精品解析：重庆市树人中学校2025-2026学年上学期七年级新生开学考试数学试题

数学 一、填空题1（本大题共11题，每题2分，共22分） 1. ，余数是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查除法运算，利用余数的性质来求解，余数的性质：一个数除以9的余数，等于这个数的各位数字之和除以9的余数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故答案为：2． 2. 从这100个自然数中任意取出一个数，该数能被7整除的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数的整除，先确定1到100中能被7整除的数的个数，再用该个数除以总数100得到概率，即可作答． 【详解】解：依题意，， 所以这100个自然数中有个数能被7整除， 则从这100个自然数中任意取出一个数，该数能被7整除的概率是， 故答案为：． 3. 甲乙两校参加数学竞赛的人数之比是，获奖人数之比是，两校各有人未获奖，那么两校参赛的学生共有___________人． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的应用；甲乙两校参加数学竞赛的人数之比是，两校参加竞赛的有份，获奖人数之比是，两校获奖的有份，占两校参加竞赛的．未获奖的有人，两校参赛的学生人数即可求． 【详解】解： 人， 答：两校参赛的学生共有人． 故答案为：． 4. 一个长方形，如果它的长增加，宽增加，那么新的长方形的面积比原来增加___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了长方形的面积，先分别表示原来的长方形的面积为，增加后的长方形的面积为，再进行分析，即可作答． 【详解】解：设一个长方形的原来的长为，原来的宽为， ∴原来的长方形的面积为， ∵长增加，宽增加， ∴增加后的长为，增加后的宽为， 则增加后的长方形的面积为， 则， ∴新的长方形的面积比原来增加， 故答案为：． 5. 小明买10支铅笔和16个练习本，用了148元，小红买16支铅笔和10本练习本，比小明少用36元，一支铅笔___________元． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了整数的混合运算，先算出小红买16支铅笔和10本练习本的费用，再分析小明和小红所买的铅笔和练习本的数量，得1支铅笔和1个练习本共元，再结合题意列式计算，算出一支铅笔2元，即可作答． 【详解】解：依题意，（元）， （元）， 则（元）， 即1支铅笔和1个练习本共元， 则（元）， ∴一支铅笔2元， 故答案为：． 6. 如果，例如：，那么当时，___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据，且，得，即，再解得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 解得． 故答案为： 7. 有红、黄、蓝三种颜色的卡片各4张，每种颜色的卡片上分别标有1，2，3，4．要求从这些卡片中取出4张，这4张卡片上的数字正好是1，2，3，4，且三种颜色都有．那么共有___________种取法． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了排列组合问题； 要求取出的4张卡片数字为1，2，3，4，且三种颜色都有，说明其中一种颜色恰好出现两次，另外两种颜色各出现一次．可分步求解：先确定出现两次的颜色，再为该颜色选取数字，最后将剩余的颜色分配给剩余的数字．即可求解． 【详解】解：分三步完成： （1）从红、黄、蓝三种颜色中选出一种出现两次的颜色，有3种选法． （2）从1，2，3，4四个数字中选出两个分配给上述选出的颜色，有6种选法．（3）将剩下的两种颜色分配给剩下的两个数字，有2种选法． 根据分步乘法计数原理，共有（种）取法． 故答案为：． 8. 两个同样大小的正方体形状的积木，每个正方体上相对的两个面上写的数字之和都等于9．现将两个正方体并列放置，看得见的五个面上的数字如图所示，则看不见的七个面上的数的和等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正方体的特征及展开图．首先可以求出这两个正方体的所有面的数字之和，再减去看见的五个面上的数字之和就是看不见的七个面上的数字之和，据此分析解答即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 9. 如图，，，的面积是3，阴影部分的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了与中线有关的面积问题，结合，设，则，整理得，，故，因为，所以，，结合图形面积，同高，底边之比等于面积之比，即，代入数值化简得，根据，得，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 设，则， ∵的面积是3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 结合图形面积，同高，底边之比等于面积之比， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 低血糖对身体危害很大，若有低血糖症状发生时，需要迅速补充糖分以恢复正常血糖水平．欧欧将50克白糖放入杯中，倒入200克白开水充分搅拌后，喝去一半糖水使血糖升高，之后又加入72克白开水．如果要使杯中糖水和原来一样甜，需要加入白糖___________克． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是百分数的应用，设需要加入白糖克，原来糖水浓度是，计算喝去一半糖水后剩下糖水中糖的质量，利用浓度公式列方程计算． 【详解】解：原来糖水浓度：， 喝去一半糖水后剩下糖水中糖的质量：克， 设需要加入白糖克， 则， 解得：． 故答案为：． 11. 已知满足．其中表示不大于的最大整数，表示的小数部分，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了小数的意义，根据表示的小数部分，得，再结合进行分析得或，然后分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵表示的小数部分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵其中表示不大于的最大整数， ∴或， 当时， ∵， ∴， 此时， ∵， 则， 此时，与相矛盾，故舍去； 当时， ∵， ∴， 此时， ∵， 则， 此时， 综上：． 故答案为： 二、填空题2（本大题共6空，每空3分，共18分） 12. 三个不同自然数、、，，则、、三个数中最小的数最大等于___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了整数的运算，先理解题意，得，为了让最小的数最大，我们假设这四个数尽可能接近，则我们尝试让这四个数都接近2或者3，再进行分类讨论，即或结合、、是不同自然数以及问题进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 为了让最小的数最大，我们假设这四个数尽可能接近， 则， ∴我们尝试让这四个数都接近2或者3， 假设， 那么 此时， ∵a、b、c是不同的自然数， ∴我们要找两个不同的自然数b、c，使得它们的和为7，并且都大于（这样才能保证a是最小的） 取，，此时，满足且，，都是不同的自然数，也满足a是最小的数； 假设 那么， 此时 ∵， ∴6、c至少要比3大（因为是不同的自然数） 那么b最小是4，c最小是5， ， 不满足 ∴a不能等于3， 综上：、、三个数中最小的数最大等于． 故答案为：2 13. 现在是北京时间上午8点，再过___________分，时针和分针在“6”的两侧离“6”字的夹角相等． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了时针问题，一元一次方程的应用，先整理得时针每分钟走度，分针每分钟走度，再设8点分时时针和分针在“6”的两侧离“6”字的夹角相等．列出方程，解得，即可作答． 【详解】解：依题意，时针每分钟走度，分针每分钟走度， 设8点分时时针和分针在“6”的两侧离“6”字的夹角相等． 则， 解得， ∴再过分，时针和分针在“6”的两侧离“6”字的夹角相等． 故答案为：． 14. 如图是由十个等边三角形组成的，数一数，共___________个梯形． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了几何图形的认识，先理解题意，再给图形标号，分不同方向进行分析，得出上半部分，共计4个；下半部分，共计4个；从左上到右下，共计4个；从右上到左下，共计4个；最后列式计算，即可作答． 【详解】解：如下图所示，给图形标号： 上半部分，组成梯形的编号有1、2、3；2、3、4；3、4、5；1、2、3、4、5；共计4个； 下半部分，组成梯形的编号有6、7、8；7、8、9；8、9、10；6、7、8、9、10；共计4个； 从左上到右下，组成梯形的编号有1、2、6；3、4、8；3、7、8；5、9、10；共计4个； 从右上到左下，组成梯形的编号有4、5、10；2、3、8；3、8、9；1、6、7；共计4个； 综上：（个） 答：图中共有16个梯形， 故答案为：16 15. 一列士兵排成一横队，第一次从左到右1至4报数，第二次从右往左1至6报数，两次都报3的恰好有5名，这列士兵最多有___________名． 【答案】67 【解析】 【分析】本题考查了最小公倍数，先理解题意，整理得和的最小公倍数为12，结合两次都报3的恰好有5名，且要求出这列士兵最多的人数，故列式（名），即可作答． 【详解】解：∵第一次从左到右1至4报数，第二次从右往左1至6报数，且 ∴， 即和的最小公倍数为12， ∵两次都报3的恰好有5名， ∴（名） ∴这列士兵最多有67名， 故答案为：67 16. 有一些互不相同的正整数，平均数是118，其中有一个数是92，如果去掉这个数，平均数就变为120，这些数中最大的数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数的运算，解方程，平均数． 设正整数个数有n个，根据题意得出，所以，所以剩下的13个数之和为，这些数中最大的数最大时，其余12个数最小，12个数之和最小，所以这个最大数最大为． 【详解】解：设正整数个数有n个， ， ， 所以， 所以剩下的13个数之和为：， 这些数中最大的数最大时，其余12个数最小， 12个数之和最小， 所以这个最大数最大为， 答：这些数中最大的数是． 故答案为：． 17. 将一个自然数放在任意一个自然数后面（例如将自然数2放在任意自然数173后面变成1732），如果得到的新数都能被整除，那么称这个自然数为“妙数”，问：在小于130的自然数中的“妙数”有___________个． 【答案】9 【解析】 【分析】这道题主要考查了“妙数”的定义和性质，数的整除，解题的关键在于理解“妙数”的定义，即一个自然数N放在任意一个自然数后面，如果得到的新数都能被N整除，那么称这个自然数N为“妙数”．充分理解题意，先把这个新数表示出来，即为，进行分类讨论，再根据整除的性质，找出满足条件的自然数，进而确定小于130的“妙数”的个数，即可作答． 【详解】解：设任意一个自然数为M，将自然数N放在M后面，得到的新数为，其中K是N的位数， 步骤1：找出一位数的“妙数”， 依题意，能被N整除， 即能被N整除， ∵M是任意的自然数， ∴N必须是的因数 一位数的“妙数”： 步骤2：找出两位数的“妙数”， 与步骤1同理，两位数的“妙数”：； 步骤3：找出三位数的“妙数”， 与步骤1同理，三位数的“妙数”：； ∵找出小于130的自然数中的“妙数”， ∴满足题意的有； 故答案为：． 三、计算题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 18. 计算 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 【解析】 【分析】本题考查了数的混合运算，解方程. （1）先将小数、带分数化为假分数，再根据乘法分配律计算即可； （2）先根据乘法分配律计算括号里的数，并计算乘方，再根据乘法分配律计算即可； （3）先计算括号里的数，再计算乘除即可； （4）先计算分母中的分子和分母，再计算即可； （5）先将分子分母分别通分，进而计算即可； （6）先算括号里，并并把除法转化为乘法，再利用乘法分配律计算，最后算加法； （7）先去括号，再去分母，然后移项、合并同类项、系数化为1即可； （8）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （9）先去括号、去分母，再去括号、然后移项、合并同类项、系数化为1即可 （10）先去括号，再去分母，然后移项、合并同类项、系数化为1即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ； 【小问5详解】 ； 【小问6详解】 ； 【小问7详解】 ， ， ， ， ， ， ； 【小问8详解】 ， ， ， ， ， ； 【小问9详解】 ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问10详解】 ， ， ， ， ， ， . 四、解决问题（本大题共5小题，每题6分，共30分） 19. 绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发，反向而行，小王以4千米每小时的速度每走一小时休息5分钟，小张以6千米每小时的速度每走5千米后休息10分钟，问两人出发多久后，会第二次相遇？ 【答案】4小时56分 【解析】 【分析】本题考查了行程问题；根据题意，可以发现，每1小时5分，小王走4千米，休息5分钟，估算出两人第二次相遇的时间应该在4个多小时．这样在四轮休息后不用休息两人就可以相遇．因此只要求出四轮休息后到相遇所用的时间，就可以使问题得以解决． 【详解】解：到小王第四轮休息时，也就是4小时20分钟，小张以6千米每小时的速度每走5千米后休息10分钟，第二次相遇共千米，小于50千米，则小张没有休息， 小王共走了(千米)，而小张走了(千米)． 这时两人还相距(千米)． 由于从此时到相遇已经不需要休息，因此，共同走完这千米两人共需的时间是： （时)(分)． 所以，他们第二次相遇共需4小时20分钟+36分钟=4小时56分钟． 答：两人出发4小时56分钟后，会第二次相遇 20. 已知表示个a的乘积，请证明：若能被10整除，那么也能被10整除 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了数的运算，先理解题意，把化成含有的式子，再进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，表示个3的乘积，也可以表示为个3的乘积与个3的乘积的积， 即， ∴， ∴ ∵能被10整除， ∴设（是整数） ∵能被80整除， ∴能被10整除， ∴ 则能被10整除， 即能被10整除， 故也能被10整除． 21. 甲从A地到B地需要，乙从B地到A地，速度是甲的．现在甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行．在途中相遇后继续前进．甲到B地后立即返回，乙到A地后也立即返回，他们在途中又一次相遇，若两次相遇点相距．A，B两地相距多少千米? 【答案】A，B两地相距千米． 【解析】 【分析】本题考查了行程问题，分数的乘法应用，分数的除法应用，先把A地到B地的距离看成单位“1”，再得出甲，乙的速度，结合现在甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行．在途中相遇后继续前进．甲到B地后立即返回，乙到A地后也立即返回，他们在途中又一次相遇，得出从开始出发到第二次相遇，两人合走了三个全程，以及两次相遇的点之间的距离是全程的，最后由两次相遇点相距，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：把A地到B地的距离看成单位“1”，那么甲的速度为， 乙的速度为， 第一次相遇的时间是（小时）， 此时甲行了全程的， 乙行了全程的， 从开始出发到第二次相遇，两人合走了三个全程， 依题意，甲走了全程的， 则这个点离A地的距离是， 故两次相遇的点之间的距离是全程的， ∵两次相遇点相距． ∴（千米）． ∴A，B两地相距千米． 22. 张亮家已经订购一套商品房，到结算时还差10万元，他的父母准备向银行贷款或者向亲戚朋友借钱．第一种方法：向银行贷款10万元，年利率为5.56%，贷款一年；第二种方法：向亲戚借5万，两年后归还，年利率为3%，剩下的5万向朋友借，不付利息，但在归还时买2000元的礼物送给朋友作为酬谢金．为了节省开支，请通过计算说明，张亮的父母应该采取哪种方法解决这笔资金？ 【答案】张亮的父母应该采取第二种方法解决这笔资金． 【解析】 【分析】分别计算两种借款方法所需的费用，然后比较大小，费用少的方法更节省开支．本题主要考查了利息的计算，熟练掌握利息计算公式是解题的关键． 【详解】解： 第一种方法费用：（元） 第二种方法费用：（元） 因为， 所以张亮的父母应该采取第二种方法解决这笔资金． 23. 材料阅读：设表示不超过的最大整数，例如不超过的最大整数是，所以；不超过的最大整数是，所以；不超过的最大整数是，所以． 设，求的值 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了规律探究，先根据定义计算前几个结果，得出规律分别以，，，四个数循环，根据，即可求解． 【详解】解： ， …… 分别以，，，四个数循环， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、填空题1（本大题共11题，每题2分，共22分） 1. ，余数是___________． 2. 从这100个自然数中任意取出一个数，该数能被7整除的概率是___________． 3. 甲乙两校参加数学竞赛的人数之比是，获奖人数之比是，两校各有人未获奖，那么两校参赛的学生共有___________人． 4. 一个长方形，如果它的长增加，宽增加，那么新的长方形的面积比原来增加___________． 5. 小明买10支铅笔和16个练习本，用了148元，小红买16支铅笔和10本练习本，比小明少用36元，一支铅笔___________元． 6. 如果，例如：，那么当时，___________． 7. 有红、黄、蓝三种颜色的卡片各4张，每种颜色的卡片上分别标有1，2，3，4．要求从这些卡片中取出4张，这4张卡片上的数字正好是1，2，3，4，且三种颜色都有．那么共有___________种取法． 8. 两个同样大小的正方体形状的积木，每个正方体上相对的两个面上写的数字之和都等于9．现将两个正方体并列放置，看得见的五个面上的数字如图所示，则看不见的七个面上的数的和等于___________． 9. 如图，，，的面积是3，阴影部分的面积是___________． 10. 低血糖对身体危害很大，若有低血糖症状发生时，需要迅速补充糖分以恢复正常血糖水平．欧欧将50克白糖放入杯中，倒入200克白开水充分搅拌后，喝去一半糖水使血糖升高，之后又加入72克白开水．如果要使杯中糖水和原来一样甜，需要加入白糖___________克． 11. 已知满足．其中表示不大于的最大整数，表示的小数部分，那么___________． 二、填空题2（本大题共6空，每空3分，共18分） 12. 三个不同自然数、、，，则、、三个数中最小的数最大等于___________． 13. 现在是北京时间上午8点，再过___________分，时针和分针在“6”的两侧离“6”字的夹角相等． 14. 如图是由十个等边三角形组成的，数一数，共___________个梯形． 15. 一列士兵排成一横队，第一次从左到右1至4报数，第二次从右往左1至6报数，两次都报3的恰好有5名，这列士兵最多有___________名． 16. 有一些互不相同的正整数，平均数是118，其中有一个数是92，如果去掉这个数，平均数就变为120，这些数中最大的数是___________． 17. 将一个自然数放在任意一个自然数后面（例如将自然数2放在任意自然数173后面变成1732），如果得到的新数都能被整除，那么称这个自然数为“妙数”，问：在小于130的自然数中的“妙数”有___________个． 三、计算题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 18. 计算 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 四、解决问题（本大题共5小题，每题6分，共30分） 19. 绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发，反向而行，小王以4千米每小时的速度每走一小时休息5分钟，小张以6千米每小时的速度每走5千米后休息10分钟，问两人出发多久后，会第二次相遇？ 20. 已知表示个a的乘积，请证明：若能被10整除，那么也能被10整除 21. 甲从A地到B地需要，乙从B地到A地，速度是甲的．现在甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行．在途中相遇后继续前进．甲到B地后立即返回，乙到A地后也立即返回，他们在途中又一次相遇，若两次相遇点相距．A，B两地相距多少千米? 22. 张亮家已经订购一套商品房，到结算时还差10万元，他的父母准备向银行贷款或者向亲戚朋友借钱．第一种方法：向银行贷款10万元，年利率为5.56%，贷款一年；第二种方法：向亲戚借5万，两年后归还，年利率为3%，剩下的5万向朋友借，不付利息，但在归还时买2000元的礼物送给朋友作为酬谢金．为了节省开支，请通过计算说明，张亮的父母应该采取哪种方法解决这笔资金？ 23. 材料阅读：设表示不超过的最大整数，例如不超过的最大整数是，所以；不超过的最大整数是，所以；不超过的最大整数是，所以． 设，求的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $