精品解析：山东省济南市莱芜第一中学2024-2025学年高二下学期第二次核心素养测试数学试题

莱芜一中63级高二下第二次核心素养测评数学试题 一、选择题：（本小题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 2. 随机变量X服从正态分布，若，则为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 3. 在二项式的展开式中，不正确的说法是（ ） A. 常数项是第3项 B. 各项的系数和是1 C. 偶数项二项式系数和为32 D. 第4项的二项式系数最大 4. 在足球比赛中，扑点球的难度--般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性未扑出点球.若不考虑其他因素，在比赛打成平局进行点球大战中，甲队门将在前3次扑出点球的个数X的方差为（ ） A B. C. D. 5. 第33届夏季奥林匹克运动会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办．假设这届奥运会将新增2个竞赛项目和4个表演项目，现有三个场地A，B，C承办这6个新增项目的比赛，每个场地至少承办其中1个项目，且A场地只能承办竞赛项目，则不同的安排方法有（ ） A. 60种 B. 74种 C. 88种 D. 120种 6. 已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在体育选修课排球模块基本功发球测试中，计分规则如下满分为10分：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加分，以此类推，，连续七次发球成功加3分假设某同学每次发球成功的概率为，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是(    ) A. B. C. D. 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确有（　　） A. 若随机变量，且，则 B. 若随机变量，则方差 C. 若从名男生、名女生中选取人，则其中至少有名女生的概率为 D. 若随机变量X的分布列为，则 10. 已知a，，e是自然对数的底数，若，则的取值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 2024年元宵节，张同学与陈同学计划去连江人民广场参加猜灯谜活动.张同学家在如图所示的E处，陈同学家在如图所示的F处，人民广场在如图所示的 G 处.下列说法正确的是（ ） A. 张同学到陈同学家的最短路径条数为6条 B. 在张同学去人民广场选择的最短路径中，到F处和陈同学汇合并一同前往的概率为 C. 张同学在去人民广场途中想先经过花海欣赏灯光秀（花海四周道路均可欣赏），可选的最短路径有22条 D. 张同学和陈同学在选择去人民广场的最短路径中，两人相约到人民广场汇合，事件A：张同学经过陈同学家；事件B：从F到人民广场两人的路径没有重叠部分 （路口除外），则. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ，则______． 13. 托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设小红口袋中有4个白球和4个红球，小兰口袋中有2个白球和2个红球，现从小红自己口袋中任取2个球放入小兰口袋中，小兰再从自己口袋中任取2个球，已知小兰取出的是2个红球，则小红从口袋中取出的也是2个红球的概率为___________. 14. 已知过点不可能作曲线的切线.对于满足上述条件的任意的，函数恒有两个不同的极值点，则的最大值为__________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数 （1）求的图象在点处的切线方程； （2）求在上的最大值与最小值. 16. 某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）： 产品的性能指数在的适合托班幼儿使用（简称A类产品），在的适合小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在的适合大班幼儿使用（简称C类产品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率. （1）求每件产品的平均销售利润； （2）该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）影响，对近5年的年营销费用，和年销售量数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值. 16.30 24.87 0.41 1.64 表中，，，. 根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程. （i）建立关于的回归方程； （ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？ （收益=销售利润-营销费用，取）. 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 17. 随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表． 回答正确 回答错误 问题中存在语法错误 100 300 问题中没有语法错误 500 100 结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题． （1）测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率； （2）现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为X，求X的分布列与数学期望． 18. 已知函数的图象在处的切线经过点. （1）求值及函数的单调区间； （2）若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围. 19. 有一个益智类的古堡探险闯关游戏，玩家每局都有甲､乙两座不同的古堡可供选择.已知某玩家古堡甲闯关成功的概率为，古堡乙闯关成功的概率为.若该玩家第一局选择古堡甲闯关的概率为，前一局选择了古堡甲闯关，则继续选择古堡甲闯关的概率为；前一局选择了古堡乙闯关，则继续选择古堡乙闯关的概率为. （1）求该玩家第一局闯关成功的概率； （2）记该玩家第局选择古堡甲闯关的概率为，第局闯关成功的概率为. （i）求和的表达式； （ii）当时，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莱芜一中63级高二下第二次核心素养测评数学试题 一、选择题：（本小题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析求出定义域，求导，求解单调性. 【详解】由的定义域为，， 令，得， 所以的单调递减区间为， 故选：A 2. 随机变量X服从正态分布，若，则为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求的概率，再求可得结论. 【详解】因为随机变量X服从正态分布，又， 所以，故 所以， 故选：D. 3. 在二项式的展开式中，不正确的说法是（ ） A. 常数项是第3项 B. 各项的系数和是1 C. 偶数项的二项式系数和为32 D. 第4项的二项式系数最大 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出二项式展开的通项，对选项A，令即可判定A错误，对选项B，令即可判定B正确，对选项C，根据偶数二项式系数之和为即可判定C正确，对选项D，根据二项式系数性质即可判定D正确. 【详解】二项式的展开式通项为 ． 对于A选项，令，可得，故常数项是第4项，故A错； 对于B选项，各项的系数和是，故B对； 对于C选项，偶数项二项式系数和为，故C对； 对于D选项，展开式共7项，第4项二项式系数最大，故D对． 故选：A 4. 在足球比赛中，扑点球的难度--般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性未扑出点球.若不考虑其他因素，在比赛打成平局进行点球大战中，甲队门将在前3次扑出点球的个数X的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断服从二项分布，再利用二项分布的方差公式计算可得. 【详解】由题意，门将每次扑出点球的概率为：, 若不考虑其他因素，门将在前3次扑出点球的个数服从二项分布，且， 所以甲队门将在前3次扑出点球的个数X的方差为：. 故选：A 5. 第33届夏季奥林匹克运动会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办．假设这届奥运会将新增2个竞赛项目和4个表演项目，现有三个场地A，B，C承办这6个新增项目的比赛，每个场地至少承办其中1个项目，且A场地只能承办竞赛项目，则不同的安排方法有（ ） A. 60种 B. 74种 C. 88种 D. 120种 【答案】B 【解析】 【分析】按照A场地承办1个竞赛项目还是2个竞赛项目分类讨论，结合排列组合知识进行求解. 【详解】当A场地承办1个竞赛项目时，分和两种情况，共有种安排； 当A场地承办2个竞赛项目时，分和两种情况，有种安排． 故不同的安排方法共有种． 故选：B. 6. 已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，利用导数求得在单调递增，得到，得到，再由对数函数的性质，得到，再由函数的单调性与奇偶性，即可求解. 【详解】令，可得，所以在单调递增， 又由，所以，即，可得， 又由，所以， 因为是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 则在上单调递增，且， 所以，即， 所以. 故选：A. 7. 已知函数在上恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数在上恰有两个极值点，在上有两个变号零点，分离常数得，转化为两函数图象有两个不同的交点，利用数形结合思想进行求解；或直接求函数的单调性，求图象在上与轴有两个交点的条件. 【详解】解法一： 由题意可得，因为函数在上恰有两个极值点，所以在上有两个变号零点． 令，可得，令， 则直线与函数，的图象有两个不同的交点， ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又，当x趋近于0时，趋近于+∞，当x趋近于π时，趋近于+∞， 所以可作出的图象如图所示，数形结合可知， 即实数a的取值范围是， 故选：D． 解法二 由题意可得．因为函数在上恰有两个极值点，所以在上有两个变号零点． 当时，在上恒成立，不符合题意． 当时，令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因为，，所以，则，即实数a的取值范围是， 故选：D． 【点睛】方法点睛： 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧. 8. 在体育选修课排球模块基本功发球测试中，计分规则如下满分为10分：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加分，以此类推，，连续七次发球成功加3分假设某同学每次发球成功的概率为，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】明确恰好得5分的所有情况：发球四次得分，有两个连续得分和发球四次得分，有三个连续得分，分别求解可得. 【详解】该同学在测试中恰好得5分有两种情况：四次发球成功，有两个连续得分，此时概率；四次发球成功，有三个连续得分，分为连续得分在首尾和不在首尾两类，此时概率，所求概率；故选B. 【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率，题目稍有难度，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养. 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（　　） A. 若随机变量，且，则 B. 若随机变量，则方差 C. 若从名男生、名女生中选取人，则其中至少有名女生的概率为 D. 若随机变量X的分布列为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正态分布求解判断出选项A正确，由二项分布即可判断选项B正确，由超几何分布求解概率即可判断选项C错误，由概率分布列性质求解判断选项D正确. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，，故B正确； 对于C，至少有一名女生的概率，故C错误； 对于D，，，，故D正确． 故选：ABD. 10. 已知a，，e是自然对数的底数，若，则的取值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】CD 【解析】 【分析】构建，根据题意结合的单调性可得，则，构建，，利用导数判断的单调性和最值，得的取值范围，从而解出. 【详解】设，易知在R上单调递增， 因为，则， 即，可得，即，可得． 设，，则． 当时，；当时，． 可知在上单调递减，在上单调递增， 则，且当趋近于或时，趋近于， 可得．所以的取值可以是3和4． 故选：CD． 11. 2024年元宵节，张同学与陈同学计划去连江人民广场参加猜灯谜活动.张同学家在如图所示的E处，陈同学家在如图所示的F处，人民广场在如图所示的 G 处.下列说法正确的是（ ） A. 张同学到陈同学家的最短路径条数为6条 B. 在张同学去人民广场选择的最短路径中，到F处和陈同学汇合并一同前往的概率为 C. 张同学在去人民广场途中想先经过花海欣赏灯光秀（花海四周道路均可欣赏），可选的最短路径有22条 D. 张同学和陈同学在选择去人民广场的最短路径中，两人相约到人民广场汇合，事件A：张同学经过陈同学家；事件B：从F到人民广场两人的路径没有重叠部分 （路口除外），则. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：4格中2格向上，2格向右的问题；对于B：先求出张同学去人民广场选择的最短路径中总的基本事件，再求出和陈同学回合后的基本事件数，利用古典概型解答；对于C：间接法，先求出不欣赏灯光秀的情况数，再用总数一减即可；对于D：求出和，再利用条件概率公式求解. 【详解】对于A：最短路径为共走4格，其中向上走2格，向右走2格，条数为，A正确； 对于B：在张同学去人民广场选择的最短路径中， 总的基本事件：共走7格，其中向上走3格，向右走4格，即有种走法， 到F处和陈同学汇合并一同前往，首先到处，有种走法，再到人民广场，共走3格，其中向上走1格，向右走2格，即有种走法，则到F处和陈同学汇合并一同前往的基本事件有种， 则概率为，B正确； 对于C：在张同学去人民广场选择的最短路径共种走法，若途中不经过花海欣赏灯光秀， ①先从走到有种走法，再从走到有2种走法，则途中不经过花海欣赏灯光秀有种走法， ②先从走到有种走法，再从走到有种走法，则途中不经过花海欣赏灯光秀有种走法， ③先从走到，再走到有种走法， 综合得途中不经过花海欣赏灯光秀总共有种走法， 则欣赏灯光秀有种走法，C错误； 对于D：，D错误. 故选：AB. 【点睛】方法点睛：网格中的最短路径问题，可以转化为格中，有格向上，向右的问题来解答. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ，则______． 【答案】45 【解析】 【分析】先变形得到，再利用二项展开式的通项即可求出答案． 【详解】由， 则二项展开式通项为，， 则令，解得， 所以． 故答案为：45． 13. 托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设小红口袋中有4个白球和4个红球，小兰口袋中有2个白球和2个红球，现从小红自己口袋中任取2个球放入小兰口袋中，小兰再从自己口袋中任取2个球，已知小兰取出的是2个红球，则小红从口袋中取出的也是2个红球的概率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】先分析求解设从小红取出个球，其中红球的个数为个的事件的概率，再分析小兰取出个球，其中红球的个数为2个的事件的概率，结合题中公式运算求解. 【详解】设小红取出个球，其中红球的个数为个的事件为，从小兰取出个球，其中红球的个数为2个的事件为， 由题意可得：，； ，； ，； 则， 所以小兰取出的是2个红球，则小红取出的也是2个红球的概率为. 故答案为：. 14. 已知过点不可能作曲线的切线.对于满足上述条件的任意的，函数恒有两个不同的极值点，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求曲线在点处的切线方程，并转化为直线与函数的图象没有公共点，利用导数分析函数的图象，并求出的取值范围，再将函数的极值点问题，转化为恒有两个不同的变号零点，再利用换元，转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，利用导数分析函数的图象和性质，即可求解. 【详解】设是曲线上的任意一点，， 所以在点处的切线方程为， 代入点得， 由于过点不可能作曲线的切线， 则直线与函数的图象没有公共点， 令，则， 所以函数在区间上导数大于零，函数单调递增；在区间上导数小于零，函数单调递减， 所以当时，函数取得极大值也即是最大值，则. 对于满足此条件的任意的，函数恒有两个不同的极值点， 等价于恒有两个不同的变号零点， 等价于方程有两个不同的解， 令，则， 即直线与函数的图象有两个不同的交点. 记，则， 记，则， 时，，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 令，得. 当时，，时，，当时，， 所以在和上单调递减，上单调递增， 并且当时，，，， 所以. 所以.因为，所以，所以. 即实数的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题有2个关键点，一个关键点是转化为与函数的图象没有公共点，第二部关键点是利用换元构造并分离出常数，转化为函数图象的交点问题. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数 （1）求的图象在点处的切线方程； （2）求在上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得； （2）利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，再求出区间端点的函数值，比较即可得到函数的最大值. 【小问1详解】 因为，所以， 所以函数的图象在点处的切线的斜率. 因为，所以函数的图象在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 因为， 所以当时，；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为. 因为，，所以， 所以，所以函数在上的最大值为. 综上，，. 16. 某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）： 产品的性能指数在的适合托班幼儿使用（简称A类产品），在的适合小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在的适合大班幼儿使用（简称C类产品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率. （1）求每件产品的平均销售利润； （2）该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用，和年销售量数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值. 16.30 24.87 0.41 1.64 表中，，，. 根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程. （i）建立关于的回归方程； （ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？ （收益=销售利润-营销费用，取）. 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【答案】（1）每件产品的平均销售利润为4元（2）（i）（ii）该厂应投入256万元营销费. 【解析】 【分析】（1）分别求出三类产品的频率，求出分布列及其数学期望即可； （2）（i）利用公式求出相关系数，即可求出回归方程；（ii）设年收益为万元，求出，设，，求出函数的导数，根据函数的单调性即可求出的最大值. 【详解】（1）设每件产品销售利润为元，则的所有可能取值为1.5，3.5，5.5， 由直方图可得，，，三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4， 所以，，，， 所以随机变量的分布列为： 1.5 3.5 5.5 0.15 0.45 0.4 所以，， 故每件产品的平均销售利润为4元； （2）（i）由得，， 令，，，则， 由表中数据可得，， 则， 所以，， 即， 因为，所以， 故所求的回归方程为； （ii）设年收益为万元，则， 设，， 则， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以，当，即时，有最大值为768， 即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元. 【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题，求回归直线方程的步骤：（1）依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；（2）计算的值；（3）计算回归系数；（4）写出回归直线方程. 17. 随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表． 回答正确 回答错误 问题中存在语法错误 100 300 问题中没有语法错误 500 100 结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题． （1）测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率； （2）现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为X，求X的分布列与数学期望． 【答案】（1）； （2）分布列见解析，． 【解析】 【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解； （2）由题意可知：且，求解分布列和数学期望 【小问1详解】 记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“回答正确”为事件B， 由测试结果知， 所以． 记“测试的2个问题都回答正确”为事件，“测试的2个问题中恰有1个存在语法错误”为事件． 则，， 所以． 【小问2详解】 易知， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 故． 18. 已知函数的图象在处的切线经过点. （1）求的值及函数的单调区间； （2）若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围. 【答案】（1），单调递增区间为，，无单调递减区间 （2） 【解析】 【分析】（1）首先得到，再求出导函数，即可得到切线的斜率，再由两点的斜率公式求出，再利用导数求出的单调区间； （2）依题意可得在区间上恒成立，即在区间上恒成立，结合（1）中函数的单调性，得到在区间上恒成立，参变分离可得在区间上恒成立，利用导数说明，即可得解. 小问1详解】 因为，所以， 又，则， 又函数的图象在处的切线经过点， 所以，解得， 所以，函数定义域为，又， 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以当时恒成立，即恒成立， 所以在，上单调递增. 即的单调递增区间为，，无单调递减区间. 【小问2详解】 因为不等式在区间上恒成立， 因为，则， 即在区间上恒成立， 所以在区间上恒成立， 又，所以， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 由（1）可知在上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，， 则， 所以在上单调递减， 所以，即区间上恒成立， 所以时在区间上恒成立， 即对任意关于的不等式在区间上恒成立. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 19. 有一个益智类的古堡探险闯关游戏，玩家每局都有甲､乙两座不同的古堡可供选择.已知某玩家古堡甲闯关成功的概率为，古堡乙闯关成功的概率为.若该玩家第一局选择古堡甲闯关的概率为，前一局选择了古堡甲闯关，则继续选择古堡甲闯关的概率为；前一局选择了古堡乙闯关，则继续选择古堡乙闯关的概率为. （1）求该玩家第一局闯关成功的概率； （2）记该玩家第局选择古堡甲闯关的概率为，第局闯关成功的概率为. （i）求和的表达式； （ii）当时，求证：. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式求解即可； （2）（i）利用全概率公式求解即可； （ii）由题意可得，利用待定系数法求出的表达式，再结合（i）可求得的表达式，再分为奇数和偶数两种情况讨论，即可得出结论. 【小问1详解】 由题意，该玩家第一局闯关成功的概率为； 【小问2详解】 （i）由题意可得； （ii）当时，， 所以， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故， 所以， ， 当时，，此时； 当时，， ， 令， 则， 所以函数在上单调递增， 所以， 所以，即， 所以当时，， 综上所述，. 【点睛】方法点睛：对于数列和概率相结合的题目，一般是先根据条件得到递推公式，然后再根据递推公式求通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $