专题01 空间向量（期中真题汇编，黑龙江专用）高二数学上学期人教A版

专题01 空间向量 3大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量的基本定理 考点03 空间向量及其运算坐标表示 ( 地 城 考点01 空间向量及其运算 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨市·期中）设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D．1 2．（24-25高二上·黑龙江绥化市·期中）在四面体PABC中，（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江牡丹江市·期中）在四面体中，点是靠近的三等分点，记，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）正方体的棱长为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江佳木斯市·期中）已知空间四边形ABCD，下列条件中一定能推出的是（     ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·黑龙江鸡西市·期中）如图，正方体的边长为为的中点，动点在正方形内（包含边界）运动，且.下列结论正确的是（   ） A．动点的轨迹长度为； B．异面直线与所成角的正切值为2； C．的最大值为2； D．三棱锥的外接球表面积为. 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江大庆市·期中）在四面体中，，，，，则 ． 8．（24-25高二上·黑龙江七台河市·期中）如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为      9．（24-25高二上·黑龙江鹤岗市·期中）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为 . ( 地 城 考点0 2 空间向量的基本定理 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江双鸭山市·期中）在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江鹤岗市·期中）如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江伊春市·期中）已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（       ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 4．（24-25高二上·黑龙齐齐哈尔市·期中）若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为），则向量在基底下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江绥化市·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若，则是钝角 6．（24-25高二上·黑龙江伊春市·期中）设，，是空间的一个基底，则下列说法不正确的是（    ） A．则，，两两共面，但，，不可能共面 B．若，，则 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D．，，不一定能构成空间的一个基底 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江黑河市·期中）在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 8．（24-25高二上·黑龙江大庆市·期中）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数 . ( 地 城 考点0 3 空间向量及其运算的坐标表示 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图正方体的棱长为1，A，B分别为所在棱的中点，则四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知空间三点，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·黑龙江黑河市·期中）设，向量，且，则等于（　　） A．2 B． C．3 D．4 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江绥化市·期中）已知向量，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25高二上·黑龙江大庆市·期中）若，，与的夹角为，则的值为（    ） A．17 B． C． D．1 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）若，点的坐标为，则点的坐标为 ． 8．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知向量．若向量与向量垂直，则 ． 9．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知向量，则与共线的单位向量 . 10．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 . 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量 3大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量的基本定理 考点03 空间向量及其运算坐标表示 ( 地 城 考点01 空间向量及其运算 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨市·期中）设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先表示出，然后利用数量积公式计算. 【详解】 . 故选：B 2．（24-25高二上·黑龙江绥化市·期中）在四面体PABC中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的计算法则计算即可. 【详解】由题可知 故选：A 3．（24-25高二上·黑龙江牡丹江市·期中）在四面体中，点是靠近的三等分点，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】解：点是靠近的三等分点， . 故选：D. 4．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）正方体的棱长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量数量积的运算律，结合垂直关系即可求解. 【详解】因为正方体的棱长为， 所以， 故选：D. 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江佳木斯市·期中）已知空间四边形ABCD，下列条件中一定能推出的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】应用特殊图形折叠判断A，应用线面垂直判断B，C，应用空间向量的数量积计算判断D. 【详解】对于A，举反例：将一矩形ABCD沿对角线BD翻折，在翻折过程中，始终满足 ，但不一定成立，所以A错误； 对于B，取中点，连，因为，所以， 且平面，平面，平面，进而，故B正确； 对于C，过A作平面，垂足为，连， ，又，平面， 所以平面，平面，进而； 同理可证：，所以为△的垂心， 这样，又，所以平面，平面，可得：，故C正确； 对于D，由条件知，则 ∴， ，∴，即，所以D正确. 故选：BCD. 6．（24-25高二上·黑龙江鸡西市·期中）如图，正方体的边长为为的中点，动点在正方形内（包含边界）运动，且.下列结论正确的是（   ） A．动点的轨迹长度为； B．异面直线与所成角的正切值为2； C．的最大值为2； D．三棱锥的外接球表面积为. 【答案】ACD 【分析】取的中点，分析可知平面.对于A：分析可知动点的轨迹是以点为圆心，半径为1的半圆，即可得结果；对于B：分析可知异面直线与所成角即为，即可得结果；对于C：根据数量积的几何意义分析判断；对于D：分析可知，进而求球的半径和表面积. 【详解】取的中点，连接， 因为分别为的中点，则∥，且， 又因为平面，则平面， 由平面，可得. 对于选项A：在中，， 可知动点的轨迹是以点为圆心，半径为1的半圆， 所以动点的轨迹长度为，故A正确 对于选项B：因为∥，∥，则∥， 可知异面直线与所成角即为，其正切值为，故B错误； 对于选项C：因为线段在平面内的投影为， 结合选项A可知：在方向上的投影数量的最大值为1， 所以的最大值为，故C正确； 对于选项D：设三棱锥的外接球的球心为，半径为， 因为平面，且为的外接圆圆心，可知， 则，解得， 所以三棱锥的外接球表面积为，故D正确； 故选：ACD. 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江大庆市·期中）在四面体中，，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据空间向量数量积的运算进行求解即可. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以. 又，，所以， 所以. 又，所以． 故答案为： 8．（24-25高二上·黑龙江七台河市·期中）如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为      【答案】 【分析】由向量的线性表示，根据向量模长根式即可代入求解. 【详解】解：由条件，知，, 所以 ， 所以, 故答案为： 9．（24-25高二上·黑龙江鹤岗市·期中）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为 . 【答案】/ 【分析】由列方程，化简求得的值. 【详解】∵，，， ∴， 又∵A，C，D三点共线，∴， ∵，不共线，∴， ∴，∴. 故答案为： ( 地 城 考点0 2 空间向量的基本定理 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江双鸭山市·期中）在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作图，然后根据空间向量基本定理求解即可. 【详解】根据题意，． 故选：B． 2．（24-25高二上·黑龙江鹤岗市·期中）如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，利用空间向量基本定理可得答案. 【分析】连接． 故选：B. 3．（24-25高二上·黑龙江伊春市·期中）已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（       ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】利用空间向量共线定理逐一判断各选项即得. 【详解】因， 对于A，由 ，因与共点，故A，B，D三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 故选：A. 4．（24-25高二上·黑龙齐齐哈尔市·期中）若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为），则向量在基底下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助待定系数法，设，结合所给定义及其在基底下的斜坐标，列方程计算即可得答案. 【详解】因为向量在基底下的斜坐标为）， 所以可得， 设， 即有 即可得，解得， 即， 即向量在基底下的斜坐标为. 故选：A. 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江绥化市·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若，则是钝角 【答案】ABC 【分析】根据空间向量共面定义判断A，由共面向量定理判断B，由空间向量基本定理判断C，由向量夹角的范围判断D． 【详解】A选项，由于有两个向量共线，则三个向量一定共面，A正确； B选项，中，所以四点共面，B正确； 选项C，向量组是空间的一个基底，即不共面， 若共面，则存在实数，使得，所以，从而， 与向量组是空间的一个基底矛盾，所以不共面，C正确； 选项D，时，是钝角或，D错． 故选：ABC． 6．（24-25高二上·黑龙江伊春市·期中）设，，是空间的一个基底，则下列说法不正确的是（    ） A．则，，两两共面，但，，不可能共面 B．若，，则 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D．，，不一定能构成空间的一个基底 【答案】BD 【分析】利用空间向量基底的定义可判断选项A和B，根据空间向量基本定理可判断选项C和D． 【详解】对于A，显然，，两两共面，但，，不可能共面，否则不能构成空间的一个基底，故A正确； 对于B，由空间向量基底的定义可知，当，时，所以与所成角不一定为，故B错误； 对于C，根据空间向量基本定理得到总存在有序实数组，使，故C正确； 对于D，假设向量，，共面，则，化简得，因为，，不共面，所以，显然该方程组无解，所以，，不共面，一定能构成空间的一个基底，故D错误． 故选：BD． 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江黑河市·期中）在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】利用平行六面体的结构特征确定异面直线所成的角，再借助空间向量数量积的运算律求出，进而利用余弦定理求得答案. 【详解】在平行六面体中，， 则是异面直线与所成角或其补角， 而，，， ， ， ， ， 在中，. 故答案为：. 8．（24-25高二上·黑龙江大庆市·期中）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数 . 【答案】 【分析】应用空间向量共面定理计算求解. 【详解】因为P，A，B，C四点共面，所以，解得. 故答案为：. ( 地 城 考点0 3 空间向量及其运算的坐标表示 ) 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的坐标运算即可求解. 【详解】由， 可得：， 所以. 故选：D 2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图正方体的棱长为1，A，B分别为所在棱的中点，则四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，设外接球球心为，列方程组求解球心，验证后可得外接球半径，即可求得答案. 【详解】以C为坐标原点，以所在直线为轴，以与垂直的棱为y轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则, 设四棱锥的外接球球心为，半径为R， 则， 解得，即外接球球心为，， 验证，符合题意， 即四棱锥的外接球，其表面积为， 故选：C 3．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知空间三点，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知求出，进而根据数量积以及模的坐标运算，即可求出答案. 【详解】由已知可得，， 所以. 又， 所以． 故选：C. 4．（24-25高二上·黑龙江黑河市·期中）设，向量，且，则等于（　　） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用空间向量共线和垂直求出，再利用模的坐标表示计算得解. 【详解】向量，由，得，解得， 由，得，解得，， 所以. 故选：C 二、多选题 5．（24-25高二上·黑龙江绥化市·期中）已知向量，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用向量线性关系、数量积、模长的坐标运算判断各项正误. 【详解】由题设，，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D错误. 故选：BC 6．（24-25高二上·黑龙江大庆市·期中）若，，与的夹角为，则的值为（    ） A．17 B． C． D．1 【答案】AC 【分析】根据空间向量夹角公式计算可得答案. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以， 解得或. 故选：AC. 三、非选择题 7．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期中）若，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据空间向量的坐标表示直接构造方程求解即可. 【详解】设，则， ，解得：，. 故答案为：. 8．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知向量．若向量与向量垂直，则 ． 【答案】/ 【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】解：因为、且向量与向量垂直， 所以，解得； 故答案为： 9．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知向量，则与共线的单位向量 . 【答案】 【分析】先求出向量的模，利用向量共线的条件进而可求出与共线的单位向量. 【详解】因为向量，所以， 所以与共线的单位向量， 故答案为：. 10．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 . 【答案】 【分析】根据投影向量的定义，应用空间向量夹角的坐标运算求夹角余弦值，进而求即可. 【详解】， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $