专题08 指数运算与指数函数12大考点46题（高效培优期中专项训练）高一数学上学期北师大版

专题08 指数运算与指数函数 考点01 根式与分数指数幂的运算（共5小题）(易错点) 1 考点02 指数与指数幂的运算（共5小题）（重点） 2 考点03 指数函数的概念（共4小题） 2 考点04 指数函数的图象（共4小题）（重点） 3 考点05 指数型复合函数的单调性（共4小题）（重点） 4 考点06 由指数（型）函数的单调性求参数（共4小题）（易错点） 5 考点07 比较指数幂的大小（共4小题）（重点） 5 考点08 由指数函数的单调性解不等式（共4小题）（重点） 6 考点09 指数函数型函数的值域或最值（共5小题）（难点） 6 考点10 指数函数的实际应用（共3小题）（难点） 6 考点12 指数函数的综合应用（共4小题）（重、难点） 7 考点01 根式与分数指数幂的运算（共5小题）(易错点) 1．（25-26高一上·广东·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D．1 2．（23-24高一上·湖北武汉·开学考试）已知，且，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 考点02 指数与指数幂的运算（共5小题）（重点） 6．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中） ． 7．（24-25高一上·广东广州·期中）计算 8．（24-25高一上·福建南平·期中）（1）计算； （2）化简. 9．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值． 10．（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①；     ② 考点03 指数函数的概念（共4小题） 11．（24-25高一上·广东广州·期中）下列是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 12．（22-23高一上·广东东莞·期中）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 13．（23-24高一上·广西河池·期末）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．2 D．4 14．（24-25高一上·北京·期中）已知函数的图像经过点，其中且. (1)求的值： (2)若，求实数的取值范围. 考点04 指数函数的图象（共4小题）（重点） 15．（24-25高一上·广东东莞·期中）函数（，且）的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   16．（25-26高一上·广东·期中）函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 17．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三多限 D．第四象限 18．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义域为上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)写出的解析式； (3)画出函数的图像. 考点05 指数型复合函数的单调性（共4小题）（重点） 19．（2025高三·全国·专题练习）函数的单增区间为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高二下·湖南·阶段练习）设函数，则（） A．图象关于对称，且在上是增函数 B．图象关于对称，且在上是减函数 C．图象关于对称，且在上是增函数 D．图象关于对称，且在上是减函数 22．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 考点06 由指数（型）函数的单调性求参数（共4小题）（易错点） 23．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 25．（24-25高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知函数在R上是增函数，则实数的取值范围为 . 考点07 比较指数幂的大小（共4小题）（重点） 27．（24-25高一上·广东汕头·期中）（多选）下列各式比较大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·天津·期中）若，，，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 29．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 30．（24-25高一上·吉林长春·期中）设，则大小关系是（    ） A． B． C． D． 考点08 由指数函数的单调性解不等式（共4小题）（重点） 31．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高三上·河北保定·阶段练习）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）不等式的解集是 . 34．（24-25高一上·浙江杭州·期中）如果，则的取值范围为 . 考点09 指数函数型函数的值域或最值（共5小题）（难点） 35．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A．-4 B．0 C．32 D．60 36．（24-25高一上·北京顺义·期中）函数的值域为 . 37．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数的定义域和值域都是，则 . 38．（24-25高一上·海南海口·期中）函数且的值域是，则实数 . 39．（23-24高一下·广西柳州·期中）函数在的最小值是 . 考点10 指数函数的实际应用（共3小题）（难点） 40．（25-26高一上·全国·单元测试）某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 41．（24-25高一上·山东潍坊·期中）某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（   ） A． B． C． D． 42．（23-24高一上·河南开封·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为：，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则10h后剩余 %的污染物含量. 考点12 指数函数的综合应用（共4小题）（重、难点） 43．（25-26高二上·云南昆明·阶段练习）已知函数（，且）. (1)若，求函数在上的值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 44．（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)恒成立，求的取值范围． 45．（24-25高一上·四川广安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数. (1)求的值，指出的单调性（单调性无需证明）； (2)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求的值和函数的值域； (3)若函数，是否存在实数，使得对区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 46．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知函数． (1)证明：； (2)求不等式：的解集； (3)若函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围． 4 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 指数运算与指数函数 考点01 根式与分数指数幂的运算（共5小题）(易错点) 1 考点02 指数与指数幂的运算（共5小题）（重点） 3 考点03 指数函数的概念（共4小题） 5 考点04 指数函数的图象（共4小题）（重点） 6 考点05 指数型复合函数的单调性（共4小题）（重点） 9 考点06 由指数（型）函数的单调性求参数（共4小题）（易错点） 11 考点07 比较指数幂的大小（共4小题）（重点） 13 考点08 由指数函数的单调性解不等式（共4小题）（重点） 14 考点09 指数函数型函数的值域或最值（共5小题）（难点） 16 考点10 指数函数的实际应用（共3小题）（难点） 18 考点12 指数函数的综合应用（共4小题）（重、难点） 20 考点01 根式与分数指数幂的运算（共5小题）(易错点) 1．（25-26高一上·广东·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据根式的性质运算即可得解. 【详解】， 故选：A 2．（23-24高一上·湖北武汉·开学考试）已知，且，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析：由二次根式有意义的条件以及，且，可确定出的正负情况，再依据进行化简，最后化简绝对值即可. 【详解】解：有意义，，， 又，，，. 故选：A. 3．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式与指数幂的运算及特殊值法验证即可得答案. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由根式与有理数指数幂的关系及指数幂的运算性质化简，即可得. 【详解】由于，则； 故选：B 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式及分数指数幂的运算化简求解即可. 【详解】因为， 则． 故选：B. 考点02 指数与指数幂的运算（共5小题）（重点） 6．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中） ． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算性质计算即可. 【详解】. 故答案为：. 7．（24-25高一上·广东广州·期中）计算 【答案】2 【分析】利用指数幂的运算性质即可得出结果. 【详解】. 故答案为：2 8．（24-25高一上·福建南平·期中）（1）计算； （2）化简. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）（2）应用有理数指数幂的运算性质、根式与指数幂的关系化简求值； 【详解】（1）原式； （2）原式. 9．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算可得. （2）将两边平方即可得解. 【详解】（1） . （2）因为，所以， 即，所以. 10．（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①；     ② 【答案】（1）；（2）①；②. 【分析】（1）利用指数运算法则计算即得. （2）①②根据给定条件，利用指数幂的运算性质计算即得. 【详解】（1） . （2）①由，两边平方得，则， 而，则， 所以； ②由①知，，， 所以. 考点03 指数函数的概念（共4小题） 11．（24-25高一上·广东广州·期中）下列是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用指数函数的概念判断即可. 【详解】根据指数函数的特征：系数为1，底数满足，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足，D满足．故选D. 答案：D. 12．（22-23高一上·广东东莞·期中）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据指数函数的概念可得且且，解之可得，进而求解. 【详解】函数是指数函数， 且且，解得， ，. 故选：A． 13．（23-24高一上·广西河池·期末）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合指数函数定义求出即可计算得解. 【详解】由指数函数的图象经过点，得，解得， 所以. 故选：A 14．（24-25高一上·北京·期中）已知函数的图像经过点，其中且. (1)求的值： (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）代入已知点的坐标即可得； （2）由指数函数的单调性解不等式即得． 【详解】（1）因为函数的图像经过点，所以，即； （2），即，所以，， 所以的范围是． 考点04 指数函数的图象（共4小题）（重点） 15．（24-25高一上·广东东莞·期中）函数（，且）的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用指数函数的图象和性质以及图象的平移变换进行判断. 【详解】因为函数（，且）， 当时，是增函数，并且恒过定点， 又因为的图象在的基础上向下平移超过1个单位长度，故D错误，C正确； 当时，是减函数，并且恒过定点， 又的图象在的基础上向下平移了不到1个单位长度，故A，B错误. 故选：C. 16．（25-26高一上·广东·期中）函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据判断的范围，根据图象趋势判断的范围即可. 【详解】由图象可知：，， 又由函数为减函数，可得． 故选：C． 17．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三多限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用指数函数的性质，得到，从而，再利用图象的变化得到的图象，即可求解. 【详解】因为函数恒过点， 所以，其图象可由向下平移个单位得到，图象如图， 由图知不经过第二象限， 故选：B. 18．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义域为上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)写出的解析式； (3)画出函数的图像. 【答案】(1) (2) (3)作图见解析 【详解】（1）因为是定义域为上的奇函数， 则. （2）当时，，则， 则. （3）作出图形如下图所示： 考点05 指数型复合函数的单调性（共4小题）（重点） 19．（2025高三·全国·专题练习）函数的单增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由对勾函数及复合函数的单调性进行求解. 【详解】令, 则，由对勾函数的单调性知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，由得， 所以由复合函数的单调性知，函数的单增区间为， 故选：A 20．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数、指数函数的单调性可得结果. 【详解】函数中，令，则函数在上单调递减，上单调递增， 而函数为减函数，因此函数在上单调递增，上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 21．（24-25高二下·湖南·阶段练习）设函数，则（） A．图象关于对称，且在上是增函数 B．图象关于对称，且在上是减函数 C．图象关于对称，且在上是增函数 D．图象关于对称，且在上是减函数 【答案】B 【分析】验证或是否与相等即可判断函数的对称轴，再结合复合函数即可判断单调性. 【详解】因为，所以， 注意到，所以图象关于直线对称； 当时，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在上单调递减， 故选：B 22．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定与的单调性，由复合函数的单调性可求单调递减区间. 【详解】函数，在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递减，所以由复合函数的单调性可得： 函数的单调递减区间是. 故选：D. 考点06 由指数（型）函数的单调性求参数（共4小题）（易错点） 23．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 24．（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围. 【详解】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得. 故选：A. 25．（24-25高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组，求解即得. 【详解】由题意，函数是上的增函数， 则，解得. 故选：B. 26．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知函数在R上是增函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性列出不等式求解即得. 【详解】由函数在R上是增函数，得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 考点07 比较指数幂的大小（共4小题）（重点） 27．（24-25高一上·广东汕头·期中）（多选）下列各式比较大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用指数函数的单调性逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，且，所以，所以A错误， 对于B，，因为在上单调递减，且， 所以，即，所以B正确， 对于C，，因为在上单调递增，且， 所以，即，所以C正确， 对于D，因为在上单调递增，且，所以， 因为在上单调递减，且，所以， 所以，所以D正确. 故选：BCD 28．（24-25高一上·天津·期中）若，，，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数单调性计算参数范围即可判断求解. 【详解】因为，，则. 故选：D. 29．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数与指数函数的性质比较． 【详解】根据指数运算法则，＝4． 比较a和b的大小，对于和， 因为函数，指数0.1＞0，此函数在单调递增． 又因为，所以，即． 比较a和c的大小，是增函数，， 故． 故选：A． 30．（24-25高一上·吉林长春·期中）设，则大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用指数函数和幂函数的单调性，可判断三个数的大小． 【详解】函数在上减函数；又，故，即， 函数在上为增函数；又，故，即， 故. 故选：B. 考点08 由指数函数的单调性解不等式（共4小题）（重点） 31．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性化简原不等式为，再转化为不等式组求解即可. 【详解】因为是R上的单调递减函数， 所以等价于， 则，解得, 即不等式的解集为， 故选：D. 32．（25-26高三上·河北保定·阶段练习）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得对称性，进而根据函数的单调性，即可得求解. 【详解】由，知的图象关于直线对称， 设，则， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增． 由，可得． ，整理得． 解得或． 故选：D． 33．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】利用二次不等式的解法和指数函数的单调性可得出原不等式的解集. 【详解】由可得，可得或， 又因为函数为上的增函数，则有或， 故原不等式的解集为. 故答案为：. 34．（24-25高一上·浙江杭州·期中）如果，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性得到，由此求解出结果. 【详解】因为，且在上单调递增， 所以，解得， 故答案为：. 考点09 指数函数型函数的值域或最值（共5小题）（难点） 35．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A．-4 B．0 C．32 D．60 【答案】B 【分析】先求出A，再利用换元法将化为，结合二次函数性质即可求得答案. 【详解】令，解得，故函数的定义域是， 令，由于，故， 则即为函数， 而， 当时，取最大值， 即函数的最大值是0， 故选：B 36．（24-25高一上·北京顺义·期中）函数的值域为 . 【答案】 【分析】先求解出的值域，然后结合指数函数的单调性可求的值域. 【详解】令，则， 因为在上单调递减，所以，且当时，， 所以的值域为， 故答案为：. 37．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数的定义域和值域都是，则 . 【答案】 【分析】可知数在上单调递减，结合单调性和最值列式求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 由题意可得，解得， 所以. 故答案为：. 38．（24-25高一上·海南海口·期中）函数且的值域是，则实数 . 【答案】或 【分析】根据指数函数的单调性，按和两种情况求出值域，列式求解即可 【详解】当时，函数且是增函数， 其值域为，则，解得； 当时，函数且是减函数， 其值域是，则，解得， 所以实数或. 故答案为：或 39．（23-24高一下·广西柳州·期中）函数在的最小值是 . 【答案】 【分析】令，利用换元法结合二次函数的性质可得函数的最小值. 【详解】令，则， 函数变形为， ∴当时，函数最小值为. 考点10 指数函数的实际应用（共3小题）（难点） 40．（25-26高一上·全国·单元测试）某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来长度为m，根据8天后，该植物的长度是原来的倍，求出，再结合指数幂的运算即可求得24天后该植物的长度是原来的多少倍． 【详解】方法1 设植物原来长度为m，8天后，该植物的长度是原来的倍， 故，即，即． 24天后该植物的长度是，即为原来的倍， 又， 所以24天后该植物的长度是原来的倍． 方法2  设植物原来长度为1，8天后，该植物的长度是， 24天后，该植物的长度是， 即24天后该植物的长度是原来的倍． 故选：C 41．（24-25高一上·山东潍坊·期中）某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，时，求时的值. 【详解】经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半， 即时，， 则再经过6年，，. 故选：D 42．（23-24高一上·河南开封·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为：，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则10h后剩余 %的污染物含量. 【答案】 【分析】根据所给函数模型，代入后整体计算即可得解. 【详解】因为前5h消除了的污染物， 所以，解得， 当经过10h后，， 所以10h后剩余的污染物含量. 故答案为： 考点12 指数函数的综合应用（共4小题）（重、难点） 43．（25-26高二上·云南昆明·阶段练习）已知函数（，且）. (1)若，求函数在上的值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，，结合二次函数及指数函数的性质求解即可； （2）令，结合指数型复合函数的单调性分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， 令，， 由二次函数的图象和性质，当时，取得最小值， 当时，，则， 所以，即在上的值域为. （2）令，其图象的对称轴为直线，开口向上， 当时，为减函数， 要使函数在上单调递增， 则需满足在上单调递减，即， 解得，则； 当时，为增函数， 要使函数在上单调递增， 则需满足在上单调递增，即， 解得，则. 综上，实数的取值范围是. 44．（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)增区间为，减区间为； (2) 【分析】（1）根据复合函数的单调性结合指数函数的单调性判断单调区间； （2）根据指数函数单调性得出二次不等式恒成立，再结合判别式得出参数范围. 【详解】（1）当时，， 令，则， 的增区间为，减区间为， 又为减函数， 根据“同增异减”法则：的增区间为，减区间为； （2）恒成立， ，即恒成立， ，解得：. 45．（24-25高一上·四川广安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数. (1)求的值，指出的单调性（单调性无需证明）； (2)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求的值和函数的值域； (3)若函数，是否存在实数，使得对区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；在上单调递增； (2)，； (3)存在， 【分析】（1）根据题意，由，求得，得到函数的解析式，结合单调性的定义与判定方法，即可求解； （2）根据题意，得到，得出，得到，结合指数函数的性质，即可求得的值域； （3）由题意，转化为存在以为边长的三角形，即且恒成立，分，和，三种情况讨论，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）解：因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 当时，，函数的定义域为关于原点对称， 且，满足是奇函数， 又由， 任取且， 则， 因为，可得且， 所以，即，所以函数是上的单调递增函数. （2）解：由（1）得， 可得， 因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， 可得，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以函数的值域为. （3）解：由在区间[1，2]上任意三个实数， 都存在以为边长的三角形， 等价于且恒成立， ①当时，即，符合. ②当时，在上单调递减， 所以， 由且，即且， 解得，又因为，所以. ③当时，在上单调递增， 所以， 由且，即且， 解得，又因为，所以. 综上所述，实数的取值范围为. 46．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知函数． (1)证明：； (2)求不等式：的解集； (3)若函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）将函数式代入结合指数幂的计算即得证； （2）结合奇函数的性质及函数的单调性计算求解； （3）将在区间上与x轴有2个交点转化成在时有2个实数根，利用函数的单调性求出的值域，即得参数m的取值范围. 【详解】（1）. （2）因为，所以， 因为定义域为，，所以是奇函数， 所以，又因为是上单调递增，所以， 解得，解集为； （3）因为的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，在时有2个实数根， 即在时有2个实数根， 令，知在区间上单调递增，故， 由可得， 令，， 由对勾函数性质可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，，作函数草图如图，    当时，函数与有两个交点， 即函数的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，即实数m的取值范围为. 4 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $