专题7.2 平行线的证明（2大考点+7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学北师大版2024八年级上册

专题7.2 平行线的证明 教学目标 1. 掌握平行线的判定公理与定理，能区分并准确表述“同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”三种判定方法。 2. 经历判定定理的推导过程，能用“同位角相等，两直线平行”证明另外两个判定定理，理解转化思想。 3. 初步掌握证明的基本步骤与书写规范，能运用判定定理进行简单推理，培养演绎推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）理解并掌握平行线的三种判定方法，明确其条件与结论，能进行文字、图形、符号语言的互译。 （2）掌握证明的规范格式，能依据基本事实推导判定定理，并运用定理解决简单的平行证明问题。 2.难点 （1）难以准确运用转化思想，用同位角相关的基本事实推导内错角、同旁内角的判定定理，推理过程缺乏依据。 （2）对证明的严谨性理解不足，书写推理过程时易遗漏依据，或在复杂图形中无法准确选择判定方法。 知识点01 平行线的判定 1）判定方法一：同位角相等，两直线平行. 2）判定方法二：内错角相等，两直线平行. 3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行. 4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b 5）平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2.（用共面知识可证明，此处不证） 【即学即练1】 1．（24-25八年级上·广西梧州·期中）如图，已知点在直线上，射线平分，过点作，是射线上一点，连接，满足. (1)求证：； (2)若，求证：. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了垂线的定义、角平分线的定义、平行线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义得出，结合平角的定义得出，结合即可得证； （2）由角平分线的定义得出，由垂线的定义得出即，结合得出，从而得出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，D是边上一点，交于点E，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是 的关键． （1）利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，即可得证． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）证明∵， ∴， ∴． 知识点02 平行线的性质 1） 两直线平行，同位角相等; 2） 两直线平行，内错角相等; 3）两直线平行，同旁内角互补. 注：①仅当两直线平行时，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系. 【即学即练2】 1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在光学实验室中，两束平行激光和分别沿水平方向发射．一束斜向光线照射到上，经过折射后与相交于点F，并继续折射至上的点D处，从点D引出一条新的折射光线，且． (1)求证：． (2)若命题“已知______，则”是真命题，请填空，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟记同位角相等，两直线平行、两直线平行；同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键． （1）由对顶角定义得到，结合题意，等量代换即可得到，最后由同位角相等两直线平行即可得证； （2）由，求得的度数，再由，即可求得的度数． 【详解】（1）证明：和是对顶角， ， ， ， ∴； （2）解：已知，则， 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，已知，点、、在同一条直线上． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与平行线的判定，解题的关键是利用全等三角形的对应角相等、对应边相等进行推理计算． （1）利用全等三角形的对应角相等，结合内错角相等判定两直线平行； （2）利用全等三角形的对应边相等，结合线段和的关系求出的长． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解： ，， ， ， ， ， ． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期中）小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据得，继而得，结合，得即可证明． （2）根据平行线的性质，等式性质解答即可． （3）过E作，利用平行线的性质，等式的性质，平角的定义解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等式的性质，平角的定义，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：，理由如下： ∵，， ∴，，， ∴，， ∴． （3）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型01 同位角相等，两直线平行 【典例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，根据，得出，利用全等三角形的判定得，进而得出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得出． 【详解】证明：， ∴，即， 又，， ， 则， ． 【变式1】（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在，，平分，平分，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义，解题的关键是熟知等边对等角及平行线的判定定理． 根据平分∠ABC，平分∠ACB，得出，，由等腰三角形的性质得，从而，再根据，得出，即可证明． 【详解】证明：∵平分，平分， ∴，， ∵在， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，与相交于点C，，平分．试说明：． 请你在横线上补充其推理过程或理由． 解：平分， 所以 （ ）， （理由 ）， 所以 （等式性质）， ， 所以 （等量代换）， 所以（ ）． 【答案】 角平分线的定义 对顶角相等 同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义，对顶角相等．首先根据角平分线定义，对顶角相等证明，再证明，然后根据同位角相等，两直线平行推出． 【详解】解：平分， 所以（角平分线的定义）， （对顶角相等）， 所以（等式性质）， ， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等两直线平行）． 故答案为：，角平分线的定义，对顶角相等，，，同位角相等两直线平行． 题型02 内错角相等，两直线平行 【典例2】（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线判定，掌握全等三角形的判定和性质是关键． 根据题意可证，从而得到，则，由内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·山西临汾·期中）如图，已知，点在线段上，且．请从①；②；选择其中一个选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：___________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 【答案】①或②，证明见详解 【分析】本题考查添加条件后使两个三角形全等、两条直线平行的判定定理，熟记全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 添加①，由两个三角形全等的判定定理得到，从而由性质得到，再由内错角相等两直线平行判定即可得证； 添加②，由两个三角形全等的判定定理得到，从而由性质得到，再由内错角相等两直线平行判定即可得证． 【详解】解：添加①， 证明：， ， ， 在与中， ， ， ； 或添加②， 证明：， ， ， 在与中， ， ， ． 【变式2】（24-25七年级下·湖北·期中）已知，如图，，、分别平分与，且． 求证：，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明：∵、分别平分与， ∴________，________（角平分线定义） ∵， ∴________________． ∵， ∴________．（等量代换） ∴________________（   ）． 【答案】；；；；；；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，则可得，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：∵、分别平分与， ∴，（角平分线定义）． ∵， ∴． ∵， ∴．（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；；；；；内错角相等，两直线平行． 题型03 同旁内角互补，两直线平行 【典例3】如图，在六边形中，． (1)求的度数； (2)当 度时，可使．试说明你的结论． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键． （1）延长交的延长线于，根据两直线平行，同旁内角互补求出，再根据邻补角的定义求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解； （2）根据两直线平行，同旁内角互补可得，然后计算即可得解． 【详解】（1）如图，延长交的延长线于， ，， ， ， ， ； （2）当时，．理由如下： ，， ． ． 故答案为：． 【变式1】完成下面的证明： 如图，平分，平分，且． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（    ）． 又∵平分（    ）， ∴______（    ）． （    ）． 又∵（已知）， （______）（    ）． ∴（    ）． 【答案】角平分线的定义；已知；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【知识点】同旁内角互补两直线平行、角平分线的有关计算 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 【变式2】如图，直线被直线所截，与交于点C，平分，，，试说明：． 【答案】见解析 【知识点】对顶角相等、同旁内角互补两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定．根据角平分线定义及对顶角性质，则，再根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得解． 【详解】证明：平分，， ， ， ， ， ∴． 题型04 垂直于同一直线的两直线平行 【典例4】如图，已知，平分，于点，于点． (1)与平行吗？为什么？（用括号注明理由） (2)若，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【知识点】同旁内角互补两直线平行、角平分线的有关计算、两直线平行同位角相等、垂直于同一直线的两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定与性质， （1）根据同旁内角互补，两直线平行可得结论； （2）根据角平分线的定义得，由平行线的判定得，最后根据两直线平行，同位角相等可得结论； 熟悉平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：与平行． 理由：∵（已知）， ∴（等式的性质）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； （2）∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式1】如图，已知于于． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】同旁内角互补两直线平行、根据平行线的性质求角的度数、垂直于同一直线的两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线的性质等知识点，灵活运用平行线的判定定理成为解题的关键． （1）由可得，再根据同旁内角互补两直线平行即可解答； （2）由平行线的性质可得,再证明，最后根据两直线平行、同位角相等即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：，， ， ，， ， ． 【变式2】如图，已知、相交于点，，于点，于点，． (1)试说明； (2)判断与的关系，并加以说明． 【答案】(1)见解析 (2)，，说明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、垂线的定义理解、垂直于同一直线的两直线平行、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、垂线的定义、垂直于同一条直线的两条直线平行，熟练运用全等三角形的判定与性质推理证明是解题的关键． （1）根据，得，根据于点，于点，得出，根据，推出，利用“”证明即可； （2）根据可得，根据“垂直于同一条直线的两条直线平行”，得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，说明如下， ∵由（1）得， ∴， ∵于点，于点， ∴． 题型05 利用平行线的性质求角度 【典例5】如图所示，直线，平分，若，则的度数是 ． 【答案】或度 【知识点】两直线平行同位角相等、根据平行线的性质求角的度数、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，即可． 【详解】∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】如图，，点E在线段的延长线上，，，则的度数是 ． 【答案】/67度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内互补，这是解题的关键． 根据平行线的性质求出，再利用平角的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】如图，已知直线交于点E，连接，，．若 与 互余， 与 互补，，则的度数为 ． 【答案】/90度 【知识点】根据平行线判定与性质证明、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，余角，补角等知识点，先由与互补得出，进而得出，由与互余得出，最后利用平角的定义即可得解，熟练掌握平行线的判定是解决此题的关键． 【详解】∵与互补， ∴， ∴， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，直线分别与直线相交于点平分，交直线于点G．若，射线，交于点P，则的度数为 ． 【答案】/121度 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握准确计算是解题的关键． 根据，得，根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可求出． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 题型06 平行线的判定与性质多结论题 【典例6】如图，，平分，平分，且，下列结论∶①平分；②；③；④；⑤，其中结论正确的有 （填写序号）． 【答案】①②③④ 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】根据平行线的性质、角平分线定义和垂直的定义求出，然后对各个结论进行判断即可．本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∴， ∴平分，， 故①④正确； ∵， ∴， 故②正确； 无法证明， 故答案为：①②③④． 【变式1】如图，在中，，，，，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【知识点】根据平行线判定与性质证明、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．根据平行线的性质得到，故①符合题意；，根据余角的性质得到，故②符合题意；根据角平分线的定义得到平分，故④符合题意；根据已知条件无法证明，故③不符合题意． 【详解】解：∵，， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②符合题意； ∴， ∴平分，故④符合题意； ∵，要使，则， ∵平分，但不一定与相等， ∴无法证明，故③不符合题意． 故答案为：①②④． 【变式2】如图，在四边形中，H为四边形内部一点，连接，点E在线段的延长线上，，，点F在内部，连接，连接交于点G，，的余角比大．则下列结论：①；②；③；④其中所有正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【知识点】对顶角相等、根据平行线判定与性质证明、与余角、补角有关的计算 【分析】此题考查了平行线的判定和性质、余角的定义、对顶角的性质等知识，根据内错角相等两直线平行即判断①，由角之间的相等关系得到，根据同位角相等两直线平行即判断②，根据余角的定义和对顶角相等得到，求出，即可判断③，根据两直线平行内错角相等即可判断④． 【详解】解：∵， ∴； 故①正确； ∵，， ∴， ∴, ∴， 故②正确； ∵的余角比大． ∴， ∵， ∴， 解得 故③错误； ∵， ∴， 故④正确； 故答案为：①②④ 【变式3】如图，点为长方形的边上的点，连接，将三角形沿着翻折得到三角形，三角形翻折得到三角形．此时，点恰好落在线段上，且．以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的是 ．（填入所有正确的序号） 【答案】①②④ 【知识点】折叠问题、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查折叠的性质，平行线的判定与性质等知识；由及平行线的性质即可判定①；由折叠的性质即可判定②；由折叠性质及三角形①的结论即可判定③；由折叠性质及平行线性质即可判定④，最后可确定答案． 【详解】解：在长方形中，， ∴； ， ， ； 故①正确； 由折叠知，， ； 由长方形性质得， 则， ， ； 故②正确； ， ，， 由折叠知，， ∴， 当时，， 否则； 故③错误； ， ， 故④正确； 综上，正确的有①②④． 题型07 平行线的判定与性质综合问题 【典例7】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，．，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义， （1）由两直线平行，内错角相等得出，再根据题意可得出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出； （2）根据题意可求出的大小，再根据角平分线的定义，得出，最后根据两直线平行，同位角相等，即可求出的大小． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，射线平分，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）先由两直线平行，同旁内角互补得到，再证明，即可证明； （2）由角平分线的定义得到，则由两直线平行，内错角相等即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，射线平分， ∴， ∵， ∴． 【变式2】如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质； （1）由，，得出，利用“同旁内角互补，两直线平行”可证出； （2）由得出，由得出，利用“内错角相等，两直线平行”可证出，进而可得出． 【详解】（1）证明：，， ， ； （2）解：， ， 又， ， ， ． 一、单选题 1．下列图形中，由，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定对题目中的各个选项逐一进行判断即可得出答案 【详解】解：对于选项A， 图中的和既不是，被所截的内错角，也不是同位角， 因此不能由判断， 故该选项不符合题意； 对于选项B， 图中的和既不是，被所截的内错角，也不是同位角， 因此不能由判断， 故该选项不符合题意； 对于选项C， 图中的和既不是，被所截的内错角，也不是同位角， 不能由判断， 故该选项不符合题意； 对于选项D， 图中的和是，被直线所截得到的一组同位角， ∴当∠1=∠2时，可以判断（同位角相等，两直线平行）， 故该选项符合题意． 故选：D． 2．如图，直线，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．根据“两直线平行，同位角相等”得到，再结合对顶角相等即可求解． 【详解】解：如图所示， ， ， 故选：B ． 3．如图，，B、E、C、F四个点在同一直线上，下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得到对应边相等，对应角相等，再结合平行线的判定即可判断． 【详解】解：， ，，，故①正确； ，故②正确； ，即，故③正确； 不一定相等，故不一定相等，故④错误；共有3个正确； 故选；B． 4．如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质．先由平行线的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 5．如图，是的中线，点E在线段上，延长至F，使，连接、下列说法：①；②和面积相等；③；④，其中一定正确的有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． 由三角形中线的定义可得，运用可证明可得，即可判断①；由全等三角形的性质可得，再根据面积的和差可判定②；由全等三角形的性质可得，利用平行线的判定定理即可判断③；直接根据全等三角形的判定判断④即可． 【详解】解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，所以①正确； ∵ ∴， ，即和面积相等，所以②正确； ∵， ， ∴，所以③正确； 与BC不一定相等， 不能判断，所以④错误． 综上，正确的有3个． 故选：C． 二、填空题 6．如图，直线与直线分别相交于两点，，当 时，． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查的是平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键； 首先依据邻补角的定义可求得的度数，要使与平行， 观察图形，可知与是一对内错角，依据内错角相等，两直线平行，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴． 当时，． 故答案为：． 7．如图，若，和互余，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题关键是能够结合条件得出角的关系． 先根据平行线的判定得到，再根据和互余，求得的度数，最后根据平行线的性质求得即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∵与互余， ∴． ∴． 故答案为：． 8．如图，已知，若，，则 °． 【答案】40 【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补，内错角相等．先根据求出的度数，再由求出的度数，进而可得出结论． 【详解】∵， 故答案为：40． 9．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】过点F作,过点E作，得到，设，设，得到，解答即可． 本题考查平行线的判定和性质，等量代换，角平分线；熟练掌握平行线的判定和性质，灵活表示角之间的关系是解题的关键． 【详解】解：过点F作,过点E作， ∵， ∴， 设，设， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， 故答案为：． 10．如图，已知分别为上一点（），EF平分．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判断，角平分线的定义等知识点，解决此题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定； ①先根据同旁内角互补，可得，再根据平行的传递性即可得到答案； ②根据平行线的性质和角平分线的性质可得到答案； ③根据平行线的性质和角平分线的性质即可得到答案； ④先作出辅助线，多次运用平行线的性质即可得到答案； ⑤辅助线和④中的一样，推导过程仿照④即可得到答案； 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴； 故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴ ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， 即 故②错误； ③∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵平分， ∴ 即 故③正确； ④如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， 题目中未说明 即不一定等于 故④错误； ⑤过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ， 即， 故⑤正确； 三、解答题 11．如图，已知． (1)请写出的对应角为___________，边的对应边为___________； (2)求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应角相等、对应边相等的性质以及平行线的判定定理． （1）根据全等三角形对应角、对应边的定义确定答案； （2）利用全等三角形对应角相等得到角的关系，再根据平行线的判定定理证明平行． 【详解】（1）解：， 的对应角为，边的对应边为． 故答案为：，； （2）证明：， ， ． 12．如图，在中，为边上一点，为的中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，且平分，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质，解题的关键是利用SAS证明三角形全等，再结合角的关系进行推理． （1）通过证明，得到，进而证明； （2）利用，得到，，从而得到，利用角平分线的定义得到，求出的度数． 【详解】（1）证明：在和中 ； （2）解：∵， ， ， ， 平分， ， ． 13．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可得，再根据平行线的性质可得，再等量代换可得，进而证出结论； （2）结合（1）根据，，利用平行线的性质即可求出结果． 本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的度数为． 14．如图，四边形中，，．    (1)求证：； (2)求证：； (3)若平分，请探究与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查角的和差，平行线的判定与性质； （1）根据，得到，即； （2）由得到，结合，，得到，即可证明； （3）由平分，得到，设，由，得到，代入后得，，由，得到，，则，整体代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴， 设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 整理得． 15．如图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为点．设． (1)请用含x的式子表示的大小； (2)求证； (3)设直线与射线交于点，若，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质、垂线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线的性质、垂线的定义，是解题的关键． （1）由角平分线的性质可得，由代入进行计算即可得到答案； （2）由角平分线的性质可得，，从而得到，由可得，由（1）可得，从而得到，最后由，即可得证； （3）由平行线的性质及角平分线的性质，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵，垂足为点， ∴， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（1）知， ∵， ∴， ∴ ∴； （3）解：由（2）知， ∴， ∵， ∴，                    ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．如图，，直线分别与、交于点B、点D，连接，，且． (1)若，求的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若平分，平分，交于点M，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键． （1）先根据得，再根据可得出答案； （2）先根据得，再根据得，由此可判定与的位置关系； （3）根据角平分线的定义设，，则，，再根据得，，，则，，据此可得与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：与的位置关系是：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：与之间的数量关系是：，理由如下： ∵平分，平分， ∴设，， 则，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 17．如图，点在三角形的边上（点不与点重合），交于点，交于点． (1)若点是线段上任意一点（点不与点重合），连接，补全图形解答下列问题： ①，则___________； ②用等式表示、、之间的数量关系，并证明． (2)若点在线段上（点不与点重合），直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质； （1）①直接根据平行线的性质求解即可； ②过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论； （2）过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论． 【详解】（1）解∶①如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶45； ②； 理由：过M作，则， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：； 理由：过M作，则， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴． 18．在学习第4章时，我们进行了长方形纸条的折叠与平行线的探究，今天我们继续探究——平面图形变换的简单应用．如图1，长方形纸条中，，．第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点A，得到折痕，再将纸片展平；第二步，如图2，将折痕折到处，点B落在处；第三步，如图3，将对折，使点M落在处，点N落在处，与共线，得到折痕．                (1)如图2，①若，则 ；②若，则 （用含的式子表示）． (2)如图2，和有怎样的位置关系，并说明理由． (3)如图3，折痕和有怎样的位置关系，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握图形中线之间的位置关系，角之间的关系是解答本题的关键． （1）①由折叠可得，，根据平行线的性质得，利用平角的定义即可解答；②由折叠可得，，根据平行线的性质得，利用平角的定义即可解答； （2）利用折叠的性质和平行线的性质，可得，从而判定和的位置关系； （3）利用折叠的性质和平行线的性质，可得，从而判定和的位置关系． 【详解】（1）解：①∵是由折叠得到的， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵是由折叠得到的， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：． 理由：因为是由折叠得到的， 所以，， 因为， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以； （3）解：．理由：由（1）知， 由折叠，知，， 所以， 所以． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2 平行线的证明 教学目标 1. 掌握平行线的判定公理与定理，能区分并准确表述“同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”三种判定方法。 2. 经历判定定理的推导过程，能用“同位角相等，两直线平行”证明另外两个判定定理，理解转化思想。 3. 初步掌握证明的基本步骤与书写规范，能运用判定定理进行简单推理，培养演绎推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）理解并掌握平行线的三种判定方法，明确其条件与结论，能进行文字、图形、符号语言的互译。 （2）掌握证明的规范格式，能依据基本事实推导判定定理，并运用定理解决简单的平行证明问题。 2.难点 （1）难以准确运用转化思想，用同位角相关的基本事实推导内错角、同旁内角的判定定理，推理过程缺乏依据。 （2）对证明的严谨性理解不足，书写推理过程时易遗漏依据，或在复杂图形中无法准确选择判定方法。 知识点01 平行线的判定 1）判定方法一：同位角相等，两直线平行. 2）判定方法二：内错角相等，两直线平行. 3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行. 4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b 5）平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2.（用共面知识可证明，此处不证） 【即学即练1】 1．（24-25八年级上·广西梧州·期中）如图，已知点在直线上，射线平分，过点作，是射线上一点，连接，满足. (1)求证：； (2)若，求证：. 2．如图，D是边上一点，交于点E，，．求证： (1)； (2)． 知识点02 平行线的性质 1） 两直线平行，同位角相等; 2） 两直线平行，内错角相等; 3）两直线平行，同旁内角互补. 注：①仅当两直线平行时，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系. 【即学即练2】 1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在光学实验室中，两束平行激光和分别沿水平方向发射．一束斜向光线照射到上，经过折射后与相交于点F，并继续折射至上的点D处，从点D引出一条新的折射光线，且． (1)求证：． (2)若命题“已知______，则”是真命题，请填空，并说明理由． 2．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，已知，点、、在同一条直线上． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期中）小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示） 题型01 同位角相等，两直线平行 【典例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 【变式1】（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在，，平分，平分，，求证：． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，与相交于点C，，平分．试说明：． 请你在横线上补充其推理过程或理由． 解：平分， 所以 （ ）， （理由 ）， 所以 （等式性质）， ， 所以 （等量代换）， 所以（ ）． 题型02 内错角相等，两直线平行 【典例2】（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，求证：． 【变式1】（25-26八年级上·山西临汾·期中）如图，已知，点在线段上，且．请从①；②；选择其中一个选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：___________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 【变式2】（24-25七年级下·湖北·期中）已知，如图，，、分别平分与，且． 求证：，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明：∵、分别平分与， ∴________，________（角平分线定义） ∵， ∴________________． ∵， ∴________．（等量代换） ∴________________（   ）． 题型03 同旁内角互补，两直线平行 【典例3】如图，在六边形中，． (1)求的度数； (2)当 度时，可使．试说明你的结论． 【变式1】完成下面的证明： 如图，平分，平分，且． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（    ）． 又∵平分（    ）， ∴______（    ）． （    ）． 又∵（已知）， （______）（    ）． ∴（    ）． 【变式2】如图，直线被直线所截，与交于点C，平分，，，试说明：． 题型04 垂直于同一直线的两直线平行 【典例4】如图，已知，平分，于点，于点． (1)与平行吗？为什么？（用括号注明理由） (2)若，求的度数． 【变式1】如图，已知于于． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【变式2】如图，已知、相交于点，，于点，于点，． (1)试说明； (2)判断与的关系，并加以说明． 题型05 利用平行线的性质求角度 【典例5】如图所示，直线，平分，若，则的度数是 ． 【变式1】如图，，点E在线段的延长线上，，，则的度数是 ． 【变式2】如图，已知直线交于点E，连接，，．若 与 互余， 与 互补，，则的度数为 ． 【变式3】如图，直线分别与直线相交于点平分，交直线于点G．若，射线，交于点P，则的度数为 ． 题型06 平行线的判定与性质多结论题 【典例6】如图，，平分，平分，且，下列结论∶①平分；②；③；④；⑤，其中结论正确的有 （填写序号）． 【变式1】如图，在中，，，，，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的是 ．（填序号） 【变式2】如图，在四边形中，H为四边形内部一点，连接，点E在线段的延长线上，，，点F在内部，连接，连接交于点G，，的余角比大．则下列结论：①；②；③；④其中所有正确的结论是 ．（填序号） 【变式3】如图，点为长方形的边上的点，连接，将三角形沿着翻折得到三角形，三角形翻折得到三角形．此时，点恰好落在线段上，且．以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的是 ．（填入所有正确的序号） 题型07 平行线的判定与性质综合问题 【典例7】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，．，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，求的度数． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，射线平分，求的度数． 【变式2】如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 一、单选题 1．下列图形中，由，能判断的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，，B、E、C、F四个点在同一直线上，下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，是的中线，点E在线段上，延长至F，使，连接、下列说法：①；②和面积相等；③；④，其中一定正确的有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．如图，直线与直线分别相交于两点，，当 时，． 7．如图，若，和互余，则的度数为 ． 8．如图，已知，若，，则 °． 9．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则的度数为 ． 10．如图，已知分别为上一点（），EF平分．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 ．（填序号） 三、解答题 11．如图，已知． (1)请写出的对应角为___________，边的对应边为___________； (2)求证：． 12．如图，在中，为边上一点，为的中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，且平分，求的度数． 13．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 14．如图，四边形中，，．    (1)求证：； (2)求证：； (3)若平分，请探究与的数量关系，并证明． 15．如图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为点．设． (1)请用含x的式子表示的大小； (2)求证； (3)设直线与射线交于点，若，求的度数． 16．如图，，直线分别与、交于点B、点D，连接，，且． (1)若，求的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若平分，平分，交于点M，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 17．如图，点在三角形的边上（点不与点重合），交于点，交于点． (1)若点是线段上任意一点（点不与点重合），连接，补全图形解答下列问题： ①，则___________； ②用等式表示、、之间的数量关系，并证明． (2)若点在线段上（点不与点重合），直接写出、、之间的数量关系． 18．在学习第4章时，我们进行了长方形纸条的折叠与平行线的探究，今天我们继续探究——平面图形变换的简单应用．如图1，长方形纸条中，，．第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点A，得到折痕，再将纸片展平；第二步，如图2，将折痕折到处，点B落在处；第三步，如图3，将对折，使点M落在处，点N落在处，与共线，得到折痕．                (1)如图2，①若，则 ；②若，则 （用含的式子表示）． (2)如图2，和有怎样的位置关系，并说明理由． (3)如图3，折痕和有怎样的位置关系，请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $