2.2 基本不等式基础题型训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一上学期数学人教（A）版必修第一册 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 基础题型训练 题型一 比较大小＆判断不等式成立 1.（2025河南省实验中学月考）已知,都是正数,则“”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.（2024江苏连云港期末）已知, 都是正数,则下列关系正确的是( ) A. B. C. D. 3.（多选/2025福建福州期中联考）下列结论正确的有( ) A.当时, B.当时, C.当时, D.当时, 题型二 直接求最值 4.（2025陕西西安期末）已知正数,满足,则 的最小值为( ) A.2 B. C. D. 5.（2024黑龙江哈尔滨九中开学考试）已知正实数,满足 ,则 的最大值是( ) A.2 B. C. D. 6.（2025重庆期末联考）已知,都是正实数,若,则 的最大值为__. 题型三 多次利用基本不等式求最值 7.（2025天津红桥区期中）已知,,则 的最小值为( ) A. B. C.4 D.2 8.（2024辽宁朝阳联考）已知,则 的最小值为___. 题型四 配凑定值 9.（2025湖南湘潭期末）已知,则 的最小值为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 10.若,则 的最小值为( ) A.2 B.4 C.5 D.6 11.（2024广东广州大学附中月考）已知,则取最大值时 的值为 ( ) A.1 B. C. D. 12.（2025兰州一中期中）已知,,且,则 的最大值为____. 13.（2025河北沧州期中）已知实数,,满足,则 的最大值为__. 题型五 “1”的代换 14.（2025江西吉安检测）已知,,,则 的最小值为( ) A.32 B.24 C.16 D.8 15.（2024河北张家口开学考试）已知,,且,则 的最小值为____. 16.（2025浙江杭师大附中期中）若两个正实数,满足,则 的最小值为__. 17.（2025江苏盐城期中）已知,,,则 的最小值为( ) A.2 B.4 C.1 D.3 18.（2025四川成都石室中学月考）已知,,,则 的最小值为( ) A. B. C. D. 19.（2024辽宁省实验中学检测）设,,,则 的最小值为___________. 题型六 利用基本不等式证明不等式 20.（1） 已知实数,,均大于0,证明： . （2） （2025江苏镇江期末）已知,,证明: . 21. （2025四川德阳检测）已知,,,且 ,证明: （1） ； （2） . 题型七 利用基本不等式解决恒成立问题 22.（2025江苏泰州检测）若对于任意,恒成立,则 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 23.（2025湖南师大附中期中）已知,,且恒成立,则 的最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 题型八 基本不等式的实际应用 24.（2025辽宁锦州期末）某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准,需要加入某种药剂,加入药剂后,药剂的浓度（单位:）随时间（单位: ）的变化关系可近似地用函数 刻画.由此可以判断,要使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值,需经过( ) A. B. C. D. 25.（2025江苏镇江期末）如图,互相垂直的两条小路, 旁有一长方形花坛,其中, .现欲经 过点修一条直路,交小路,分别为点, .计划准备将 长方形花坛扩建成一个更大的三角形花坛 .要求 的长不小于且不大于.记三角形花园 的面积 为 . （1） 设,试用表示,并求 的取值范围； （2） 当的长度是多少时, 取最小值？最小值是多少？ 参考答案 1.B【解析】 由题意可知当时，可取,，显然不能推出 当时，且,，所以 ，（基本不等式的应用）即，解得 ， 所以“”是“ ”的必要不充分条件. 2.C【解析】对比【大招16】的基本不等式链知选项C正确. 由基本不等式可得,所以 , 因为,所以,所以,所以 . 综上可得, （用代数方法证明了基本不等式链）,当且仅当 时等号成立. 3.AD【解析】 当时，，，（一正） （二定），所以 ， 当且仅当,即 时取等号；（三相等） ，当且仅当，即时取等号，又因为 （不满足“三相等”），故等号取不到； 当时，，，所以 当时，,，，当且仅当，即 时取等号. 4.D【解析】 积定求和最小，直接应用基本不等式即可.因为正数，满足 ，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为 . 5.B【解析】 ,即,当且仅当 时等号成立,所以的最大值为 . 6. 【解析】 满足和为定值，可直接利用基本不等式求解. ，可得，当且仅当，即, 时，取等号，所以的最大值为 . 7.D【解析】 因为,，所以 ，当且仅当，且 ，（连续两次使用基本不等式,注意取等条件应一致）即,时，取等号，所以 的最小值为2. 8.8【解析】 由得,则 (第一次用基本不等式：由消去),当且仅当即 时,等号成立. （第二次用基本不等式：求最值）,当且仅当即 时,等号成立. 因此,当时（连续用基本不等式时注意同时取等号）, 取 得最小值8. 9.C【解析】 由题意得，（一正）则 ，（二定） 当且仅当，即时，等号成立.（三相等）故 的最小值为3. 10.B【解析】 方法一：二次比一次型,将分子向分母配凑.因为,所以 , ,所以 （分离变量得积为定值）,当且仅当,即时,等号成立,故 的最小值为4. 方法二：二次比一次型,对分母换元利于配凑.令,则,又因为 ,所以 . 则,当且仅当,即 , 时等号成立, 故 的最小值为4. 11.C【解析】 因为,所以 ,当且 仅当时等号成立,因为,所以 . 12.25【解析】 配凑法.由，得 ，则 ， 当且仅当，即,时，取等号，所以 的最大值为25. 消元法.因为,所以 ，则 ， 又因为，则结合二次函数图象可知当时， 取到最大值25，即 的最大值为25. 13.1【解析】 由，得，所以 ，（对条件和所求分别变形成相同形式）当且仅当时取等号，故 的最大值为1. 14.A【解析】初始定值条件可化为1后，利用“1”的代换求出最值. ,,由，得 ，则 ， 当且仅当，即时等号成立，所以 的最小值为32. 15.11 【解析】 因为,,所以 , , 当且仅当即时等号成立,所以 的最小值为11. 16.2【解析】 因为正实数，满足，所以 ， 所以 ， 当且仅当，即， 时取等号. 17.D【解析】 因为,, ，所以 ， 当且仅当，即时取等号，所以 的最小值为3. 18.D【解析】 对分子进行“1”的代换,构造成二次. ,当且仅当 即时,等号成立,所以的最小值为 . 19. 【解析】 ,,,又 , ,当且仅当即时等号成立, 的最小值为 20.(1)【答案】根据待证不等式结构选用 ,当且仅当时等号成立,所以 . (2)【答案】 因为,，所以，当且仅当 时取等号， ，当且仅当 时取等号，所以 ,因此 . 21.(1)【答案】 因为 （配凑积为定值的形式） ， 当且仅当时等号成立，故 ，当且仅当 时等号成立， 故 成立. (2)【答案】 ,（通过“1”的代 换进行齐次化） 由基本不等式得，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， 故 ， 当且仅当 时等号成立. 22.B【解析】 因为不等式对任意恒成立,所以大于或等于 的最大值.因为,所以,当且仅当, 时等号成立,所以 . 23.B【解析】 因为,，则,, ，又因为 恒成立， 即恒成立.（分离变量，将不等式右侧分母乘到左侧）又因为 ， 当且仅当，即时取等号，所以 . 24.C【解析】 依题意，，所以 ，所以 ，当且仅当，即 时等号成立，故由此可判断，要使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过 . 25.(1)【答案】依题意可得，所以，即，可得 ， 因此，又要求的长不小于且不大于 ，即 ，解得，即, . (2)【答案】 易知 ，所以 ， 由基本不等式可得 , 当且仅当，即时，等号成立，此时 取得 最小值1 200. 因此当时，取得最小值，最小值为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $