专题03 整式中的数字和图形规律探究的六种模型（高效培优专项训练）数学北师大版2024七年级上册

专题03 整式中的数字和图形规律探究的六种模型 目录 题型一：数字类规律探索之排列问题 1 题型二：数字类规律探索之末尾数字问题 4 题型三：数字类规律探索之新运算问题 6 题型四：数字类规律探索之等式问题 8 题型五：图形类规律探索之数字问题 13 题型六：图形类规律探索之数量问题 16 题型一：数字类规律探索之排列问题 1．（25-26七年级上·全国·期中）有一组数：，−，，−，…，根据这个规律，第n个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数的规律，首先用的形式来表示交替出现这种规律，再找出分子和分母各自的变化规律，用n表示出来即可，最后综合在一起即可得到答案． 【详解】解：①观察这组数，符号是交替出现，当为奇数时符号为正，当为偶数时符号为负，故符合的规律可以用表示； ②这组数的分子是从1开始的正整数，∴第n个数的分子为n； ③这组数的分母是从2开始的正整数，即比顺序数n大1，∴第n个数分母为； 综上，第n个数为， 故答案为：． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）按规律排列：，4，，16，，64，…，则第7个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律，有理数的乘法运算，找出规律是解题的关键． 根据后一个数等于前一个数乘以求解即可． 【详解】解：第一个数； 第二个数； 第三个数； 第四个数； 第五个数； 第六个数； 那么第七个数为：， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·开学考试）找规律：，那么第20个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律，找出分子、分母、符号的变化规律是解题的关键． 根据题意，确定符号的变化规律为：奇数位置的符号为负，偶数位置的符号为正；分子的变化规律：是从1开始的连续的奇数；分母变化的规律：是从3开始的3的倍数；由此即可求解． 【详解】解：根据题意得到，符号的变化规律为：奇数位置的符号为负，偶数位置的符号为正； ∴符号变化为（为正整数）， ∵， ∴， ∴分子的变化规律是：从1开始的连续的奇数，即分子为, 分母变化的规律是：从3开始的3的倍数，即分母为， ∴当时，符号为，即符号为正， ，， ∴分子为，分母为，即， ∴第20个数是， 故答案为： ． 4．（25-26七年级上·全国·期中）观察下面三行数： ，9，，81，…；………………………第①行 1，，9，，…；………………………第②行 ，10，，82，…．……………………第③行 (1)第①行数按什么规律排列？ (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)设x，y，z分别为第①②③行的第2025个数，求的值． 【答案】(1)第①行数按（n为正整数）规律排列 (2)见解析 (3)1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式． （1）观察可看出第一行的数分别是的1次方，二次方，三次方，四次方…且偶数项是正数，奇数项是负数，用式子表示规律为：； （2）观察②，③两行的数与第①行的联系，即可得出答案； （3）分别表示出第①②③行的2025个数，再将x，y，z代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：∵，9，，81，，729…； ∴第①行数是：，，，，…， 即第①行数按（n为正整数）规律排列； （2）解：第②行数是第①行数相应位置的数乘，即； 第③行数比第①行数相应位置的数大1，即； （3）解：∵，，， ∴ ． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）将连续偶数2，4，6，…排成如下图形，用十字框框出5个数． (1)①十字框框出的5个数分别与框中间的数32有什么关系？ ②十字框框出的5个数的和与中间的数32有什么关系？ (2)如果将十字框上下左右移动，仍框出5个数，这5个数还有这种规律吗？ (3)设中间的数为a，用代数式表示十字框框出的5个数的和． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)有 (3) 【分析】（1）①观察表格即可得到结论； ②把十字框框出个数计算求和，即可得到答案； （2）这个数还有这种规律； （3）分别用的代数式表示周围个数，把这个数求和，即可得到答案. 【详解】（1）解：①十字框框出的5个数，上面的数比中间的数小，下面的数比中间的数大，左边的数比中间的数小，右边的数比中间的数大； ②个数的和为，，则十字框框出的个数的和恰好为中间的数的倍． （2）解：这个数还有这种规律． （3）解：十字框框出的个数的和为． 【点睛】本题考查数字规律探究，关键是看到表格中中间位置的数和四周数的关系，找出规律是解题的关键． 题型二：数字类规律探索之末尾数字问题 6．观察：， ， ， ，… 据此规律，求的个位数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，找出等式的规律是解题的关键．依据题意，得出规律为，将，代入，得出，先根据的整数次幂找到个位数字的规律，得出的个位数字是，即可求解． 【详解】解：由上面的规律可知：， 当，时，， ∴； ∵，，，，，，...， ∵， ∴的个位数字是， ∴的个位数字是． 故选：C． 7.已知，，，，，，，推测的个位数字是 ． 【答案】9 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据题意，对于3的正整数幂，个位数字只出现3、9、7、1这四个数，且按这一顺序每四个一循环，据此可求． 【详解】解：，，，，，，， 个位数3、9、7、1按这一顺序每四个一循环， ， 的个位数是：9． 故答案为：9． 8.已知 ，，， 根据前面各式的规律，可得： （1） ( )； （2）的值的个位数字是 ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字规律，掌握整式的混合运算，找出数字计算的规律是解题的关键． （1）根据材料提示的运算法则即可求解； （2）由材料提示找到运算规律可得，再计算幂的结果的个位数，由此即可求解． 【详解】解：（1）根据材料提示得，， 故答案为：； （2） ， ∵，，，，，，……即个位数字4次以循环，在， ∴的个位数为， ∴， 故答案为：． 题型三：数字类规律探索之新运算问题 9.已知有一个新算符“”，使下列算式，，，那么 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类规律题．根据题意可得，，，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ，，， ∴． 故答案为：． 10.定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，则： 若，则第2024次“F运算”的结果是 ． 【答案】19 【知识点】程序流程图与有理数计算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查有理数的混合运算和数字的变化规律，解题的关键是经过运算发现其数字的变化规律．根据运行的框图依次计算，发现其运算结果的循环规律：6次一循环，再计算求解即可． 【详解】解：本题提供的“运算”，需要对正整数分情况（奇数、偶数）循环计算，由于为奇数应先进行①运算， 即（偶数），需再进行②运算， 即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即， 再进行①运算，得到（偶数），， 即第1次运算结果为152，， 第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，， 可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152， 则6次一循环， ， 则第2024次“运算”的结果是19． 故答案为：19． 11．（新定义）若记，其中表示当时的值，即，表示当时的值，即，则 ． 【答案】 【分析】题目主要考查新定义理解，规律探索，有理数的加法运算，理解题意，得出相应规律是解题关键． 根据题意得出从2开始，若两数互为倒数，对应的两个的和为1，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ， 以此类推，从2开始，若两数互为倒数，对应的两个的和为1， 故． ， 故答案为：． 12．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数…以此类推，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了数字的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律． 由，可得，，，……，可推导一般性规律为：每3个循环一次，由，可得，求解即可． 【详解】解：由题意知，∵， ∴，，，…… ∴可推导一般性规律为：每3个循环一次， ∵， ∴， 故答案为：3． 题型四：数字类规律探索之等式问题 13.已知，，，，，…，若符合前面式子的规律，则 ． 【答案】239 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字规律的探索，根据前面几个式子的特点，得到规律，即可确定a与b的值，从而求解． 【详解】解：，，，， 观察得规律：， 则， 所以； 故答案为：239． 14．大衍数列：，…，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，对于按一定规律排列的数：，…，依此规律排列，则大衍数列的第11个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律，乘方的运算，理解材料的计算方法，找出规律是关键，根据材料提示的计算方法，设为序号（的正整数），即第个数，其计算规律为：当序号是奇数时，第个数为，当序号是偶数时，第个数为，第11个数为奇数，由此代入计算即可求解． 【详解】解：设为序号（的正整数），即第个数， ∴，即第1个数，序号为奇数，对应的数字为：， ，即第2个数，序号为偶数，对应的数字为：， ，即第3个数，序号为奇数，对应的数字为：， ，即第4个数，序号为偶数，对应的数字为：， ，即第5个数，序号为奇数，对应的数字为：， ， 当，即第11个数，序号为奇数，对应的数字为：， 故答案为：． 15.观察下面的等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… （1）写出第5个等式： ； （2）写出第n个等式： （用含n的式子表示）． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】（1）观察一系列等式，归纳总结得到第5个等式即可； （2）观察一系列等式，归纳总结得到第个等式，用字母表示出所得的规律即可． 此题主要考查了数字变化规律，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 【详解】解：（1） ∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 通过观察前面式子可得： 第5个等式：， 故答案为： （2）通过观察前面式子可得： 第个等式：． 故答案为： 16．（24-25七年级上·广东潮州·阶段练习）观察下列各式，回答问题： 第一个等式：  第二个等式：  第三个等式： (1)猜想并写出：第n个等式为________________（n为正整数）； (2)请直接写出下列各式的计算结果： ①___________； ②_____________． (3)探究并计算：的值． 【答案】(1) (2)①，② (3) 【分析】本题考查了数字类规律探究、有理数四则混合运算： （1）根据题中的拆项规则求解； （2）先把每一项都拆成两项，再把相反数结合求解； （3）先把每一项都拆成两项，再把相反数结合求解． 【详解】（1）解：根据题意得：第n个等式为； 故答案为： （2）解：① 故答案为：； ② ， 故答案为：； （3）解： ． 17．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是 ，是第 个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律     【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 【答案】（1），11；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第n个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）将所给算式中的每一项进行裂项，再利用裂项相消法进行计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴第6个数是， ， ∴是第11个数； （2）观察所给式子的等号左右两边的数字，可得到如下规律：； （3） ． 题型五：图形类规律探索之数字问题 18．如图，按以下规律，在第个三角形中间填入的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据前个三角形中间的数依次减，即可求出第个三角形中间的数． 【详解】解：，， 第个三角形中间填入的数是． 故选：D． 19.下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的．    根据此规律确定a的值为 ，b的值为 ，x的值为 ． 【答案】 9 10 69 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探究，可得规律，，即可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意得 ， 解得：， ． ． 20.某城市大剧院地面的一部分为扇形，观众席的座位按如下表方式设置，则第五排、第六排分别有 个座位；第n排有 个座位． 排数 1 2 3 4 … 座位数 50 53 56 59 … 【答案】 62，65 【知识点】有理数加法在生活中的应用、用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，列代数式．有理数加减的应用等知识． （1）由后一排比前一排多3个座位，进而可求出第5排和第6排的座位数． （2）由后一排比前一排多3个座位，从而可得出规律，从而可得答案． 【详解】解：（1）由表格数据可知：后边一排都比前边一排多3个座位， 所以第5排的座位为：（个）；6排有（个） （2）第一排有50， 第二排有， 第三排有， 第三排有， … ∴第n排有：， 故答案为：62，65，． 21.探索规律： 在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示： 第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为； 第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； 第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)尝试：第4次分割后，______ (2)初步应用：根据规律，求的值． (3)拓展应用：利用以上规律，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】图形类规律探索 【分析】（1）根据正方形面积为1，构建关系式，可得结论． （2）利用规律解决问题即可． （3）用转化的思想解决问题即可． 本题考查规律型图形变化类，有理数的混合运算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【详解】（1）解：第4次分割后空白部分的面积为 故答案为：； （2）解：第1次分割后空白部分的面积为 第2次分割后空白部分的面积为 第3次分割后空白部分的面积为 第4次分割后空白部分的面积为 ∴ 故答案为： （3）解：由（2）得出 第n次分割后空白部分的面积为 ∴ ∴ 题型六：图形类规律探索之数量问题 22．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）找规律．一张长方形桌子可坐6人，按下图方式将桌子拼在一起． (1)4张桌子拼在一起可坐______人； (2)10张桌子拼在一起可坐______人； (3)n张桌子拼在一起可坐______人． 【答案】(1)12 (2)24 (3) 【分析】本题考查图形的规律，找到规律是解题关键．（1）（2）（3）找到规律即可解答：左右两边可坐4人，上下两边可坐人数是桌子数量的2倍． 【详解】（1）解：3张桌子拼在一起可坐10人， 4张桌子拼在一起比3张时多坐2人，故可坐12人， 故答案为：12； （2）解：10张桌子拼在一起，左右两边共可坐4人，上下可坐（人）， 故共可坐24人， 故答案为：24； （3）解：从图片中可以看出，左右两边可坐4人，上下两边可坐人数是桌子数量的2倍， 故n张桌子拼在一起时，可坐人， 故答案为：． 23．（2025七年级上·四川成都·专题练习）某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐2个人，短边只能坐1个人，按照如图所示的规律拼摆会议桌，能够得到不同型号的大桌子． (1)型号4的大桌子可以坐人； (2)现在有70人参会，最小用型号多少(具体数字)的大桌子可以全部坐下？ 【答案】(1)24 (2)最小用型号16 【分析】本题考查图形的规律探究，找到规律是解题的关键． (1)根据图形中的数量关系即可求解； (2)将代入，解方程即可． 【详解】（1）解：型号1：长可坐，宽可坐3，总共坐了：(人)， 型号2：长可坐，宽可坐3，总共坐了：(人)， 型号3：长可坐，宽可坐3，总共坐了：(人)， ∴型号4可以坐：(人)． （2）由题意得，， 整理得，， 解得， ∵n为整数， ∴最小用型号16． 24．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图各图是晋商大院窗格图案的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸． (1)第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为5，第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为(　　)，第3个图中所贴剪纸“〇”的个数为(　　) (2)用含有字母的式子表示第n个图中所贴剪纸“〇”的个数是(　　)，当时，所贴剪纸“〇”的个数是(　　) 【答案】(1)8，11 (2)，80 【分析】该题考查了图形规律，找到图形规律是解题的关键． （1）从图中可以数出第2、3个图中所贴剪纸“〇”的个数． （2）观察图形可知，第1、2、3个图中“〇”的个数分别为5、8、11；发现：每增加一个窗格，“〇”的个数增加3个，据此得出规律，并用含字母的式子表示规律，然后把代入式子中，计算出得数． 【详解】（1）解：第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为5，第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为，第3个图中所贴剪纸“〇”的个数为， 故答案为：，． （2）解：观察图形可知： 第1个图中“〇”的个数为5，； 第2个图中“〇”的个数为8，； 第3个图中“〇”的个数为11，； …… 发现规律：第n个图中“〇”有个． 当时，， 用含有字母的式子表示第n个图中所贴剪纸“〇”的个数是， 当时，所贴剪纸“〇”的个数是， 故答案为：，80． 25．（2025七年级上·内蒙古·专题练习）当砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；… 【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 【答案】(1)60，5 (2)，n (3)23400元 【分析】本题主要考查图形的规律，有理数混合运算的应用，理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据已知图形进行推理即可得到答案； （2）设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y，即可求出当地砖铺设了n圈时，地砖的总数；根据铺设了多少圈即可得出围成了多少的封闭图形； （3）根据曲线围成的封闭图形有25个，地砖铺设了25圈，进行计算即可． 【详解】（1）解：当地砖铺设了1圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有1个； 当地砖铺设了2圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有2个； 当地砖铺设了3圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有3个；…， 当地砖铺设了5圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有5个． （2）解：，n； 设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y， 铺设1圈形成如题图②所示的图案共用4块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有1个； 铺设2圈形成如题图③所示的图案共用12块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有2个； 铺设3圈形成如题图④所示的图案共用24块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有3个； 当地砖铺设了n圈时，地砖的总数，曲线围成的封闭图形有个； （3）解：曲线围成的封闭图形有25个， 地砖铺设了25圈， 当时，地砖的总数为（块）． 每块地砖的价钱为18元， 共需花费的费用为（元）． 答：当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元． 26．（25-26七年级上·重庆·开学考试）如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下： 第1次把它分成4个小正方形，第2次将上一次分成小正方形其中的一个又等分成4个小正方形，第3次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形……依此操作下去． (1)请通过观察和猜想，将第3次，第4次和第n次划分图中得到的正方形总个数填入下表： 次数 1 2 3 4 … n 正方形总个数 5 9 … (2)请你判断，按上述操作方法，能否得到103个正方形？为什么？ 【答案】(1)13，17, (2)不能，理由见详解 【分析】本题考查了图形规律，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察题干划分的图形特征，得出第n次划分，得出共有个正方形，即可作答． （2）依题意，列式，得不是整数，即可作答． 【详解】（1）解：根据题干分析可得：第1次划分，得出个正方形； 第2次划分，根据图形得出共有个正方形； 第3次划分，根据图形得出共有个正方形； 第4次划分，根据图形得出共有个正方形， …… 以此类推：写成第n次划分，得出共有个正方形； 即填表如下： 次数 1 2 3 4 … n 正方形总个数 5 9 13 17 … （2）解：不能得到103个正方形，理由如下： 由（1）得第n次划分，得出共有个正方形； ∴令，则不是整数，故舍去； ∴不能得到个正方形． 27．（2025七年级上·江苏南通·专题练习）古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“三角形数、正方形数、五边形数”等形数有所研究． （1）他们把1、3、6、10、15……这样的数称作“三角形数”（如图）．第6个三角形数是 ；第n个三角形数是 ． （2）他们把1、4、9、16……称作“正方形数”．第n个正方形数是 ． （3）如果用一条斜线把正方形数分成了两部分（如图），那么可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和． 以此类推，第n幅图为 ＝ ＋ ． 【答案】 21 【分析】本题主要考查了代数式的规律题，根据题目规律得到连续自然数相加，再根据连续自然数相加的规律得到答案即可； 【详解】解：（1）他们把1、3、6、10、15……这样的数称作“三角形数”， ，即第6个三角形数是21； ，即第n个三角形数是． （2）他们把1、4、9、16……称作“正方形数”．第n个正方形数是． （3）如果用一条斜线把正方形数分成了两部分，那么可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．以此类推，第n幅图为． 故答案为：（1）21，；（2）；（3），，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03整式中的数字和图形规律探究的六种模型 题型归纳 月录 题型一：数字类规律探索之排列问题 题型二：数字类规律探索之末尾数字问题… .4 题型三：数字类规律探索之新运算问题。 ..6 题型四：数字类规律探索之等式问题…。 .8 题型五：图形类规律探索之数字问题… .13 题型六：图形类规律探索之数量问题 .16 题型专练 题型一：数字类规律探索之排列问题 1.(255七年缓上全国期中)有一组数：日子子专，准据这个规裤，第n个数定 2.(25-26七年级上黑龙江哈尔滨·开学考试)按规律排列：-2,4，-8,16，-32,64，，则第7个数 为一 35冰古年餐上北食汉开学考试找：吉写品识…那么第20个数远 4.(25-26七年级上全国·期中)观察下面三行数： -3,9,-27,81,; 第①行 1,-3,9,-27,…;… 第②行 -2,10,-26,82,.…第③行 (1)第①行数按什么规律排列？ (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)设x,y,z分别为第①②③行的第2025个数，求x+6y+z的值. 5.(25-26七年级上全国·课后作业)将连续偶数2,4,6，排成如下图形，用十字框框出5个数. 24681012 141618202224 262830323436 384042444648 505254565860 1/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)①十字框框出的5个数分别与框中间的数32有什么关系？ ②十字框框出的5个数的和与中间的数32有什么关系？ (2)如果将十字框上下左右移动，仍框出5个数，这5个数还有这种规律吗？ (3)设中间的数为α，用代数式表示十字框框出的5个数的和. 题型二：数字类规律探索之末尾数字问题 6.观察：(x-1)(x+1=x2-1, (x-1x2+x+1=x3-1, (x-1x3+x2+x+1=x4-1, (x-1)(x+x2+x2+x+1=x3-1,… 据此规律，求22023+2202+22021+…22+2+1的个位数字是（) A.1 B.3 C.5 D.7 7.己知3=3,32=9,3=27,34=81,3=243,3=729，…，推测302的个位数字是 8.己知(c-1)(x+1)=x2-1，x-1)(x2+x+)=x3-1,(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1,根据前面各式的规律， 可得： (1)(2-1)(23+24+23+22+2+1)=( (2)22022+2201+22020+22019+.…+22+2+1的值的个位数字是 题型三：数字类规律探索之新运算问题 9.已知有一个新算符“，使下列算式23,2*6方，4*6名，那么5*9 10.定义一种对正整数n的℉运算”：①当n为奇数时，结果为3m+5:②当n为偶数时，结果为（其中k 是使” 为奇数的正整数)，并且运算可以重复进行，例如，取n=26,则： F2 F1 F② 26 第一次 第二次 44 第三次 若n=49,则第2024次“F运算"的结果是 1.(新定义)若记==关中/⑩表示当：=1时y的值，博0=分兮表示当x月 时的监事专期0+网*偏 2 2/7 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 12.a是不为1的有理数，我们把-。称为a的差倒数，如：2的差倒数是亡2=1，-的差倒数是 1-a 1 1--可2，已知a,=3,4是a,的差倒数，a,是4的差倒数，a,是a,的差倒数以此类推，则 a2026= 题型四：数字类规律探索之等式问题 3 8 a 式子的规律，则a+b= 14.大衍数列：0,2,4,8，，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十"的推论，对于按一定规律排列的数： 0-4 32-18 2 2二，8=4，，依此规律排列，则大衍数列的第11个数是一 2 15题案下面的等式：第1个等式：十计行第2个等式：行第3个等式：写行计立第4个等 式+ (1)写出第5个等式： 11 56 (2)写出第n个等式： (用含n的式子表示). 16.(24-25七年级上广东潮州阶段练习)观察下列各式，回答问题： 第个等式：x)=1-三 2 第二个等式： 111 2×323 第三个等式：= 3×434 (I)猜想并写出：第n个等式为 (n为正整数)； (②)请直接写出下列各式的计算结果： @、1 1,1 1 1×22x33x4+ +…十 2024×2025 ②2+1+1+1+1 612203042 (③)探究并计算： 1+1+1+11 的值. 315356399 9999 17.(25-26七年级上江苏泰州阶段练习)【情景创设】 2.200是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？一 【探索活动】 (1)根据规律第6个数是-，32 ,1是第个数： 3/7 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)我们知道： 1一子2日4兮子，那么：用哈有销式了表示你发现的规徐 1×2 【方法属示】 1 1 1+ 1+1=1-1+1+}-1+-+-=1-= 1×22×33×44×55×6 22334455666 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉。 【实践应用】 (3)根据上面获得的经验完成下面的计算： 1,1 1 1 1×33×55×7 2025×2027 题型五：图形类规律探索之数字问题 18.如图，按以下规律，在第4个三角形中间填入的数是() A.13 B.-9 C.-21 D.-11 19.下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的. 18 24 30 a 60 213 320 27 34 b 根据此规律确定α的值为 ,b的值为 ,x的值为 20某城市大剧院地面的一部分为扇形，观众席的座位按如下表方式设置，则第五排、第六排分别有 个座位；第n排有 个座位. 排数 2 3 4 座位数 50 53 56 59 21.探索规律： 在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示： S S2 S 第1次分割 第2次分割 第3次分割 第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为S,: 第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为S2; 第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为S: 4/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 … 根据以上规律，完成下列问题： (1)尝试：第4次分割后，S4= 2)初步应用：根据规律，求2+2+2+2 3+3+3+3的值。 3)拓展应用：利用以上规律，求++是 3的值. 1 332+3+… 题型六：图形类规律探索之数量问题 22.(24-25七年级上·宁夏银川期中)找规律.一张长方形桌子可坐6人，按下图方式将桌子拼在一起 8 (1)4张桌子拼在一起可坐 人 (2)10张桌子拼在一起可坐人： (3)n张桌子拼在一起可坐人。 23.(2025七年级上·四川成都专题练习)某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐 2个人，短边只能坐1个人，按照如图所示的规律拼摆会议桌，能够得到不同型号的大桌子 型号1 型号2 型号3 (1)型号4的大桌子可以坐人： (2)现在有70人参会，最小用型号多少（具体数字）的大桌子可以全部坐下？ 24.（24-25七年级下，全国假期作业)如图各图是晋商大院窗格图案的一部分，其中“O”代表窗纸上所贴的 剪纸 第1个 第2个 第3个 (①)第1个图中所贴剪纸“O”的个数为5，第2个图中所贴剪纸“O”的个数为()，第3个图中所贴剪纸 O”的个数为() (2)用含有字母的式子表示第n个图中所贴剪纸“O”的个数是()，当n=26时，所贴剪纸“O”的个数是 () 25.(2025七年级上·内蒙古·专题练习)当砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图 形有2个； 5/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图① 图② 图③ 图④ 【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为 块，曲线围成的封闭图形有个： (2)当地砖铺设了n(n为正整数)圈时，则所用的地砖为块，曲线围成的封闭图形有个（用含 n的代数式表示)： (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花 费多少元？ 26.(25-26七年级上·重庆·开学考试)如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如 下： 第一次 第二次 第三次 第1次把它分成4个小正方形，第2次将上一次分成小正方形其中的一个又等分成4个小正方形，第3次 将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形..依此操作下去. 1)请通过观察和猜想，将第3次，第4次和第n次划分图中得到的正方形总个数(m)填入下表： 次数(n 1 2 3 4 正方形总个数(m 9 (2)请你判断，按上述操作方法， 能否得到103个正方形？为什么？ 次数( 4 正方形总个数(m 9 13 17 4n+1 27.(2025七年级上·江苏南通·专题练习)古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“三角形数、正方形数、五边形数” 等形数有所研究. (1)他们把1、3、6、10、15这样的数称作“三角形数”（如图).第6个三角形数是一；第n个 三角形数是」 6/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10 15 (2)他们把1、4、9、16称作“正方形数”.第n个正方形数是 ●●●●● ●●●●。●●●0 ●●● ●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●● 149 16 25 (3)如果用一条斜线把正方形数分成了两部分（如图)，那么可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可 以看作两个相邻的“三角形数”之和. 以此类推，第n幅图为=十。 ●●●●/0 。。/●。。6· ●●/●●●●●●●/●●●… ●●● 6●●●●●●●● ① 6 ② ③ (④ 5 4=1+39=3+616=6+10 25=10+15 7/7