3.2.2第1课时奇偶性的概念课时作业-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.2　奇偶性 第1课时　奇偶性的概念 课时作业 (满分:100分) 基础练 1.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-1,则f(-2)等于(　　) [A]- [B]- [C]-3 [D]3 2.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)是 (　　) [A]奇函数 [B]偶函数 [C]既是奇函数又是偶函数 [D]非奇非偶函数 3.已知函数f(x)=(x2-a)(x+b)为奇函数,则(　　) [A]ab≠0 [B]a=0,b=0 [C]a=0,b∈R [D]a∈R,b=0 4.(多选)下列函数中,既是奇函数,又在(0,+∞)上单调递增的是(　　) [A]f(x)=2x [B]f(x)=- [C]f(x)=x3 [D]f(x)= 5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)是定义在R上的偶函数,则下列说法正确的是(　　) [A]f(x)g(x)是偶函数 [B]f(g(x))是奇函数 [C]f(x)-g(x)是奇函数 [D]g(f(x))是偶函数 6.已知定义在R上的函数f(x)+1为奇函数,且f(-1)=-2,则f(1)等于(　　) [A]-2 [B]0 [C]1 [D]2 7.(5分)设偶函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是　　　　.  8.(5分)设f(x)=-x3-(a-2)x2+x是定义在[-b,b2-b-3]上的奇函数,则f(b)=　　　　.  9.(14分)判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=; (2)f(x)=(1-x); (3)f(x)=-; (4)f(x)= 10.(14分)已知f(x)是定义在[-3,3]上的偶函数. (1)设g(x)是定义在[-3,3]上的奇函数,将下面两个图补充完整; (2)当-3<m<0时,讨论f(x)在[-3,m]上的值域. 强化练 11.若函数f(x)=为偶函数,则实数a的取值范围是(　　) [A](-∞,-5] [B](5,+∞) [C][-5,5] [D](-∞,-5]∪[5,+∞) 12.(5分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,设函数g(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=　　　　.  13.(15分)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意的x,y∈(-1,1),都有f(y)-f(x)=f(),且当x∈(-1,0)时,f(x)<0. (1)求证:f(x)是奇函数; (2)判断f()+f(-)的正负,并说明理由. 拓展练 14.(多选)已知f(x)是二次函数,且对于任意的实数x,y,函数f(x)满足函数方程f(x)+f(y)=f(x+y)+xy+2,如果f(1)=.下列选项正确的是(　　) [A]f(0)=2 [B]y=f(x)+x在(0,+∞)上单调递增 [C]y=f(x)-x为偶函数 [D]y=f(x+1)为偶函数 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2　奇偶性 第1课时　奇偶性的概念 课时作业 (满分:100分) 基础练 1.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-1,则f(-2)等于(　　) [A]- [B]- [C]-3 [D]3 【答案】 C 【解析】 由题意可知f(2)=22-1=3,因为函数f(x)是奇函数,所以f(-2)=-f(2)=-3.故选C. 2.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)是 (　　) [A]奇函数 [B]偶函数 [C]既是奇函数又是偶函数 [D]非奇非偶函数 【答案】 B 【解析】 因为F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),又(-a,a)关于原点对称,所以F(x)是偶函数.故选B. 3.已知函数f(x)=(x2-a)(x+b)为奇函数,则(　　) [A]ab≠0 [B]a=0,b=0 [C]a=0,b∈R [D]a∈R,b=0 【答案】 D 【解析】 由题意可知,f(-x)=-f(x),即[(-x)2-a](-x+b)=-(x2-a)(x+b),得2b(x2-a)=0对于∀x∈R恒成立,所以a∈R,b=0.故选D. 4.(多选)下列函数中,既是奇函数,又在(0,+∞)上单调递增的是(　　) [A]f(x)=2x [B]f(x)=- [C]f(x)=x3 [D]f(x)= 【答案】 ABC 【解析】 对于A,f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=-2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,且f(x)=2x在R上单调递增,故A正确;对于B,f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)==-f(x),所以f(x)为奇函数,且f(x)=-在(0,+∞)上单调递增,故B正确;对于C,f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),所以f(x)为奇函数,且f(x)=x3在R上单调递增,故C正确;对于D,f(x)的定义域为{x|x≠1}, 定义域不关于原点对称,所以f(x)为非奇非偶函数,故D错误.故选ABC. 5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)是定义在R上的偶函数,则下列说法正确的是(　　) [A]f(x)g(x)是偶函数 [B]f(g(x))是奇函数 [C]f(x)-g(x)是奇函数 [D]g(f(x))是偶函数 【答案】 D 【解析】 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x);g(x)是定义在R上的偶函数,所以g(-x)=g(x),则f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)为奇函数,故A错误;f(g(-x))=f(g(x)),所以f(g(x))为偶函数,故B错误;f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x),则f(x)-g(x)为非奇非偶函数,故C错误; g(f(-x))=g(-f(x))=g(f(x)),故g(f(x))为偶函数,故D正确.故选D. 6.已知定义在R上的函数f(x)+1为奇函数,且f(-1)=-2,则f(1)等于(　　) [A]-2 [B]0 [C]1 [D]2 【答案】 B 【解析】 因为函数f(x)+1为奇函数,所以f(-x)+1=-[f(x)+1]⇔f(-x)+f(x)=-2, 令x=1有f(-1)+f(1)=-2,又由f(-1)=-2,所以f(1)=0.故选B. 7.(5分)设偶函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是　　　　.  【答案】 {x|-5≤x<-2或2<x≤5} 【解析】 因为偶函数的图象关于y轴对称,所以可根据对称性确定不等式f(x)<0的解集. 因为当x∈[0,5]时,f(x)<0的解集为{x|2<x≤5},所以当x∈[-5,0]时,f(x)<0的解集为{x|-5≤x<-2}. 所以f(x)<0的解集是{x|-5≤x<-2或2<x≤5}. 8.(5分)设f(x)=-x3-(a-2)x2+x是定义在[-b,b2-b-3]上的奇函数,则f(b)=　　　　.  【答案】 -24 【解析】 因为f(x)=-x3-(a-2)x2+x是定义在[-b,b2-b-3]上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-(-x)3-(a-2)(-x)2-x=-[-x3-(a-2)x2+x],所以a-2=0,解得a=2,所以f(x)=-x3+x,又-b+b2-b-3=0,解得b=3或b=-1.当b=-1时,定义域为[1,-1],不符合题意,舍去;当b=3时,定义域为[-3,3],符合题意, 所以f(b)=f(3)=-24. 9.(14分)判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=; (2)f(x)=(1-x); (3)f(x)=-; (4)f(x)= 【解】 (1)由得定义域为D=[-1,0)∪(0,1],∀x∈D,-x∈D,又f(-x)==-f(x), 所以函数f(x)为奇函数. (2)由≥0,得定义域为D=[-1,1),不关于原点对称,所以f(x)为非奇非偶函数. (3)由得x=±,即该函数的图象由点(-,0),(,0)构成, 这两个点既关于原点对称,也关于y轴对称,所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (4)f(x)的定义域为R, ∀x∈R,-x∈R, 当x<-1时,f(x)=x+2,-x>1,所以f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x). 当x>1时,f(x)=-x+2,-x<-1,所以f(-x)=(-x)+2=-x+2=f(x). 当-1≤x≤1时,f(x)=0,-1≤-x≤1,所以f(-x)=0=f(x). 综上可知,对于定义域内的每一个x都有f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数. 10.(14分)已知f(x)是定义在[-3,3]上的偶函数. (1)设g(x)是定义在[-3,3]上的奇函数,将下面两个图补充完整; (2)当-3<m<0时,讨论f(x)在[-3,m]上的值域. 【解】 (1)补充完整的两个图,如图所示. (2)由图可知,f(x)在[-3,-1]上的图象为线段,设其对应的解析式为f(x)=ax+b(-3≤x≤-1), 则解得 所以f(x)=-3x-5(-3≤x≤-1). 当-3<m<-1时,f(x)在[-3,m]上单调递减,所以f(x)在[-3,m]上的最大值为f(-3)=4,最小值为f(m)=-3m-5,则f(x)在[-3,m]上的值域为[-3m-5,4], 当-1≤m<0时,由图可知f(x)在[-3,m]上的最大值为f(-3)=4,最小值为f(-1)=-2,则f(x)在[-3,m]上的值域为[-2,4]. 综上可知,当-3<m<-1时,函数f(x)在[-3,m]上的值域为[-3m-5,4],当-1≤m<0时,函数f(x)在[-3,m]上的值域为[-2,4]. 强化练 11.若函数f(x)=为偶函数,则实数a的取值范围是(　　) [A](-∞,-5] [B](5,+∞) [C][-5,5] [D](-∞,-5]∪[5,+∞) 【答案】 A 【解析】 函数f(x)=为偶函数,所以f(-x)=f(x),即得=,y=的定义域为[-5,5],则在[-5,5] 或其子集上,-x-|a+x|=x-|a-x|,即2x=|a-x|-|a+x|,所以必有 所以又-5≤x≤5,可得a≤-5.故选A. 12.(5分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,设函数g(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=　　　　.  【答案】 2 【解析】 g(x)===1+, 设h(x)=g(x)-1=, 则h(-x)===-h(x),所以h(x)为奇函数.则h(x)max+h(x)min=0,即M-1+m-1=0, 所以M+m=2. 13.(15分)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意的x,y∈(-1,1),都有f(y)-f(x)=f(),且当x∈(-1,0)时,f(x)<0. (1)求证:f(x)是奇函数; (2)判断f()+f(-)的正负,并说明理由. (1)【证明】 因为函数f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,令x=y=0,得f(0)-f(0)=f(0),即f(0)=0, 令y=0,可得f(0)-f(x)=f(-x),即-f(x)=f(-x),所以f(x)在(-1,1)上为奇函数. (2)【解】 f()+f(-)>0.理由如下:因为f(x)在(-1,1)上为奇函数, 所以f()+f(-)=f()-f()=f()=f()=-f(-), 当x∈(-1,0)时,f(x)<0,即f(-)<0,所以f()+f(-)=-f(-)>0. 拓展练 14.(多选)已知f(x)是二次函数,且对于任意的实数x,y,函数f(x)满足函数方程f(x)+f(y)=f(x+y)+xy+2,如果f(1)=.下列选项正确的是(　　) [A]f(0)=2 [B]y=f(x)+x在(0,+∞)上单调递增 [C]y=f(x)-x为偶函数 [D]y=f(x+1)为偶函数 【答案】 ACD 【解析】 对于A,由f(x)+f(y)=f(x+y)+xy+2,令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0)+0+2,解得f(0)=2,故A正确; 对于B,由f(x)+f(y)=f(x+y)+xy+2,令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)-x2+2, 即f(x)+f(-x)=4-x2,设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则ax2+bx+c+ax2-bx+c=4-x2, 即2ax2+2c=-x2+4,可得则所以f(x)=-x2+bx+2,由f(1)=-+b+2=,解得b=1,所以f(x)=-x2+x+2,函数y=f(x)+x=-x2+2x+2,则其图象的对称轴为直线x=2, 所以函数y=f(x)+x在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,故B错误; 对于C,由B选项的分析可知y=f(x)-x=-x2+2,则其图象的对称轴为直线x=0,所以函数y=f(x)-x为偶函数,故C正确; 对于D,由B选项的分析可知y=f(x+1)=+(x+1)+2=-x2+,则其图象的对称轴为直线x=0,所以函数y=f(x+1)为偶函数,故D正确.故选ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $