拓展专题03：分式不等式、高次不等式、根式不等式、绝对值不等式的求解7大考点40题（高效培优期中专项训练）高一数学上学期北师大版

拓展专题03 分式不等式、高次不等式、根式不等式、绝对值不等式的求解 考点01 解分式不等式(共6小题)（重点） 1 考点02 解高次不等式（共6小题）（重点） 4 考点03 解根式不等式（共7小题）（难点） 7 考点04 型不等式的解法（共4小题） 9 考点05 型不等式的解法（共3小题） 11 考点06 型不等式的解法（共3小题）（拓展） 12 考点07 双绝对值和或差型不等式的解法（共11小题）（拓展） 13 考点01 解分式不等式(共6小题)（重点） 1．（25-26高一上·宁夏银川·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广西南宁·阶段练习）不等式解集是（   ） A． B． C． D． 3．（陕西省咸阳市2025-2026学年高三上学期第二次模拟考试数学试题）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（河南省部分学校2025-2026学年高三上学期顶尖计划（一）数学试题）已知集合，，，则中元素的个数为（    ） A．116 B．125 C．126 D．128 5．（25-26高三上·云南曲靖·阶段练习）成立的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 6（25-26高一上·广西柳州·开学考试）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 考点02 解高次不等式（共6小题）（重点） 7．（25-26高一上·上海·阶段练习）关于的不等式的解集为 . 8．（2025高三·北京·专题练习）不等式的解集为 . 9．（25-26高一上·全国·课后作业）不等式的解集为 ． 10．（25-26高一上·全国·课后作业）不等式的解集是 ． 11．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）不等式的解集为 ． 12．（2025高一·全国·专题练习）解不等式： (1)； (2)． 考点03 解根式不等式（共7小题）（难点） 13．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知全集为实数集，若集合，，则（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 17．（23-24高二下·陕西宝鸡·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 18．（22-23高一上·江苏南通·阶段练习）关于的不等式的解集为 . 考点04 型不等式的解法（共4小题） 19．（2025高一·全国·专题练习）（1）不等式的解是 ； （2）不等式的解是 ． 20．（2025高一·全国·专题练习）若在区间上满足不等式的解有且只有一个，则实数的取值范围为 ． 21．（24-25高二下·北京·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 22．（24-25高二下·北京·期末）关于x的不等式（）的解集为 ． 考点05 型不等式的解法（共3小题） 23．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）设，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是 . 24．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 25．（23-24高三下·全国·开学考试）不等式的解集为 ； 考点06 型不等式的解法（共3小题）（拓展） 26．（23-24高一上·上海·阶段练习）不等式的解集是 27．（24-25高一上·上海·阶段练习）不等式的解集为 ． 28．（23-24高一上·上海虹口·阶段练习）关于x的不等式的解集为 . 考点07 双绝对值和或差型不等式的解法（共11小题）（拓展） 29．（2025·上海·三模）不等式的解集为 ． 30．（24-25高一上·河南·期中）若关于的不等式在上只有3个整数解，则的取值范围为 . 32．（2025高三·全国·专题练习）若不等式的解集不是空集，则的取值范围是 ． 33．（2025高三·全国·专题练习）不等式的解集是 ． 34．（24-25高一上·上海·期末）已知集合对任意恒成立，，则 ． 35．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 . 36．（24-25高一上·上海·期中）若对所有实数恒成立，则当等号成立时，的取值范围是 . 37．（24-25高一上·浙江·期中），则不等式的解集为 . 38．（24-25高一上·上海·阶段练习）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 39．（22-23高二下·上海松江·期末）若关于的不等式的解集为，且，则实数的取值范围是 . 40．（23-24高一上·上海·期中）关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 ． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题03 分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的解法 考点01 解分式不等式(共6小题)（重点） 1 考点02 解高次不等式（共6小题）（重点） 4 考点03 解根式不等式（共7小题）（难点） 7 考点04 型不等式的解法（共4小题） 9 考点05 型不等式的解法（共3小题） 11 考点06 型不等式的解法（共3小题）（拓展） 12 考点07 双绝对值和或差型不等式的解法（共11小题）（拓展） 13 考点01 解分式不等式(共6小题)（重点） 1．（25-26高一上·宁夏银川·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解分式不等式可得解集. 【详解】由 所以不等式的解集是. 故选：A 2．（25-26高一上·广西南宁·阶段练习）不等式解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原不等式移项转化为，解一元二次不等式得解. 【详解】由，得，即， 上式等价于，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 3．（陕西省咸阳市2025-2026学年高三上学期第二次模拟考试数学试题）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别求得两个不等式解集，由集合间关系即可判断. 【详解】由可得：， 由可得：， 即， 即，可得， 又 所以“”是“”必要不充分条件， 故选：B 4．（河南省部分学校2025-2026学年高三上学期顶尖计划（一）数学试题）已知集合，，，则中元素的个数为（    ） A．116 B．125 C．126 D．128 【答案】C 【分析】先化简集合A，根据题意结合交集分析可得，进而运算求解. 【详解】因为， 又因为，， 可知， 令，解得， 所以中元素的个数为126. 故选：C. 5．（25-26高三上·云南曲靖·阶段练习）成立的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解出不等式，再结合选项及充分、必要条件的定义判断各选项即可. 【详解】由，则， 则，即，解得， 则是成立的充要条件， 是成立的必要不充分条件， 是成立的充分不必要条件， 是成立的既不充分也不必要条件. 故选：B． 6（25-26高一上·广西柳州·开学考试）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）利用分式不等式的解法：分式不等式转化成整式不等式，得到，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果； （2）利用分式不等式的解法：分式不等式转化成整式不等式，得到，且，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果. （3）根据条件得到，利用，将问题转化成，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果. 【详解】（1）因为等价于，得到或， 所以的解集为或. （2）由，得到，即， 等价于，且，解得或， 所以的解集为或. （3）由，得到， 又恒成立， 所以原不等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为 考点02 解高次不等式（共6小题）（重点） 7．（25-26高一上·上海·阶段练习）关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用“穿根法”解高次不等式. 【详解】因为 所以. 由图可知：    . 故答案为： 8．（2025高三·北京·专题练习）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将不等式转化为不等式组，再依次解不等式组，最后取并集即可. 【详解】不等式化为： 或， 解，得，即； 解，得，即且， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 9．（25-26高一上·全国·课后作业）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】整理转化为，借助数轴穿根法求解即可. 【详解】由题意可得：， 即，即， 所以， 由数轴穿根法可得， 所以解集为或或． 10．（25-26高一上·全国·课后作业）不等式的解集是 ． 【答案】或或 【分析】先将不等式进行化简，然后利用数轴穿根法求解不等式的解集即可. 【详解】等价于． 数轴穿根法如图，    注意因式的次数为2，因此不穿过数1，故不等式的解集为或或． 故答案为：或或． 11．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】将所求不等式变形为，利用“穿针引线”法可得出原不等式的解集. 【详解】由可得，即， 如下图所示： 由“穿针引线”法可知，原不等式的解集为或. 故答案为：或. 12．（2025高一·全国·专题练习）解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）直接由零点穿根法即可求解； （2）先将不等式进行转换，然后由零点穿根法即可求解. 【详解】（1）标根：将，1，4标在数轴上； 穿根1，4为奇次根，为偶次根，按照“奇过偶不过”画图如图1所示； 得解：不等式的解集为或． （2）是分式不等式，先将最高次数的项的系数化为“+”，并对分子因式分解得． 分母符号不确定，化除为乘： 方程的根分别为，利用“数轴穿根法”如图2所示，则不等式的解集为或． 考点03 解根式不等式（共7小题）（难点） 13．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式化简集合，根据交集的概念求解即可. 【详解】由，， 则. 故选：B. 14．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出集合，再根据交集得定义求解. 【详解】因为，所以. 故选：B 15．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知全集为实数集，若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式求出集合，解根式不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，可得，解得， 所以， 所以. 故选：A 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解出不等式，再利用充分必要条件的判定方法即可得解. 【详解】因为 ,解得， 由，可得，即， 所以“”是“”的充要条件． 故选：A. 17．（23-24高二下·陕西宝鸡·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据不等式的解集求出，代入不等式，再解不等式可得答案. 【详解】因为不等式的解集为， 所以是的两个根，且， 可得，所以， 所以得， 即，由得， 所以,所以或， 则不等式的解集为. 18．（2023高三·全国·专题练习）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】分别求出集合，再根据交并补的运算法则计算即可. 【详解】由集合解得，由集合解得，所以，所以. 故答案为： 18．（22-23高一上·江苏南通·阶段练习）关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将不等式等价转化之后两边同时平方，然后化简，再次平方即可求解. 【详解】因为不等式可化为： 不等式，两边同时平方可得： ，整理可得： ，也即，解得：， 所以原不等式的解集为， 考点04 型不等式的解法（共4小题） 19．（2025高一·全国·专题练习）（1）不等式的解是 ； （2）不等式的解是 ． 【答案】 或 【分析】根据绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由，可得， 解得. 所以不等式的解是. （2），即， 所以或， 解得或. 20．（2025高一·全国·专题练习）若在区间上满足不等式的解有且只有一个，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出不等式的解集，将问题转化为只有一个公共元素，列出不等式组即可求解． 【详解】等价于或， ，即， 解得：或； ， ， 解得：或； 故不等式的解集为：或或或， 由题意知集合与有且只有一个公共元素，作图如下：    由图可知，， 解得． 21．（24-25高二下·北京·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】解不等式，根据必要不充分条件的定义可得出集合的包含关系，即可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由得，解得， 因为“”是“”的必要不充分条件， 则是的真子集，故，解得， 因此，实数的取值范围是. 22．（24-25高二下·北京·期末）关于x的不等式（）的解集为 ． 【答案】 【分析】由绝对值的含义可得，再转化为，根据解不等式即可. 【详解】根据题意，， 即，又，解得， 所以不等式的解集为. 考点05 型不等式的解法（共3小题） 23．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）设，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由可得，不等式的解集为，考查解集端点的范围，解出的取值范围. 【详解】关于的不等式，两边平方整理得：， 因为，不等式的解集中的整数恰有3个，所以， 所以不等式的解集为，所以解集里的整数是三个， 故有，又因为，所以， 综上. 24．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】将两侧同时平方，移项整理得，令，，讨论，同负、，两种情况，结合对应二次函数性质求参数范围. 【详解】由对任意都成立， ， 令，， 即且，或者同负， 若、同负，零点相同（不符合）； 若， 25．（23-24高三下·全国·开学考试）不等式的解集为 ； 【答案】 【分析】利用同时平方法求解绝对值不等式即可. 【详解】左右两侧同时平方得， 所以，故， 化简得，解得. 考点06 型不等式的解法（共3小题）（拓展） 26．（23-24高一上·上海·阶段练习）不等式的解集是 【答案】/ 【分析】由题意知，利用不等式的可乘方性，两边同时平方，将绝对值不等式转化为关于的一元二次不等式求解即可. 【详解】由题意可知， 将不等式两边同时平方可得， 整理可得，即. 解得. 所以原不等式的解集为. 27．（24-25高一上·上海·阶段练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】解决绝对值不等式，先讨论不等式的右边的正负，当右边为负数时显然成立，当右边为非负数时对不等式两边同时平方，然后解二次不等式即可得出结果. 【详解】当，即时，显然成立； 当，即时， 即 化简得：， ∴ ∴ ∴综上所述： 28．（23-24高一上·上海虹口·阶段练习）关于x的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】对x进行分类去绝对值，求解后取并集可得. 【详解】当，即时，原不等式等价于，解得， 所以，； 当，即时，原不等式等价于，解得， 所以，. 综上，原不等式的解集为. 考点07 双绝对值和或差型不等式的解法（共11小题）（拓展） 29．（2025·上海·三模）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式及题干可得，等式成立需要同号，列不等式求解即可得解. 【详解】因为，又， 所以，则. 30．（24-25高一上·河南·期中）若关于的不等式在上只有3个整数解，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先解绝对值不等式，然后根据不等式在上只有3个整数解确定正整数解，从而求得的范围. 【详解】由，得， 将两边平方得. 因为在上只有3个整数解， 所以，解得. 解得 所以不等式的解集为. 由，得，则该不等式的3个整数解为， 所以，得. 31．（2025高一上·全国·专题练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用零点分段法分解成三个不等式组，求解后再求并集． 【详解】∵， ∴不等式可化为： ①，或②，或③， ①无解，解②得，解③得， 所以， 所以原不等式的解集为． 故答案为： 32．（2025高三·全国·专题练习）若不等式的解集不是空集，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得，分类讨论解不等式即可得解. 【详解】因为，不等式的解集不是空集， 所以， （i）当，即时，显然有成立， （ii）当，即时， 所以，解得， 结合，可知； 综上所述，的取值范围是. 33．（2025高三·全国·专题练习）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用零点分段法求解含绝对值符号的不等式. 【详解】不等式化为： 或或， 解得或或，即， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 34．（24-25高一上·上海·期末）已知集合对任意恒成立，，则 ． 【答案】． 【分析】用分段函数解决绝对值不等式恒成立问题，再解分式不等式，即可求得两个集合，再求交集即可. 【详解】设，. 则，所以， 故，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为7，所以，即. 由，得，即， 因为恒成立， 所以，解得或，即， 所以. 35．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据指数函数的性质，把原不等式转化成，再通过分类讨论去掉绝对值符号，从而求得不等式的解集． 【详解】， 当时，，所以此时不等式无解； 当时，； 当时，，所以此时不等式无解. 综上可知，原不等式的解集为. 故答案为： 36．（24-25高一上·上海·期中）若对所有实数恒成立，则当等号成立时，的取值范围是 . 【答案】/ 【分析】分，，讨论可得答案. 【详解】当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得 因此可得的取值范围是. 故答案为：. 37．（24-25高一上·浙江·期中），则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】分类讨论去绝对值，求解即可. 【详解】当时，， 由，可得，解得，故x不存在； 当时，， 由，可得，解得，故； 当时，， 由，可得，解得，故， 综上，， 38．（24-25高一上·上海·阶段练习）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，分类讨论法去绝对值计算的最小值，依题意求出的取值范围. 【详解】令， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 因为关于的不等式的解集为，等价于，即. 故答案为：. 39．（22-23高二下·上海松江·期末）若关于的不等式的解集为，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为不等式在上恒成立，求解即可. 【详解】由题意，不等式在上恒成立， 所以，即在上恒成立， 所以，解得. 40．（23-24高一上·上海·期中）关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意首先由三角不等式得到的最小值为，然后将问题转换为恒成立问题来做，进一步分类讨论解绝对值不等式即可. 【详解】因为， 所以， 即， 所以，等号成立当且仅当在和1两个数之间，规定时的取等条件为， 综上所述的最小值为， 因为关于的不等式的解集是， 所以恒成立， 所以当且仅当， 当时，不可能成立，当时，，解得. 综上所述：实数的取值范围是. 4 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $