专题2.3.1有理数的乘方（知识点总结+12题型举一反三）易错重难点培优同步讲义+专练2025-2026学年 人教版(2024）七年级数学上册

2.3.1有理数的乘方 【题型1】乘方的概念理解 1. 知识点 - 乘方的定义：求n个相同因数积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，记作（n为正整数）。 - 幂的组成：在中，a叫做底数（相同的因数），n叫做指数（相同因数的个数），读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 幂 底数 指数 - 特殊规定：一个数可以看作它本身的1次方（指数1通常省略不写）；底数为负数或分数时，必须用括号括起来（如、）。 2. 考点 - 识别乘方表达式中的底数和指数（如判断的底数是-5，指数是4）。 - 区分乘方的意义与加法的意义（如表示3个2相乘，而非3个2相加）。 - 正确读写乘方表达式（如读作“负二分之三的平方”）。 3. 易错点 - 忽略括号导致底数错误：如误将的底数看作-2（实际底数是2，式子表示“2的4次方的相反数”）。 - 混淆指数与因数个数：如误将理解为3个2相乘（实际是2个3相乘）。 - 分数底数未加括号：如误将写成（正确应为，表示3个相乘）。 4. 解题技巧 - 判断底数：先看是否有括号，有括号则括号内的整体为底数，无括号则数字本身为底数（符号单独考虑）。 - 明确意义：遇到乘方表达式，先默念“几个几相乘”（如是“5个-3相乘”），避免与加法混淆。 - 书写规范：底数为负数、分数时，强制加括号，从源头避免错误。 【例题1】．（2024-2025•朝阳区校级二模）对于式子（﹣3）2，下列说法正确的是（　　） A．指数是﹣3 B．底数是3 C．幂是9 D．表示2个3相乘 【变式题1-1】．（2024-2025•二七区期末）下列答案错误的是（　　） A．（﹣2）3的底数为﹣2 B．（﹣6）÷（﹣3）＝2 C．数轴上到1的距离为3的点表示的数是4 D．﹣5x+2x＝﹣3x 【变式题1-2】．（2024-2025•荔城区校级期末）下列式子可以表示成34的是（　　） A．4×4×4 B．3×3×3×3 C．3+3+3+3 D．4+4+4 【变式题1-3】．（2024-2025•广安区校级月考）对于﹣34，下列叙述正确的是（　　） A．表示3个4相乘的积的相反数 B．底数是﹣3，指数是4 C．表示4个3相乘的积的相反数 D．表示4个﹣3相乘的积 【题型2】有理数的乘方基本运算 1. 知识点 - 乘方运算的符号规律： - 正数的任何次幂都是正数（如，）； - 负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数（如，）； - 0的任何正整数次幂都是0（如）； - 1的任何次幂都是1，-1的奇次幂是-1，偶次幂是1（如，）。 - 乘方运算的本质：将乘方转化为乘法（如），先定符号，再算绝对值的积。 2. 考点 - 直接计算有理数的乘方（如计算、、）。 - 根据乘方符号规律判断结果的正负性（如判断是正数还是负数）。 - 计算特殊数的乘方（如1、-1、0的乘方）。 3. 易错点 - 负数乘方的符号判断错误：如误将算成-81（实际是正数，结果为81）。 - 漏看负号导致结果错误：如误将算成-8（实际是）。 - 带分数乘方未化为假分数：如误将算成（正确应为）。 4. 解题技巧 - 分步计算：先根据指数奇偶性确定结果符号（负数奇负偶正），再计算底数绝对值的乘方（如：指数3为奇，符号为负；绝对值4³=64，结果为-64）。 - 特殊数记忆：牢记1、-1、0的乘方特性，直接套用（如看到，直接根据n奇偶性写结果）。 - 带分数处理：先将带分数化为假分数（如），再进行乘方运算。 【例题2】．（2024-2025•天河区校级二模）计算：　 　 ． 【变式题2-1】．（2024-2025•兰陵县期末）﹣72的值是（　　） A．﹣49 B．49 C．﹣14 D．14 【变式题2-2】．（2024-2025•永寿县校级一模）计算：（﹣1）0﹣2＝（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．﹣2 【变式题2-3】．（2024-2025•天津模拟）计算（﹣2）3÷4的结果是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8 【题型3】区分、与的区别 1. 知识点 - 三者的核心区别（以n为正整数为例）： - ：底数为a，表示“n个a相乘”（如）； - ：底数为a，表示“n个a相乘的相反数”（如）； - ：底数为-a，表示“n个-a相乘”（如）； - 结果关系： - 当n为奇数时，（如）； - 当n为偶数时，，且与它们互为相反数（如，）。 2. 考点 - 比较、、的大小（如比较、、）。 - 计算这三个式子的具体值（如已知a=-2，n=4，计算三者的值）。 - 判断这三个式子的符号关系（如当a>0，n为偶数时，三者的正负性）。 3. 易错点 - 底数混淆：如误将的底数看作-2（实际底数是-2，但式子是“(-2)⁴的相反数”，结果为-16）。 - 忽略指数奇偶性：如当a=-3，n=3时，误将算成-(-27)=27（实际，此处虽结果对，但逻辑易混淆，需明确指数奇偶性的影响）。 - 符号叠加错误：如计算时，先算，再取相反数，易漏取相反数得25（正确结果为-25）。 4. 解题技巧 - 先标底数：对每个式子，先圈出底数（如底数是a，底数是-a，底数是a）。 - 分两步算：第一步算“底数的n次方”，第二步看是否有负号（如是“底数a的n次方后加负号”，是“底数-a的n次方，无额外负号”）。 - 用特殊值验证：当不确定时，代入a=2、n=3（奇数）或a=2、n=4（偶数），计算三者的值，总结规律。 【例题3】．（2024-2025•巨野县一模）在﹣（﹣5），﹣（﹣5）2，﹣|﹣5|，（﹣5）3中负数有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式题3-1】．（2024-2025•惠农区期末）下列各组数中，相等的一组是（　　） A．（﹣1）3与﹣13 B．﹣12与（﹣1）2 C．﹣（﹣1）与﹣|﹣1| D．与 【变式题3-2】．（2024-2025•老河口市期末）在﹣32，﹣|﹣5|，﹣（﹣3）2，﹣（﹣3）3中，是正数的是（　　） A．﹣32 B．﹣|﹣5| C．﹣（﹣3）2 D．﹣（﹣3）3 【变式题3-3】．（2024-2025•夏邑县期末）下列各数：﹣（+2），﹣32，，，﹣（﹣1）2015，﹣|﹣3|中，负数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型4】乘方的逆运算（已知幂求底数或指数） 1. 知识点 - 乘方逆运算的定义：已知（a、b为有理数，n为正整数），求a（底数）或n（指数）的运算。 - 常见逆运算场景： - 已知指数n（正整数）和幂b，求底数a（如已知，求x）； - 已知底数a（非0有理数）和幂b，求指数n（如已知，求n）； - 特殊结论： - 正数的偶次方根有两个（互为相反数），如，则x=2或x=-2； - 正数的奇次方根只有一个正数，负数的奇次方根只有一个负数，如则x=2，则x=-2； - 0的任何正整数次方根都是0。 2. 考点 - 已知幂和指数，求底数（如已知，求x；已知，求y）。 - 已知底数和幂，求指数（如已知，求n；已知，求k）。 - 结合乘方符号规律，确定底数的可能值（如已知，求x的所有可能值）。 3. 易错点 - 正数偶次方根漏负值：如已知，只算x=4，漏x=-4。 - 误将负数的偶次方根算为实数：如已知，试图找实数x（实际无实数解，七年级上册暂不涉及虚数，只需说明无实数解）。 - 指数判断错误：如已知，误算n=4（实际5³=125，n=3）。 4. 解题技巧 - 求底数：先判断指数n的奇偶性： - n为奇数：底数符号与幂b一致，底数绝对值为“b的绝对值的n次方根”（如，n=奇，x=-3）； - n为偶数：幂b必须非负，底数为“±（b的平方根）”（如，x=±5）； - 求指数：列举底数的乘方结果，找到与幂b相等的次数（如，列举2¹=2、2²=4、2³=8、2⁴=16、2⁵=32，得n=5）； - 验证：求出a或n后，代入验证是否等于b，确保结果正确。 【例题4】．（2024-2025•鹤壁模拟）计算的结果是（　　） A．3m+4ⁿ B．m3+4n C．3m+4n D．3m+n4 【变式题4-1】．（2024-2025•平山县期中）若126×38＝p，则126×36的值可以表示为（　　） A． B．p﹣9 C．p﹣6 D． 【变式题4-2】．（2024-2025•滑县校级三模）已知43+43+43+43＝4m，34×34×34×34＝3n，则m+n的值为（　　） A．13 B．15 C．16 D．20 【变式题4-3】．（2024-2025•龙凤区校级三模）定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以1og5125＝3．则下列说法中：①log61＝0；②若log2（14+a）＝4，则a＝﹣6；③log827＝log23；④．正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型5】含乘方的有理数混合运算 1. 知识点 - 有理数混合运算顺序（优先级从高到低）： 1. 乘方（第三级运算）； 2. 乘除（第二级运算）：从左到右依次进行； 3. 加减（第一级运算）：从左到右依次进行； 4. 有括号时：先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 - 运算律的应用：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律（可简化计算，如用分配律）。 2. 考点 - 按顺序计算含乘方的混合运算（如计算）。 - 运用运算律简化混合运算（如计算）。 - 判断混合运算的步骤正误（如指出“”的错误）。 3. 易错点 - 运算顺序错误：先算加减再算乘方，如误将算成（正确应为2 + 9 = 11）； - 乘除顺序错误：如误将算成（正确应为4 × 4 = 16）； - 漏算符号：如计算时，先算，再漏取相反数得-8（正确应为8）； - 括号内运算错误：如算时，误将算成-9，得3 - (-9) = 12（正确应为3 - 9 = -6）。 4. 解题技巧 - 标顺序：计算前先在式子中标出运算顺序（如用“①乘方、②乘除、③加减”标注），分步计算； - 分步骤写：每一步只进行一种运算，不跳步（如计算，先算乘方得，再算乘除得，最后算加减得-66）； - 用运算律简化：遇到括号内是加减，括号外是乘法时，优先用分配律（如）； - 验证：每步计算后，回头检查符号和数值，避免粗心错误。 【例题5】．（2024-2025•邻水县期末）计算：． 【变式题5-1】．（2024-2025•安岳县期末）计算：（1）； （2）． 【变式题5-2】．（2024-2025•隆阳区期末）计算： （1）； （2）． 【变式题5-3】．（2024-2025•大洼区期末）计算： （1）（﹣1）2﹣2×（﹣3+4）． （2）． 【题型6】偶次方的非负性应用（提升） 1. 知识点 - 偶次方的非负性：任何有理数的偶次方都是非负数，即对任意有理数a，有（n为正整数），当且仅当a=0时，； - 多个非负数的和为0的性质：若几个非负数（如偶次方、绝对值）的和为0，则每个非负数都等于0（即若，则A=0且B=0）。 2. 考点 - 已知偶次方与绝对值的和为0，求字母的值（如已知，求x、y）； - 已知偶次方与其他非负数的和为0，求代数式的值（如已知，求、的值）； - 求含偶次方的代数式的最小值（如求的最小值）。 3. 易错点 - 忽略偶次方的非负性：如认为可以等于-1（实际不可能，最小值为0）； - 多个非负数和为0时漏项：如已知，只令和，漏； - 求最小值时错误：如误将的最小值算为2（实际，最小值为-∞，最大值为2）。 4. 解题技巧 - 识别非负形式：先判断式子中是否有偶次方（、等）、绝对值（）等非负形式； - 列方程求解：若非负形式的和为0，直接令每个非负部分等于0，列方程（如，则，，得x=5，y=-1）； - 求最小值：含偶次方的代数式，偶次方部分的最小值为0，因此代数式的最小值为“常数项”（如的最小值为3，当x=0时取得）。 【例题6】．（2024-2025•巴东县模拟）若|a+3|+（b﹣2）2＝0，则（a+b）2024的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2024 D．无法计算 【变式题6-1】．（2024-2025•海珠区校级期中）已知（a﹣1）2022+|2b﹣3|+（c+1）2＝0，求a3•b2•c2024的值． 【变式题6-2】．（2020秋•婺城区校级期末）计算：若（2x﹣6）2+|y﹣1|＝0，则yx＝　 　 ． 【变式题6-3】．（2024-2025•裕华区校级期中）如下是张小琴同学的一张测试卷，她的得分应是 　 　 ． 姓名：张小琴得分： 填空（每小题25分，共100分） ①﹣24的计算结果是（16）； ②﹣3的立方是（27）； ③若|x+2|+（y﹣3）2＝0，则x﹣y＝（﹣5）； ④若x2＝25，则（x＝5）． 【题型7】乘方中的进制问题（提升） 1. 知识点 - 进制的核心定义：k进制（k为大于1的正整数）是“逢k进一”的计数系统，其数位上的数字仅能取0~k-1（如二进制数字为0、1，五进制为0~4，七进制为0~7，六十进制为0~59），超出则需进位； - k进制转十进制的位值原理（核心公式）：对于k进制数（为最高位数字，为最低位数字），转化为十进制数的公式为： 其中，，（即乘方运算，权值随数位从右往左递增）； - 常见进制的实际应用：二进制（计算机数据存储）、五进制/七进制（古代结绳计数）、六十进制（时间：1小时=60分钟，1分钟=60秒），均通过上述公式实现与十进制的转化。 2. 考点 - k进制数转化为十进制数（如将二进制、三进制、七进制结绳计数结果转化为十进制）； - 不同进制数的大小比较（如比较二进制与三进制，需先分别转十进制再比较）； - 古代进制计数的解读与计算（如结绳计数“从右往左满五进一”、楔形文六十进制记数，提取每个数位的数字并转十进制）； - 进制转化的验证（如将十进制数通过“除以k取余”反向转回k进制，验证原转化结果是否正确）。 3. 易错点 - 数位顺序颠倒：误将k进制数的最高位当作最低位计算权值（如将五进制算成，正确应为从右往左：）； - 权的指数错误：漏记（如将二进制算成，正确应为），或指数多算1（如将的最高权算成）； - 数字超出进制基数：忽略k进制数字“0~k-1”的限制（如误将二进制、五进制当作合法数，实际二进制最大数字为1，五进制最大为4）； - 实际计数方向错误：如结绳计数“从右往左满五进一”，误从左往右提取数位数字（如变式5-1中，右数第1位为位，第2位为位，方向搞反则结果相差数十倍）。 4. 解题技巧 - 步骤1：明确“进制基数k”和“数位数字” - 从题目关键词提取k（如“满五进一”→k=5，“二进制”→k=2，“六十进制”→k=60）； - 按“从右往左”顺序标记数位（最低位为第0位，对应权值，往左依次为第1位、第2位…），提取每个数位的数字（如结绳计数图，数出每列的结数作为对应数位数字）； - 步骤2：计算每个数位的“贡献值” - 用“数位数字×对应权值”计算贡献值（如七进制：第0位3×，第1位1×，第2位5×，第3位2×）； - 步骤3：求和得十进制结果 - 将所有贡献值相加（如）； - 不同进制比较技巧：先将所有待比较的进制数转化为十进制数，再通过十进制数的大小关系判断原进制数的大小（如二进制，三进制，故）； - 验证技巧：通过“十进制数÷k取余”反向验证（如十进制29÷2得商14余1，14÷2得商7余0，7÷2得商3余1，3÷2得商1余1，1÷2得商0余1，反向取余为，与原数一致则转化正确）。 【例题7】．（2024-2025•荔城区期末）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0、1，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干2n数的和，依次写出1或0即可．如：21（10）＝1×24+0×23+1×22+0×21+1＝10101（2），则十进制数30是二进制下的（　　） A．11101 B．10111 C．11110 D．11100 【变式题7-1】．（2024-2025•荔城区校级期末）远古美索不达米亚人创造了一套以60进制为主的楔形文记数系统，对于大于59的数，美索不达米亚人则采用六十进制的位值记法，位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空，例如：，左边的表示2×602，中间的表示3×60，右边的表示1个单位，用十进制写出来是7381．若楔形文字记数，表示十进制的数为（　　） A．4203 B．3603 C．3723 D．4403 【变式题7-2】．（2024-2025•广水市期末）综合与实践生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例：212＝2×102+1×101+2×100；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：1×24+0×23+0×22+1×21+0×20＝16+2＝18；（规定：a≠0时，a0＝1）其他进制也有类似的算法… （1）【发现】根据以上信息，将二进制数“101100”转化为十进制数是　 　 ； （2）【迁移】按照上面的格式将八进制数“1346”转化为十进制数； （3）【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【变式题7-3】．（2024-2025•南海区校级月考）综合与实践． 【课本再现】国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，ICME﹣14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为（011）2． 【观察发现】（1）从左起第二个符号表示的二进制数为　 　 ； 【拓展延伸】二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为20，21，22，23，依此类推），然后相加．例如，（011）2＝0×22+1×21+1×20＝0+2+1＝3，（1101）2＝1×23+1×22+0×21+1×20＝8+4+0+1＝13． （2）图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数； （3）仿照二进制的说明与算法，将八进制数（2025）8转换成十进制数，请直接写出结果． 【题型8】乘方的实际应用（提升） 1. 知识点 - 乘方的增长/衰减模型： - 增长模型（如细菌分裂、折纸）：若初始量为a，每次增长为“乘k倍”，经过n次后，总量为（如1个细菌每20分钟分裂一次（1变2），3小时后总量为）； - 衰减模型（如截木棒、浓度稀释）：若初始量为a，每次衰减为“乘倍”，经过n次后，剩余量为（如1米木棒每次截去一半，4次后剩余米）； - 细菌分裂问题：已知分裂周期，求n小时后的细菌数量（如1个细菌每30分钟分裂一次，2小时后数量）； - 折纸问题：已知折纸次数，求层数或厚度（如纸厚0.1mm，对折7次后的总厚度）；； - 其他实际问题：如拉面师傅拉面条（每次捏合拉伸后数量翻倍），求n次后的面条数。 3. 易错点 - 单位换算错误：如将3小时换算为3次分裂（实际若20分钟分裂一次，3小时=180分钟，分裂次数为180÷ 20=9次）； - 初始量忽略：如细菌分裂问题中，误将“1个细菌分裂n次后数量”算成（实际是）； - 衰减模型符号错误：如将“截去一半”理解为“乘2”（实际是乘）。 4. 解题技巧 - 确定模型类型：先判断是“增长”（乘大于1的数）还是“衰减”（乘小于1的正数）； - 计算变化次数：根据时间或操作次数，算出乘方的指数n（如3小时=180分钟，分裂周期20分钟，n=180÷ 20=9）； - 建立表达式：根据模型写总量表达式（增长：，衰减：），代入计算； 【例题8】．（2024-2025•江山市期末）在理想的实验环境下，某种细菌每过20分钟就能由1个分裂成2个．经过1个小时，这种细菌由1个分裂成（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【变式题8-1】．（2024-2025•蓬莱区二模）《庄子•天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第2025次截取后剩下的木棒有　 　 尺． 【变式题8-2】．（2024-2025•渝中区校级开学）一个容器里装满10升纯酒精，倒出1升后，用水加满，再倒出1升，用水加满，再倒出1升，用水加满，这时容器内酒精溶液的浓度是　 　 ． 【变式题8-3】．（2024-2025•中牟县期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“数形结合”的数学思想，下面是数学兴趣小组运用数形结合思想探索求的值的过程：他们设计了如图（1）所示的几何图形，将一张面积为1的长方形纸片分割成7部分，部分①的面积是长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． （1）部分②的面积是 　 　 ；阴影部分的面积是 　 　 ； （2）利用图形求出的值； （3）受此启发，请写出的值； （4）小明发现，若把边长为1的正方形进行分割也可以得出同样的结果，请在图（2）和图（3）中再设计两个求的值的几何图形． 【题型9】程序流程图与乘方计算（提升） 1. 知识点 - 程序流程图的基本逻辑：包含“输入”“判断条件”“运算步骤”“输出”四个部分，根据判断条件决定是否循环运算； - 与乘方结合的流程：通常输入一个数，先进行乘方运算（如、），再进行乘除、加减运算，最后判断结果是否满足输出条件（如是否大于100、是否小于-5），不满足则将结果作为新输入，重复运算。 2. 考点 - 根据流程图输入值，计算输出结果（如输入x=2，流程图：x→ x^2 → +3→ 判断是否>10，否则重复，求输出）； - 根据输出结果反推输入值（如流程图输出为217，反推原始输入x）； - 分析流程图的运算步骤，指出某一步的计算错误。 3. 易错点 - 循环次数错误：如流程图需循环2次，误算成1次（如输入x=5，第一次运算得13，不满足输出条件，需再算一次得32，满足条件）； - 运算步骤漏项：如流程图中“x→ x^3 → -2→ 判断”，误漏“-2”步骤； - 符号错误：如流程图中“x→ (-x)^2”，误算成“-x^2 ”； - 反推时漏解：如根据输出结果反推输入，忽略多个可能的输入值（如流程图输出为16，可能的输入x=2或x=-2）。 4. 解题技巧 - 顺推法（已知输入求输出）： 1. 按流程图步骤，从输入开始，逐步计算每一步的结果； 2. 每一步计算后，对照判断条件，若满足则输出，不满足则将当前结果作为新输入，重复运算； 3. 记录每一步的结果，避免重复计算或漏步； - 逆推法（已知输出求输入）： 1. 从输出结果反向推导，将流程图的运算“逆运算”（如乘方逆运算、加减逆运算）； 2. 若有判断条件，需考虑反向满足条件的所有可能值（如输出前一步的结果需“≤ 5”，则反推时要找所有满足“运算后≤ 5”的数）； 3. 验证：将反推的输入值代入流程图，顺推验证是否得到输出结果。 【例题9】．（2024-2025•环县期末）根据流程图中的程序，若输入x的值为﹣1，则输出y的值为（　　） A．187 B．70 C．7 D．5 【变式题9-1】．（2024-2025•乐清市校级期中）按如图所示的流程图操作，若输入x的值是﹣5，则输出的结果是（　　） A．4 B．9 C．64 D．49 【变式题9-2】．（2024-2025•梅河口市校级期中）如图是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题，当输入的数为﹣4时，最后输出的结果是 　 　 ． 【变式题9-3】．（2024-2025•广饶县期中）根据如图所示的流程图计算，若输入x的值为﹣1，则输出y的值为 　 　 ． 【题型10】乘方中的规律探究（培优） 1. 知识点 - 乘方结果的规律： - 末位数字循环规律：如的末位数字循环（2,4,8,6），的末位数字循环（3,9,7,1），周期通常为4； - 数列规律：含乘方的数列（如-2,4,-8,16,-32,…，第n项为）； - 底数与幂的关系：如底数小数点移动1位，平方小数点移动2位，立方小数点移动3位（如，）； - 规律探究的方法：观察前几项结果，找出“循环周期”或“递推关系”，用代数式表示规律，再验证。 2. 考点 - 求乘方的末位数字（如求、的末位数字）； - 找含乘方的数列的第n项或前n项和（如数列1,-3,9,-27,…，求第6项）； - 探究底数与幂的小数点移动规律（如已知，求）； - 复杂规律：如的和的规律（用错位相减法推导）。 3. 易错点 - 末位数字循环周期判断错误：如误将的末位循环周期算为4（实际末位始终为5，周期为1）； - 数列符号规律错误：如数列-2,4,-8,16,…，误将第n项写成（实际是）； - 小数点移动位数错误：如底数小数点向右移1位，立方小数点误移2位（实际移3位）； - 求和规律推导错误：如，误套用的规律（实际应为）。 4. 解题技巧 - 末位数字规律： 计算前4-5项的末位数字，找出循环周期（如、、、、，周期为4）； 用指数n除以周期，求余数（如余3）； 余数为k，则末位数字与第k项的末位数字相同（如余3，末位与相同为8）； - 数列规律： 观察符号（正负交替或全正/全负），确定符号部分（如或）； 观察绝对值的规律（如2,4,8,16…是）； 合并符号与绝对值，写出第n项（如-2,4,-8,16…是）； - 求和规律：用“错位相减法”（如求，则，两式相减得）。 【例题10】．（2024-2025•城关区校级期中）观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…通过观察，用你所发现的规律确定22009的个位数字是　 　 ． 【变式题10-1】．（2024-2025•芜湖期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： （+2）*（+4）＝+（22+42）；（﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]； （﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]；（+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]； 0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2；（+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2． 0*0＝02+02＝0 （1）归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，　 　 ．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，　 　 ． （2）计算：（+1）*[0*（﹣2）]＝　 　 ． （3）是否存在有理数m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【变式题10-2】．（2024-2025•栖霞市期中）如图，把面积为1的正方形进行分割，观察其规律，可得算式再加上（　　）后，结果就是1． A． B． C． D． 【变式题10-3】．（2024-2025•东台市期中）观察以下一系列等式： ①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30； ②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31； ③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32； ④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；…… 利用上述规律计算：30+31+32+…+3100＝　 　 ． 【题型11】“算24点”游戏中的乘方应用（培优） 1. 知识点 - “算24点”规则：用4个给定的数（1-13，可正可负），通过加、减、乘、除、乘方运算（每个数用且只用一次，可加括号），使结果为24； - 乘方在“算24点”中的作用：利用乘方得到接近24的数（如、、、），再结合其他运算凑24。 2. 考点 - 用含乘方的运算凑24（如用1,2,2,3凑24：）； - 用负数乘方凑24（如用-2,3,4,5凑24：，但需用给定数，实际如，需结合具体数）； - 判断给定的4个数能否用乘方凑24（如1,3,5,7：，需调整，如，需换方法，可能用但数不对，实际需灵活）。 3. 易错点 - 忽略乘方的可能性：只想到加减乘除，想不到用乘方（如2,3,4,5，想不到，不对，正确如，但需乘方的话如，需调整）； - 乘方符号错误：如用-3凑，误算成，导致结果错误； - 重复使用或漏用数字：如用1,2,3,4凑24，写成，但漏用2（实际用了2,3,4,1，正确）； - 运算顺序错误：如，误算成（正确应为1 + 8 × 4 - 5 = 1 + 32 - 5 = 28）。 4. 解题技巧 - 优先尝试常见乘方：先列出4个数中可凑的乘方（如2可凑、，3可凑、）； - 凑“中间数”：先凑出24的因数（如3和8、4和6、2和12），再用乘方凑其中一个因数（如用2^3=8，再用其他数凑3）； - 负数乘方活用：负数的偶次方是正数，可凑正数（如、），奇次方是负数，可凑减法（如27 - 3 = 24，用则2 - (-27) - 5 = 24）； - 验证：列出算式后，按运算顺序计算，确保每个数只用一次，结果为24。 【例题11】．（2024-2025•吴桥县期末）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，﹣6，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（　　） A．4×3﹣（﹣6）+10 B．4﹣（﹣6÷3×10） C．10﹣（﹣6×3）﹣4 D．（4﹣6+10）×3 【变式题11-1】．（2024-2025•禅城区期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的4张牌，写出一个符合规则的算式：　 　 ． 【变式题11-2】．（2024-2025•南昌期中）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 　 　 ； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是 　 　 ； （3）算24点游戏：从中取出4张卡片，用学过的“+，﹣，×，÷”运算，使结果为24．请写出2个运算式并进行计算： ①　 　 ； ②　 　 ． 【变式题11-3】．（2024-2025•沭阳县校级月考）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行加减乘除混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24或﹣24，其中红色扑克牌（红桃、方块）代表负数，黑色扑克牌（黑桃、梅花）代表正数，J、Q、K分别代表11，12，13．例如：抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，运用下面的方法凑成了24：7×（3+3÷7）＝24． （1）如果抽到的是黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，你能凑成24吗？试写出一个算式使其结果等于24． （2）如果抽到的四张牌是“黑桃7、3，红桃3和梅花Q”，试写出一个算式使其结果等于﹣24． 【题型12】乘方中的新定义问题（培优） 1. 知识点 - 新定义运算的本质：根据题目给出的新规则（如“除方”“劳格数”），将新运算转化为熟悉的乘方、乘法、除法运算； - 常见新定义类型： - 除方：如（n≥ 2），转化为（如）； - 劳格数：如若，则（如，则），结合乘方运算律。 2. 考点 - 根据新定义计算（如除方：计算，转化为）； - 结合新定义与乘方规律（如劳格数：已知，，求）； - 新定义的综合应用（如计算，先将除方转化为乘方，再计算）。 3. 易错点 - 误解新定义规则：如除方误理解为“n个a相乘”（实际是n个a相除）； - 新定义与乘方混淆：如劳格数误理解为“a的b次方”（实际是“以a为底b的对数”，即a的几次方等于b）； - 转化过程错误：如除方误转化为（正确应为）； - 符号处理错误：如除方，计算时符号错误，误得（正确应为）。 4. 解题技巧 - 精读新定义：逐句理解新运算的规则，明确“运算符号、参与运算的数、运算步骤”（如除方：“n个a相除”，即从左到右依次除）； - 找转化方法：将新运算转化为熟悉的运算（如除方：，n≥ 2）； - 用特殊值验证：先代入简单的数（如a=2，n=3，计算，再用转化式，验证转化正确）； - 分步计算：先算新定义部分，再按有理数混合运算顺序计算（如）。 【例题12】．（2024-2025•金安区校级期末）定义一种新运算：m⊕n＝m2﹣mn，则（﹣3）⊕2的结果为（　　） A．﹣3 B．3 C．15 D．﹣15 【变式题12-1】．（2024-2025•芝罘区期末）定义一种新运算：a&b，则（1&4）&（﹣1）的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5 【变式题12-2】．（2024-2025•沙市区期末）【数学材料】：“对数”是数学中的一个重要概念，通过将对数运算转化为指数运算的逆运算，进而简化了复杂运算，更方便地处理一些数学问题．定义：如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫作以a为底的N的对数，记作x＝logaN，其中a叫作对数的底． 【初步运用】： （1）请把下列算式改写成对数的形式：23＝8，对数的形式为 　 　 ；，对数的形式为 　 　 ； （2）若loga27＝3，则a＝ 　 　 ；loga，则a＝ 　 　 ； 【理解应用】： （3）若，log4（3x+y﹣1）＝2，若logt（5x+y）＝3，求t的值． 【变式题12-3】．（2024-2025•望奎县校级开学）【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”；（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把记作；aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：2②＝　 　 ，（﹣3）③＝　 　 ； （2）关于除方，下列说法错误的是　 　 ． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，1的圈n次方都等于1： C．3④＝4③； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （3）请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式：aⓝ＝　 　 ； （4）计算：． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．（2024秋•端州区期末）下列计算正确的是（　　） A．﹣5﹣2＝﹣3 B． C． D． 2．（2025•平乡县二模）若a3□a＝a2，则“□”内应填的运算符号是（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 3．（2025•重庆校级开学）这里运用了乘法的（　　）律． A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．分配和结合律 4．（2024秋•葫芦岛期末）为了区分不同的进制，常在数的右下角标明基数，例如：（1011）2就是二进制数1011的简单写法，十进制数一般不标注基数．通过把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，可以转化成十进制数．例如：，（规定：当a≠0时，a0＝1），根据以上信息，将（11101）2转化成十进制数是（　　） A．28 B．29 C．58 D．62 5．（2025•巴中）所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为m的放射性物质，经历了3个半衰期后的质量为（　　）m． A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 6．（2024秋•潮阳区期末）十进制数6转换为二进制数是 　 　 ． 7．（2025秋•鼓楼区月考）若a2＝9，|b|＝5，且a+b＜0，则a﹣b的值为 　 　 ． 8．（2024秋•松北区期末）对有理数a，b规定一种新运算“*”：a*b＝﹣（a﹣5）﹣b+|b|，则（﹣3）*（﹣2）＝　 　 ． 9．（2025•临沧开学）学习情境•新定义定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则　 　 ． 10．（2025•柳北区开学）如图大球的体积是　 　 立方厘米． 三．解答题（共8小题） 11．（2025秋•济南月考）计算 （1）20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13； （2）﹣2.4+3.5﹣4.6﹣3.5； （3）； （4）； （5）； （6）． 12．（2025•龙华区校级开学）简便计算． （1）199×4.5； （2）； （3）3.4×2.77+2.3×0.34； （4）； （5）（16.9×24）÷（8×13）． 13．（2025•明水县校级开学）计算： （1）（﹣3）2÷（﹣32）﹣（﹣3）×（﹣1）2024； （2）． 14．（2024秋•易县期末）按下列程序计算，并回答下列问题． 3 1 5 ﹣1 输出答案 1 1 ① ② （1）表格中①的值为　 　 ，②的值为　 　 ． （2）根据上述计算，你发现了什么规律？ （3）请说明你发现的规律是正确的． 15．（2025•望奎县校级开学）【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”；（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把记作；aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：2②＝　 　 ，（﹣3）③＝　 　 ； （2）关于除方，下列说法错误的是　 　 ． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，1的圈n次方都等于1： C．3④＝4③； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （3）请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式：aⓝ＝　 　 ； （4）计算：． 16．（2024秋•乳山市期末）【信息提取】“转化”是一种解决问题的常用策略，借助图形可以发现并建立相应的数量关系，进而找到问题解决的方法．如在计算“1+3+5+7+9+11＝？”时，可以利用图1进行绘图得到图2，将问题转化为“62＝？”，实现简便计算． 【问题探究】 （1）利用图3进行绘图，并依据绘图进行简便计算： ； （2）猜想：　 　 ；（直接写结果） 【问题解决】 （3）计算：． 17．（2024秋•衡阳期末）请根据图示的对话解答下列问题． 我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是8﹣a+b﹣c 我告诉你：“a的相反数是﹣3，a＞b，且b的绝对值是6，b与c的和是﹣9． （1）求：a、b、c的值； （2）计算9﹣2a+3b﹣c的值． 18．（2024秋•威海期末）为响应国家创业号召，小李准备新开一家拉面馆，选址后对这一地区的人流量进行了统计．以500人为标准，超过即为正，低于即为负．一周内同一位置同一时刻的人流表如图． 星期 一 二 三 四 五 六 日 人数 ﹣80 ﹣30 ﹣50 ﹣60 +160 +300 +180 （1）这一周人数最多的一天比人数最少的一天多 　 　 人． （2）若这些人中有30%的人来吃面，按照每人一碗，每碗面14元，则平均每天的销售额是多少？ （3）如图，拉面是将一根较粗的面条先对折成两根，再拉开，然后将两端捏紧，再对折成四根，再拉开，一直重复这个流程．面条的数量会不断增多，也会不断变细，拉面师傅一般重复该流程八次可做一碗拉面，拉面师傅拉完八次后有 　 　 根面． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.1有理数的乘方 【题型1】乘方的概念理解 1. 知识点 - 乘方的定义：求n个相同因数积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，记作（n为正整数）。 - 幂的组成：在中，a叫做底数（相同的因数），n叫做指数（相同因数的个数），读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 幂 底数 指数 - 特殊规定：一个数可以看作它本身的1次方（指数1通常省略不写）；底数为负数或分数时，必须用括号括起来（如、）。 2. 考点 - 识别乘方表达式中的底数和指数（如判断的底数是-5，指数是4）。 - 区分乘方的意义与加法的意义（如表示3个2相乘，而非3个2相加）。 - 正确读写乘方表达式（如读作“负二分之三的平方”）。 3. 易错点 - 忽略括号导致底数错误：如误将的底数看作-2（实际底数是2，式子表示“2的4次方的相反数”）。 - 混淆指数与因数个数：如误将理解为3个2相乘（实际是2个3相乘）。 - 分数底数未加括号：如误将写成（正确应为，表示3个相乘）。 4. 解题技巧 - 判断底数：先看是否有括号，有括号则括号内的整体为底数，无括号则数字本身为底数（符号单独考虑）。 - 明确意义：遇到乘方表达式，先默念“几个几相乘”（如是“5个-3相乘”），避免与加法混淆。 - 书写规范：底数为负数、分数时，强制加括号，从源头避免错误。 【例题1】．（2024-2025•朝阳区校级二模）对于式子（﹣3）2，下列说法正确的是（　　） A．指数是﹣3 B．底数是3 C．幂是9 D．表示2个3相乘 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方意义解答即可． 【解答】解：A．（﹣3）2的指数是2，故选项A错误； B．（﹣3）2的底数是﹣3，故选项B错误； C．（﹣3）2的幂是9，故选项C正确； D．（﹣3）2表示2个﹣3相乘，故选项D错误． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方意义是解题的关键． 【变式题1-1】．（2024-2025•二七区期末）下列答案错误的是（　　） A．（﹣2）3的底数为﹣2 B．（﹣6）÷（﹣3）＝2 C．数轴上到1的距离为3的点表示的数是4 D．﹣5x+2x＝﹣3x 【答案】C 【分析】对于A，（﹣2）3的底数为﹣2； 对于B，（﹣6）÷（﹣3）＝2； 对于C，数轴上到1的距离为3的点表示的数是﹣2或4； 对于D，﹣5x+2x＝﹣3x． 【解答】解：对于A，（﹣2）3的底数为﹣2，故A正确； 对于B，（﹣6）÷（﹣3）＝6÷3＝2，故B正确； 对于C，数轴上到1的距离为3的点表示的数是﹣2或4，故C错误； 对于D，﹣5x+2x＝﹣3x，故D正确； 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘方、数轴、有理数的除法，解决本题的关键是两个非0数相除，同号得正，异号得负． 【变式题1-2】．（2024-2025•荔城区校级期末）下列式子可以表示成34的是（　　） A．4×4×4 B．3×3×3×3 C．3+3+3+3 D．4+4+4 【答案】B 【分析】根据乘方的定义运算即可． 【解答】解：34＝3×3×3×3． 故选：B． 【点评】本题考查有理数乘方，关键是理解乘方的含义，乘方表示几个相同因数的积的简便运算． 【变式题1-3】．（2024-2025•广安区校级月考）对于﹣34，下列叙述正确的是（　　） A．表示3个4相乘的积的相反数 B．底数是﹣3，指数是4 C．表示4个3相乘的积的相反数 D．表示4个﹣3相乘的积 【答案】C 【分析】根据乘方意义即可求出答案． 【解答】解：﹣34表示4个3相乘的积的相反数， 故选：C． 【点评】本题考查有理数的乘方和相反数，解题的关键是正确理解有理数的乘方意义． 【题型2】有理数的乘方基本运算 1. 知识点 - 乘方运算的符号规律： - 正数的任何次幂都是正数（如，）； - 负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数（如，）； - 0的任何正整数次幂都是0（如）； - 1的任何次幂都是1，-1的奇次幂是-1，偶次幂是1（如，）。 - 乘方运算的本质：将乘方转化为乘法（如），先定符号，再算绝对值的积。 2. 考点 - 直接计算有理数的乘方（如计算、、）。 - 根据乘方符号规律判断结果的正负性（如判断是正数还是负数）。 - 计算特殊数的乘方（如1、-1、0的乘方）。 3. 易错点 - 负数乘方的符号判断错误：如误将算成-81（实际是正数，结果为81）。 - 漏看负号导致结果错误：如误将算成-8（实际是）。 - 带分数乘方未化为假分数：如误将算成（正确应为）。 4. 解题技巧 - 分步计算：先根据指数奇偶性确定结果符号（负数奇负偶正），再计算底数绝对值的乘方（如：指数3为奇，符号为负；绝对值4³=64，结果为-64）。 - 特殊数记忆：牢记1、-1、0的乘方特性，直接套用（如看到，直接根据n奇偶性写结果）。 - 带分数处理：先将带分数化为假分数（如），再进行乘方运算。 【例题2】．（2024-2025•天河区校级二模）计算：　　 ． 【答案】． 【分析】根据乘方运算法则求解即可． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． 【变式题2-1】．（2024-2025•兰陵县期末）﹣72的值是（　　） A．﹣49 B．49 C．﹣14 D．14 【答案】A 【分析】先求出72，继而可得出答案． 【解答】解：∵72＝7×7＝49， ∴﹣72＝﹣49 故选：A． 【点评】本题考查有理数的乘方与乘法运算的等同关系，属于基础题． 【变式题2-2】．（2024-2025•永寿县校级一模）计算：（﹣1）0﹣2＝（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．﹣2 【答案】B 【分析】任何不等于0的数的0次幂都等于1，据此解答． 【解答】解：根据任何不等于0的数的0次幂都等于1可得： （﹣1）0﹣2＝1﹣2＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是掌握：任何不等于0的数的0次幂都等于1． 【变式题2-3】．（2024-2025•天津模拟）计算（﹣2）3÷4的结果是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8 【答案】A 【分析】先算乘方，再算除法即可． 【解答】解：原式＝﹣8÷4＝﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则和运算顺序是解题关键． 【题型3】区分、与的区别 1. 知识点 - 三者的核心区别（以n为正整数为例）： - ：底数为a，表示“n个a相乘”（如）； - ：底数为a，表示“n个a相乘的相反数”（如）； - ：底数为-a，表示“n个-a相乘”（如）； - 结果关系： - 当n为奇数时，（如）； - 当n为偶数时，，且与它们互为相反数（如，）。 2. 考点 - 比较、、的大小（如比较、、）。 - 计算这三个式子的具体值（如已知a=-2，n=4，计算三者的值）。 - 判断这三个式子的符号关系（如当a>0，n为偶数时，三者的正负性）。 3. 易错点 - 底数混淆：如误将的底数看作-2（实际底数是-2，但式子是“(-2)⁴的相反数”，结果为-16）。 - 忽略指数奇偶性：如当a=-3，n=3时，误将算成-(-27)=27（实际，此处虽结果对，但逻辑易混淆，需明确指数奇偶性的影响）。 - 符号叠加错误：如计算时，先算，再取相反数，易漏取相反数得25（正确结果为-25）。 4. 解题技巧 - 先标底数：对每个式子，先圈出底数（如底数是a，底数是-a，底数是a）。 - 分两步算：第一步算“底数的n次方”，第二步看是否有负号（如是“底数a的n次方后加负号”，是“底数-a的n次方，无额外负号”）。 - 用特殊值验证：当不确定时，代入a=2、n=3（奇数）或a=2、n=4（偶数），计算三者的值，总结规律。 【例题3】．（2024-2025•巨野县一模）在﹣（﹣5），﹣（﹣5）2，﹣|﹣5|，（﹣5）3中负数有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】根据相反数、绝对值的定义，乘方的运算法则先化简各数，再根据负数的定义求解． 【解答】解：∵﹣（﹣5）＝5，﹣（﹣5）2＝﹣25，﹣|﹣5|＝﹣5，（﹣5）3＝﹣125， ∴﹣（﹣5）2，﹣|﹣5|，（﹣5）3都是负数，共3个． 故选：A． 【点评】此题关键是理解负数的概念，而且要把这些数化为最后结果才能得出正确答案．这就又要理解平方、立方、绝对值，正负号的变化等知识点． 【变式题3-1】．（2024-2025•惠农区期末）下列各组数中，相等的一组是（　　） A．（﹣1）3与﹣13 B．﹣12与（﹣1）2 C．﹣（﹣1）与﹣|﹣1| D．与 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方运算，化简绝对值，化简多重符号，解答即可． 【解答】解：A．（﹣1）3＝﹣1，﹣13＝﹣1，﹣1＝﹣1，选项计算正确，符合题意； B．﹣12＝﹣1，（﹣1）2＝1，﹣1≠1，选项计算错误，不符合题意； C．﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣1|＝﹣1，1≠﹣1，选项计算错误，不符合题意； D．，，，选项计算错误，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的乘方运算，绝对值，相反数，掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式题3-2】．（2024-2025•老河口市期末）在﹣32，﹣|﹣5|，﹣（﹣3）2，﹣（﹣3）3中，是正数的是（　　） A．﹣32 B．﹣|﹣5| C．﹣（﹣3）2 D．﹣（﹣3）3 【答案】D． 【分析】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【解答】解：A．﹣32＝﹣9＜0，是负数，不符合题意； B．﹣|﹣5|＝﹣5＜0，是负数，不符合题意； C．﹣（﹣3）2＝﹣9＜0，是负数，不符合题意； D．﹣（﹣3）3＝27＞0，是正数，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 【变式题3-3】．（2024-2025•夏邑县期末）下列各数：﹣（+2），﹣32，，，﹣（﹣1）2015，﹣|﹣3|中，负数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据相反数、乘方、绝对值的定义解决此题． 【解答】解：∵﹣（+2）＝﹣2，﹣32＝﹣9，，，﹣（﹣1）2015＝1，﹣|﹣3|＝﹣3， ∴负数有﹣（+2），﹣32，，﹣|﹣3|，共4个． 故选：C． 【点评】本题主要相反数、乘方、绝对值，熟练掌握相反数、乘方、绝对值的定义是解决本题的关键． 【题型4】乘方的逆运算（已知幂求底数或指数） 1. 知识点 - 乘方逆运算的定义：已知（a、b为有理数，n为正整数），求a（底数）或n（指数）的运算。 - 常见逆运算场景： - 已知指数n（正整数）和幂b，求底数a（如已知，求x）； - 已知底数a（非0有理数）和幂b，求指数n（如已知，求n）； - 特殊结论： - 正数的偶次方根有两个（互为相反数），如，则x=2或x=-2； - 正数的奇次方根只有一个正数，负数的奇次方根只有一个负数，如则x=2，则x=-2； - 0的任何正整数次方根都是0。 2. 考点 - 已知幂和指数，求底数（如已知，求x；已知，求y）。 - 已知底数和幂，求指数（如已知，求n；已知，求k）。 - 结合乘方符号规律，确定底数的可能值（如已知，求x的所有可能值）。 3. 易错点 - 正数偶次方根漏负值：如已知，只算x=4，漏x=-4。 - 误将负数的偶次方根算为实数：如已知，试图找实数x（实际无实数解，七年级上册暂不涉及虚数，只需说明无实数解）。 - 指数判断错误：如已知，误算n=4（实际5³=125，n=3）。 4. 解题技巧 - 求底数：先判断指数n的奇偶性： - n为奇数：底数符号与幂b一致，底数绝对值为“b的绝对值的n次方根”（如，n=奇，x=-3）； - n为偶数：幂b必须非负，底数为“±（b的平方根）”（如，x=±5）； - 求指数：列举底数的乘方结果，找到与幂b相等的次数（如，列举2¹=2、2²=4、2³=8、2⁴=16、2⁵=32，得n=5）； - 验证：求出a或n后，代入验证是否等于b，确保结果正确。 【例题4】．（2024-2025•鹤壁模拟）计算的结果是（　　） A．3m+4ⁿ B．m3+4n C．3m+4n D．3m+n4 【答案】A 【分析】根据乘法的定义：m个3相加表示为3m，根据乘方的定义：n个4相乘表示为4n，由此求解即可． 【解答】解：m个3相加表示为3m，根据乘方的定义：n个4相乘表示为4n， 故的结果是3m+4n． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方法则是关键． 【变式题4-1】．（2024-2025•平山县期中）若126×38＝p，则126×36的值可以表示为（　　） A． B．p﹣9 C．p﹣6 D． 【答案】D 【分析】根据有理数乘方的运算法则即可得． 【解答】解：∵126×38＝p， ∴126×36×32＝p， ∴126×36×9＝p， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方法则是解题关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•滑县校级三模）已知43+43+43+43＝4m，34×34×34×34＝3n，则m+n的值为（　　） A．13 B．15 C．16 D．20 【答案】D 【分析】利用有理数的乘方法则和同底数幂的乘法法则解答即可． 【解答】解：∵43+43+43+43＝4m， ∴4×43＝4m， ∴44＝4m， ∴m＝4． ∵34×34×34×34＝3n， ∴316＝3n， ∴n＝16． ∴m+n＝20． 故选：D． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方法则和同底数幂的乘法法则，熟练掌握上述法则是解题的关键． 【变式题4-3】．（2024-2025•龙凤区校级三模）定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以1og5125＝3．则下列说法中：①log61＝0；②若log2（14+a）＝4，则a＝﹣6；③log827＝log23；④．正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①②根据对数的定义计算即可； ③设log827＝x，log23＝y，根据对数的定义及幂的乘方与积的乘方的运算法则证明即可； ④设log2x＝a，log2y＝b，根据对数的定义及同底数幂的除法运算法则证明即可． 【解答】解：∵60＝1， ∴log61＝0， ∴①正确，符合题意； ∵log2（14+a）＝4， ∴24＝14+a， ∴a＝2， ∴②不正确，不符合题意； 设log827＝x，log23＝y， 则8x＝27，2y＝3， ∴23x＝（2x）3＝33， ∴2x＝3， ∴2x＝2y， ∴x＝y， ∴log827＝log23， ∴③正确，符合题意； 设log2x＝a，log2y＝b， 则x＝2a，y＝2b， ∴2a﹣b， ∴log2a﹣b， ∴log2log2x﹣log2y， ∴④正确，符合题意． 综上，正确的个数为3，分别是①③④． 故选：C． 【点评】本题考查有理数的乘方，掌握对数的定义及幂的乘方与积的乘方的运算法则、同底数幂的除法运算法则是解题的关键． 【题型5】含乘方的有理数混合运算 1. 知识点 - 有理数混合运算顺序（优先级从高到低）： 1. 乘方（第三级运算）； 2. 乘除（第二级运算）：从左到右依次进行； 3. 加减（第一级运算）：从左到右依次进行； 4. 有括号时：先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 - 运算律的应用：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律（可简化计算，如用分配律）。 2. 考点 - 按顺序计算含乘方的混合运算（如计算）。 - 运用运算律简化混合运算（如计算）。 - 判断混合运算的步骤正误（如指出“”的错误）。 3. 易错点 - 运算顺序错误：先算加减再算乘方，如误将算成（正确应为2 + 9 = 11）； - 乘除顺序错误：如误将算成（正确应为4 × 4 = 16）； - 漏算符号：如计算时，先算，再漏取相反数得-8（正确应为8）； - 括号内运算错误：如算时，误将算成-9，得3 - (-9) = 12（正确应为3 - 9 = -6）。 4. 解题技巧 - 标顺序：计算前先在式子中标出运算顺序（如用“①乘方、②乘除、③加减”标注），分步计算； - 分步骤写：每一步只进行一种运算，不跳步（如计算，先算乘方得，再算乘除得，最后算加减得-66）； - 用运算律简化：遇到括号内是加减，括号外是乘法时，优先用分配律（如）； - 验证：每步计算后，回头检查符号和数值，避免粗心错误。 【例题5】．（2024-2025•邻水县期末）计算：． 【答案】﹣17． 【分析】先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算． 【解答】解：原式 ＝﹣17． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，注意正确计算． 【变式题5-1】．（2024-2025•安岳县期末）计算：（1）； （2）． 【答案】（1）15； （2）﹣3． 【分析】（1）先乘方，化简绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先乘方再乘除，最后计算加法即可． 【解答】解：（1）原式 ＝﹣4+27﹣8 ＝15； （2）原式 ＝﹣3． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题5-2】．（2024-2025•隆阳区期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）﹣3； （2）π﹣2． 【分析】（1）先计算乘方和括号内的，然后计算乘除法，最后进行加减法计算即可； （2）先化简绝对值和计算乘方，然后计算乘除法，最后进行加减法计算即可． 【解答】解：（1） ＝﹣1（2+4） ＝﹣16 ＝﹣1﹣2 ＝﹣3； （2） ＝π﹣3+1 ＝π﹣2． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运顺序和运算法则是解题的关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•大洼区期末）计算： （1）（﹣1）2﹣2×（﹣3+4）． （2）． 【答案】（1）﹣1； （2）． 【分析】（1）按照含乘方的有理数的混合运算顺序和法则计算即可； （2）按照含乘方的有理数的混合运算顺序和法则计算即可． 【解答】解：（1）原式＝1﹣2×1 ＝1﹣2 ＝﹣1； （2）原式 ． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【题型6】偶次方的非负性应用（提升） 1. 知识点 - 偶次方的非负性：任何有理数的偶次方都是非负数，即对任意有理数a，有（n为正整数），当且仅当a=0时，； - 多个非负数的和为0的性质：若几个非负数（如偶次方、绝对值）的和为0，则每个非负数都等于0（即若，则A=0且B=0）。 2. 考点 - 已知偶次方与绝对值的和为0，求字母的值（如已知，求x、y）； - 已知偶次方与其他非负数的和为0，求代数式的值（如已知，求、的值）； - 求含偶次方的代数式的最小值（如求的最小值）。 3. 易错点 - 忽略偶次方的非负性：如认为可以等于-1（实际不可能，最小值为0）； - 多个非负数和为0时漏项：如已知，只令和，漏； - 求最小值时错误：如误将的最小值算为2（实际，最小值为-∞，最大值为2）。 4. 解题技巧 - 识别非负形式：先判断式子中是否有偶次方（、等）、绝对值（）等非负形式； - 列方程求解：若非负形式的和为0，直接令每个非负部分等于0，列方程（如，则，，得x=5，y=-1）； - 求最小值：含偶次方的代数式，偶次方部分的最小值为0，因此代数式的最小值为“常数项”（如的最小值为3，当x=0时取得）。 【例题6】．（2024-2025•巴东县模拟）若|a+3|+（b﹣2）2＝0，则（a+b）2024的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2024 D．无法计算 【答案】A 【分析】“两个非负数相加得0，则这两个数都等于0”，据此得到a+3＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣3，b＝2，代入即可求解． 【解答】解：由题意得：a+3＝0，b﹣2＝0， 解得a＝﹣3，b＝2， 所以（a+b）2024＝（﹣3+2）2024＝（﹣1）2024＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了绝对值和平方的非负性，乘方运算等知识，熟记绝对值、偶次方具有非负性是解题的关键． 【变式题6-1】．（2024-2025•海珠区校级期中）已知（a﹣1）2022+|2b﹣3|+（c+1）2＝0，求a3•b2•c2024的值． 【答案】． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵（a﹣1）2022+|2b﹣3|+（c+1）2＝0， ∴a﹣1＝0，2b﹣3＝0，c+1＝0， ∴a＝1，b，c＝﹣1， ∴a3•b2•c2024． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【变式题6-2】．（2020秋•婺城区校级期末）计算：若（2x﹣6）2+|y﹣1|＝0，则yx＝　1　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据绝对值与平方的非负性，求出x与y的值，然后代入求值即可． 【解答】解：∵（2x﹣6）2+|y﹣1|＝0， ∴2x﹣6＝0，y﹣1＝0， 解得x＝3，y＝1， ∴yx＝13＝1， 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0． 【变式题6-3】．（2024-2025•裕华区校级期中）如下是张小琴同学的一张测试卷，她的得分应是 　25分　 ． 姓名：张小琴得分： 填空（每小题25分，共100分） ①﹣24的计算结果是（16）； ②﹣3的立方是（27）； ③若|x+2|+（y﹣3）2＝0，则x﹣y＝（﹣5）； ④若x2＝25，则（x＝5）． 【答案】25分． 【分析】根据有理数的乘方、立方根、绝对值、偶次方的非负性、平方根的概念判断即可． 【解答】解：①﹣24的计算结果是﹣16，故本小题计算错误； ②﹣3的立方是﹣27，故本小题计算错误； ③若|x+2|+（y﹣3）2＝0， 则x+2＝0，y﹣3＝0， 解得：x＝﹣2，y＝3， ∴x﹣y＝（﹣5），本小题计算正确，； ④若x2＝25，则x＝±5，故本小题计算错误； ∴张小琴同学的得分应是25分， 故答案为：25分． 【点评】本题考查的是非负数的性质、平方根和立方根以及有理数的乘方，正确理解绝对值、偶次方的非负性是解题的关键． 【题型7】乘方中的进制问题（提升） 1. 知识点 - 进制的核心定义：k进制（k为大于1的正整数）是“逢k进一”的计数系统，其数位上的数字仅能取0~k-1（如二进制数字为0、1，五进制为0~4，七进制为0~7，六十进制为0~59），超出则需进位； - k进制转十进制的位值原理（核心公式）：对于k进制数（为最高位数字，为最低位数字），转化为十进制数的公式为： 其中，，（即乘方运算，权值随数位从右往左递增）； - 常见进制的实际应用：二进制（计算机数据存储）、五进制/七进制（古代结绳计数）、六十进制（时间：1小时=60分钟，1分钟=60秒），均通过上述公式实现与十进制的转化。 2. 考点 - k进制数转化为十进制数（如将二进制、三进制、七进制结绳计数结果转化为十进制）； - 不同进制数的大小比较（如比较二进制与三进制，需先分别转十进制再比较）； - 古代进制计数的解读与计算（如结绳计数“从右往左满五进一”、楔形文六十进制记数，提取每个数位的数字并转十进制）； - 进制转化的验证（如将十进制数通过“除以k取余”反向转回k进制，验证原转化结果是否正确）。 3. 易错点 - 数位顺序颠倒：误将k进制数的最高位当作最低位计算权值（如将五进制算成，正确应为从右往左：）； - 权的指数错误：漏记（如将二进制算成，正确应为），或指数多算1（如将的最高权算成）； - 数字超出进制基数：忽略k进制数字“0~k-1”的限制（如误将二进制、五进制当作合法数，实际二进制最大数字为1，五进制最大为4）； - 实际计数方向错误：如结绳计数“从右往左满五进一”，误从左往右提取数位数字（如变式5-1中，右数第1位为位，第2位为位，方向搞反则结果相差数十倍）。 4. 解题技巧 - 步骤1：明确“进制基数k”和“数位数字” - 从题目关键词提取k（如“满五进一”→k=5，“二进制”→k=2，“六十进制”→k=60）； - 按“从右往左”顺序标记数位（最低位为第0位，对应权值，往左依次为第1位、第2位…），提取每个数位的数字（如结绳计数图，数出每列的结数作为对应数位数字）； - 步骤2：计算每个数位的“贡献值” - 用“数位数字×对应权值”计算贡献值（如七进制：第0位3×，第1位1×，第2位5×，第3位2×）； - 步骤3：求和得十进制结果 - 将所有贡献值相加（如）； - 不同进制比较技巧：先将所有待比较的进制数转化为十进制数，再通过十进制数的大小关系判断原进制数的大小（如二进制，三进制，故）； - 验证技巧：通过“十进制数÷k取余”反向验证（如十进制29÷2得商14余1，14÷2得商7余0，7÷2得商3余1，3÷2得商1余1，1÷2得商0余1，反向取余为，与原数一致则转化正确）。 【例题7】．（2024-2025•荔城区期末）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0、1，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干2n数的和，依次写出1或0即可．如：21（10）＝1×24+0×23+1×22+0×21+1＝10101（2），则十进制数30是二进制下的（　　） A．11101 B．10111 C．11110 D．11100 【答案】C 【分析】此题只需估计最高位是乘以2的几次方，由y＝25＝32＞30，24＝16＜30，再逐步确定即可． 【解答】解：． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 【变式题7-1】．（2024-2025•荔城区校级期末）远古美索不达米亚人创造了一套以60进制为主的楔形文记数系统，对于大于59的数，美索不达米亚人则采用六十进制的位值记法，位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空，例如：，左边的表示2×602，中间的表示3×60，右边的表示1个单位，用十进制写出来是7381．若楔形文字记数，表示十进制的数为（　　） A．4203 B．3603 C．3723 D．4403 【答案】A 【分析】根据题意，可以将楔形文字记数，表示十进制的数，然后列出算式1×602+10×60+3，再计算出结果即可． 【解答】解：由题意可得， 楔形文字记数，表示十进制的数为：1×602+10×60+3＝1×3600+600+3＝3600+600+3＝4203， 故选：A． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式． 【变式题7-2】．（2024-2025•广水市期末）综合与实践生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例：212＝2×102+1×101+2×100；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：1×24+0×23+0×22+1×21+0×20＝16+2＝18；（规定：a≠0时，a0＝1）其他进制也有类似的算法… （1）【发现】根据以上信息，将二进制数“101100”转化为十进制数是　44　 ； （2）【迁移】按照上面的格式将八进制数“1346”转化为十进制数； （3）【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】（1）44； （2）742； （3）42天． 【分析】（1）根据题目信息直接进行计算即可； （2）根据八进制转十进制的方法列式计算即可； （3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可． 【解答】解：（1）将二进制数“101100”转化为十进制数可得： 101100＝1×25+0×24+1×23+1×22+0+0＝32+8+4＝44， 故答案为：44． （2）将八进制数“1346”转化为十进制数是： 1×83+3×82+4×81+6×80＝512+192+32+6＝742． （3）孩子已经出生的天数为1×52+3×51+2×50＝25+15+2＝42（天）． 【点评】本题考查了有理数乘方的应用；仿照二进制转十进制的方法列式计算是解题的关键． 【变式题7-3】．（2024-2025•南海区校级月考）综合与实践． 【课本再现】国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，ICME﹣14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为（011）2． 【观察发现】（1）从左起第二个符号表示的二进制数为　（111）2　 ； 【拓展延伸】二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为20，21，22，23，依此类推），然后相加．例如，（011）2＝0×22+1×21+1×20＝0+2+1＝3，（1101）2＝1×23+1×22+0×21+1×20＝8+4+0+1＝13． （2）图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数； （3）仿照二进制的说明与算法，将八进制数（2025）8转换成十进制数，请直接写出结果． 【答案】（1）（111）2； （2）3745； （3）1045． 【分析】（1）根据【课本再现】即可以发现从左起第二个符号表示的二进制数； （2）根据【拓展延伸】提供的方法分别将图2中的记数符号依次转换为十进制数，即可得到一个四位数； （3）仿照二进制的说明与算法，转换成十进制的运算，即可解决问题． 【解答】解：（1）根据【课本再现】可以发现从左起第二个符号表示的二进制数为（111）2， 故答案为：（111）2； （2）图2中的记数符号由四个二进制数分别为：（011）2，（111）2，（100）2，（101）2， 因为（011）2＝0×22+1×21+1×20＝0+2+1＝3， （111）2＝1×22+1×21+1×20＝4+2+1＝7， （100）2＝1×22+0×21+0×20＝4+0+0＝4， （101）2＝1×22+0×21+1×20＝4+0+1＝5， 所以这个四位数为3745； （3）1045． 理由：（2025）8＝2×83+0×82+2×81+5×80＝1024+0+16+5＝1045． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解决本题的关键是按照题中所给的方法，将二进制数和八进制数转化为十进制数． 【题型8】乘方的实际应用（提升） 1. 知识点 - 乘方的增长/衰减模型： - 增长模型（如细菌分裂、折纸）：若初始量为a，每次增长为“乘k倍”，经过n次后，总量为（如1个细菌每20分钟分裂一次（1变2），3小时后总量为）； - 衰减模型（如截木棒、浓度稀释）：若初始量为a，每次衰减为“乘倍”，经过n次后，剩余量为（如1米木棒每次截去一半，4次后剩余米）； - 细菌分裂问题：已知分裂周期，求n小时后的细菌数量（如1个细菌每30分钟分裂一次，2小时后数量）； - 折纸问题：已知折纸次数，求层数或厚度（如纸厚0.1mm，对折7次后的总厚度）；； - 其他实际问题：如拉面师傅拉面条（每次捏合拉伸后数量翻倍），求n次后的面条数。 3. 易错点 - 单位换算错误：如将3小时换算为3次分裂（实际若20分钟分裂一次，3小时=180分钟，分裂次数为180÷ 20=9次）； - 初始量忽略：如细菌分裂问题中，误将“1个细菌分裂n次后数量”算成（实际是）； - 衰减模型符号错误：如将“截去一半”理解为“乘2”（实际是乘）。 4. 解题技巧 - 确定模型类型：先判断是“增长”（乘大于1的数）还是“衰减”（乘小于1的正数）； - 计算变化次数：根据时间或操作次数，算出乘方的指数n（如3小时=180分钟，分裂周期20分钟，n=180÷ 20=9）； - 建立表达式：根据模型写总量表达式（增长：，衰减：），代入计算； 【例题8】．（2024-2025•江山市期末）在理想的实验环境下，某种细菌每过20分钟就能由1个分裂成2个．经过1个小时，这种细菌由1个分裂成（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】D 【分析】利用有理数的乘方法则列式计算即可． 【解答】解：∵某种细菌每过20分钟就能由1个分裂成2个， ∴经过1个小时，这种细菌分裂3次， ∴经过1个小时，这种细菌由1个分裂成23＝8个． 故选：D． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方，利用乘方的定义列出算式是解题的关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•蓬莱区二模）《庄子•天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第2025次截取后剩下的木棒有　　 尺． 【答案】． 【分析】根据题意，分别得出第1次截取后，剩余的木棒有（尺）；第2次截取后，剩余的木棒有（尺）；第3次截取后，剩余的木棒有（尺）；以此类推，进而得出答案． 【解答】解：第1次截取后，剩余的木棒有（尺）； 第2次截取后，剩余的木棒有（尺）； 第3次截取后，剩余的木棒有（尺）； ……， 第2025次截取后剩余的木棒有（尺）． 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的乘方运用，掌握有理数的乘方是解题的关键． 【变式题8-2】．（2024-2025•渝中区校级开学）一个容器里装满10升纯酒精，倒出1升后，用水加满，再倒出1升，用水加满，再倒出1升，用水加满，这时容器内酒精溶液的浓度是　72.9%　 ． 【答案】72.9%． 【分析】设这时容器内的酒精溶液的浓度为x，根据题意列方程解答即可． 【解答】解：最后剩余酒精量为：（10﹣1）7.29（升）， 这时容器内的酒精溶液的浓度是：7.29÷10×100%＝72.9%． 故答案为：72.9%． 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【变式题8-3】．（2024-2025•中牟县期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“数形结合”的数学思想，下面是数学兴趣小组运用数形结合思想探索求的值的过程：他们设计了如图（1）所示的几何图形，将一张面积为1的长方形纸片分割成7部分，部分①的面积是长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． （1）部分②的面积是 　　 ；阴影部分的面积是 　　 ； （2）利用图形求出的值； （3）受此启发，请写出的值； （4）小明发现，若把边长为1的正方形进行分割也可以得出同样的结果，请在图（2）和图（3）中再设计两个求的值的几何图形． 【答案】（1）；； （2）1； （3）1； （4）见解答． 【分析】（1）根据图形的平均分割法求解； （2）根据数形结合思想求解； （3）根据数形结合思想求解； （4）仿照图（1）求解． 【解答】解：（1）部分②的面积是；阴影部分的面积是是； 故答案为：；； （2）1； （3）1； （4）如下图所示： ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，找到有理数的运算与图形的关系是解题的关键． 【题型9】程序流程图与乘方计算（提升） 1. 知识点 - 程序流程图的基本逻辑：包含“输入”“判断条件”“运算步骤”“输出”四个部分，根据判断条件决定是否循环运算； - 与乘方结合的流程：通常输入一个数，先进行乘方运算（如、），再进行乘除、加减运算，最后判断结果是否满足输出条件（如是否大于100、是否小于-5），不满足则将结果作为新输入，重复运算。 2. 考点 - 根据流程图输入值，计算输出结果（如输入x=2，流程图：x→ x^2 → +3→ 判断是否>10，否则重复，求输出）； - 根据输出结果反推输入值（如流程图输出为217，反推原始输入x）； - 分析流程图的运算步骤，指出某一步的计算错误。 3. 易错点 - 循环次数错误：如流程图需循环2次，误算成1次（如输入x=5，第一次运算得13，不满足输出条件，需再算一次得32，满足条件）； - 运算步骤漏项：如流程图中“x→ x^3 → -2→ 判断”，误漏“-2”步骤； - 符号错误：如流程图中“x→ (-x)^2”，误算成“-x^2 ”； - 反推时漏解：如根据输出结果反推输入，忽略多个可能的输入值（如流程图输出为16，可能的输入x=2或x=-2）。 4. 解题技巧 - 顺推法（已知输入求输出）： 1. 按流程图步骤，从输入开始，逐步计算每一步的结果； 2. 每一步计算后，对照判断条件，若满足则输出，不满足则将当前结果作为新输入，重复运算； 3. 记录每一步的结果，避免重复计算或漏步； - 逆推法（已知输出求输入）： 1. 从输出结果反向推导，将流程图的运算“逆运算”（如乘方逆运算、加减逆运算）； 2. 若有判断条件，需考虑反向满足条件的所有可能值（如输出前一步的结果需“≤ 5”，则反推时要找所有满足“运算后≤ 5”的数）； 3. 验证：将反推的输入值代入流程图，顺推验证是否得到输出结果。 【例题9】.（2024-2025•环县期末）根据流程图中的程序，若输入x的值为﹣1，则输出y的值为（　　） A．187 B．70 C．7 D．5 【答案】C 【分析】先根据题意把﹣1代入求出代数式的值，再判断出结果的符号，进而可得出结论． 【解答】解：当x＝﹣1时， （﹣1）2×3﹣5 ＝1×3﹣5 ＝3﹣5 ＝﹣2＜0， 当x＝﹣2时， （﹣2）2×3﹣5 ＝4×3﹣5 ＝12﹣5 ＝7＞0， ∴y＝7． 故选：C． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 【变式题9-1】．（2024-2025•乐清市校级期中）按如图所示的流程图操作，若输入x的值是﹣5，则输出的结果是（　　） A．4 B．9 C．64 D．49 【答案】D 【分析】由图所示的操作步骤计算即可． 【解答】解：由框图可得代数式为 当输入x的值是﹣5时，（﹣5+3）2＝（﹣2）2＝4＜9，返回继续运算， 当输入x的值是4时，（4+3）2＝72＝49＞9，即输出结果为49， 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，理解框图中的运算法则是解题的关键． 【变式题9-2】．（2024-2025•梅河口市校级期中）如图是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题，当输入的数为﹣4时，最后输出的结果是 　　 ． 【答案】． 【分析】根据题中的程序流程图，将x＝﹣4代入计算得到结果为3＞1，再将x＝3代入计算得到结果为，即可得到最后输出的结果． 【解答】解：当x＝﹣4时， ＝3＞1， 当x＝3时， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【变式题9-3】．（2024-2025•广饶县期中）根据如图所示的流程图计算，若输入x的值为﹣1，则输出y的值为 　21　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】把x＝﹣1代入流程图中计算即可确定出输出y的值． 【解答】解：把x＝﹣1代入得：（﹣1）2×3﹣6＝3﹣6＝﹣3＜0， 把x＝﹣3代入得：（﹣3）2×3﹣6＝27﹣6＝21＞0， 则输出y的值为21， 故答案为：21． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清流程图中的运算是解本题的关键． 【题型10】乘方中的规律探究（培优） 1. 知识点 - 乘方结果的规律： - 末位数字循环规律：如的末位数字循环（2,4,8,6），的末位数字循环（3,9,7,1），周期通常为4； - 数列规律：含乘方的数列（如-2,4,-8,16,-32,…，第n项为）； - 底数与幂的关系：如底数小数点移动1位，平方小数点移动2位，立方小数点移动3位（如，）； - 规律探究的方法：观察前几项结果，找出“循环周期”或“递推关系”，用代数式表示规律，再验证。 2. 考点 - 求乘方的末位数字（如求、的末位数字）； - 找含乘方的数列的第n项或前n项和（如数列1,-3,9,-27,…，求第6项）； - 探究底数与幂的小数点移动规律（如已知，求）； - 复杂规律：如的和的规律（用错位相减法推导）。 3. 易错点 - 末位数字循环周期判断错误：如误将的末位循环周期算为4（实际末位始终为5，周期为1）； - 数列符号规律错误：如数列-2,4,-8,16,…，误将第n项写成（实际是）； - 小数点移动位数错误：如底数小数点向右移1位，立方小数点误移2位（实际移3位）； - 求和规律推导错误：如，误套用的规律（实际应为）。 4. 解题技巧 - 末位数字规律： 计算前4-5项的末位数字，找出循环周期（如、、、、，周期为4）； 用指数n除以周期，求余数（如余3）； 余数为k，则末位数字与第k项的末位数字相同（如余3，末位与相同为8）； - 数列规律： 观察符号（正负交替或全正/全负），确定符号部分（如或）； 观察绝对值的规律（如2,4,8,16…是）； 合并符号与绝对值，写出第n项（如-2,4,-8,16…是）； - 求和规律：用“错位相减法”（如求，则，两式相减得）。 【例题10】．（2024-2025•城关区校级期中）观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…通过观察，用你所发现的规律确定22009的个位数字是　2　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】由题中可以看出，以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循环的．2009÷4＝502…1．所以可知22009的个位数字是2． 【解答】解：以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循环的， 2009÷4＝502…1， 所以22006的个位数字是2， 故答案为：2． 【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的关键是找到2为底的幂的末位数字的循环规律． 【变式题10-1】．（2024-2025•芜湖期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： （+2）*（+4）＝+（22+42）；（﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]； （﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]；（+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]； 0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2；（+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2． 0*0＝02+02＝0 （1）归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，　同号得正，异号得负，并把两数的平方相加　 ．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，　等于这个数的平方　 ． （2）计算：（+1）*[0*（﹣2）]＝　17　 ． （3）是否存在有理数m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）首先根据*运算的运算法则进行运算的算式，归纳出*运算的运算法则即可；然后根据：0*（﹣5）＝（﹣5）2；（+3）*0）＝（+3）2，可得：0和任何数进行* 运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方． （2）根据（1）中总结出的*运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出（+1）*[0*（﹣2）]的值是多少即可． （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【解答】解：（1）归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方． 故答案为：同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方； （2）（+1）*[0*（﹣2）] ＝（+1）*（﹣2）2 ＝（+1）*4 ＝+（12+42） ＝1+16 ＝17． 故答案为：17； （3）∵（m﹣1）*（n+2）＝0， ∴±[（m﹣1）2+（n+2）2]＝0 ∴m﹣1＝0，n+2＝0， 解得m＝1，n＝﹣2． 【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算定律的应用． 【变式题10-2】．（2024-2025•栖霞市期中）如图，把面积为1的正方形进行分割，观察其规律，可得算式再加上（　　）后，结果就是1． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形可知：（）2+（）3+（）4+…+（）n+（）n＝1，然后即可解答本题． 【解答】解：由图可得， 再加上（）8后，结果就是1， 故选：D． 【点评】本题考查有理数的混合运算、规律性，解答本题的关键是明确题意，发现式子的特点，利用数形结合的思想解答． 【变式题10-3】．（2024-2025•东台市期中）观察以下一系列等式： ①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30； ②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31； ③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32； ④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；…… 利用上述规律计算：30+31+32+…+3100＝　（3101﹣1）　 ． 【答案】（3101﹣1）． 【分析】根据已知等式，归纳总结得到一般性规律，原式计算即可求出值． 【解答】解：根据题意得： 31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30； 32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31； 33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32； 34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33； …… 3101﹣3100＝（3﹣1）×3100＝2×3100， 相加得：31﹣30+32﹣31+33﹣32+34﹣33+…+3101﹣3100＝2×（30+31+32+…+3100）， 整理得：30+31+32+…+3100（3101﹣30）（3101﹣1）． 故答案为：（3101﹣1）． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键． 【题型11】“算24点”游戏中的乘方应用（培优） 1. 知识点 - “算24点”规则：用4个给定的数（1-13，可正可负），通过加、减、乘、除、乘方运算（每个数用且只用一次，可加括号），使结果为24； - 乘方在“算24点”中的作用：利用乘方得到接近24的数（如、、、），再结合其他运算凑24。 2. 考点 - 用含乘方的运算凑24（如用1,2,2,3凑24：）； - 用负数乘方凑24（如用-2,3,4,5凑24：，但需用给定数，实际如，需结合具体数）； - 判断给定的4个数能否用乘方凑24（如1,3,5,7：，需调整，如，需换方法，可能用但数不对，实际需灵活）。 3. 易错点 - 忽略乘方的可能性：只想到加减乘除，想不到用乘方（如2,3,4,5，想不到，不对，正确如，但需乘方的话如，需调整）； - 乘方符号错误：如用-3凑，误算成，导致结果错误； - 重复使用或漏用数字：如用1,2,3,4凑24，写成，但漏用2（实际用了2,3,4,1，正确）； - 运算顺序错误：如，误算成（正确应为1 + 8 × 4 - 5 = 1 + 32 - 5 = 28）。 4. 解题技巧 - 优先尝试常见乘方：先列出4个数中可凑的乘方（如2可凑、，3可凑、）； - 凑“中间数”：先凑出24的因数（如3和8、4和6、2和12），再用乘方凑其中一个因数（如用2^3=8，再用其他数凑3）； - 负数乘方活用：负数的偶次方是正数，可凑正数（如、），奇次方是负数，可凑减法（如27 - 3 = 24，用则2 - (-27) - 5 = 24）； - 验证：列出算式后，按运算顺序计算，确保每个数只用一次，结果为24。 【例题11】．（2024-2025•吴桥县期末）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，﹣6，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（　　） A．4×3﹣（﹣6）+10 B．4﹣（﹣6÷3×10） C．10﹣（﹣6×3）﹣4 D．（4﹣6+10）×3 【答案】A 【分析】计算出各个选项中式子的结果，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：4×3﹣（﹣6）+10 ＝12+6+10 ＝28≠24，故选项A符合题意； 4﹣（﹣6÷3×10） ＝4﹣（﹣2×10） ＝4﹣（﹣20） ＝4+20 ＝24，故选项B不符合题意； 10﹣（﹣6×3）﹣4 ＝10﹣（﹣18）﹣4 ＝10+18﹣4 ＝24，故选项C不符合题意； （4﹣6+10）×3 ＝8×3 ＝24，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【变式题11-1】．（2024-2025•禅城区期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的4张牌，写出一个符合规则的算式：　（﹣9+7）×4×（﹣3）＝24　 ． 【答案】（﹣9+7）×4×（﹣3）＝24． 【分析】根据有理数的混合运算法则进行解答即可． 【解答】解：（﹣9+7）×4×（﹣3）＝24， 故答案为：（﹣9+7）×4×（﹣3）＝24． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算法则来解答． 【变式题11-2】．（2024-2025•南昌期中）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 　15　 ； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是 　　 ； （3）算24点游戏：从中取出4张卡片，用学过的“+，﹣，×，÷”运算，使结果为24．请写出2个运算式并进行计算： ①　[（+3）﹣（﹣3）]×（+4）+0＝6×4+0＝24　 ； ②　（+3）×（+4）×[﹣3﹣（﹣5）]＝12×2＝24　 ． 【答案】（1）15； （2）； （3）①[（+3）﹣（﹣3）]×（+4）+0＝6×4+0＝24； ②（+3）×（+4）×[﹣3﹣（﹣5）]＝12×2＝24． 【分析】（1）根据题意，可以得到要使得乘积最大，一定是取得同号的两个数字，再观察数字可知，当取﹣3和﹣5时，符合要求； （2）根据题意，可以得到要使得数字相除的商最小，一定是取得异号两数，再观察数字可知，当取﹣5和3时，符合要求； （3）本题答案不唯一，写出的算式只要符合要求即可． 【解答】解：（1）由题目中的数据和题意可得， 当取数字﹣3和﹣5时得到乘积最大，此时（﹣3）×（﹣5）＝15， 故答案为：15； （2）由题目中的数据和题意可得， 当取数字﹣5和3时得到商最小，此时﹣5÷3， 故答案为：； （3）①[（+3）﹣（﹣3）]×（+4）+0＝6×4+0＝24； ②（+3）×（+4）×[﹣3﹣（﹣5）]＝12×2＝24； 故答案为：[（+3）﹣（﹣3）]×（+4）+0＝6×4+0＝24；（+3）×（+4）×[﹣3﹣（﹣5）]＝12×2＝24． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式． 【变式题11-3】．（2024-2025•沭阳县校级月考）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行加减乘除混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24或﹣24，其中红色扑克牌（红桃、方块）代表负数，黑色扑克牌（黑桃、梅花）代表正数，J、Q、K分别代表11，12，13．例如：抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，运用下面的方法凑成了24：7×（3+3÷7）＝24． （1）如果抽到的是黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，你能凑成24吗？试写出一个算式使其结果等于24． （2）如果抽到的四张牌是“黑桃7、3，红桃3和梅花Q”，试写出一个算式使其结果等于﹣24． 【答案】（1）[3﹣（﹣3）÷7]×7＝24（答案不唯一）； （2）（7﹣3）×（﹣3）﹣12＝﹣24（答案不唯一）． 【分析】（1）所给的数字为：7、3、﹣3、7； （2）所给的数字为：7、3、﹣3、12； 利用数字特点，注意数字符号，选用运算符号解决问题即可． 【解答】解：（1）[3﹣（﹣3）÷7]×7＝24（答案不唯一）； （2）（7﹣3）×（﹣3）﹣12＝﹣24（答案不唯一）． 【点评】此题考查有理数的混合运算，注意数字的正负，巧妙利用计算解决问题． 【题型12】乘方中的新定义问题（培优） 1. 知识点 - 新定义运算的本质：根据题目给出的新规则（如“除方”“劳格数”），将新运算转化为熟悉的乘方、乘法、除法运算； - 常见新定义类型： - 除方：如（n≥ 2），转化为（如）； - 劳格数：如若，则（如，则），结合乘方运算律。 2. 考点 - 根据新定义计算（如除方：计算，转化为）； - 结合新定义与乘方规律（如劳格数：已知，，求）； - 新定义的综合应用（如计算，先将除方转化为乘方，再计算）。 3. 易错点 - 误解新定义规则：如除方误理解为“n个a相乘”（实际是n个a相除）； - 新定义与乘方混淆：如劳格数误理解为“a的b次方”（实际是“以a为底b的对数”，即a的几次方等于b）； - 转化过程错误：如除方误转化为（正确应为）； - 符号处理错误：如除方，计算时符号错误，误得（正确应为）。 4. 解题技巧 - 精读新定义：逐句理解新运算的规则，明确“运算符号、参与运算的数、运算步骤”（如除方：“n个a相除”，即从左到右依次除）； - 找转化方法：将新运算转化为熟悉的运算（如除方：，n≥ 2）； - 用特殊值验证：先代入简单的数（如a=2，n=3，计算，再用转化式，验证转化正确）； - 分步计算：先算新定义部分，再按有理数混合运算顺序计算（如）。 【例题12】．（2024-2025•金安区校级期末）定义一种新运算：m⊕n＝m2﹣mn，则（﹣3）⊕2的结果为（　　） A．﹣3 B．3 C．15 D．﹣15 【答案】C 【分析】利用题中的新定义计算即可求出值． 【解答】解：根据题意得， （﹣3）⊕2， ＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）， ＝9+6， ＝15， 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，审清题意并熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题12-1】．（2024-2025•芝罘区期末）定义一种新运算：a&b，则（1&4）&（﹣1）的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5 【答案】D 【分析】利用题中的新定义计算即可得到结果． 【解答】解：∵a&b， ∴（1&4）&（﹣1） ＝（1×4+1﹣4）&（﹣1） ＝1&（﹣1） ＝4×1×（﹣1）﹣（﹣1）2 ＝﹣4﹣1 ＝﹣5． 故选：D． 【点评】本题考查了新定义下的实数运算，掌握新定义和实数运算法则是解题的关键． 【变式题12-2】．（2024-2025•沙市区期末）【数学材料】：“对数”是数学中的一个重要概念，通过将对数运算转化为指数运算的逆运算，进而简化了复杂运算，更方便地处理一些数学问题．定义：如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫作以a为底的N的对数，记作x＝logaN，其中a叫作对数的底． 【初步运用】： （1）请把下列算式改写成对数的形式：23＝8，对数的形式为 　log28＝3　 ；，对数的形式为 　　 ； （2）若loga27＝3，则a＝ 　3　 ；loga，则a＝ 　　 ； 【理解应用】： （3）若，log4（3x+y﹣1）＝2，若logt（5x+y）＝3，求t的值． 【答案】（1）log28＝3；；（2）3；；（3）t＝3或． 【分析】（1）根据23＝8，，结合新定义可得答案； （2）若loga27＝3，则a3＝27，若，则，据此求解即可； （3）根据新定义可得，42＝3x+y﹣1＝16，据此可得x、y的值，再由logt（5x+y）＝3，得到t3＝5x+y，据此可求出t的值． 【解答】解：（1）根据题意可知，对数的形式为log28＝3， ∵， ∴对数的形式为． 故答案为：log28＝3；； （2）根据题意可知，a3＝27， 解得：a＝3， ， 解得：或（负数舍去）． 故答案为：3；； （3）根据题意可知，， 42＝3x+y﹣1＝16， 解得：或， ∵logt（5x+y）＝3， ∴t3＝5x+y， 当x＝5，y＝2时，t3＝5x+y＝5×5+2＝27， t3＝33， 解得：t＝3； 当x＝﹣4，y＝29时，t3＝5x+y＝5×（﹣4）+29＝9， t3＝9， ； ∴t＝3或． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的法则是关键． 【变式题12-3】．（2024-2025•望奎县校级开学）【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”；（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把记作；aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：2②＝　1　 ，（﹣3）③＝　　 ； （2）关于除方，下列说法错误的是　C　 ． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，1的圈n次方都等于1： C．3④＝4③； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （3）请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式：aⓝ＝　　 ； （4）计算：． 【答案】（1）； （2）C； （3）； （4）12． 【分析】（1）根据题意，计算出所求式子的值即可； （2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题； （3）根据题意，可以计算出所求式子的值． （4）根据题意，可以计算出所求式子的值． 【解答】解：（1）2②＝2÷2＝1， ； （2）A、∵a②＝a÷a＝1（a≠0），所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确； B、∵多少个1相除都等于1，对于任何正整数，1的圈n次方都等于1；正确； C、，故3④≠4③，错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．正确； 故选：C； （3）， 故答案为：； （4）原式 ＝﹣4+16 ＝12． 【点评】本题考查含乘方有理数的混合运算、新定义，理解除方的定义是解题关键． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．（2024秋•端州区期末）下列计算正确的是（　　） A．﹣5﹣2＝﹣3 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用有理数的减法，乘除法，乘方法则进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、﹣5﹣2＝﹣7，故A不符合题意； B、﹣23＝﹣2×3×3＝﹣18，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、（）2，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．（2025•平乡县二模）若a3□a＝a2，则“□”内应填的运算符号是（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方的运算法则进行计算． 【解答】解：∵a3÷a＝a2． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握公式是解题的关键． 3．（2025•重庆校级开学）这里运用了乘法的（　　）律． A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．分配和结合律 【答案】C 【分析】根据乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再将所得的积相加（或相减），结果不变，由此进行解答即可． 【解答】解：∵， ∴上面的式子运用了乘法分配律的逆向运算． 故选：C． 【点评】本题考查了乘法分配律的理解，熟练掌握乘法分配律是解答此题的关键． 4．（2024秋•葫芦岛期末）为了区分不同的进制，常在数的右下角标明基数，例如：（1011）2就是二进制数1011的简单写法，十进制数一般不标注基数．通过把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，可以转化成十进制数．例如：，（规定：当a≠0时，a0＝1），根据以上信息，将（11101）2转化成十进制数是（　　） A．28 B．29 C．58 D．62 【答案】B 【分析】根据题中的运算方法进行运算即可． 【解答】解：根据题中的运算方法进行运算可得： ， 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 5．（2025•巴中）所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为m的放射性物质，经历了3个半衰期后的质量为（　　）m． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出算式即可． 【解答】解：（）3． 故选：D． 【点评】本题主要考查有理数的乘方，理解题意是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 6．（2024秋•潮阳区期末）十进制数6转换为二进制数是 　110　 ． 【答案】110． 【分析】根据十进制数转化为二进制数的方法，可以将十进制数6转换为二进制数． 【解答】解：∵6＝22×1+21×1+20×0， ∴十进制数6转换为二进制数是110， 故答案为：110． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确十进制数转化为二进制数的方法． 7．（2025秋•鼓楼区月考）若a2＝9，|b|＝5，且a+b＜0，则a﹣b的值为 　8或2　 ． 【答案】8或2． 【分析】根据有理数的乘方、绝对值的性质求出a、b的值，再根据a+b＜0进一步确定a、b的值，最后计算a﹣b即可． 【解答】解：∵a2＝9，|b|＝5， ∴a＝±3，b＝±5， ∵a+b＜0， ∴a＝3，b＝﹣5或a＝﹣3，b＝﹣5， 当a＝3，b＝﹣5时，a﹣b＝3﹣（﹣5）＝3+5＝8； 当a＝﹣3，b＝﹣5时，a﹣b＝﹣3﹣（﹣5）＝﹣3+5＝2； 综上，a﹣b的值是8或2． 【点评】本题考查了有理数的乘方，绝对值，有理数的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 8．（2024秋•松北区期末）对有理数a，b规定一种新运算“*”：a*b＝﹣（a﹣5）﹣b+|b|，则（﹣3）*（﹣2）＝　12　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据所得公式把a＝﹣3，b＝﹣2代入﹣（a﹣5）﹣b+|b|进行计算即可． 【解答】解：∵a*b＝﹣（a﹣5）﹣b+|b|， ∴（﹣3）*（﹣2） ＝﹣（﹣3﹣5）﹣（﹣2）+|﹣2| ＝8+2+2 ＝12． 故答案为：12． 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，关键是掌握新定义的运算方法． 9．（2025•临沧开学）学习情境•新定义定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则　3　 ． 【答案】3． 【分析】根据新定义进行计算即可． 【解答】解：∵， ∴ ＝（3×4）⊗（） ＝12 ＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查新定义，含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 10．（2025•柳北区开学）如图大球的体积是　5　 立方厘米． 【答案】5． 【分析】由第二幅图和第三幅图可知加入三个小玻璃球后，排出水的体积增加了6cm3，可求得每个小球的体积，即可根据第二幅图得到答案． 【解答】解：由图可知，三个小玻璃球排出水的体积为13﹣7＝6（cm3）， ∴每个小球的体积是：6÷3＝2（cm3）， 由第二幅图可得，每个大玻璃球的体积是：7﹣2＝5（cm3）， 故答案为：5． 【点评】本题考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是读懂题意，求出每个小球的体积． 三．解答题（共8小题） 11．（2025秋•济南月考）计算 （1）20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13； （2）﹣2.4+3.5﹣4.6﹣3.5； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）11； （2）﹣7； （3）﹣5； （4）1； （5）3； （6）． 【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （3）根据有理数加减混合运算法则和加法运算律计算即可； （4）根据有理数乘除混合运算法则计算即可； （5）根据有理数乘除混合运算法则和乘法分配律计算即可； （6）先算乘方，再算括号里面的，然后算乘除法，最后再算加减法． 【解答】解：（1）20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13 ＝20﹣14+18﹣13 ＝11； （2）原式＝﹣（2.4+4.6）+（3.5﹣3.5） ＝﹣7； （3）原式 ＝﹣20+15 ＝﹣5； （4）原式 ＝1； （5）原式 ＝﹣6+24﹣15 ＝3； （6）原式 ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数的加法和乘法运算律，掌握相关运算法则是解题关键． 12．（2025•龙华区校级开学）简便计算． （1）199×4.5； （2）； （3）3.4×2.77+2.3×0.34； （4）； （5）（16.9×24）÷（8×13）． 【答案】（1）895.5； （2）9； （3）10.2； （4）25； （5）3.9． 【分析】（1）将199转化为200﹣1，利用乘法分配律简便计算； （2）利用加法交换律和结合律以及减法的性质进行简便计算； （3）通过变形，利用乘法分配律简便计算； （4）把、0.25、25%都转化为0.25，再利用乘法分配律计算； （5）利用乘除法的运算性质进行简便计算． 【解答】解：（1）原式＝（200﹣1）×4.5 ＝200×4.5﹣1×4.5 ＝900﹣4.5 ＝895.5； （2）原式 ＝10﹣1 ＝9； （3）原式＝3.4×2.77+0.23×3.4 ＝3.4×（2.77+0.23） ＝3.4×3 ＝10.2； （4）原式＝45×0.25+54×0.25+0.25×1 ＝0.25×（45+54+1） ＝0.25×100 ＝25； （5）原式＝16.9×24÷13÷8 ＝（16.9÷13）×（24÷8） ＝1.3×3 ＝3.9． 【点评】本题考查了四则运算的简便计算，解题的关键是灵活运用运算律． 13．（2025•明水县校级开学）计算： （1）（﹣3）2÷（﹣32）﹣（﹣3）×（﹣1）2024； （2）． 【答案】（1）2； （2）． 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减即可； （2）把除法化为乘法，再利用乘法分配律进行计算即可． 【解答】解：（1）（﹣3）2÷（﹣32）﹣（﹣3）×（﹣1）2024 ＝9÷（﹣9）﹣（﹣3）×1 ＝﹣1﹣（﹣3） ＝﹣1+3 ＝2； （2） ＝1 ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 14．（2024秋•易县期末）按下列程序计算，并回答下列问题． 3 1 5 ﹣1 输出答案 1 1 ① ② （1）表格中①的值为　1　 ，②的值为　1　 ． （2）根据上述计算，你发现了什么规律？ （3）请说明你发现的规律是正确的． 【答案】（1）1；1； （2）计算结果都是1； （3）见解析． 【分析】（1）根据题意，代入数据列式计算即可； （2）根据所填的数据总结出规律即可； （3）根据分式的运算法则进行计算并验证即可． 【解答】解：（1）根据题意：， ， 则表格中①的值为1，②的值为1； 故答案为：1，1； （2）根据表格及（1）发现的规律是：计算结果都是1； （3）原式 ＝1， ∴输入a≠0，计算结果都是1． 【点评】本题考查了代数式求值及分式的运算，寻找规律再计算是解题的关键． 15．（2025•望奎县校级开学）【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”；（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把记作；aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：2②＝　1　 ，（﹣3）③＝　　 ； （2）关于除方，下列说法错误的是　C　 ． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，1的圈n次方都等于1： C．3④＝4③； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （3）请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式：aⓝ＝　　 ； （4）计算：． 【答案】（1）； （2）C； （3）； （4）12． 【分析】（1）根据题意，计算出所求式子的值即可； （2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题； （3）根据题意，可以计算出所求式子的值． （4）根据题意，可以计算出所求式子的值． 【解答】解：（1）2②＝2÷2＝1， ； （2）A、∵a②＝a÷a＝1（a≠0），所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确； B、∵多少个1相除都等于1，对于任何正整数，1的圈n次方都等于1；正确； C、，故3④≠4③，错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．正确； 故选：C； （3）， 故答案为：； （4）原式 ＝﹣4+16 ＝12． 【点评】本题考查含乘方有理数的混合运算、新定义，理解除方的定义是解题关键． 16．（2024秋•乳山市期末）【信息提取】“转化”是一种解决问题的常用策略，借助图形可以发现并建立相应的数量关系，进而找到问题解决的方法．如在计算“1+3+5+7+9+11＝？”时，可以利用图1进行绘图得到图2，将问题转化为“62＝？”，实现简便计算． 【问题探究】 （1）利用图3进行绘图，并依据绘图进行简便计算： ； （2）猜想：　　 ；（直接写结果） 【问题解决】 （3）计算：． 【答案】（1）； （2） （3）． 【分析】（1）把正方形看作单位量“1”，利用图形把转化成进行计算即可． （2）仿（1）的方法即可得出答案； （3）将转化成，再利用（2）的结论计算即可． 【解答】解：（1）如图， ； （2）， 故答案为：． （3） ． 【点评】本题考查有理数的混合运算，利用图形对简便计算有理的运算是解题的关键． 17．（2024秋•衡阳期末）请根据图示的对话解答下列问题． 我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是8﹣a+b﹣c 我告诉你：“a的相反数是﹣3，a＞b，且b的绝对值是6，b与c的和是﹣9． （1）求：a、b、c的值； （2）计算9﹣2a+3b﹣c的值． 【答案】（1）a＝3，b＝﹣6，c＝﹣3； （2）﹣14． 【分析】（1）根据相反数，绝对值的意义，有理数的加法运算，求出a，b，c的值即可； （2）将a、b、c的值代入，利用有理数的运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）由题意，得：a＝3，|b|＝6，b+c＝﹣9， ∵a＞b， ∴b＝﹣6， ∴c＝﹣9﹣（﹣6）＝﹣3； （2）9﹣2a+3b﹣c ＝9﹣23+3×（﹣6）﹣（﹣3） ＝﹣14． 【点评】本题考查有理数的运算，熟练掌握运算法则是关键． 18．（2024秋•威海期末）为响应国家创业号召，小李准备新开一家拉面馆，选址后对这一地区的人流量进行了统计．以500人为标准，超过即为正，低于即为负．一周内同一位置同一时刻的人流表如图． 星期 一 二 三 四 五 六 日 人数 ﹣80 ﹣30 ﹣50 ﹣60 +160 +300 +180 （1）这一周人数最多的一天比人数最少的一天多 　380　 人． （2）若这些人中有30%的人来吃面，按照每人一碗，每碗面14元，则平均每天的销售额是多少？ （3）如图，拉面是将一根较粗的面条先对折成两根，再拉开，然后将两端捏紧，再对折成四根，再拉开，一直重复这个流程．面条的数量会不断增多，也会不断变细，拉面师傅一般重复该流程八次可做一碗拉面，拉面师傅拉完八次后有 　256　 根面． 【答案】（1）380； （2）平均每天的销售额是2352元； （3）256． 【分析】（1）由表格列式计算即可得出答案； （2）先计算出平均每天的游客人数，再根据这些人中有30%的人来吃面，按照每人一碗，每碗面14元，列式计算即可得出答案； （3）根据题意得出第n次捏合后可以拉出2n根，再令n＝8，计算即可得出答案． 【解答】解：（1）由表格可得：这一周人数最多的一天比人数最少的一天多300﹣（﹣80）＝380（人）， 故答案为：380； （2）（﹣80﹣30﹣50﹣60+160+300+180）÷7+500＝560（人） 560×30%×14＝2352（元） 答：平均每天的销售额是2352元． （3）由题意得： 第1次捏合后可以拉出2根， 第2次捏合后可以拉出22＝4根， 第3次捏合后可以拉出23＝8根， 第4次捏合后可以拉出24＝16根， …， 第n次捏合后可以拉出2n根， ∴拉面师傅拉完八次后有28＝256根面． 故答案为：256． 【点评】本题考查了有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $