期中模拟卷01（沪教版必修一第1～3章：集合与逻辑+等式与不等式+幂、指数与对数）高一数学上学期沪教版必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期期中模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.测试范围：沪教版必修一第1~3章集合与逻辑+等式与不等式+幂、指数与对数 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1． 2．且 3．8 4． 5． 6． 7．8 8．-1 9． 10．①③ 11． 12．或 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 B B C C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（本题14分） 【详解】（1）由，得，解得或， 所以的x的取值范围是或. （2）假设且，则，与已知矛盾， 则假设是错的，所以或. 18．（本题14分） 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得，所以， 又因为，所以，所以，所以， 所以； （2）因为，所以，所以， 又因为，且即， 所以，所以， 所以实数的取值范围是. 19．（本题14分） 【详解】（1）设另一个根n，由韦达定理得，解得， 所以另一个实数根是1，实数m的值是2. （2）由α，β是方程的两个根， 得和是方程的两个根， 从而， 20．（本题18分） 【详解】（1）根据题意可知，剪去的“正十字形”部分面积可表示为， 可得， 由宽小于长可得，解得； 因此 （2）若所用圆形纸片面积最小，可知圆的半径最小即可； 设圆的半径为，则圆的面积为 ； 当且仅当，即时，等号成立； 此时圆形纸片面积的最小值为（平方分米）. 21．（本题18分） 【详解】（1）对于集合， 当时，，所以集合对于乘法封闭； 对于集合，其元素均为整数，满足条件①， 又因为，满足条件②， 所以集合对于乘法封闭. （2）证明：对于集合， 因为任意，所以满足条件①； 又因为任意且，所以满足条件：②， 故集合对于乘法封闭. （3）任意. 证明：对于三元素集，不失一般性，不妨设， 当时，，与三元素集矛盾，所以； 当时，，与三元素集矛盾，所以. 所以只能取中的两个不同数. 不妨设， 对于集合，因为其元素均为整数，所以满足条件①， 又因为，所以满足条件②， 所以集合对于乘法封闭. 对于集合，当时，. 对于集合，当时， 综上，所有对于乘法封闭的三元素集. 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学上学期期中模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.测试范围：沪教版必修一第1~3章集合与逻辑+等式与不等式+幂、指数与对数 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知全集，集合，则= ． 2．用反证法证明命题：“若，则或”时，应假设 . 3．若，则 ． 4．将（其中）化为有理数指数幂的形式为 . 5．不等式的解集为 ． 6．若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 7．已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 8．已知关于x的方程的两个实数根是，，若，则实数m的值为 . 9．已知，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 10．下列叙述正确的是 . ①不等式的所有解可以组成一个集合； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是无限集； ③是的真子集； ④. 11．对任意给定的实数，有，且等号当且仅当实数的取值范围为 时成立. 12．集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且.假设集合，，，其中实数，，，，，满足：.计算 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的.  假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是.  一年后“进步者”是“退步者”的倍.  照此计算，大约经过（    ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A．33 B．35 C．37 D．39 15．已知有限集，如果中的元素满足，就称为"封闭集".给出下列结论: (1)集合是"封闭集" (2)若，且是"封闭集"，则 (3)若为正整数，则不可能是"封闭集" (4)若是正整数，则"封闭集"有且只有一个，且.其中正确的命题个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 16．不等式对一切都成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（本题14分）（1）求出下列式子中的x的取值范围：； （2）设x、，利用反证法证明：若，则或. 18．（本题14分）设全集为，集合，集合 (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围． 19．（本题14分）法国数学家弗朗索瓦韦达，在欧洲被尊称为"现代数学之父"，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展.其最早发现代数方程的根与系数之间的关系，人们把这个关系称为韦达定理.请解决下列问题: (1)关于的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数的值 (2)已知是方程的两个根，求的值. 20．（本题18分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一；规定：两个全等的矩形中心重合，且对应边互相垂直，所形成的图形称为“正十字形”；如图所示，窗花是由一张圆形纸片剪去一个“正十字形”剩下的部分，其中“正十字形”的顶点都在圆周上；已知两个矩形的宽和长都分别为（单位：分米）且宽小于长，若剪去的“正十字形”部分面积为4平方米；    (1)请用表示，并写出的取值范围； (2)现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小；当取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值；（结果精确到0.01）； 21．（本题18分）设数集满足：①；②任意且，有，则称数集对于乘法封闭. (1)判断集合是否对于乘法封闭，并说明理由； (2)证明：集合对于乘法封闭； (3)求所有对于乘法封闭的三元素集. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期中模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.测试范围：沪教版必修一第1~3章集合与逻辑+等式与不等式+幂、指数与对数 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知全集，集合，则= ． 【答案】 【详解】. 故答案为： 2．用反证法证明命题：“若，则或”时，应假设 . 【答案】且 【详解】由反证法思想：否定原结论，推出矛盾， 所以题设命题的证明，应假设且. 故答案为：且 3．若，则 ． 【答案】8 【详解】依题意，，所以． 故答案为：8 4．将（其中）化为有理数指数幂的形式为 . 【答案】 【详解】 故答案为： 5．不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】，则. 故不等式解集为. 故答案为：. 6．若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由“”是“”的充分条件，知，故实数的取值范围为． 故答案为： 7．已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 【答案】8 【详解】由及，则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为8. 故答案为：8. 8．已知关于x的方程的两个实数根是，，若，则实数m的值为 . 【答案】 【详解】关于x的方程的两个实数根是，，则， 因为，所以或， 又，所以. 故答案为：. 9．已知，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【详解】∵关于的不等式的解集为， ∴，即， ∴关于的不等式可化为，即 ∴解集为， 故答案为： 10．下列叙述正确的是 . ①不等式的所有解可以组成一个集合； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是无限集； ③是的真子集； ④. 【答案】①③ 【详解】对于①，不等式的所有解可以组成一个集合，①正确； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是有限集，②错误； ③是的真子集，③正确； ④若，则或，④错误， 所以正确的命题是①③. 故答案为：①③ 11．对任意给定的实数，有，且等号当且仅当实数的取值范围为 时成立. 【答案】 【详解】，即， 所以当，即或时等号成立. 故答案为：. 12．集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且.假设集合，，，其中实数，，，，，满足：.计算 . 【答案】或 【详解】因为， 所以，，， ， 故或. 故答案为：或. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题可知：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件. 故选：B 14．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的.  假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是.  一年后“进步者”是“退步者”的倍.  照此计算，大约经过（    ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A．33 B．35 C．37 D．39 【答案】B 【详解】设经过天后“进步者”是“退步者”的倍，则. 故，根据已知条件有， 所以（天）. 故选：B. 15．已知有限集，如果中的元素满足，就称为"封闭集".给出下列结论: (1)集合是"封闭集" (2)若，且是"封闭集"，则 (3)若为正整数，则不可能是"封闭集" (4)若是正整数，则"封闭集"有且只有一个，且.其中正确的命题个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】（1）因为，所以集合是"封闭集"，故正确； （2）因为是"封闭集"，所以，设是方程的两根，则，解得或，故错误； （3）不妨设中， 由，得， 当时，即有， 所以，于是，无解，即不存在满足条件的“复活集” ，正确； （4）当时，即有，所以，于是，无解， 即不存在满足条件的“完美集”； 当时，，故只能， 因为，则，所以"封闭集"有且只有一个为； 不妨设中， 由，得， 当时，由，即有， 事实上，，矛盾， 所以当时不存在完美集，故正确； 故选：C 16．不等式对一切都成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】题中所给的不等式即：， 则：， 据此得绝对值不等式：， 故，整理可得：. 即实数的取值范围是. 故选C. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（本题14分）（1）求出下列式子中的x的取值范围：； （2）设x、，利用反证法证明：若，则或. 【详解】（1）由，得，解得或， 所以的x的取值范围是或. （2）假设且，则，与已知矛盾， 则假设是错的，所以或. 18．（本题14分）设全集为，集合，集合 (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得，所以， 又因为，所以，所以，所以， 所以； （2）因为，所以，所以， 又因为，且即， 所以，所以， 所以实数的取值范围是. 19．（本题14分）法国数学家弗朗索瓦韦达，在欧洲被尊称为"现代数学之父"，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展.其最早发现代数方程的根与系数之间的关系，人们把这个关系称为韦达定理.请解决下列问题: (1)关于的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数的值 (2)已知是方程的两个根，求的值. 【详解】（1）设另一个根n，由韦达定理得，解得， 所以另一个实数根是1，实数m的值是2. （2）由α，β是方程的两个根， 得和是方程的两个根， 从而， 20．（本题18分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一；规定：两个全等的矩形中心重合，且对应边互相垂直，所形成的图形称为“正十字形”；如图所示，窗花是由一张圆形纸片剪去一个“正十字形”剩下的部分，其中“正十字形”的顶点都在圆周上；已知两个矩形的宽和长都分别为（单位：分米）且宽小于长，若剪去的“正十字形”部分面积为4平方米；    (1)请用表示，并写出的取值范围； (2)现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小；当取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值；（结果精确到0.01）； 【详解】（1）根据题意可知，剪去的“正十字形”部分面积可表示为， 可得， 由宽小于长可得，解得； 因此 （2）若所用圆形纸片面积最小，可知圆的半径最小即可； 设圆的半径为，则圆的面积为 ； 当且仅当，即时，等号成立； 此时圆形纸片面积的最小值为（平方分米）. 21．（本题18分）设数集满足：①；②任意且，有，则称数集对于乘法封闭. (1)判断集合是否对于乘法封闭，并说明理由； (2)证明：集合对于乘法封闭； (3)求所有对于乘法封闭的三元素集. 【详解】（1）对于集合， 当时，，所以集合对于乘法封闭； 对于集合，其元素均为整数，满足条件①， 又因为，满足条件②， 所以集合对于乘法封闭. （2）证明：对于集合， 因为任意，所以满足条件①； 又因为任意且，所以满足条件：②， 故集合对于乘法封闭. （3）任意. 证明：对于三元素集，不失一般性，不妨设， 当时，，与三元素集矛盾，所以； 当时，，与三元素集矛盾，所以. 所以只能取中的两个不同数. 不妨设， 对于集合，因为其元素均为整数，所以满足条件①， 又因为，所以满足条件②， 所以集合对于乘法封闭. 对于集合，当时，. 对于集合，当时， 综上，所有对于乘法封闭的三元素集. 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期中模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.测试范围：沪教版必修一第1~3章集合与逻辑+等式与不等式+幂、指数与对数 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知全集，集合，则= ． 2．用反证法证明命题：“若，则或”时，应假设 . 3．若，则 ． 4．将（其中）化为有理数指数幂的形式为 . 5．不等式的解集为 ． 6．若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 7．已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 8．已知关于x的方程的两个实数根是，，若，则实数m的值为 . 9．已知，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 10．下列叙述正确的是 . ①不等式的所有解可以组成一个集合； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是无限集； ③是的真子集； ④. 11．对任意给定的实数，有，且等号当且仅当实数的取值范围为 时成立. 12．集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且.假设集合，，，其中实数，，，，，满足：.计算 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明《增广贤文》是勉励人们专心学习的.  假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是.  一年后“进步者”是“退步者”的倍.  照此计算，大约经过（    ）天，“进步者”是“退步者”的倍（近似取计算）. A．33 B．35 C．37 D．39 15．已知有限集，如果中的元素满足，就称为"封闭集".给出下列结论: (1)集合是"封闭集" (2)若，且是"封闭集"，则 (3)若为正整数，则不可能是"封闭集" (4)若是正整数，则"封闭集"有且只有一个，且.其中正确的命题个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 16．不等式对一切都成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（本题14分）（1）求出下列式子中的x的取值范围：； （2）设x、，利用反证法证明：若，则或. 18．（本题14分）设全集为，集合，集合 (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围． 19．（本题14分）法国数学家弗朗索瓦韦达，在欧洲被尊称为"现代数学之父"，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展.其最早发现代数方程的根与系数之间的关系，人们把这个关系称为韦达定理.请解决下列问题: (1)关于的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数的值 (2)已知是方程的两个根，求的值. 20．（本题18分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一；规定：两个全等的矩形中心重合，且对应边互相垂直，所形成的图形称为“正十字形”；如图所示，窗花是由一张圆形纸片剪去一个“正十字形”剩下的部分，其中“正十字形”的顶点都在圆周上；已知两个矩形的宽和长都分别为（单位：分米）且宽小于长，若剪去的“正十字形”部分面积为4平方米；    (1)请用表示，并写出的取值范围； (2)现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小；当取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值；（结果精确到0.01）； 21．（本题18分）设数集满足：①；②任意且，有，则称数集对于乘法封闭. (1)判断集合是否对于乘法封闭，并说明理由； (2)证明：集合对于乘法封闭； (3)求所有对于乘法封闭的三元素集. 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $