精品解析：河南省省直辖县级行政单位多校联考2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

2025—2026学年上学期学情调研卷（一） 九年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请按要求把答案填写在试卷或答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于的方程有一根为0，则q的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 无法求解 4. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 轴 D. 轴 5. 关于的方程，下列说法错误的是（ ） A. 二次项系数为1 B. 常数项为0 C. 一次项系数为 D. 适合用配方法解方程 6. 下列二次函数图象与 的开口大小、方向、形状完全相同的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一元二次方程的两根分别为，，根据一元二次方程的根与系数的关系可得为（ ） A. 2 B. 7 C. 8 D. 8. 九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点，，都在函数的图像上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数（为常数，）的自变量与函数对应值如表： … 0 … … … 若，则点所在象限是（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程化为一般形式是：_____． 12. 已知是方程的根，则代数式的值为______． 13. 如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是_________________． 14. 若关于的一元二次方程可配成的形式，______． 15. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，小明在该平面直角坐标系中又画了二次函数，，的图象，则，，，的大小关系是__________．（用“”连接） 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 将二次函数的图象向下平移个单位长度可以得到一个新的抛物线． （1）请你写出这个新抛物线的函数表达式； （2）判断点是否在这个新抛物线上． 18. 阅读下面关于方程的解题过程，解决下列问题． 解：移项，得，① 两边同除以2，得，② 配方，得，③ 即， 或，④ ，．⑤ （1）上述解题过程有误，错在步骤________（填序号），错误的原因是________； （2）请你写出正确的解答过程． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 20. 已知二次函数，顶点为． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如果不同的两个点，在这个函数图像上，求的值． 21. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 22. 你知道可以用几何图形求部分一元二次方程的正解吗？以为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为，即． 第二步：构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大3，且面积为4，如图1所示． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图2所示．小正方形的边长为________． 第四步：计算大正方形面积，用含的代数式表示为__________． 第五步：用大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，列方程得，因为为边长，所以，可求得方程的正解为_____________． （1）将横线上的内容补充完整； （2）请利用上述的思考过程，求方程的正解． 23. 如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B． （1）求抛物线对应的函数解析式． （2）若点在该抛物线上，求m的值． （3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，并求出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上学期学情调研卷（一） 九年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请按要求把答案填写在试卷或答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0即可求解． 本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，牢记定义是解题的关键． 【详解】解：原方程化为， 根据一元二次方程的定义可得二次项系数， 故选：C． 2. 下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，判断各选项是否为二次函数，需满足形如且为整式函数的条件． 【详解】解：选项A：此为一次函数（最高次数为1），不符合二次函数定义，排除； 选项B：二次函数需满足，但题目未限定的取值（如时为一次函数），因此不一定是二次函数，排除； 选项C：，展开得：， 符合，且为整式函数，因此一定是二次函数； 选项D：，含分式项（即），非整式函数，不符合二次函数定义，排除． 故选：C． 3. 已知关于的方程有一根为0，则q的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 无法求解 【答案】C 【解析】 【详解】本题主要考查一元二次方程的根，理解一元二次方程根的含义是关键． 将已知根代入方程，解关于q的方程即可． 【分析】解：已知方程有一个根为0， ∴将代入方程：，化简得， ∴的值为0， 故选：C． 4. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 轴 D. 轴 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数（）的对称轴，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键． 根据抛物线（）的对称轴性质来判断． 【详解】解：∵抛物线的解析式为，该抛物线符合（）的形式， ∴其对称轴为轴． 故选：D． 5. 关于的方程，下列说法错误的是（ ） A. 二次项系数为1 B. 常数项为0 C. 一次项系数为 D. 适合用配方法解方程 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式以及解方程的方法，熟练掌握一元二次方程的一般形式和配方法的适用情况是解题的关键． 根据一元二次方程的一般形式（），分析方程各项系数，并判断解方程的方法． 【详解】解：∵方程的二次项是， ∴二次项系数为，故A项正确，不符合题意． ∵方程的常数项是， ∴常数项为，故B项错误，符合题意． ∵方程的一次项是， ∴一次项系数为，故C项正确，不符合题意． ∵方程中，二次项系数为，一次项系数是偶数， ∴适合用配方法解方程，故D项正确，不符合题意． 故选：B． 6. 下列二次函数图象与 的开口大小、方向、形状完全相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由题意可得二次项系数，据此判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数图象与 的开口大小、方向、形状完全相同， ∴二次项系数， 故选：． 7. 已知一元二次方程的两根分别为，，根据一元二次方程的根与系数的关系可得为（ ） A. 2 B. 7 C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴． 故选D． 8. 九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列一元二次方程，熟练掌握互赠问题中数量关系的分析方法是解题的关键． 根据每个学生要给除自己之外的其他同学赠送勉励卡，计算出赠送的总张数，从而列出方程． 【详解】解：由题意可得． 故选：B． 9. 已知点，，都在函数的图像上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的函数值计算，熟练掌握二次函数函数值的求解方法是解题的关键． 将三个点的横坐标分别代入函数解析式，求出对应的纵坐标，再比较大小． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． 因为， 所以． 故选：A． 10. 二次函数（为常数，）的自变量与函数对应值如表： … 0 … … … 若，则点所在象限是（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，判断点所在的象限；根据表格中和时值相等，确定二次函数的对称轴为，结合顶点处的函数值判断开口方向，进而确定、、的符号关系，最终得出点的坐标符号及其所在象限． 【详解】解：由表格可知，当和时，均为，则对称轴为． 当时，且，说明顶点为最低点，抛物线开口向上，因此． 当时，，代入函数得： 由和， 因此，点的坐标为，横纵坐标均为负数，位于第三象限． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程化为一般形式是：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式直接求出即可． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式是， 故答案为：． 12. 已知是方程的根，则代数式的值为______． 【答案】2022 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及代数式的变形求值，熟练掌握方程根的定义并能对代数式进行合理变形是解题的关键． 利用方程的根的定义，将根代入方程得到关于的等式，再对代数式进行变形求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴． ∴ ， 故答案为：． 13. 如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式． 【详解】解：由题意可得： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是根据题意，找到所求量的等量关系，此题主要利用了长方形的面积公式解题． 14. 若关于的一元二次方程可配成的形式，______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用．先利用配方法得到，再确定、的值，然后计算的值． 【详解】解：， 整理得， 配方得，即， 所以，， 所以． 故答案为：25． 15. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，小明在该平面直角坐标系中又画了二次函数，，的图象，则，，，的大小关系是__________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．在中，的值越大，函数图像越靠近y轴，开口越小，时，开口向上，时，开口向下，据此判断即可得答案． 【详解】解：∵，，的图象开口向上，的图象开口向下， ∴，，，， ∵，，的图像开口依次增大， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，选择合适的方法是解题的关键． （1）利用公式法求解； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：方程化为， ， ，方程有两个不等的实数根， ， 即； 【小问2详解】 解： 移项，得． 因式分解，得， 即， ，或， 解得． 17. 将二次函数的图象向下平移个单位长度可以得到一个新的抛物线． （1）请你写出这个新抛物线的函数表达式； （2）判断点是否在这个新抛物线上． 【答案】（1）新抛物线解析式为； （2）点在这个新抛物线上． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的平移规律、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的平移规律． （1）根据二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，即可得解； （2）将点的横坐标代入新抛物线解析式能得到纵坐标即可判断该点在新抛物线上． 【小问1详解】 解：根据二次函数的平移规律可得： 的图象向下平移个单位长度后得到的新抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：将代入新抛物线解析式可得， 即点在抛物线上． 18. 阅读下面关于方程的解题过程，解决下列问题． 解：移项，得，① 两边同除以2，得，② 配方，得，③ 即， 或，④ ，．⑤ （1）上述解题过程有误，错在步骤________（填序号），错误的原因是________； （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）③；等式两边没有同时加4 （2） 解：移项，得， 两边同除以2，得， 配方，得，即， 或， ，． 【解析】 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程： （1）步骤③中，等式两边没有同时加4； （2）按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【小问1详解】 解：上述解题过程有误，错在步骤 ③（填序号），错误的原因是等式两边没有同时加4； 故答案为：③ ，等式两边没有同时加4； 【小问2详解】 略 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：由题意得：， 则：， 无论取何值，，则， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2），方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题围绕一元二次方程展开，（1）通过根的判别式证明方程根的情况；（2）利用根的定义和方程求解（或韦达定理）得出和另一根，核心是对一元二次方程根的相关知识（判别式、根的定义、韦达定理 ）． （1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 20. 已知二次函数，顶点为． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如果不同的两个点，在这个函数图像上，求的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）由抛物线的顶点坐标即可求解； （2）由题意知，C、D两个点关于抛物线的对称轴对称，由此即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知，解得：， ∴； 把点代入上式中，得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵点，在这个函数图像上，且纵坐标相等， ∴这两个点关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴． 21. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设月平均增长率为，根据9月份的销售量11月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设售价应降低元，根据利润每件的利润销售量建立方程，解方程可得的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 22. 你知道可以用几何图形求部分一元二次方程的正解吗？以为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为，即． 第二步：构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大3，且面积为4，如图1所示． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图2所示．小正方形的边长为________． 第四步：计算大正方形面积，用含的代数式表示为__________． 第五步：用大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，列方程得，因为为边长，所以，可求得方程的正解为_____________． （1）将横线上的内容补充完整； （2）请利用上述的思考过程，求方程的正解． 【答案】（1）3，，； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的几何解法，涉及长方形和正方形的面积计算，熟练掌握通过几何图形面积关系列方程求解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先根据长方形长和宽的关系确定小正方形边长；再由大正方形边长与长方形长、宽的关系得出大正方形面积的代数式；最后通过面积关系列方程求解方程正解． （2）按照类似（1）的步骤，先对方程变形，构造长方形，再通过围成大正方形，利用面积关系列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵ 长方形长为，宽为，长比宽大， ∴ 小正方形的边长为． ∵ 大正方形的边长为长方形的长与宽之和，即， ∴ 大正方形面积用含的代数式表示为． ∴方程得，即． ∵ 为边长，， ∴ ， ， 解得， 故答案为：3，，； 【小问2详解】 解：原方程变形为，即． 构造长为，宽为的长方形，长比宽大，面积为． 用四个这样的长方形围成大正方形，中间小正方形边长为． 大正方形边长为，大正方形面积为． ∵ 大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，四个长方形面积为，小正方形面积为， ∴ ，即． ∵ 为边长，， ∴ ， ， ∴ ． 23. 如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B． （1）求抛物线对应的函数解析式． （2）若点在该抛物线上，求m的值． （3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，并求出点P的坐标． 【答案】（1） （2）1或 （3）点P的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键时将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质和二次函数的知识求解. 利用轴上的点坐标为，轴上的点坐标为代入直线的表达式求出点的坐标，再利用顶点坐标式待定系数法求出抛物线的表达式； 把时，代入抛物线的表达式求出； 把点关于对称轴的对称点为，连接，与对称轴的交点即为点，利用直线与对称轴的交点求法即可得到点的坐标. 【小问1详解】 解：对于，当时，；当时， ． 抛物线的顶点为， ．又抛物线经过点， ，解得， 抛物线对应的函数解析式为， 【小问2详解】 点在抛物线上， ，解得， 的值为1或． 【小问3详解】 如图，设点B关于对称轴的对称点为，连接，与对称轴的交点即为点P． 点的坐标为，对称轴是直线， ，则直线的函数解析式为． 联立解得 故点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $