拓展专题02 巧用柯西不等式、权方和不等式和不等式链求最值3大考点23题（高效培优期中专项训练）高一数学上学期北师大版

拓展专题02 巧用柯西不等式、权方和不等式、不等式链求最值 考点01 利用柯西不等式求最值(共8小题) 2 考点02 利用权方和不等式求最值（共6小题） 7 考点03 利用不等式链求最值（共9小题） 11 【知识点综述】 1．柯西不等式（Cauchy不等式）（拓展） （1）二元柯西不等式：对于任意的，都有． （2）元柯西不等式： ，取等条件：或（）． 2．权方和不等式 （1）二维形式的权方和不等式 对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立． （2）一般形式的权方和不等式 若，，，则，当时等号成立． 3.基本不等式链 , 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化. 考点01 利用柯西不等式求最值(共8小题) 1．（2025高三·全国·专题练习）柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 2．（2024·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，都在区间内，且，则函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）若）（n为偶数），则的最小值为（    ） A．25 B．8 C． D． 5．（23-24高三上·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C．12 D．20 6．（多选）（24-25高一上·江西景德镇·期中）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式： ①对于所有实数和，有. ②等式条件：当且仅当时，等号成立. 例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（多选）（24-25高一上·新疆·期中）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 8.（多选）（2023·贵州遵义·模拟预测）已知，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．. C．的最大值为 D． 考点02 利用权方和不等式求最值（共6小题） 9．（24-25高一下·四川宜宾·期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 10．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 11．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 12．（2025高三·全国·专题练习）已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为 ． 13．（24-25高一上·江苏无锡·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为 ． 14．（24-25高一上·河北·期中）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是5. 考点03 利用不等式链求最值（共9小题） 15．（多选）已知正数满足，则（　　） A． B． C． D． 16．（多选）若x，y满足，则（　　） A． B． C． D． 17．（多选）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 18．（多选）设a＞0，b＞0，则下列不等式中一定成立的是（　　） A.a＋b＋≥2　 B.＞ C.≥a＋b　 D.（a＋b）（＋）≥4 19.（多选） 已知且，则下列选项正确的是（　　） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 20．若，，且，则下列不等式不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 21．（多选）若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的有（    ） A． B． C． D． 22.（多选）已知实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 23．已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值； 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题02 巧用柯西不等式、权方和不等式、不等式链求最值 考点01 利用柯西不等式求最值(共8小题) 2 考点02 利用权方和不等式求最值（共6小题） 7 考点03 利用不等式链求最值（共9小题） 11 【知识点综述】 1．柯西不等式（Cauchy不等式）（拓展） （1）二元柯西不等式：对于任意的，都有． （2）元柯西不等式： ，取等条件：或（）． 2．权方和不等式 （1）二维形式的权方和不等式 对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立． （2）一般形式的权方和不等式 若，，，则，当时等号成立． 3.基本不等式链 , 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化. 考点01 利用柯西不等式求最值(共8小题) 1．（2025高三·全国·专题练习）柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】根据柯西不等式的三元形式，构造求解即可. 【详解】因为， 根据题目中柯西不等式的三元形式可知， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是， 故选：A 2．（2024·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由柯西不等式求解即可. 【详解】，由，解得， 当时，，当，， 当，则， 此时且， 由柯西不等式可得， 当且仅当，即时取等号，此时，即， 所以函数的最大值为2. 故选：C. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，都在区间内，且，则函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：由，可将用表示出来，从而使函数转化为只含一个变量的式子，然后利用通分、分离常数化简变形，最后利用基本不等式即可求得最小值，注意等号取得的条件．解法二：由，可将用表示出来，从而使函数转化为只含一个变量的式子，再使用柯西不等式求解即可. 【详解】解法一：因为， 所以，且， 又因为， 所以， 所以， ， 因为， 所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以， 所以的最小值为． 解法二：因为， 所以，且， 所以 ， 所以的最小值为． 故选：D． 4．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）若）（n为偶数），则的最小值为（    ） A．25 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】利用柯西不等式求解. 【详解】由柯西不等式，得， ∴， ∴， 当且时， 即，且与异号时， ， 则的最小值为. 选：C. 5．（23-24高三上·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C．12 D．20 【答案】A 【分析】运用柯西不等式直接求解即可. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 由柯西不等式得，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 6．（多选）（24-25高一上·江西景德镇·期中）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式： ①对于所有实数和，有. ②等式条件：当且仅当时，等号成立. 例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据柯西不等式，等号成立条件为，对每个选项进行分析计算，判断其正误. 【详解】对于A选项，根据柯西不等式. 因为，所以，即. 所以，则，当且仅当时取等号， A选项正确. 对于B选项，令，，则. 根据柯西不等式. 即.当且仅当取等号， 所以，B选项错误. 对于C选项，根据柯西不等式. 因为，所以.当且仅当取等号.所以，C选项错误. 对于D选项，令，，则. 根据柯西不等式. 因为，所以.当且仅当取等号. 所以，D选项正确. 故选：AD. 7．（多选）（24-25高一上·新疆·期中）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】将不等式变为，利用柯西不等式和基本不等式可求得的最小值，进而构造不等式求得的取值范围，从而得到结果. 【详解】由得：， （当且仅当，即时取等号）， （当且仅当时取等号）， 即当时，， ，解得：，可能的取值为. 故选：BCD. 8.（多选）（2023·贵州遵义·模拟预测）已知，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．. C．的最大值为 D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式可判定A、B选项，利用排除法可判定C选项，利用柯西不等式可判定D选项. 【详解】由题意可得， 当且仅当时取得等号，即A正确； ， 当且仅当时取得等号，即B正确； 由柯西不等式可知： ， 当且仅当，即时取得等号，即D正确； 若，则，此时，故C错误. 故选：ABD 考点02 利用权方和不等式求最值（共6小题） 9．（24-25高一下·四川宜宾·期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】B 【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答. 【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立， 又，即， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为25. 故选：B 10．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】B 【分析】结合所给权方和不等式计算即可得. 【详解】由，则，， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 11．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 【答案】B 【分析】根据权方和不等式的定义，将函数变形为：，再根据权方和不等式求出最小值即可. 【详解】因为， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故选：B 12．（2025高三·全国·专题练习）已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】利用不等式构造定值求解即可. 【详解】解法一：（柯西不等式）∵x，y，，， ∴ ， 则．当且仅当时取等号． 解法二：（均值不等式），，， 所以． 当且仅当时取等号． 解法三：（权方和不等式）． 当且仅当时取等号． 13．（24-25高一上·江苏无锡·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为 ． 【答案】49 【分析】根据题中给的不等式可求得结果. 【详解】因为正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当即时，等号成立，此时的最小值为49， 14．（24-25高一上·河北·期中）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是5. 【答案】(1)证明见解析； (2)60； (3)解法不正确，理由见解析. 【分析】（1）将证明转化为证明，可以通过利用基本不等式来证明； （2）将变形成，利用权方和不等式结合已知条件，即可求解； （3）利用.权方和不等式求最值，需注意等号成立的条件是否能满足. 【详解】（1）证明： ，当且仅当时，等号成立. 因为，所以. （2） ， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为.. （3）这种解法不正确. 原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立. 由，消去得，因为，所以本方程无实数解， 所以，的最大值不是5. 考点03 利用不等式链求最值（共9小题） 15．（多选）已知正数满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】A选项，正数满足，故， 解得，当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，， 当且仅当，即，即时，等号成立，B正确； C选项，由基本不等式链得， 所以 ，C错误； D选项，因为，所以， 故，当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ABD 16．（多选）若x，y满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由基本不等式链: , 可得（R）， 对于C，由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确 因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；故选AC. 17．（多选）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式及不等式的性质即可得出选项A、B、D正确，选项C，取特殊值即可排除. 【详解】对于选项A，因为，则， 所以，故选项A正确； 因为，所以，，又，得到 故，所以选项B和D正确， 对于选项C，取，满足，但，所以选项C错误， 故选：ABD. 18．（多选）设a＞0，b＞0，则下列不等式中一定成立的是（　　） A.a＋b＋≥2　 B.＞ C.≥a＋b　 D.（a＋b）（＋）≥4 【答案】ACD 【解析】因为a＞0，b＞0，所以a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b且2＝，即a＝b＝时取等号，故A正确；因为a＋b≥2＞0，所以≤＝，当且仅当a＝b时取等号，故B错误；因为≤＝，当且仅当a＝b时取等号，所以＝＝a＋b－≥2－＝，当且仅当a＝b时取等号，所以≥，即≥a＋b，故C正确；因为（a＋b）·（＋）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时取等号，故D正确. 故选：ACD 19.（多选） 已知且，则下列选项正确的是（　　） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】ABD 【分析】由基本不等式逐项判断可求。 【解析】对于A项，因为且，所以，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故A项正确； 对于B项，因为且，所以，即，当且仅当时等号成立，故B项正确； 对于C项，因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故C项错误； 对于D项，令所以 所以， 因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故D项正确． 故选：ABD． 20．若，，且，则下列不等式不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，可得判断A；根据，利用基本不等式求得的最小值判断B；利用，可得可判断C；根据，利用基本不等式可求的最小值判断D. 【详解】对于A，由，可得， 又，所以，即， 当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，由，可得，即，所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，由，可得， 所以可得，即， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，易知， 即，当且仅当时等号成立，故D错误． 故选：D． 21．（多选）若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式及其变形公式和“1”的灵活运用即可求解. 【详解】解：对A选项：，，， ，即（当且仅当时等号成立），故A选项正确； 对B选项：，而成立， 成立，故B选项正确； 对C选项：， （当且仅当时等号成立），故C选项正确； 对D选项：，（当且仅当时等号成立）， ，故D选项错误. 故选：ABC. 22.（多选）已知实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式可判断ABC；将题设配方可得，结合进行求解即可判断D. 【详解】对于A，由 当且仅当时等号成立，即，故A错误； 对于B，由，得， 即， 当且仅当时等号成立，即，故B正确； 对于C，由，得， 当且仅当时等号成立，即，故C正确； 对于D，由，得， 即，即，故D正确. 故选：BCD. 23．已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值； 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析，最小值为 【分析】（1）利用基本不等式可得，不等式相加即可完成证明； （2）先证明不等式，然后根据可证明，再将原式变形为结合证明的结论可计算出最小值； 【解析】（1）证明：由基本不等式得， 左右相加得， 当且仅当时“”成立，问题得证. （2）证明： ， 当且仅当时等号成立， 所以不等式成立； 所以， 所以，当且仅当时取等号， 故不等式成立； 当且仅当，即时，等号成立，. 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $