3.2.2 第1课时 函数奇偶性的概念-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评全书Word（人教A版）

数学 必修·第一册[人教A版]作业与测评 3．2.2　奇偶性 第1课时　函数奇偶性的概念 知识点一　奇偶性的判定 1．[多选]下列函数是奇函数的是(　　) A．y＝x(x∈[0，1]) B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝x|x| 答案：CD 解析：对于A，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于B，y＝3x2是偶函数，不是奇函数；对于C，y＝是奇函数；对于D，y＝x|x|是奇函数．故选CD. 2．函数f(x)＝是________函数．(选填“奇”“偶”“既奇又偶”或“非奇非偶”) 答案：非奇非偶 解析：由题意知1－x≠0，即x≠1，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠1}．因为定义域不关于原点对称，所以函数f(x)是非奇非偶函数． 3．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ (4)f(x)＝x2＋(a∈R)． 解：(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． (2)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数． (3)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)3＝1＋x3＝f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)3＝1－x3＝f(x)． ∴f(－x)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． (4)①当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)， 对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)， 则f(x)为偶函数； ②当a≠0时， f(x)＝x2＋(x≠0)，取x＝1，得f(1)＝1＋a，取x＝－1，得f(－1)＝1－a， 则f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 综上所述，当a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数；当a＝0时，f(x)为偶函数． 知识点二　奇偶函数的图象 4．函数f(x)＝＋x3的图象(　　) A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝－x对称 答案：C 解析：∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－x3＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称． 5．下列函数图象中，可以表示非奇非偶函数的是(　　) 答案：D 解析：对于A，函数图象关于y轴对称，函数为偶函数，A不符合题意；对于B，函数图象关于原点对称，函数为奇函数，B不符合题意；对于C，函数图象关于原点对称，函数为奇函数，C不符合题意；对于D，函数图象既不关于y轴对称也不关于原点对称，函数是非奇非偶函数，D符合题意．故选D. 知识点三　利用函数的奇偶性求值 6．若函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a＞－1)是偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 答案：C 解析：由偶函数的定义知，函数定义域必须关于原点对称，∴a＋(－1)＝0，∴a＝1.故选C. 7．函数f(x)＝ax2＋bx＋c是定义在实数集上的奇函数，则(　　) A．a＝0，b≠0，c≠0 B．ac＝0，b≠0 C．a＝0，c＝0，b取任意实数 D．a，b，c均可取任意实数 答案：C 解析：∵f(x)是定义在实数集上的奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0，ax2＋bx＋c＋ax2－bx＋c＝0，∴2ax2＋2c＝0，∴a＝c＝0，b∈R. 8．已知y＝f(x)＋x2为奇函数，且f(1)＝1，则f(－1)＝________． 答案：－3 解析：由题意知f(－x)＋(－x)2＝－[f(x)＋x2]，∴f(x)＋f(－x)＝－2x2，即f(1)＋f(－1)＝－2，又f(1)＝1，∴f(－1)＝－3. 一、单项选择题 1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：B 解析：依题意，得a－1＝－2a，∴a＝，又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.故选B. 2．函数f(x)＝－x2的图象(　　) A．关于y轴对称 B．关于直线y＝－x对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 答案：A 解析：∵函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－(－x)2＝－x2＝f(x)，∴f(x)＝－x2是偶函数，∴函数f(x)的图象关于y轴对称．故选A. 3．对于定义域为R的奇函数f(x)，下列结论成立的是(　　) A．f(x)－f(－x)＞0 B．f(x)－f(－x)≤0 C．f(x)f(－x)≤0 D．f(x)f(－x)＞0 答案：C 解析：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)f(－x)＝－[f(x)]2≤0. 4．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝则f(f(－2))的值为(　　) A．1 B．3 C．－2 D．－3 答案：A 解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝2－2＝0，f(f(－2))＝f(0)＝02＋1＝1.故选A. 5．已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)，则下列判断正确的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)不具有奇偶性 D．f(x)既是奇函数又是偶函数 答案：A 解析：令x＝y＝1，得f(1)＝0，令x＝y＝－1，得f(－1)＝0，令y＝－1，得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． 6．已知函数f(x)的定义域为R，设p：y＝|f(x)|的图象关于y轴对称；q：f(x)是奇函数或偶函数，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：令g(x)＝|f(x)|，若f(x)是奇函数或偶函数，则g(－x)＝|f(－x)|＝|f(x)|＝g(x)，所以g(x)是偶函数，所以y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，所以必要性成立；反之，若f(x)＝则|f(x)|＝1，所以y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但是f(x)的图象不关于原点对称也不关于y轴对称，故f(x)是非奇非偶函数，所以充分性不成立．故p是q的必要不充分条件．故选B. 7．已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x∈(0，1]时，f(x)＝2x＋1，则f＝(　　) A．0 B．3 C．6 D．－2 答案：D 解析：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，得f＝f，因为函数f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，故f＝－f，又当x∈(0，1]时，f(x)＝2x＋1，故f＝2×＋1＝2，故f＝f＝－f＝－2.故选D. 8．设集合A＝{x|x2＋ax－1≥0}，定义在R上的函数f(x)＝为偶函数，则f(0)＋f＋f(1)＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：由于f(x)为偶函数，故其定义域关于原点对称，即不等式x2＋ax－1≥0的解集关于原点对称，设g(x)＝x2＋ax－1，则g(x)为偶函数，由g(x)＝g(－x)，得x2＋ax－1＝(－x)2＋a(－x)－1，解得a＝0，得A＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以f(0)＋f＋f(1)＝0＋0＋1＝1.故选B. 二、多项选择题 9．下列函数是奇函数，且在区间(0，1)上为减函数的是(　　) A．f(x)＝x＋ B．f(x)＝x＋ C．f(x)＝ D．f(x)＝－x3 答案：AD 解析：对于A，f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝(－x)＋＝－＝－f(x)，则f(x)为奇函数，且在(0，1)上为减函数，所以A符合题意；对于B，f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，而f(－x)＝－x＋≠－f(x)，则f(x)不是奇函数，所以B不符合题意；对于C，f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝＝f(x)，则f(x)为偶函数，所以C不符合题意；对于D，f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝－(－x)3＝x3＝－f(x)，则f(x)为奇函数，且在(0，1)上为减函数，所以D符合题意．故选AD. 10．已知函数f(x)＝则(　　) A．函数f(x)的定义域为{x|x≠0} B．函数f(x)的值域为R C．函数f(x)为增函数 D．函数f(x)的图象关于原点对称 答案：ABD 解析：对于A，由题意，知函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，故A正确；对于B，当x>0时，y＝x－2>－2，当x<0时，y＝x＋2<2，所以函数f(x)的值域为R，故B正确；对于C，如图，函数f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，不是增函数，故C错误；对于D，由函数f(x)的图象，知函数f(x)的图象关于原点对称，故D正确．故选ABD. 11．已知定义在D上的函数f(x)满足f(x－1)为奇函数且f(－2)＝－1，下列说法一定正确的是(　　) A．f(x－1)＝－f(－x－1) B．∀x－1∈D，都有－x＋1∈D，且f(x－1)＝－f(－x＋1) C．f(0)＝－1 D．f(0)＝1 答案：AD 解析：因为f(x－1)为奇函数，所以f(x－1)＝－f(－x－1)，故A正确；因为f(x－1)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(－1，0)对称，所以∀x－1∈D，都有－x－1∈D，故B错误；由f(x－1)＝－f(－x－1)，令x＝1，得f(0)＝－f(－2)＝1，故C错误，D正确．故选AD. 三、填空题 12．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－2，若f(－3)＝10，则f(3)＝________． 答案：－14 解析：由f(x)＝x5＋ax3＋bx－2，得f(x)＋2＝x5＋ax3＋bx.令G(x)＝f(x)＋2＝x5＋ax3＋bx，∵G(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)，∴G(x)是奇函数，∴G(－3)＝－G(3)，即f(－3)＋2＝－f(3)－2，又f(－3)＝10，∴f(3)＝－f(－3)－4＝－10－4＝－14. 13．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________． 答案：－5 解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0，∴f(－2)＝－f(2)＝－5，∴f(－2)＋f(0)＝－5. 14．设函数y＝f(x)的定义域为R，给出下列命题： ①若对任意x∈R，均有|f(x)|＝1，则f(x)一定不是奇函数； ②若对任意x∈R，均有|f(－x)|＝|f(x)|，则f(x)为奇函数或偶函数； ③若对任意x∈R，均有f(－x)＝|f(x)|，则f(x)必为偶函数； ④若对任意x∈R，均有|f(－x)|＝|f(x)|，且f(x)为R上的增函数，则f(x)必为奇函数． 其中为真命题的序号是________(请写出所有真命题的序号)． 答案：①③ 解析：对于①，对任意x∈R，均有|f(x)|＝1，则|f(0)|＝1，但奇函数中f(0)＝0，矛盾，所以f(x)一定不是奇函数，①是真命题；对于②，|f(－x)|＝|f(x)|等价于[f(x)－f(－x)][f(x)＋f(－x)]＝0，若当x∈[－1，1]时，满足f(x)－f(－x)＝0，当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，满足f(x)＋f(－x)＝0，则f(x)在R上为非奇非偶函数，②是假命题；对于③，对任意x∈R，均有f(－x)＝|f(x)|，则f(x)＝|f(－x)|＝|f(x)|，所以f(－x)＝|f(x)|＝f(x)，所以f(x)必为偶函数，③是真命题；对于④，存在f(x)＝满足题意，但f(x)不是奇函数，④是假命题． 15．已知f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，则(　　) A．f(x)g(x)是偶函数 B．f(g(x))是奇函数 C．f(x)－g(x)是奇函数 D．g(f(x))是偶函数 答案：D 解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(x)是定义在R上的偶函数，所以g(－x)＝g(x)，则f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，故A错误；f(g(－x))＝f(g(x))，所以f(g(x))为偶函数，故B错误；f(－x)－g(－x)＝－f(x)－g(x)，则f(x)－g(x)为非奇非偶函数，故C错误；g(f(－x))＝g(－f(x))＝g(f(x))，故g(f(x))为偶函数，故D正确．故选D. 16．[多选]∀x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．十八世纪，y＝[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中正确的是(　　) A．∀x∈R，x<[x]＋1 B．y＝[x]，x∈R是奇函数 C．函数y＝x－[x](x∈R)的值域为[0，1) D．∀x，y∈R，[x]＋[y]≤[x＋y]恒成立 答案：ACD 解析：设{x}是x的小数部分，则由取整函数的定义，知x＝[x]＋{x}，当x为整数时，{x}＝0，则[x]＝x，当x不为整数时，0<{x}<1，则[x]<x，且x<[x]＋1成立，即[x]≤x<[x]＋1.对于A，由取整函数的定义，知[x]≤x<[x]＋1，所以∀x∈R，x<[x]＋1成立，故A正确；对于B，当0≤x<1时，y＝[x]＝0，当－1<x<0时，y＝[x]＝－1，故y＝[x]，x∈R不是奇函数，故B错误；对于C，由取整函数的定义，知[x]≤x<[x]＋1，所以0≤x－[x]<1，所以函数y＝x－[x](x∈R)的值域为[0，1)，故C正确；对于D，由取整函数的定义，知∀x，y∈R，[x]≤x，[y]≤y，所以[x]＋[y]＝[[x]＋[y]]≤[x＋y]，故D正确．故选ACD. 17．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，给出下列说法： ①f(x)－1为奇函数；②f(x)－1为偶函数；③f(x)＋1为奇函数；④f(x)＋1为偶函数． 其中说法一定正确的是________．(填序号) 答案：③ 解析：对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，令x1＝x2＝0，得f(0)＝－1，令x1＝x，x2＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＋1，整理得f(x)＋1＝－f(－x)－1＝－[f(－x)＋1]，故f(x)＋1为奇函数，无法判断f(x)－1的奇偶性．故一定正确的是③. 18．已知函数f(x)＝，x∈R. (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)已知|f(x)|<a恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)函数f(x)为奇函数．理由如下： 因为f(x)＝，x∈R， 又f(－x)＝＝－＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数． (2)因为f(x)＝为奇函数，且f(0)＝0， 当x>0时，f(x)＝>0且f(x)＝＝≤＝1， 当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立， 所以f(x)∈(0，1]，则当x<0时，f(x)∈[－1，0)， 综上，f(x)的值域为[－1，1]， 因为|f(x)|<a恒成立，显然a>0， 所以－a<f(x)<a恒成立， 所以a>1，即实数a的取值范围为(1，＋∞)． 19．已知函数f(x)＝x2＋2|x－a|，a∈R. (1)若函数f(x)为偶函数，求a的值； (2)若函数g(x)＝af(x)＋2的最小值为8，求a的值． 解：(1)由题意可得f(x)＝f(－x)对任意的x恒成立， 即x2＋2|x－a|＝x2＋2|x＋a|，也即(x－a)2＝(x＋a)2， 故4ax＝0对任意的x恒成立，故a＝0. (2)由题意可得g(x)＝ax2＋2a|x－a|＋2＝ 当a<0时，g(x)没有最小值，故舍去； 当a＝0时，g(x)＝2，不满足题意，故舍去； 当0<a≤1时，g(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增， 故g(x)的最小值为g(a)＝a3＋2＝8， 解得a＝，不满足a∈(0，1]，故舍去； 当a>1时，g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 故g(x)的最小值为g(1)＝2a2－a＋2＝8， 解得a＝－(舍去)或a＝2. 综上所述，a＝2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $