精品解析：浙江省温州市苍南县龙港市青华学校2025-2026学年八年级上学期9月月考数学试题

青华学校2025学年第一学期第一次学情调查 八年级数学 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．） 1. 从长为的四条线段中任选三条线段，不能组成一个三角形为（ ） A. B. C. D. 2. 下面有4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知a＞b，则下列不等式中不成立的是（　　） A. a﹣3＞b﹣3 B. ﹣3a＞﹣3b C. ＞ D. a+3＞b+3 4. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是（　　） A. 55°，55° B. 70°，40° C. 55°，55°或70°，40° D. 以上都不对 6. 能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连接CE，CF，若S△CEF＝5，则△ABC的面积为（　　） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 9. 如图，在中，点是边上的一点，且，延长至点，使得．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A. 54 B. 60 C. 100 D. 110 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. “的2倍与5的差不小于3”用不等式表示为_____________． 12. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE=CF，请添加一个条件___，使△ABC≌△DEF． 13. “等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 14. 如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠B＝72°，∠DAE＝16°，则∠C＝_____度． 15. 用13根火柴棒摆成一个等腰三角形（不能将火柴棒折断），可摆出不同的等腰三角形共______种． 16. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点，若，则______． 三、解答题（本题有6小题，共46分） 17. 解下列不等式： （1）； （2）． 18. 若，比较与的大小，并说明理由． 19. 如图，点、、、在同一条直线上，已知，，，求证：． 20. 已知（如图），请你用尺规作图的方法作，使得．（请保留适当的作图痕迹） 21. 已知的三边，，． （1）求证：是直角三角形． （2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数． 22. 如图1，四边形为长方形，长，宽，点是的中点，点在上运动，连接． （1）若是以为斜边的直角三角形时，求的长； （2）若是等腰三角形时，求的长； （3）如图2，将长方形沿折叠，折叠后交于点，若是等边三角形时，求的面积． 四、思维拓展（本题有2小题，共20分） 23. 如图，在中，，且是的平分线． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 24. 设为正整数，，，， ． （1）求的值； （2）若，求正整数、的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青华学校2025学年第一学期第一次学情调查 八年级数学 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．） 1. 从长为的四条线段中任选三条线段，不能组成一个三角形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系， 根据三角形两边之和大于第三边逐项判断即可. 【详解】解：因为，根据三角形两边之和大于第三边，可知能组成三角形，所以A不符合题意； 因为，根据三角形两边之和大于第三边，可知不能组成三角形，所以B符合题意； 因为，根据三角形两边之和大于第三边，可知能组成三角形，所以C不符合题意； 因为，根据三角形两边之和大于第三边，可知能组成三角形，所以D不符合题意. 故选：B. 2. 下面有4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，即可得出答案． 【详解】根据轴对称图形的定义可知，A、B、C是轴对称图形，D不是轴对称图形， 故选D． 【点睛】本题考查的是轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解决本题的关键． 3. 已知a＞b，则下列不等式中不成立的是（　　） A. a﹣3＞b﹣3 B. ﹣3a＞﹣3b C. ＞ D. a+3＞b+3 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵a＞b，∴a﹣3＞b﹣3，故本选项成立； B、∵a＞b，∴﹣3a＜﹣3b，故本选项不成立； C、∵a＞b，∴，故本选项成立； D、∵a＞b，∴a+3＞b+3，故本选项成立． 故选：B． 【点睛】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解答此题的关键． 4. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集，先解出一元一次不等式，然后在数轴上表示解集即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ∴， ∴在数轴上表示解集为： 故选：． 5. 已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是（　　） A. 55°，55° B. 70°，40° C. 55°，55°或70°，40° D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：分别把70°看做等腰三角形的顶角和底角，分两种情况考虑，利用三角形内角和是180度计算即可． 解：当70°为顶角时，另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为（180°﹣70°）÷2=55°， 当70°为底角时，另外一个底角也是70°，顶角是180°﹣140°=40°． 故选C． 考点：等腰三角形的性质． 6. 能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算出各选项角的度数，进而可得出结论． 【详解】解：A、是锐角，不符合题意； B、与是两个锐角，不符合题意； C、是锐角，不符合题意； D、是钝角，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题与定理，熟知反例的定义是解题的关键．要指出一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使它具备命题的条件，而不符合命题的结论就可以了，这样的例子叫做反例． 7. 如图，在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理可求，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 是斜边的中点， ． 8. 如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连接CE，CF，若S△CEF＝5，则△ABC的面积为（　　） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用中线分的三角形的两个图形面积相等，便可找到答案 【详解】解：根据等底同高的三角形面积相等，可得 ∵F是BE的中点， S△CFE＝S△CFB＝5， ∴S△CEB＝S△CEF+S△CBF＝10， ∵E是AD的中点， ∴S△AEB＝S△DBE，S△AEC＝S△DEC， ∵S△CEB＝S△BDE+S△CDE ∴S△BDE+S△CDE＝10 ∴S△AEB+S△AEC＝10 ∴S△ABC＝S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC＝20 故选：B． 【点睛】熟悉三角形中线的拓展性质：分其两个三角形的面积是相等的，这样便可在实际问题当中加以应用. 9. 如图，在中，点是边上的一点，且，延长至点，使得．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理与外角性质，由等边对等角得到，，再由三角形外角得到，结合，最后根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 10. 勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A. 54 B. 60 C. 100 D. 110 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可． 【详解】解：如图延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可证， ∴， ∴． 空白部分的面积＝长方形面积三个正方形的面积和． 故选：B． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. “的2倍与5的差不小于3”用不等式表示为_____________． 【答案】2a-5≥3 【解析】 【分析】首先表示为a的2倍为“2a”，再表示“与5的差”为2a-5，最后表示“不小于3”即可． 【详解】由题意得：2a-5≥3， 故答案为：2a-5≥3． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题关键是用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 12. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE=CF，请添加一个条件___，使△ABC≌△DEF． 【答案】AB=DE（答案不唯一） 【解析】 【分析】可选择利用AAS或SAS进行全等的判定，答案不唯一，写出一个符合条件的即可. 【详解】∵BE=CF， ∴BC=EF. ∵AB∥DE， ∴∠B=∠DEF. ∴在△ABC和△DEF中，已有一边一角对应相等. ∴添加AB=DE，可由SAS证明△ABC≌△DEF；添加∠BCA=∠F，可由ASA证明△ABC≌△DEF；添加∠A=∠D，可由AAS证明△ABC≌△DEF；等等. 13. “等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】根据互逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题 【详解】解：将原命题改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等”， 其中题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“这个三角形的两个底角相等”， 互换题设和结论后，得到逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 14. 如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠B＝72°，∠DAE＝16°，则∠C＝_____度． 【答案】40 【解析】 【分析】根据三角形的内角和得出，再利用角平分线得出，利用三角形内角和解答即可． 【详解】是高，， ， ， 是角平分线， ， ． 故答案为40. 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟悉直角三角形两锐角互余和三角形的内角和等于是解题的关键． 15. 用13根火柴棒摆成一个等腰三角形（不能将火柴棒折断），可摆出不同的等腰三角形共______种． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，根据三角形三边关系以及等腰三角形的定义即可得出结论． 【详解】解：∵等腰三角形两个腰相等，且周长为13， ∴底边长必须为奇数， 根据三角形三边关系，能摆成三种不同的等腰三角形，分别为： 第一种，底边1根火柴棒，腰根火柴棒； 第二种，底边3根火柴棒，腰根火柴棒； 第三种，底边5根火柴棒，腰根火柴棒； 当底边7根火柴棒时，腰根火柴棒，但是，不够成三角形， ∴可摆出不同的等腰三角形共种． 故答案为：． 16. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点，若，则______． 【答案】99 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和的性质．解决本题的关键是掌握数形结合的思想和整体思想的应用． 根据垂直平分线可得，则，再根据角的转换求出进而可得到的度数． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交于点， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：99． 三、解答题（本题有6小题，共46分） 17. 解下列不等式： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． （）根据去括号，移项，合并同类项，化系数为即可求解； （）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】，理由： ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据不等式的性质分析即可求解． 【详解】解：略． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 19. 如图，点、、、在同一条直线上，已知，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，求出，根据推出，根据全等三角形的性质推出即可，掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． 【详解】略 20. 已知（如图），请你用尺规作图的方法作，使得．（请保留适当的作图痕迹） 【答案】 使得的如图所示： 【解析】 【分析】本题考查作一个与已知三角形全等的三角形，先作线段，再分别以、为圆心，、为半径画弧交于点，此时，，则． 【详解】略 21. 已知的三边，，． （1）求证：是直角三角形． （2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数． 【答案】（1） 证明：∵的三边，，， 而，，， ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形； （2）当时，直角三角形的边长为；当时，直角三角形的边长为（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，给三边分别平方，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形； （2）依据，均为正整数，即可得到直角三角形的边长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，直角三角形的边长为； 当时，直角三角形的边长为．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，在应用时必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 22. 如图1，四边形为长方形，长，宽，点是的中点，点在上运动，连接． （1）若是以为斜边的直角三角形时，求的长； （2）若是等腰三角形时，求的长； （3）如图2，将长方形沿折叠，折叠后交于点，若是等边三角形时，求的面积． 【答案】（1） （2）是等腰三角形时，的长为或或 （3） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，折叠问题； （1）当是以为斜边的直角三角形时，则，四边形是长方形，得到，再根据勾股定理计算的长； （2）根据，，三种情况讨论，分别画出图形根据勾股定理求解即可； （3）过作于，则四边形是长方形，得到，再由是等边三角形，得到，然后根据勾股定理求出，最后根据的面积计算即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为长方形，长，宽，点是的中点， ∴，，，， 当是以为斜边的直角三角形时，则，如图所示， ∴四边形是长方形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，； 当时，如图，过作于，则，四边形是长方形， ∴； 当时，如图，过作于，则四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，若是等腰三角形时，的长为或或； 【小问3详解】 解：如图，过作于，则四边形是长方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴ ∴的面积． 四、思维拓展（本题有2小题，共20分） 23. 如图，在中，，且是的平分线． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键． （）在上截取，连接，证明，则有，，，然后通过外角性质可得，所以，再由线段和差即可求解； （）过作于点，于点，设到的距离为，通过，，可得，然后代入即可求解． 【小问1详解】 解：如图，在上截取，连接， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过作于点，于点，设到的距离为， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 设为正整数，，，， ． （1）求的值； （2）若，求正整数、的值． 【答案】（1）； （2）或或或． 【解析】 【分析】本题考查了数字规律，分式的化简，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意可得出规律，然后把代入求值即可； （）由（）得，，则，，又，则有，设，，代入可得，又、为正整数，则、为正整数，所以或或或，从求出的值，然后代入即可求出、的值． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ， ∴， 当时，； 【小问2详解】 解：由（）得，， ∴，， ∵， ∴，整理得， ∴ ， 设，， ∴， ∴， ， ∵、为正整数， ∴、为正整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $