精品解析：江苏省江阴市第一中学2025-2026学年高一上学期9月月考数学试卷

江阴市第一中学2025-2026学年度第一学期9月阶段性练习 高一数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知集合，则为（ ） A. B. C. D. 2. 设，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 5. 不等式的解集为,则函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 6. 设，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. 4 D. 7. 已知集合，，中有且只有一个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若集合的三个子集满足⫋⫋，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列叙述中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 命题“，”的否定是“，” D. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为或 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．请把答案填写在答题卡相应位置上）． 11. 已知为实数集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为____________________ 12. 已知命题“，”为假命题，则a的取值范围是______． 13. 已知，且，则最大值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题卡指定区域作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 已知全集，集合 ，， （1）分别求，； （2）若，求a的取值范围. 15. 命题，使得恒成立，命题成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和有且仅有一个为真，求实数的取值范围． 16. 已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为. （1）若，求P （2）若，求的值； （3）若“”是“”的充分非必要条件，求实数的取值范围. 17. 某单位有员工名，平均每人每年创造利润万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高． （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ （2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 18. 法国数学家佛郎索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程 例如：，那么和是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： （1）已知、是两个不相等的实数，且满足，，求的值； （2）已知实数、满足，，求的值； （3）已知，是二次函数的两个零点，且，求使的值为整数的所有的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江阴市第一中学2025-2026学年度第一学期9月阶段性练习 高一数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知集合，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集的定义结合题目条件进行运算求解． 【详解】集合，集合， ． 故选：A． 2. 设，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解． 【详解】对于A中，令，，，，满足，，但， 故A错误， 对于B中，令，，，，满足，，但， 故B错误， 对于C中，因为，所以由不等式的可加性，可得， 所以，故C正确， 对于D中，令，，，，满足，，但， 故D错误． 故选：C． 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的包含关系来判断充分必要条件可得. 【详解】由，得，即，解得. 又是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】变形后利用基本不等式进行求解. 【详解】因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为4. 故选：C 5. 不等式的解集为,则函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【详解】根据题意，的解集为，则方程的两个根为和，且. 则有，变形可得， 故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为和. 对照四个选项，只有C符合. 故选：C． 6. 设，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为， 故选：D. 7. 已知集合，，中有且只有一个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合A，B，利用中有且只有一个整数解，能求出a的取值范围． 【详解】解：∵，解得或；由， ，即，解得； 所以集合或， ， 中有且只有一个整数解，∴．∴a的取值范围是． 故选：B． 8. 若集合的三个子集满足⫋⫋，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】先确定出的子集，然后根据集合中元素个数分类讨论，由此可求结果. 【详解】的所有子集有：； （1）若，为单元素集合，为双元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋， ⫋⫋，⫋⫋，共组； （2）若，为单元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （3）若，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （4）若为单元素集合，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋， ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； 综上所述，满足要求的“亲密子集”一共有组. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列叙述中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 命题“，”的否定是“，” D. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据集合的关系与运算性质、命题的否定方法以及条件的充分性、必要性的判断方法逐项判断即可． 【详解】显然0是元素，故错误，所以A错误； 因为，所以，则，所以B正确； 因为命题“，”的否定是“，”，所以C正确； 由，则， 因为，所以，所以，即必要性成立， 反之：当，可得，可得或，或，或，即充分性不成立，所以D正确． 故选：BCD． 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题知，且方程的解为，根据韦达定理得，由此根据不等式的性质逐项求解即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且方程的解为，故A正确； 则，即， 因为，所以，即， 则不等式的解集为，故B正确； ，，故C错误； ，即， 解得或，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．请把答案填写在答题卡相应位置上）． 11. 已知为实数集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为____________________ 【答案】 【解析】 【分析】化简集合，然后根据集合补集和交集定义求解可得. 【详解】解不等式得或，所以或， 则， 图中阴影部分属于集合，但不属于集合，表示， 因为，所以. 故答案为： 12. 已知命题“，”为假命题，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据命题与它的否命题一真一假，写出该命题的否定命题，再利用判别式即可求出a的取值范围． 【详解】解：因为命题“，”为假命题， 所以它的否命题：“，”是真命题， 所以，解得， 所以a的取值范围是． 故答案为：． 13. 已知，且，则最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由且，可得，可得，再将化为后利用基本不等式求解即可． 【详解】解：由且，可得，代入， 又， 当且仅当，即， 又，可得，时，不等式取等， 即的最大值为， 故答案为：． 四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题卡指定区域作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 已知全集，集合 ，， （1）分别求，； （2）若，求a的取值范围. 【答案】（1）， 或  （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合A，B，然后根据集合的运算法则计算即可. （2）若 ，对集合， 分类讨论参数a 的取值范围. 【小问1详解】 已知全集，集合  ， 所以， 或  ， 所以 或 . 【小问2详解】 若  ， ①当  时，  ，此时； ②当  时，  或  ， 解得： 或  ，此时. 综上所述，若  ，则 a 的取值范围为  15. 命题，使得恒成立，命题成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和有且仅有一个为真，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）转化为函数最值问题，结合二次函数性质求解即可； （2）分别求出命题和为真时实数的取值范围，然后根据集合运算即可得解. 【小问1详解】 若为真命题，则当时，恒成立，即， 由二次函数性质可知，当时，取得最大值1，即， 所以，实数的取值范围为. 【小问2详解】 若为真命题，则当时，， 由一次函数性质可知，当时，取得最大值0，即， 解得，即为真命题时，实数的取值范围为. 记， 则命题和有且仅有一个为真时，实数的取值范围为， 因为， 所以， 所以. 16. 已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为. （1）若，求P （2）若，求的值； （3）若“”是“”的充分非必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)将代入不等式，将分式不等式化为一元二次不等式，解之即可； (2)将分式不等式转化为一元二次不等式，根据不等式的解集，结合二次方程根与系数的关系可得； (3)分别确定集合与，根据命题的充分必要性可得集合与的包含关系，进而可得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以不等式可化为， 也即，解得：，故. 【小问2详解】 由不等式可化为，因为关于的不等式的解集为， 所以和是方程的两根， 所以. 【小问3详解】 因为不等式可化为：，解得：，所以,又因为“”是“”的充分非必要条件，所以是的真子集， 当时，，满足题意； 当时，，要使是的真子集，则有，所以； 当时，，满足是的真子集， 当时，，满足是的真子集， 当时，，满足是的真子集， 综上所述：实数的取值范围为. 17. 某单位有员工名，平均每人每年创造利润万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高． （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ （2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出剩下名员工创造的利润列不等式求解； （2）根据题意得到，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解． 【小问1详解】 由题意得：， 即，又， 所以．即最多调整名员工从事第三产业． 【小问2详解】 从事第三产业的员工创造的年总利润为万元， 从事原来产业的员工的年总利润为万元， 则， 所以， 所以， 即恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立． 所以，又，所以， 即的取值范围为． 【点睛】思路点睛： 本题的关键在于如何正确设置利润函数，并通过不等式条件求解.小问1通过构造利润函数并利用不等式进行求解，小问2则结合条件和之间的关系，使用不等式求得的取值范围.需要注意的是，题目中的平均利润受员工数和比例的影响，需要在不等式求解时格外小心. 18. 法国数学家佛郎索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程 例如：，那么和是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： （1）已知、是两个不相等的实数，且满足，，求的值； （2）已知实数、满足，，求的值； （3）已知，是二次函数的两个零点，且，求使的值为整数的所有的值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用两个等式特征，可将可看作方程的两个异实数根，由韦达定理即可求出所求式的值； （2）由题设等式，可将可看作方程的两个实数根，求出两根，分情况讨论求解即得； （3）由题意，使，求得，利用韦达定理求得，将所求式整理化简得，结合题设条件，即可求得的所有取值. 【小问1详解】 由，，， 可将可看作方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理，， 所以； 【小问2详解】 由，， 可将可看作方程的两个实数根， 由解得或， 则有或， ① 当时，； ② 当时，． 所以的值为22或37． 【小问3详解】 由题意和韦达定理，可得，， 且，解得， 故 因，又，故必为的因数， 则的值可能为， 则实数k的值可能为，又， 故k的所有取值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $