第2章 实数的初步认识 章节复习2025-2026学年苏科版（2024）八年级数学上册

第2章 实数的初步认识 一、知识要点 1．算术平方根：一般地，如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 规定：0的算术平方根是0 2.平方根的定义：一般地，如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 3.平方根的性质 4.立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 5.立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 6.立方根的性质： 7.无理数的定义：无限不循环小数。有限小数和无限循环小数都称为有理数. 8.实数：有理数和无理数统称为实数． 9.每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点一一对应． 二、知识点探究 知识点1．算术平方根 例1． 下面的说法中，正确的是（    ） A．一个数的算术平方根一定是正数 B．的算术平方根是2 C．是的算术平方根 D．如果，那么没有意义 例2． 9的算术平方根是（   ）． A．3 B． C． D． 练习：求下列各数的算术平方根： (1)81； (2)100； (3)0.01． 知识点2．平方根 例1．下列结论中，正确的是（　　） A．1的平方根是1 B．的平方根是 C．的平方根是 D．0没有平方根 例2．如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 练习1．在数，0，，2006，20.80中，有平方根的数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 练习2．如果一个正数a的两个平方根是和，求x和a的值． 知识点3．非负性 例1．若a，b满足，则的值是（   ） A． B．1 C．3 D． 练习．已知与互为相反数，则的平方根是 ． 知识点4．立方根 例1．下列说法中正确的是（    ） A．27的立方根是 B．没有立方根 C．立方根是它本身的数是1 D．平方根是它本身的数是0 练习．求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 知识点5．利用平方根、立方根解方程 例1．计算： (1) (2) 练习．解方程： (1)； (2)． 知识点6．平方根与立方根的综合运用 例1．已知的平方根是的立方根是． (1)求的值． (2)求的算术平方根． 练习．已知的算术平方根是2，的立方根是，的算术平方根是它本身，求的平方根． 知识点7．规律探索 例1．观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)已知，则_______； (2)已知，则_______； (3)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ 练习．观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 知识点8．无理数 例1．下列实数是无理数的是（   ） A． B． C． D． 例2．下列说法错误的是（    ） A．无限小数是无理数 B．无限不循环小数是无理数 C．是无理数 D．圆周率是无理数 例3．的整数部分是a，小数部分是b，则的值是 ． 练习1．在，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）这些数中，无理数有 ． 练习2．已知的整数部分为a，小数部分为b，则 ， ． 知识点9．实数 例1．下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 例2．把下列各数分别填入相应的集合里： ，，，0，，， (1)有理数集合：{            } (2)无理数集合：{            } (3)正实数集合：{            } (4)负实数集合：{            } 练习．把下列各数填入相应的集合内 ，，，46，0，，． (1)有理数集合：{            } (2)无理数集合：{            } (3)正实数集合：{            } (4)负实数集合：{            } 知识点10．实数与数轴 例1．下列说法正确的是（    ） A．数轴上的点表示的数都是有理数 B．每一个实数都可以用数轴上的点来表示 C．有理数有无限个，无理数有有限个 D．无理数不能在数轴上表示 例2．下图所示，、、、是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的点是 ．    练习1．无理数在数轴上的对应点如图所示，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 练习2．如图，正方形的面积为3，点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点（点在点的右侧），则点所表示的数为 ． 知识点11．实数的大小比较 例1．比较与的大小． 练习1．比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与1． 练习2．数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法：因为，所以　　　　，所以　　　(填“”或“”)； 小英的方法：，因为，所以 0，所以　　　　0，所以 　　　　 (填“”或“”)． (1)将上述材料补充完整； (2)请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 知识点12．实数的运算 例1．计算：； 练习．计算： (1)； (2)． 知识点13．近似数 例1．用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到十分位） B．（精确到） C．（精确到千分位） D．（精确到） 例2．有下列数据：①黄山莲花峰的海拔约为；②我国目前有34个省级行政区；③小明的体重约；④某本书有160页．其中是准确数的是 ，是近似数的是 ．（填序号） 练习1．下列各个数字属于准确数的是（    ） A．我国目前共有个省、市、自治区及特别行政区 B．半径厘米的圆的周长是厘米 C．一只没洗干净的手，约带有各种细菌亿个 D．据国家统计局数据，年年底上海市常住人口达到了万人 练习2．按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)2.715（精确到百分位）． (2)0.1395（精确到0.001）． (3)123410000（精确到十万位，并用科学记数法表示）． (4)（精确到百位，并用科学记数法表示）． 三、当堂训练 1．6的平方根是（　　） A． B．6 C． D． 2．下列实数中，属于有理数的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点A表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 5．36平方根是 ，的算术平方根是 ，的立方根是 ． 6．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值为 ． 7．用四舍五入法按要求取近似值： （1）2.268（精确到百分位） ； （2）9.403（精确到个位） ； （3）8.965（精确到0.1） ． 8．比较大小： 1．（填“”“”或“”） 9．如图，M、N、P、Q是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的点是    10．计算：． 11．求下列各式中的的值： (1) (2) 12．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为，m是的整数部分， (1)求x和y的值； (2)求的平方根． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 实数的初步认识 一、知识要点 1．算术平方根：一般地，如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 规定：0的算术平方根是0 2.平方根的定义：一般地，如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 3.平方根的性质 4.立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 5.立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 6.立方根的性质： 7.无理数的定义：无限不循环小数。有限小数和无限循环小数都称为有理数. 8.实数：有理数和无理数统称为实数． 9.每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点一一对应． 二、知识点探究 知识点1．算术平方根 例1． 下面的说法中，正确的是（    ） A．一个数的算术平方根一定是正数 B．的算术平方根是2 C．是的算术平方根 D．如果，那么没有意义 【答案】B 【详解】A．0的算术平方根是0，故本选项不符合题意； B．，4的算术平方根是2，正确，故本选项符合题意； C．是的平方根中负的那一个，7才是的算术平方根，故本选项不符合题意； D．如果，则，那么有意义，故本选项不符合题意． 例2．9的算术平方根是（   ）． A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为, ∴9的算术平方根3， 故选：A． 练习：求下列各数的算术平方根： (1)81； (2)100； (3)0.01． 【答案】(1)9； (2)10； (3)0.1． 知识点2．平方根 例1．下列结论中，正确的是（　　） A．1的平方根是1 B．的平方根是 C．的平方根是 D．0没有平方根 【答案】C 【详解】解：A. 1的平方根是，该选项错误，不符合题意； B.负数没有平方根，该选项错误，不符合题意； C. ，的平方根是，该选项正确，符合题意； D. 0的平方根为0，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 例2．如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 【答案】16 【详解】解：根据平方根的定义得，， 解得， ∴． 练习1．在数，0，，2006，20.80中，有平方根的数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：0，，2006，20.80有平方根，没有平方根， 则有平方根的数有4个， 故选：D． 练习2．如果一个正数a的两个平方根是和，求x和a的值． 【答案】， 【详解】解：∵一个正数a的两个平方根是和， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 知识点3．非负性 例1．若a，b满足，则的值是（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 练习．已知与互为相反数，则的平方根是 ． 【答案】 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 知识点4．立方根 例1．下列说法中正确的是（    ） A．27的立方根是 B．没有立方根 C．立方根是它本身的数是1 D．平方根是它本身的数是0 【答案】D 【详解】解：A、27的立方根是，原说法错误，不符合题意； B、有立方根，且为，原说法错误，不符合题意； C、立方根是它本身的数是，原说法错误，不符合题意； D、平方根是它本身的数是0，正确，符合题意， 故选：D． 练习．求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 知识点5．利用平方根、立方根解方程 例1．计算： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得或． （2）解：， ， 解得． 练习．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， 系数化为1得， 开平方得， 解得，； （2）解：， ∴， 开立方得， 解得． 知识点6．平方根与立方根的综合运用 例1．已知的平方根是的立方根是． (1)求的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）解：的平方根是， ， 解得 的立方根是， ， 解得． 综上所述，； （2）解：∵， ∴ ， 的算术平方根是6， 的算术平方根是6． 练习．已知的算术平方根是2，的立方根是，的算术平方根是它本身，求的平方根． 【答案】或． 【详解】解：∵的算术平方根是2，的立方根是，的算术平方根是它本身， ∴，，或0， ∴或， 当时，； 当时，； 所以，的平方根或． 知识点7．规律探索 例1．观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)已知，则_______； (2)已知，则_______； (3)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ 【答案】(1) (2) (3)规律是：数的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵， ∴规律是：数的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位． 练习．观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位 (2)，， (3)①；② 【详解】（1）解： 由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小百倍，它的算术平方根就扩大或缩小十倍． 故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位； （2）解：∵． ∴，； 若，则， 故答案为：，，； （3）解：①∵知， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 故答案为：． 知识点8．无理数 例1．下列实数是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D B. 是分数，是有理数，不合题意； C. 是整数，是有理数，不合题意； D. 是无理数，符合题意． 故选：D 例2．下列说法错误的是（    ） A．无限小数是无理数 B．无限不循环小数是无理数 C．是无理数 D．圆周率是无理数 【答案】A 【详解】解：A、无限不循环小数是无理数，故原说法错误，符合题意； B、无限不循环小数是无理数，故原说法正确，不符合题意； C、是无理数，故原说法正确，不符合题意； D、圆周率是无理数，故原说法正确，不符合题意； 故选：A． 例3．的整数部分是a，小数部分是b，则的值是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵ ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 练习1．在，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）这些数中，无理数有 ． 【答案】 （相邻两个之间的个数逐次加） 练习2．已知的整数部分为a，小数部分为b，则 ， ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴的整数部分为，小数部分为， 故答案为：，. 知识点9．实数 例1．下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【详解】解：A．有理数和无理数统称为实数，实数包括正实数、负实数和0，原说法遗漏了0，故原说法不正确，故此选项不符合题意； B．有理数由正有理数、负有理数和0组成，而选项中的“正数”包含了无理数（如），故原说法不正确，故此选项不符合题意； C．有理数和无理数统称为实数，原说法不正确，故此选项不符合题意； D．无理数和有理数统称实数，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 例2．把下列各数分别填入相应的集合里： ，，，0，，， (1)有理数集合：{            } (2)无理数集合：{            } (3)正实数集合：{            } (4)负实数集合：{            } 【答案】(1)，，，0 (2)，， (3)，， (4)，， 练习．把下列各数填入相应的集合内 ，，，46，0，，． (1)有理数集合：{            } (2)无理数集合：{            } (3)正实数集合：{            } (4)负实数集合：{            } 【答案】(1)，，，46，0，； (2)； (3)，，46，； (4)，． 知识点10．实数与数轴 例1．下列说法正确的是（    ） A．数轴上的点表示的数都是有理数 B．每一个实数都可以用数轴上的点来表示 C．有理数有无限个，无理数有有限个 D．无理数不能在数轴上表示 【答案】B 【详解】解：A. 数轴上的点表示的数可能是有理数也可能是无理数，故错误； B. 每一个实数都可以用数轴上的点来表示，正确； C. 有理数有无限个，无理数有无限个，故错误； D. 无理数能在数轴上表示，故错误. 故选：B． 例2．下图所示，、、、是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的点是 ．    【答案】 【详解】解：由于，且， ∴更加靠近，则图中的点是最适合的点． 故答案为． 练习1．无理数在数轴上的对应点如图所示，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据数轴图可以发现点的整数部分是1， ∴只有选项C符合题意． 故选：C． 练习2．如图，正方形的面积为3，点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点（点在点的右侧），则点所表示的数为 ． 【答案】 【详解】解：∵正方形的面积为3， ； ∵以A点为圆心，为半径，和数轴交于E点， ； ∴点E所表示的数为， 故答案为：． 知识点11．实数的大小比较 例1．比较与的大小． 【答案】 【详解】． ， ， ， ， 即． 练习1．比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与1． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴，即：； （2）∵， ∴， ∴， ∴，即：． 练习2．数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法：因为，所以　　　　，所以　　　(填“”或“”)； 小英的方法：，因为，所以 0，所以　　　　0，所以 　　　　 (填“”或“”)． (1)将上述材料补充完整； (2)请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 【详解】（1）解：小华的方法：因为，所以，所以； 小英的方法：，因为，所以，所以，所以； （2）解：小华的方法：因为，所以，所以； 小英的方法：，因为，所以，所以，所以． 知识点12．实数的运算 例1．计算：； 【答案】 【详解】解： ． 练习．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点13．近似数 例1．用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到十分位） B．（精确到） C．（精确到千分位） D．（精确到） 【答案】C 例2．有下列数据：①黄山莲花峰的海拔约为；②我国目前有34个省级行政区；③小明的体重约；④某本书有160页．其中是准确数的是 ，是近似数的是 ．（填序号） 【答案】 ②④ ①③ 练习1．下列各个数字属于准确数的是（    ） A．我国目前共有个省、市、自治区及特别行政区 B．半径厘米的圆的周长是厘米 C．一只没洗干净的手，约带有各种细菌亿个 D．据国家统计局数据，年年底上海市常住人口达到了万人 【答案】A 练习2．按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)2.715（精确到百分位）． (2)0.1395（精确到0.001）． (3)123410000（精确到十万位，并用科学记数法表示）． (4)（精确到百位，并用科学记数法表示）． 【答案】(1)2.72 (2) (3) (4) 三、当堂训练 1．6的平方根是（　　） A． B．6 C． D． 【答案】D 2．下列实数中，属于有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3．若，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 4．如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点A表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：圆滚动一周所经过的路径长为： 当圆沿着数轴往右滚动一周，此时点A表示的数是：； 当圆沿着数轴往左滚动一周，此时点A表示的数是：， 综上所述，点A表示的数是或， 故选：C． 5．36平方根是 ，的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 2 2 6．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值为 ． 【答案】 【详解】根据题意知， 解得：， 故答案为：． 7．用四舍五入法按要求取近似值： （1）2.268（精确到百分位） ； （2）9.403（精确到个位） ； （3）8.965（精确到0.1） ． 【答案】 9 8．比较大小： 1．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 9．如图，M、N、P、Q是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的点是    【答案】点/点 【详解】解：∵， ∴， ∴表示的点是Q点． 故答案为：点． 10．计算：． 【答案】0 【详解】解： ． 11．求下列各式中的的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得； （2）解：， ， ， ． 12．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为，m是的整数部分， (1)求x和y的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：由题意知和互为相反数， ， 解得：， 的立方根为， ， 解得：； （2）解：， ， 的整数部分， ， 的平方根为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $