专题02 空间向量在立体几何中的应用（期中真题汇编，黑龙江专用）高二数学上学期人教A版

专题02 空间向量在立体几何中的应用 3大高频考点概览 考点01 空间向量证明平行垂直问题 考点02 空间向量在立体几何中求夹角 考点03 空间向量在立体几何中求距离 ( 地 城 考点01 空间向量证明平行垂直问题 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨市·期中）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高二上·黑龙江黑河市·期中）已知平面的法向量，平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 3．（24-25高二上·黑龙江牡丹江市·期中）设直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A． B． C． D．或 4．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔市·期中）如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二面角，得到四面体，则下列叙述正确的是（    ） ①平面的法向量与平面的法向量垂直； ②异面直线与所成的角的余弦值为； ③四面体有外接球且该球的半径等于棱BD长； ④直线与平面所成的角为． A．①②④ B．③ C．③④ D．②③④ 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江哈牡丹江市·期中）已知空间中三点，则下列结论正确的有（    ） A． B．与共线的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是 6．（24-25高二上·黑龙江绥化市·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（    ） A．当时，EP//平面 B．当时，取得最小值，其值为 C．的最小值为 D．当平面CEP时， 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江鸡西市·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则 . 8．（24-25高二上·黑龙江鹤岗市·期中）已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是 . 9．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨市·期中）如图，在正方体中，分别是的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）棱上是否存在点，使得平面？请证明你的结论． 10．（24-25高二上·黑龙江牡丹江市·期中）如图，已知直三棱柱中，，为的中点，，求证： (1)； (2)∥平面． ( 地 城 考点0 2 空间向量在立体几何求夹角 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江牡丹江市·期中）若两异面直线与的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江黑河市·期中）在正方体中，直线与平面所成的角为（    ）.    A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江伊春市·期中）如图，在长方体中，，为的中点，则异面直线与所成角的大小是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·黑龙江鹤岗市·期中）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江七台河市·期中）直线的方向向量为，两个平面、的法向量分别为、，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则平面、所成夹角的大小为 6．（24-25高二上·黑龙江绥化市·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，四边形ABCD是边长为2的菱形，且，，M，N分别是棱，的中点，则（   ） A． B． C．平面平面 D．直线PB与平面PAD所成角的正弦值为 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江牡丹江市·期中）在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为 . 8．（24-25高二上·黑龙江佳木斯市·期中）正四棱柱中，，与平面所成角的正弦值为，则 ． 9．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，等腰梯形是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)试问在内是否存在一点，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由. 10．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）如图，点在以为圆心，AB为直径的圆的圆周上运动（异于A，B两点），为平面外一点，且平面交PC于点是的中点． (1)证明：； (2)当时，求平面和平面夹角的正弦值． ( 地 城 考点0 3 空间向量在立体几何中求距离 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为（    ） A． B．4 C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·期中）如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是（    ）    A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．对于任意点，到的距离的取值范围为 D．对于任意点，都不是锐角三角形 6．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知正方体的棱长为1，则下列说法正确的是（    ） A．直线与所成的角为 B．点与平面的距离为 C．直线与平面所成的角为 D．平面与平面所成的角为 三、填空题 7．（24-25高二上·黑龙江双鸭山·期中）已知平面的法向量为上一点，则点到的距离为 . 8．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在长方体中，，，､､分别是､､的中点，则直线到平面的距离为 . 9．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方体的棱长为2，E、F为空间内两点且，，.当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 . 10．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在棱长为的正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 11．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知矩形中， ，，是的中点，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面.    (1)证明：； (2)已知在线段上存在点（点与点，均不重合），使得与平面所成的角的正弦值是. ①求的值； ②求点到平面的距离. 12．（24-25高二上·黑龙江伊春·期中）在棱长为的正方体中，求 (1)直线与平面所成的角； (2)求平面与平面的距离； (3)求三棱锥外接球的表面积； 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量在立体几何中的应用 3大高频考点概览 考点01 空间向量证明平行垂直问题 考点02 空间向量在立体几何中求夹角 考点03 空间向量在立体几何中求距离 ( 地 城 考点01 空间向量证明平行垂直问题 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨市·期中）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】确定两个向量是否垂直即可． 【详解】选项A，； 选项B，； 选项C，； 选项D，，D可能满足直线与平面平行． 故选：D． 2．（24-25高二上·黑龙江黑河市·期中）已知平面的法向量，平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由题设知，结合它们的坐标得即可求，进而求. 【详解】由，知：，则，解得，，故. 故选：C 3．（24-25高二上·黑龙江牡丹江市·期中）设直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】依题意可得，即可判断. 【详解】∵直线的方向向量为，平面的法向量为且，即， ∴或. 故选：D 4．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔市·期中）如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二面角，得到四面体，则下列叙述正确的是（    ） ①平面的法向量与平面的法向量垂直； ②异面直线与所成的角的余弦值为； ③四面体有外接球且该球的半径等于棱BD长； ④直线与平面所成的角为． A．①②④ B．③ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】对①：由平面与平面不垂直，即可判断； 对②：过点作和平行且相等，则四边形为矩形，（或其补角）为异面直线与所成的角，解三角形即可得判断； 对③：设中点为，中点为，则，分别为直角三角形和直角三角形的外接圆的圆心，又平面，所以为四面体外接球球心，从而即可判断； 对④：由平面，可得为直线与平面所成的角，从而即可判断. 【详解】解：对①：由题意，平面与平面不垂直，所以平面的法向量与平面的法向量不垂直，故①错误； 对②：设，则，，过点作和平行且相等，则由题意可得为矩形， （或其补角）为异面直线与所成的角， 由题意，平面平面，且交线为，又，所以平面， 所以，同理， 因为， 所以在等腰三角形中，， 所以异面直线与所成的角的余弦值为，故②错误； 对③：设中点为，中点为，则，分别为直角三角形和直角三角的外接圆的圆心，又易得平面，所以为四面体外接球球心，半径为,因为，所以四面体外接球半径为，故③正确； 对④：由平面，可得为在平面内的射影， 所以为直线与平面所成的角，故④正确. 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江哈牡丹江市·期中）已知空间中三点，则下列结论正确的有（    ） A． B．与共线的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是 【答案】AD 【分析】对于A，通过计算来判断，对于B，利用共线单位向量的定义求解，对于C，利用向量的夹角公式求解，对于D，利用法向量的定义求解. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以与共线的单位向量为， 或，所以B错误， 对于C，因为， 所以，所以C错误， 对于D，因为，， 所以， 所以，所以平面ABC的一个法向量是，所以D正确， 故选：AD. 6．（24-25高二上·黑龙江绥化市·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（    ） A．当时，EP//平面 B．当时，取得最小值，其值为 C．的最小值为 D．当平面CEP时， 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用两点间距离公式计算判断BC；确定直线与平面CEP交点的位置判断D作答. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ，则点， 对于A，，，，而， 显然，即是平面的一个法向量， 而，因此不平行于平面，即直线与平面不平行，A错误； 对于B，，则， 因此当时，取得最小值，B正确； 对于C，， 于是，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，取的中点，连接，如图， 因为E为边AD的中点，则，当平面CEP时，平面， 连接，连接，连接，显然平面平面， 因此，平面，平面，则平面， 即有，而，所以，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江鸡西市·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则 . 【答案】 【分析】根据平面法向量的性质，结合空间向量平行的性质的坐标进行求解即可. 【详解】设平面的法向量为 因为， 所以， 所以有， 故答案为： 8．（24-25高二上·黑龙江鹤岗市·期中）已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是 . 【答案】6 【分析】根据空间向量的平行列式求值即可得解. 【详解】∵，∴的法向量与的法向量也互相平行. ∴，∴. 故答案为：6. 9．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨市·期中）如图，在正方体中，分别是的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）棱上是否存在点，使得平面？请证明你的结论． 【答案】（1）；（2）存在点，满足，使得平面；证明见解析 【分析】以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设棱长为，可得各点坐标，设所成角为，则利用可求得结果；（2）设存在点，满足题意；求得平面的法向量后，根据，得到，从而求得，进而得到结果. 【详解】以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系： 设正方体棱长为 则，，，，，，， （1）设异面直线与所成角为 ， ，即异面直线与所成角的余弦值为： （2）假设在棱上存在点，，使得平面 则，， 设平面的法向量 ，令，则，     ，解得：   棱上存在点，满足，使得平面 【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角、存在性问题的求解，重点考查了空间向量法求解立体几何中的角度和位置关系问题；处理存在性问题的关键是假设成立，利用直线与平面平行等价于直线与平面的法向量垂直来构造方程，求得未知量. 10．（24-25高二上·黑龙江牡丹江市·期中）如图，已知直三棱柱中，，为的中点，，求证： (1)； (2)∥平面． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积证明线线垂直，（2）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量共线证明线线平行，再根据线面平行判定定理得结果. 【详解】证明：如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 设AC＝BC＝BB1＝2， 则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)． (1)由于＝(0，－2，－2)，＝(－2,2，－2)， 所以＝0－4＋4＝0， 因此⊥，故BC1⊥AB1. (2)连接A1C，取A1C的中点E，连接DE，由于E(1,0,1)，所以＝(0,1,1)，又＝(0，－2，－2)， 所以＝－，又ED和BC1不共线， 所以ED∥BC1，又DE⊂平面CA1D， BC1⊄平面CA1D，故BC1∥平面CA1D. 【点睛】本题考查利用空间直角坐标系证明线线垂直与线面平行，考查基本分析求证能力. 属于中档题. ( 地 城 考点0 2 空间向量在立体几何求夹角 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江牡丹江市·期中）若两异面直线与的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设异面直线与所成的角为，根据，即可求解. 【详解】由题意，两异面直线与的方向向量分别是，， 可得，，， 设异面直线与所成的角为，则， 又因为，所以， 即直线与的夹角为. 故选：A. 2．（24-25高二上·黑龙江黑河市·期中）在正方体中，直线与平面所成的角为（    ）.    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可. 【详解】    如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 直线与平面所成的角为， 则，令，即， 所以， 所以. 故选：B 3．（24-25高二上·黑龙江伊春市·期中）如图，在长方体中，，为的中点，则异面直线与所成角的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量求得，即可得结果. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 设，由，则，， 所以，，，，． 因为为的中点，所以，，， 所以，所以， 即异面直线与所成角的大小为． 故选：D 4．（24-25高二上·黑龙江鹤岗市·期中）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得到直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量求解公式得到答案. 【详解】由题意得，直线的方向向量为，平面的法向量为， 设直线与平面所成角的大小为， 则 故选：A 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江七台河市·期中）直线的方向向量为，两个平面、的法向量分别为、，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则平面、所成夹角的大小为 【答案】BCD 【分析】利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A，若，则或，A错； 对于B，若，则，B对； 对于C，若，则直线与平面所成角的大小为，C对； 对于D，若，则平面、所成夹角的大小为，D对. 故选：BCD. 6．（24-25高二上·黑龙江绥化市·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，四边形ABCD是边长为2的菱形，且，，M，N分别是棱，的中点，则（   ） A． B． C．平面平面 D．直线PB与平面PAD所成角的正弦值为 【答案】BCD 【分析】建立适当的空间直角坐标系，由模长公式可验算A，由数量积的运算律可验算B，求出两个平面的法向量验算其数量积即可；对于D，求出直线方向向量与平面法向量即可验算. 【详解】由题意过点作于点，因为平面，平面， 所以， 因为，所以， 所以两两互相垂直， 故以为原点分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 因为， 所以， ， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，显然的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 而， 从而，令，解得， 所以， 所以，故C正确； 对于D，,设平面PAD的一个法向量为， 则，令，解得， 所以的一个法向量为，而， 从而，则直线与平面所成角的正弦值为，故D正确. 故选：BCD. 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江牡丹江市·期中）在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为 . 【答案】 【分析】应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小. 【详解】设直线与平面所成的角为， 则，所以. 故答案为： 8．（24-25高二上·黑龙江佳木斯市·期中）正四棱柱中，，与平面所成角的正弦值为，则 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面角的正弦值求出的长 【详解】 如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因为棱柱为正四棱柱，设， 则， 其中平面的一个法向量为， 设与平面所成角为， 则， 得：，即 故答案为： 9．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，等腰梯形是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)试问在内是否存在一点，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)不存在，理由见解析； 【分析】（1）根据全等三角形性质，利用线面垂直判定定理可证明平面，再由线面垂直性质可得； （2）利用空间向量，求出平面法向量以及直线的方向向量，根据线面角与空间向量之间的关系即可求得结果； （2）设， 利用向量法能求出点的坐标，从而求出的长度． 【详解】（1）在图1连接交于点， 在图2中，知、都是等边三角形， 得，，又，平面， 可得平面； 又直线平面， 所以. （2）因为，，则在中，由， 由余弦定理得，作，垂足为，连接，得，， 如图，以的中点为原点，，，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 因此， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则； 即向量， 设直线与平面所成角为，则， 直线与平面所成角的正弦值为， （3）假设在内存在点，使得平面成立，， 设，，， ， 由，得， 解得，不满足题意，所以不存在使得平面成立； 10．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）如图，点在以为圆心，AB为直径的圆的圆周上运动（异于A，B两点），为平面外一点，且平面交PC于点是的中点． (1)证明：； (2)当时，求平面和平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证平面，得，再证平面得，然后证明平面，得证； （2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角． 【详解】（1）因为点在以O为圆心，为直径的圆的圆周上运动， 所以． 因为平面平面ABC，所以， 因为平面， 所以平面． 因为平面，所以． 因为平面, 所以平面，又因为平面，所以． 因为是的中点， 所以，且，平面， 所以平面， 因为平面，所以 （2）设， 则． 由等面积法可得． 因为，所以，． 因为，所以，即， 即，解得，即． ，因此， ，， 以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则， ，，， 设平面的法向量为， 所以令1，可得，即． 设平面的法向量为， 令，可得，即． 设平面和平面夹角为， 则， 所以平面和平面夹角的正弦值为． ( 地 城 考点0 3 空间向量在立体几何中求距离 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江大庆·期中）已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先求出向量，再计算与夹角的余弦值，进而得到正弦值，最后利用距离公式求出点到直线的距离. 【详解】点，点，所以. . 根据向量点积公式可得： 因为，所以： 且， 则点到直线的距离为. 故选：C. 2．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量法可得出，即可得解. 【详解】因为平面的一个法向量为，点在外，点在内， 且，则点到平面的距离. 故选：C. 3．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·期中）如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 计算出和的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解. 【详解】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，， 因为，所以， ，， ，， 所以点P到AB的距离． 故选：C. 4．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为直线上任意一点，过作，垂足为，利用向量表示，，再结合向量模的性质求的最小值，由此可得结论. 【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为， 设 ，， 则 ， 因为，所以 即 所以，所以， 所以， ∴当时， 取得最小值， 故直线与之间的距离是 故选：B. 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是（    ）    A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．对于任意点，到的距离的取值范围为 D．对于任意点，都不是锐角三角形 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，设出点坐标，表达出，，可判断A和B；写出到的距离的表达式可判断C；求出，两个向量的夹角的余弦值表达式，即可得出的形状可判断D. 【详解】由题意，在正方体中，棱长为1，是棱上的动点， 建立空间直角坐标系如图所示，    所以，，，， ，，，， 设，其中， 所以，， 对于A，当，即，所以，方程组无解， 所以不存在使得，即不存在点，使得，故A错误； 对于B，当时，解得，即当点与点重合时，故B正确； 对于C，因为， 所以点到的距离为，故C正确； 对于D，因为，， 所以， 所以为直角三角形或钝角三角形，故D正确. 故选：BCD. 6．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知正方体的棱长为1，则下列说法正确的是（    ） A．直线与所成的角为 B．点与平面的距离为 C．直线与平面所成的角为 D．平面与平面所成的角为 【答案】ABC 【详解】建立空间直角坐标系，利用空间向量相关公式求解线线角，点到平面的距离，面面角和线面角的大小. 【分析】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， A选项，则， 故， 故， 故直线与所成的角为； B选项，设平面的法向量为， ， 令得，，故， 故点到平面的距离为，正确； C选项，因为平面平面， 所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为平面， 所以平面， 故平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角大小为， 显然， 故直线与平面所成的角为，正确. D选项，设平面的法向量为， ， 令，则，故， 平面的法向量为， 故 故平面与平面所成的角不为， 故选: ABC 三、填空题 7．（24-25高二上·黑龙江双鸭山·期中）已知平面的法向量为上一点，则点到的距离为 . 【答案】 【分析】利用空间向量坐标运算的求点到平面的方法即可求解. 【详解】由题意知，所以点到的距离． 故答案为：. 8．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在长方体中，，，､､分别是､､的中点，则直线到平面的距离为 . 【答案】 【分析】以D为原点，DC，DA，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，得到A，C，E，F，H各点坐标，由向量可判定平面，则将问题转化为点E到平面的距离，先求得平面的法向量，再根据距离求解即可. 【详解】以D为原点，DC，DA，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 由题，则，， 因为､､分别是､､的中点， 所以，，， 则，所以，所以平面，所以点E到平面的距离即为直线到平面的距离， 设平面的法向量为，则， 因为，所以，取，则，， 所以是平面的一个法向量， 又向量，所以点E到平面的距离为， 即直线到平面的距离为. 故答案为： 9．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方体的棱长为2，E、F为空间内两点且，，.当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】根据条件得到为中点，在平面内，其中为定值，只需点到平面的距离最大，建立空间直角坐标系，设，，得到平面的法向量，利用点到平面距离的向量公式得到当时，点到平面的距离最大，此时与重合，求出⊥平面，设球心，由得到方程组，求出球心和半径，求出表面积. 【详解】因为，所以为中点， 又，，故在平面内， 其中为定值，只需点到平面的距离最大， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 正方体的棱长为2， 故，设，， 设平面的法向量为， 则， 令得，故， 则到平面的距离， 故当时，点到平面的距离最大，此时，即与重合， 设球心，由得 ， 解得， 故外接球球心为，半径为， 故外接球表面积为.    故答案为： 【点睛】方法点睛：几何体外接球问题，通常要找到几何体的一个特殊平面，利用正弦定理，几何性质找到其外心，求出外接圆的半径，进而找到球心的位置，进而求出半径，也可以利用空间向量的方放，设出球心坐标，待定系数法进行求解 10．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在棱长为的正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）证明，再利用线面平行的判定推理作答. （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦作答. （3）利用（2）中坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离作答. 【详解】（1）在正方体中，， 则四边形为平行四边形，因此， 而平面，平面，所以平面. （2）在棱长为的正方体中，射线两两垂直， 以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， ，棱的中点， 可得， 设平面的法向量， 则， 令，得， 为平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）知，， 所以点到平面的距离. 11．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知矩形中， ，，是的中点，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面.    (1)证明：； (2)已知在线段上存在点（点与点，均不重合），使得与平面所成的角的正弦值是. ①求的值； ②求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）应用面面垂直性质定理得出线面垂直进而得出线线垂直； （2）①先建立空间直角坐标系由线面角的正弦值即可求出比值； ②由空间向量法计算点到平面距离公式计算即可. 【详解】（1）因为矩形，，，是中点，所以， 又，所以，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以. （2）（1）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系.    则，，，，，， 设是的中点，因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，，所以， 设，则， 所以则， 则. 设平面的一个法向量为， 则， 令，可得，， 即为平面的一个法向量， 设与平面所成的角为， 所以， 解得（舍去）， 所以的值为. ②由①得， 所以点到平面的距离. 12．（24-25高二上·黑龙江伊春·期中）在棱长为的正方体中，求 (1)直线与平面所成的角； (2)求平面与平面的距离； (3)求三棱锥外接球的表面积； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求得线面角； （2）先证平面平面，将面到面的距离转化为点到面的距离，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求出点到面的距离即可； （3）根据补形法确定三棱锥的外接球即为正方体的外接球，求出正方体外接球半径，即可求得结果. 【详解】（1） 建立如图所示，以为坐标原点， 、、分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系， 根据题意有：，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即，令，则有， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则有，又因为， 所以 （2） 连接、、、、、， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面；同理可证平面， 又，平面， 所以平面平面； 因为，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，， 令，可得， 则为平面的一个法向量， 所以平面与平面的距离. （3）根据补形法可知三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 设三棱锥的外接球半径为，则， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $