，求m与n之间的数量关系； （2）如图1，若a＝﹣2，点B为线段AD的中点，且三角形ABC的面积等于四边形AOPC面积，求m的值； （3）如图2，设a，b，m满足，若三角形ABP的面积小于5，求m的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意，得 S△COP+S△DOP＝S△COD， ∴4m6n4×6， 解得mn+6； （2）∵a＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， ∵点B为线段AD的中点， ∴AB＝BD， ∴B（2，0）， ∵三角形ABC的面积等于四边形AOPC面积， ∴4×44×24m， 解得m＝2； （3）a，b，m满足， 解方程组得a﹣b＝﹣5， ∵由（1）得nm+4， ∵0＜n＜4， ∴0m+4＜4， 解得0＜m＜6， ∵三角形ABP的面积（﹣a+b）•n5•（m+4）m+10， ∴m+10＜5， 解得m＞3． 所以m的取值范围是3＜m＜6． 七、（本题满分12分） 22.定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在△ABC中，如果∠A＝80°，∠B＝40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC为“友爱三角形”． （1）如图1，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B），∠ACB＝90°． ①求∠A、∠B的度数． ②若CD是△ABC中AB边上的高，则△ACD、△BCD都是“友爱三角形”吗？为什么？ （2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠A＝66°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），连接CD，若△ACD是“友爱三角形”，直接写出∠ACD的度数． 【解答】解：（1）①∵△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B）， ∴∠A＝2∠B， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝180°﹣90°＝90°，即2∠B+∠B＝90°，解得∠B＝30°， ∴∠A＝60°； ②△ACD、△BCD都是“友爱三角形”， 理由：∵CD是△ABC中AB边上的高， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∵∠A＝60°，∠B＝30°， ∴∠ACD＝30°，∠BCD＝60° 在△ACD中，∠A＝60°，∠ACD＝30°， ∴， ∴△ACD为“友爱三角形”； 在△BCD中，∠BCD＝60°，∠B＝30°， ∴ ∴△BCD为“友爱三角形”； （2）∵△ACD是“友爱三角形”，D是边AB上一点（不与点A，B重合）， ∴或， 当时，； 当时， ∴∠A+3∠ACD＝180°，即3∠ACD＝114°， ∴∠ACD＝38°， 综上所述，∠ACD的度数为33°或38°． 八、（本题满分14分） 23.在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝∠D＝45°） （1）将三角尺如图1所示叠放在一起． ①∠AOD与∠BOC大小关系是 　 　 ； ②∠BOD与∠AOC的数量关系是 　 　 ． （2）小亮固定其中一块三角尺△COD不变，绕点O顺时针转动另一块三角尺，从图2的OA与OC重合开始，到图3的OA与OC在一条直线上时结束，探索△AOB的一边与△COD的一边平行的情况． ①求当AB∥CD时，如图4所示，∠AOC的大小； ②直接写出∠AOC的其余所有可能值． 【解答】解：（1）①∠AOD与∠BOC大小关系是相等； ∵∠AOD+∠AOC＝90°，∠BOC+∠AOC＝90°， ∴∠AOD＝∠BOC， 故答案为：相等； ②∠BOD与∠AOC的数量关系是：∠BOD+∠AOC＝180°； ∵∠DOC＝90°，∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝90°， ∴∠BOD+∠AOC＝∠COD+∠COB+∠AOC＝180°； （2）①过点O作OE∥AB，如图4.1， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥OE， ∴∠AOE＝∠A＝30°，∠COE＝∠C＝45°， ∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝75°； ②当AB∥OC时，如图4.2，则∠AOC＝∠A＝30°； 当OA∥CD时，如图4.3，则∠AOC＝∠C＝45°； 当AB∥OD时，如图4.4，则∠BOD＝∠B＝60°， ∴∠AOC＝360°﹣90°﹣90°﹣∠BOD＝120°； 当OB∥CD时，如图4.5，则∠BOD＝∠D＝45°， ∴∠AOC＝360°﹣90°﹣90°﹣∠BOD＝135°； 综上所述：∠AOC的其余可能值为30°或45°或120°或135°． 学科网（北京）股份有限公司 $