单元素养测评卷(一) 第1章 预备知识-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

**基本信息** 高中数学第一章单元素养测评卷，覆盖集合运算、不等式解法、逻辑用语等核心知识，通过基础题（如集合交并补）、能力题（如含参不等式）、创新题（如实际应用与新定义运算）的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与运算能力，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算（题1）、命题真假（题2）、不等式性质（题4）|基础概念辨析，落实数学抽象| |多选|3/18|集合韦恩图（题9）、充要条件（题10）、条件最值（题11）|多角度考查，发展逻辑推理| |填空|3/15|集合关系（题12）、不等式应用（题14）|简洁检测知识运用，强化数学语言| |解答|5/77|集合综合（题15）、不等式证明（题16）、实际应用（题17）、新定义运算（题19）|综合应用，突出数学思维与创新意识|

单元素养测评卷(一)  第一章 时间:120分钟　分值:150分 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.[2023·江西景德镇一中期中] 已知全集为R,集合A={x|2x≥1},B={x|x2-3x+2<0},则A∩(∁RB)= (　　)　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.{x|0≤x≤1} B.{x|0≤x≤1,或x≥2} C.{x|1<x<2} D.{x|0≤x<1,或x>2} 2.下列命题是真命题的是 (　　) A.若ac>bc,则a>b B.若a2>b2,则a>b C.若a>b,则< D.若c>d,a>b,则a-d>b-c 3.设集合A={a,b},B={a+1,6},且A∩B={1},则A∪B的子集的个数为 (　　) A.4 B.6 C.7 D.8 4.已知不等式ax2-5x+b>0(a≠0)的解集为{x|-3<x<2},则不等式bx2-5x+a<0的解集是 (　　) A. B. C. D. 5.若a=+,b=-,c=+,则 (　　) A.a>c>b B.a>b>c C.c>b>a D.b>c>a 6.若x>1,则的最小值为 (　　) A.1 B.2 C.4 D.8 7.下列说法错误的是 (　　) A.命题“∃x∈R,使x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R,有x2+x+1≥0” B.已知a,b∈R,“a>1且b>1”是“ab>1”的充分不必要条件 C.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充要条件 D.若p是q的充分不必要条件,则q是p的必要不充分条件 8.已知“∃x∈R,使2x2+(a-1)x+≤0”是假命题,则实数a的取值范围是 (　　) A.a<-1 B.-1<a<3 C.a>-3 D.-3<a<1 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.设全集为U,则图中的阴影部分用集合可表示为 (　　) A.A∩B B.(∁UA)∩B C.[∁U(A∩B)]∩B D.(∁UA)∪B 10.[2024·陕西渭南蓝光中学高一期末] 若“x<k或x>k+2”是“-4<x<1”的必要不充分条件,则实数k的值可以是 (　　) A.-8 B.-5 C.-3 D.1 11.设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,当取得最小值时,下列结论正确的是 (　　) A.z=xy B.x=y C.x+2y-z的最小值为-2 D.x+2y-z的最大值为2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知集合A={1,3,a2},B={1,a+2},若A∪B=A,则实数a=　　　　.  13.[2024·河南原阳一中高一月考] 已知集合A=,B={x|a≤x≤a+3},若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,则实数a的取值范围是　　　　.  14.已知x>0,y>0,且x+2y=xy,若不等式x+2y≥m2-2m恒成立,则实数m的取值范围为　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知集合A={x|1≤x≤7},B={x|-2m+1<x<m},全集为R. (1)若m=5,求A∪B,(∁RA)∩B; (2)若A∩B=A,求m的取值范围. 16.(15分)(1)已知x>0,求函数y=的最小值; (2)已知a,b都是正实数,且ab=2,求证:(1+2a)(1+b)≥9. 17.(15分)某车站准备在某仓库外利用其一侧原有墙体,建造一个高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室,由于保管员室的背面靠墙,无需建造费用,因此甲工程队给出的报价如下:保管员室前面新建墙体的报价为每平方米400元,左、右两面新建墙体的报价均为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设保管员室的左、右两面墙体的长度均为x(2≤x≤6)米,且墙体厚度忽略不计. (1)当左、右两面墙体的长度为多少米时,甲工程队的报价最低? (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左、右两面墙体的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功(报价低的工程队中标),求a的取值范围. 18.(17分)已知a≠0. (1)若关于x的不等式ax2-(a+1)x+1≤2在R上恒成立,求实数a的取值范围; (2)解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0. 19.(17分)[2024·江西景德镇一中高一月考] 已知数集A及定义在该数集上的某个运算“*”,如果对一切a∈A,b∈A,都有a*b∈A,那么就说,集合A对运算“*”是封闭的. (1)设A={x|x=m+n,m,n∈Z},判断数集A对通常的实数的乘法运算是否封闭? (2)设B={x|x=m+n,m,n∈Z,且n≠0},问数集B对通常的实数的乘法运算是否封闭?试证明你的结论. 学科网（北京）股份有限公司 $ 　　单元素养测评卷(一) 1.B　[解析] A={x|2x≥1}={x|x≥0},B={x|x2-3x+2<0}={x|(x-1)(x-2)<0}={x|1<x<2},则∁RB={x|x≥2,或x≤1},则A∩(∁RB)={x|0≤x≤1,或x≥2},故选B. 2.D　[解析] 对于A,当c<0时,若ac>bc,则a<b,是假命题;对于B,当a=-5,b=1时,满足a2>b2,但a<b,是假命题;对于C,当a=5,b=-1时,满足a>b,但>,是假命题;对于D,由c>d,得-c<-d,又a>b,所以a-d>b-c,是真命题.故选D. 3.D　[解析] 因为A∩B={1},所以1∈A,1∈B,于是得a+1=1,解得a=0,因此b=1,则A={0,1},B={1,6},则A∪B={0,1,6},所以A∪B的子集的个数为23=8.故选D. 4.A　[解析] 由题意可知,-3和2是方程ax2-5x+b=0的两个实数根,且a<0,所以解得所以不等式bx2-5x+a<0即为30x2-5x-5<0,即5(3x+1)(2x-1)<0,解得-<x<,故选A. 5.A　[解析] c-b=-+=,因为(2+)2-(2)2=4-9=->0,且2+>0,2>0,所以2+>2,所以c-b>0,所以c>b.因为a-c=-+==>0,所以a>c.故a>c>b.故选A. 6.A　[解析] ∵x>1,∴x-1>0,∴=·=≥×2×=1,当且仅当x-1=,即x=2时取等号,故选A. 7.C　[解析] 对于A选项,命题“∃x∈R,使x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R,有x2+x+1≥0”,所以A中说法正确;对于B选项,已知a,b∈R,“a>1且b>1”能够推出“ab>1”,“ab>1”不能推出“a>1且b>1”,所以B中说法正确;对于C选项,当x=1时,x2-3x+2=0成立,反之,当x2-3x+2=0时,x=1或x=2,所以C中说法错误;对于D选项,由充分条件与必要条件的定义可知,若p是q的充分不必要条件,则q是p的必要不充分条件,所以D中说法正确.故选C. 8.B　[解析] 因为原命题是假命题,所以其否定“∀x∈R,有2x2+(a-1)x+>0”是真命题,所以Δ=(a-1)2-4×2×<0,解得-1<a<3,故选B. 9.BC　[解析] 题图中阴影部分用集合可表示为(∁UA)∩B或[∁U(A∩B)]∩B,故A,D均错误,B,C均正确.故选BC. 10.AD　[解析] 因为“x<k或x>k+2”是“-4<x<1”的必要不充分条件,所以k≥1或k+2≤-4,解得k≤-6或k≥1,所以A,D选项符合题意,B,C选项不符合题意.故选AD. 11.AD　[解析] 由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2,因此==+-3≥2-3=1,当且仅当x=2y时等号成立,且此时z=xy=2y2,故A正确,B错误;因为x=2y,z=xy=2y2,所以x+2y-z=-2y2+4y=-2(y-1)2+2≤2,又因为y>0,所以x+2y-z无最小值,因此C错误,D正确.故选AD. 12.2　[解析] ∵集合A={1,3,a2},B={1,a+2},A∪B=A,∴B⊆A,∴a+2=3或a+2=a2,解得a=-1或a=1或a=2.当a=-1时,A中元素不满足互异性,不符合题意;当a=1时,A中元素不满足互异性,不符合题意;当a=2时,A={1,3,4},B={1,4},符合题意.故实数a=2. 13.(-∞,-4)∪(2,+∞)　[解析] ∵<1,∴-1<0,即(x-2)(x+1)>0,解得x>2或x<-1,∴A={x|x<-1或x>2}.∵“x∈A”是“x∈B”的必要条件,∴B⊆A,又a+3>a恒成立,∴a+3<-1或a>2,解得a<-4或a>2,即a的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞). 14.-2≤m≤4　[解析] ∵x>0,y>0,x+2y=xy,∴+=1,∴x+2y=(x+2y)=4++≥4+2=8,当且仅当=,即x=4,y=2时等号成立,∴x+2y的最小值为8.则m2-2m≤8,解得-2≤m≤4. 15.解:(1)∵m=5,∴B={x|-9<x<5}, ∵A={x|1≤x≤7},∴∁RA={x|x<1,或x>7}, ∴A∪B={x|-9<x≤7},(∁RA)∩B={x|-9<x<1}. (2)∵A∩B=A,∴A⊆B,∴∴m>7. 16.解:(1)因为x>0,所以y==x+-1≥2-1=3, 当且仅当x=,即x=2时等号成立,所以y的最小值为3. (2)证明:因为a,b都是正实数,且ab=2, 所以由基本不等式得2a+b≥2=4,当且仅当2a=b,且ab=2, 即a=1,b=2时等号成立. 所以(1+2a)(1+b)=1+2a+b+2ab=5+2a+b≥5+4=9, 即(1+2a)(1+b)≥9. 17.解:(1)设甲工程队的总造价为y元,依题意,左、右两面墙体的长度均为x(2≤x≤6)米,则保管员室前面新建墙体的长度为米, 则y=3+7200=900+7200≥900×2×+7200=14 400, 当且仅当x=,即x=4时等号成立,此时甲工程队的报价最低, 即当左、右两面墙体的长度均为4米时,甲工程队的报价最低. (2)由题意可得,900+7200>对任意的x∈[2,6]恒成立,则当x∈[2,6]时,>, 即>a,即x+1++6>a恒成立, 因为x+1++6≥2+6=12, 当且仅当x+1=,即x=2时等号成立,所以0<a<12. 18.解:(1)由关于x的不等式ax2-(a+1)x+1≤2在R上恒成立,可得ax2-(a+1)x-1≤0在R上恒成立,∴解得-3-2≤a≤-3+2. ∴实数a的取值范围为[-3-2,-3+2]. (2)不等式ax2-(a+1)x+1<0可化为(ax-1)(x-1)<0. ①当0<a<1时,不等式等价于(x-1)<0,解得1<x<; ②当a=1时,不等式等价于(x-1)2<0,无解; ③当a>1时,不等式等价于(x-1)<0,解得<x<1; ④当a<0时,不等式等价于(x-1)>0,解得x<或x>1.综上,当0<a<1时,不等式的解集为; 当a=1时,不等式的解集为⌀; 当a>1时,不等式的解集为; 当a<0时,不等式的解集为. 19.解:(1)设x=m+n,y=p+q是A中任意两个元素,其中m,n,p,q∈Z,那么xy=(m+n)(p+q)=(mp+2nq)+(mq+np). 因为m,n,p,q∈Z,所以mp+2nq∈Z,mq+np∈Z,所以xy∈A, 故数集A对通常的实数的乘法运算封闭. (2)数集B对通常的实数的乘法运算不封闭,证明如下: 取x=2+,y=2-,则x,y∈B,但xy=(2+)(2-)=2∉B, 故数集B对通常的实数的乘法运算不封闭. 学科网（北京）股份有限公司 $