专题03 圆与方程（期中真题汇编，广西专用）高二数学上学期人教A版

专题03 圆与方程 高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆的位置关系 考点03圆与圆的位置关系 考点04 解答题 地 城 考点01 圆的方程 一、单选题 1．(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校·期中)圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．(24-25高二上·广西南宁普通高中·期中)已知圆，则该圆的圆心和半径分别是（    ） A．，5 B．，5 C．， D．， 3．(24-25高二上·广西玉林第一中学·)圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)已知圆，过平面上的点引圆的两条切线，使得，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·广西部分名校·)已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·广西梧州·)已知圆关于直线对称，则圆的半径为（    ） A． B．2 C． D．4 8．(24-25高二上·广西来宾忻城县高级中学·期中)方程所表示的圆的最大面积为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．(24-25高二上·广西南宁普通高中·期中)若是一个圆的方程，则实数可取的值有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．(24-25高二上·广西南宁琼林高级中学·期中)若点在圆上,则实数 . 11．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)已知实数满足，则的最小值是 ． 12．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)已知点，若圆上存在点满足，则实数的取值范围是 . 地 城 考点02 直线与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·广西梧州·)已知圆关于直线对称，则圆的半径为（    ） A． B．2 C． D．4 2．(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校·期中)已知圆为直线上的一个动点，过点作圆的切线，切点分别为，若直线关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 4．(24-25高二上·广西玉林容县高级中学·)若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A．] B． C． D． 二、多选题 5．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)下列说法正确的是（   ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．过点且在x、y轴截距相等的直线方程为 C．曲线过点的最短弦长为； D．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围 三、填空题 6．(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)已知直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程为 ． 地 城 考点03 圆与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)圆：与圆：的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 2．(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校·期中)圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．相离 3．(24-25高二上·广西来宾忻城县高级中学·期中)已知圆：，圆：，则与的位置关系是（    ） A．外切 B．内切 C．外离 D．相交 4．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、多选题 5．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)已知圆，圆，（，且，不同时为0）交于不同的两点，，下列结论正确的是(    ) A． B． C． D． 6．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C．曲线与曲线恰有三条公切线，则 D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点 三、填空题 7．(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)圆与圆的位置关系为外切，则的值为 . 8．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)已知点，若圆上存在点满足，则实数的取值范围是 . 地 城 考点04 解答题 1．(24-25高二上·广西梧州·)已知直线过点且与圆相切. (1)求直线的方程； (2)若圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程. 2．(24-25高二上·广西来宾忻城县高级中学·期中)已知圆经过点，，且圆与轴相切． (1)求圆的一般方程； (2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程． 3．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)已知圆：.若直线：与圆相交于A，B两点，且. (1)求圆的方程； (2)请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为点的坐标，求过点与圆相切的直线的方程. ①；②. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 4．(24-25高二上·广西合浦县·期中)已知在中，，，． (1)求的外接圆的标准方程； (2)过点作的外接圆的切线，求该切线方程． 5．(24-25高二上·广西合浦县·期中)已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等． (1)求直线的倾斜角； (2)若直线过点，求直线的方程； (3)若直线与直线垂直，且直线被圆截得的弦长为2，求直线在轴上的截距． 6．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)已知圆． (1)求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径： (2)若直线与圆交于A，B两点，且，求的值． 7．(24-25高二上·广西玉林容县高级中学·)已知圆C的方程为：． (1)若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； (2)过点作圆C的切线，求切线方程． 8．(24-25高二上·广西来宾忻城县高级中学·期中)平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，且经过点，直线的方程为． (1)求圆的标准方程； (2)若与圆相切，求m的值； (3)若直线被圆截得的弦长，求的值. 9．(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校·期中)已知和为圆上两点． (1)求圆的方程； (2)过点向圆作切线，求切线的方程； 10．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)年月日是郑和下西洋周年纪念日，也是第个中国航海日.设立“航 海日”对于我国开发海洋、维护海权、加强海防、实现建 设航天强国和海洋强国的目的，有着十分深远的战略意义. 在某次任务中，为了保证南沙群岛附近海域航行的安全， 我国航海部门在南沙群岛的中心岛屿正西与正北两个方 向，分别设立了观测站，它们与南沙群岛中心岛屿 的距离分别为海里和海里.某时段，为了检 测观察的实际范围（即安全预警区），派出一艘观察船，始终要求巡视行驶过程中观察船 的位置到观测站的距离与南沙群岛中心岛屿的距离之商为.    (1)求小船的运动轨迹方程； (2)为了探查更远的范围，航海部门又安排一艘巡艇，从观测站出发，往观测站方向直线行驶，规定巡艇不进入预警区，求的取值范围. 11．(24-25高二上·广西南宁普通高中·期中)为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系. (1)试写出的坐标，并求两个观测点之间的距离； (2)试求经过三点的圆的标准方程； (3)某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 12．(24-25高二上·广西名校联盟·期中)若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上. (1)求圆的标准方程. (2)若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为. （i）求的方程. （ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 试卷第1页，共3页 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆与方程 高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆的位置关系 考点03圆与圆的位置关系 考点04 解答题 地 城 考点01 圆的方程 一、单选题 1．(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校·期中)圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】先化为标准方程可得，故圆心为，半径为.故选：D. 2．(24-25高二上·广西南宁普通高中·期中)已知圆，则该圆的圆心和半径分别是（    ） A．，5 B．，5 C．， D．， 【答案】C 【详解】解：将圆的一般式方程化为标准方程得，所以圆心为，半径为.故选：C. 3．(24-25高二上·广西玉林第一中学·)圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】圆的方程可化为：，圆心坐标为，半径.故选：C. 4．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，令，则，即直线恒过定点，则圆的方程为，即，故选：D. 5．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)已知圆，过平面上的点引圆的两条切线，使得，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆，半径，设，设切线与圆分别切于，所以，因为两切线，所以四边形为正方形，所以，点P在以C为圆心，2为半径的圆上,则的轨迹方程为．故选：B．   6．(24-25高二上·广西部分名校·)已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为，所以，又在圆：上，故，即的方程为．故选：C 7．(24-25高二上·广西梧州·)已知圆关于直线对称，则圆的半径为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】由，可得圆的圆心为.因为圆关于直线对称， 所以由圆的对称性可知，圆心在直线上，则，解得，故圆，可化为，所以圆的半径为.故选：A. 8．(24-25高二上·广西来宾忻城县高级中学·期中)方程所表示的圆的最大面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意整理可得：，则，解得， 且圆的半径，当且仅当时，等号成立，即圆的半径最大值为3，所以圆的最大面积为.故选：B. 二、多选题 9．(24-25高二上·广西南宁普通高中·期中)若是一个圆的方程，则实数可取的值有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】是一个圆的方程，，解得：， 实数可取的值有和.故选：CD. 三、填空题 10．(24-25高二上·广西南宁琼林高级中学·期中)若点在圆上,则实数 . 【答案】或 【详解】解：因为点在圆上,则点的坐标满足圆的方程，即，得解得：或.故答案为或. 11．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)已知实数满足，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】方程可化为，所以是以为圆心，半径为的圆上的点，与的距离是，所以的最小值是.故答案为：   12．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)已知点，若圆上存在点满足，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，设，则，，因为，整理可得，即点P在以为圆心，半径的圆上，可知两圆有公共点，则，即，整理可得，解得或，所以实数的取值范围是.故答案为：. 地 城 考点02 直线与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·广西梧州·)已知圆关于直线对称，则圆的半径为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】由，可得圆的圆心为.因为圆关于直线对称， 所以由圆的对称性可知，圆心在直线上，则，解得，故圆，可化为，所以圆的半径为.故选：A. 2．(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校·期中)已知圆为直线上的一个动点，过点作圆的切线，切点分别为，若直线关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，根据题意，可得圆的圆心为，半径. 若圆的切线关于直线对称，则，结合直线的斜率， 可知直线的方程为，由，解得，所以， ，由对称性可知，故， 故选：B. 3．(24-25高二上·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】曲线，即，表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分）． 如图，、、，当直线经过点时，，求得；当直线经过点、点时，，求得；当直线和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得，求得，或（舍去），故要求的实数的范围为或， 故选：C． 4．(24-25高二上·广西玉林容县高级中学·)若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A．] B． C． D． 【答案】A 【详解】曲线即为半圆：，其图象如图所示，曲线与轴的交点为，而直线为过的动直线， 当直线与半圆相切时，有，解得，当直线过时，有，因为直线与半圆有两个不同的交点，故，故选：A. 二、多选题 5．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)下列说法正确的是（   ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．过点且在x、y轴截距相等的直线方程为 C．曲线过点的最短弦长为； D．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围 【答案】AC 【详解】A：与直线垂直的直线斜率为，故所求直线为，即，对； B：若截距不为0时，令直线为，则，此时直线方程为，错； C：由，是焦点为的抛物线，故过点的最短弦为通径，长度为，对； D：由过定点，是圆上半部分，如下图，当动直线与半圆的左上方相切时，有，即，得，当动直线过半圆左侧端点时，即，结合图知，，D错. 故选：AC 三、填空题 6．(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)已知直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【详解】因为，所以点P在圆外．当直线l的斜率存在时，设其方程为，即．由题意知圆O的圆心坐标为O（0，0），半径为2．因为圆心到切线的距离等于半径，所以，解得，故直线l的方程为．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，也满足条件．故直线l的方程为或．故答案为：或. 地 城 考点03 圆与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)圆：与圆：的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 【答案】A 【详解】圆：的圆心为，半径为.圆：的圆心为，半径为.，，所以两圆相交.故选：A 2．(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校·期中)圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．相离 【答案】A 【详解】由已知得圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 故，所以圆与圆相交.故选：A. 3．(24-25高二上·广西来宾忻城县高级中学·期中)已知圆：，圆：，则与的位置关系是（    ） A．外切 B．内切 C．外离 D．相交 【答案】D 【详解】因为的圆心为，半径，的圆心为，半径，所以，所以，所以与两圆相交，故选：D. 4．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】由已知条件可知，且，蒙日圆方程为，蒙日圆的圆心为原点，半径为，圆的圆心为，半径为，因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切，则或，又因为，所以，或，解得或，故选：B. 二、多选题 5．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)已知圆，圆，（，且，不同时为0）交于不同的两点，，下列结论正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】圆和圆交于不同的两点，， ∴两圆方程相减可得直线的方程为：，即，分别把点，两点坐标代入得：，，上面两式相减得：，即，所以选项A正确；由上得：，所以选项B正确；∵两圆的半径相等，∴由圆的性质可知，线段与线段互相平分，则有，，变形可得，，故C正确，D错误.故选：ABC 6．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C．曲线与曲线恰有三条公切线，则 D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点 【答案】BCD 【详解】由，得，联立，解得， 直线恒过定点，故A错误；圆心到直线的距离等于1，直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线的距离等于1，故B正确；两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线化为标准式，曲线化为标准式，圆心距为，解得，故C正确；设点的坐标为，，以为直径的圆的方程为，两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，，令，，解得，，故直线经过定点，，故D正确．故选：BCD 三、填空题 7．(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)圆与圆的位置关系为外切，则的值为 . 【答案】 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为，两圆心之间的距离，且两圆外切，，，故答案为：. 8．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)已知点，若圆上存在点满足，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，设，则，，因为，整理可得，即点P在以为圆心，半径的圆上，可知两圆有公共点，则，即，整理可得，解得或，所以实数的取值范围是.故答案为：. 地 城 考点04 解答题 1．(24-25高二上·广西梧州·)已知直线过点且与圆相切. (1)求直线的方程； (2)若圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程. 【详解】（1）可化为，即圆心为，半径为 将点的坐标代入圆的方程，成立，则点在圆上， 点与点连线的斜率为，所以直线的斜率为1， 故直线的方程为，即. （2）设所求圆的圆心坐标为，由于该圆与轴相切，因此该圆的半径为， 所以该圆的方程是. 因为该圆被直线截得的弦长为，所以该圆圆心到直线的距离， 由，解得.故圆的标准方程为或. 2．(24-25高二上·广西来宾忻城县高级中学·期中)已知圆经过点，，且圆与轴相切． (1)求圆的一般方程； (2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程． 【详解】（1）设圆的方程为，因为圆过点，，又跟轴相切， 圆必在轴右侧，且跟轴的切点为，圆心的纵坐标为． ，解得， 圆的方程为，化简得． （2）解：设．因为为线段的中点，所以， 因为点是圆上的动点，所以，即， 所以的轨迹方程为． 3．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)已知圆：.若直线：与圆相交于A，B两点，且. (1)求圆的方程； (2)请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为点的坐标，求过点与圆相切的直线的方程. ①；②. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【详解】（1）如图所示，过圆心O做垂直于AB的垂线交AB于C点，根据点点到直线距离公式：，，根据勾股定理：，得圆的方程： （2）选①：由（1）可知点在圆外，若切线斜率不存在， ，由图可知为过点P与圆相切的直线的方程；若斜率存在，根据点斜式设直线的方程为，整理为一般式，因为直线与圆相切，则，解得， 直线的方程为：， 综上所述过点与圆相切的直线的方程为或. 选②：由（1）可知点在圆上，的直线方程为， 则过点与圆相切的直线与垂直，斜率为 根据点斜式设直线的方程为，整理为一般式. 4．(24-25高二上·广西合浦县·期中)已知在中，，，． (1)求的外接圆的标准方程； (2)过点作的外接圆的切线，求该切线方程． 【详解】（1）设的外接圆的标准方程为，则 解得故的外接圆的标准方程为． （2）由（1）得外接圆的圆心为，半径为5． 因为，所以切线的斜率为， 故所求切线方程为，即． 5．(24-25高二上·广西合浦县·期中)已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等． (1)求直线的倾斜角； (2)若直线过点，求直线的方程； (3)若直线与直线垂直，且直线被圆截得的弦长为2，求直线在轴上的截距． 【详解】（1）设直线，即， 则直线的斜率为，根据，可求得倾斜角为； （2）将点的坐标代入，可得， 所以直线的方程为； （3）因为直线与直线垂直，所以可设， 因为点到直线的距离，所以， 解得，则直线在轴上的截距为. 6．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)已知圆． (1)求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径： (2)若直线与圆交于A，B两点，且，求的值． 【详解】（1）由，得， 则圆的标准方程为，圆的圆心坐标，半径为． （2）由，得圆心到直线的距离为， 则圆心到直线的距离，得或． 7．(24-25高二上·广西玉林容县高级中学·)已知圆C的方程为：． (1)若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； (2)过点作圆C的切线，求切线方程． 【详解】（1）圆的方程为：，则圆的圆心为，半径为2， 直线与圆相交于、两点，且， 则，解得或； （2）当切线的斜率不存在时，直线，与圆相切， 切线的斜率存在时，可设切线为，即， 由切线的定义可知，，解得，故切线方程为， 综上所述，切线方程为或． 8．(24-25高二上·广西来宾忻城县高级中学·期中)平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，且经过点，直线的方程为． (1)求圆的标准方程； (2)若与圆相切，求m的值； (3)若直线被圆截得的弦长，求的值. 【详解】（1）由题意知，，所以圆的方程为． （2）若与圆相切，则圆心到直线的距离， 解得或 （3）设圆心到直线的距离为，则有 因为，所以， 由点到直线的距离公式得，解得或． 9．(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校·期中)已知和为圆上两点． (1)求圆的方程； (2)过点向圆作切线，求切线的方程； 【详解】（1）∵和为圆上两点． ∴，解得，∴圆的方程为：. （2）若切线的斜率不存在，则切线的方程为． 若切线的斜率存在，设切线的方程为，即． 因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为5，即，解得， 所以切线的方程为，即． 综上，切线的方程为或． 10．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)年月日是郑和下西洋周年纪念日，也是第个中国航海日.设立“航 海日”对于我国开发海洋、维护海权、加强海防、实现建 设航天强国和海洋强国的目的，有着十分深远的战略意义. 在某次任务中，为了保证南沙群岛附近海域航行的安全， 我国航海部门在南沙群岛的中心岛屿正西与正北两个方 向，分别设立了观测站，它们与南沙群岛中心岛屿 的距离分别为海里和海里.某时段，为了检 测观察的实际范围（即安全预警区），派出一艘观察船，始终要求巡视行驶过程中观察船 的位置到观测站的距离与南沙群岛中心岛屿的距离之商为.    (1)求小船的运动轨迹方程； (2)为了探查更远的范围，航海部门又安排一艘巡艇，从观测站出发，往观测站方向直线行驶，规定巡艇不进入预警区，求的取值范围. 【详解】（1）根据已知条件设以为坐标原点，为轴的正方向，建立平面直角坐标系，根据已知条件设且，   由有，； ，即， 整理得，它是以为圆心，为半径的圆． 所以小船的运动的轨迹方程为：． （2）由（1）可知，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直， 所以直线截距式方程为化为一般式方程为， 根据题意，，解得，所以综上可知的取值范围为． 11．(24-25高二上·广西南宁普通高中·期中)为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系. (1)试写出的坐标，并求两个观测点之间的距离； (2)试求经过三点的圆的标准方程； (3)某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 【详解】（1）由题意知：，，， ，，. （2）设经过三点的圆的方程为：， ，解得：， 所求圆的一般方程为：， 则经过三点的圆的标准方程为：. （3）由题意知：，则轮船航向所在直线方程为：，即， 由（2）知：经过三点的圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 直线与圆相交，即轮船会进入安全预警区； 设直线与圆的交点为，则， 则轮船在安全预警区内会行驶小时. 12．(24-25高二上·广西名校联盟·期中)若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上. (1)求圆的标准方程. (2)若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为. （i）求的方程. （ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【详解】（1）因为圆心在直线上，设，且点，均在圆上，则，可得，解得， 即圆心为，半径，所以圆的标准方程为. （2）（i）因为，由题意可得：， 可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆，所以的方程为； （ⅱ）若直线l的斜率存在，设直线l：，， 联立方程，消去y可得， 则，且， 因为， 整理可得， 则 可得，即或， 当，直线过定点； 当，直线过定点，不合题意； 可知直线过定点； 若直线l的斜率不存在，设， 则，即， 且在圆上，则， 即，解得，不合题意； 综上所述：直线过定点. 试卷第1页，共3页 10 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $