拓展专题01 基本不等式巧求最值的八大策略8大考点42题（高效培优期中专项训练）高一数学上学期北师大版

拓展专题01 基本不等式巧求最值的八大策略 考点01 直接法求最值（共5小题） 1 考点02 凑配法求最值(共5小题) 3 考点03 消参法求最值（共6小题） 4 考点04 “1”的代换法求最值(共7小题) 6 考点05 双换元求最值(共6小题) 9 考点06 齐次化求最值(共6小题) 12 考点07万能k法求最值(共3小题) 15 考点08 因式分解法求最值（共6小题） 16 考点01 直接法求最值（共5小题） 1．（24-25高一上·江苏·期末）已知实数，则的最小值是（    ） A． B． C．6 D．5 【答案】B 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即， 所以的最小值是. 故选：B. 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为8. 故选：D 3．若都是正数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为都是正数，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值为. 故选：C. 4．若正数满足：，则当取最大值时的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解积的最值. 【详解】根据基本不等式，解得，所以，所以， 当且仅当时等号成立，此时的值为1. 故选：C 5．（1）已知，求的最大值； （2）已知正实数满足，求的最大值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用基本不等式可求得结果；（2）利用基本不等式可求得结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立. 因此，当时，取到最大值. （2）由，解得， 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为10. 考点02 凑配法求最值(共5小题) 6．已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是3. 故选：C. 7．函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数（）的最小值为， 故选：B 8．已知，则的最大值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【详解】因为，则， 则 ， 当且仅当，即时取等． 故选：A． 9.若，则的最小值为 . 【答案】4 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 10.已知，，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，可得， 且，得， 当且仅当，即时取等号， 因此，所以的最大值为. 故选：C. 考点03 消参法求最值（共6小题） 11．已知，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因，则， 则. 当且仅当，结合，， 即，时取等号. 故选：A 12．已知，，，则的最小值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【详解】由题设，又，，故，则， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：D 13．已知正实数x，y满足，则的最小值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【详解】由，可得，故， 则， 当且仅当，时取等号，故目标式的最小值为9. 故选：A 14．已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得， 即， 当且仅当，取到等号， 故选：C. 15．已知，，且，则的最小值为 . 【答案】 【详解】显然（否则矛盾），从而， 所以， 当且仅当等号成立， 综上所述，的最小值为. 考点04 “1”的代换法求最值(共7小题) 16．已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故， ，故， ， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D 17．已知实数，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用乘“1”法并结合基本不等式可求得的最小值，从而可得实数m的取值范围. 【详解】由，可得：， 又因为，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以， 由恒成立，可得，即实数m的取值范围为. 故选：A. 18．已知，且，则的最小值为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【详解】因为，则， 则由题意得， ， 当且仅当，即时取等号． 故选：B． 19．已知且，则的最小值为（    ） A． B．7 C．15 D． 【答案】C 【详解】，且，， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 即的最小值为. 故选：C． 20．若，且，设，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以，的最小值为. 21．已知均为正数，且，则的最小值 . 【答案】 【分析】通过已知等式变形得到，再利用“”的代换将目标表达式展开，最后应用基本不等式求得最小值. 【详解】已知均为正数，且，所以， 则， 当且仅当，即时，取得等号， 又，所以当，时，取得最小值. 故答案为： 22.已知，且. (1)求的最小值； (2)求的取值范围； 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）利用基本不等式求出最小值. （2）根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即得范围. 【详解】（1）由，得，当且仅当，即，时取等号. 则，而，解得，所以的最小值为16. （2）由，，得， 因此， 当且仅当，即，时取等号， 所以的取值范围为. 考点05 双换元求最值(共6小题) 23．已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设令，故，，变形得到，由基本不等式“1”的代换求出的最小值，从而得到答案. 【详解】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 24．已知，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．10 【答案】B 【分析】首先对题中所给的式子进行变形为，利用基本不等式求得最小值，将问题转化为，解不等式求得结果. 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 令，则，解得（舍去）或， 则，当且仅当，时等号成立， 即的最小值为9. 故选：B. 25．若正数a，b满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】设，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设，则，可得， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，取得最小值． 故答案为：． 26．若，，，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】令 ，则，由此可将变形为，结合基本不等式，即可求得答案。 【详解】由题意，，，，得：， 设 ，则 ， 故 ， 当且仅当 ，即 时取得等号， 故的最小值为， 故答案为： 27．已知，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】利用代换1法来，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设，由对应系数相等得， 解得 所以，整理得， 即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 28．已知，且，则的最小值为 ，此时 ． 【答案】 12 或1 【分析】由代入目标式，应用基本不等式求目标式的最小值，并确定取值条件. 【详解】由题设，则， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 此时，可得，故或时等号成立. 综上，或时目标式取最小值为12. 考点06 齐次化求最值(共6小题) 28．设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 29．若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 30．若，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 31．解决下列问题： (1)求函数的最小值； (2)若，且，求的最小值. (3)求函数的最小值； 【答案】(1)3； (2)9； (3)10. 【分析】（1）由基本不等式可得答案； （2）注意到，后由基本不等式可得答案； （3）令，则，后由基本不等式可得答案. 【详解】（1） ∵， ∴（当且仅当，即时取等号） ∴的最小值为3； （2）因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，， 所以的最小值为9. （3）令，则， ∴ 当且仅当即时取等号 ∴的最小值为10. 32．（1）当时，求的最小值； （2）已知，，都是正数，且，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【分析】（1）将看作整体进行变形，再利用基本不等式的性质即可得解； （2）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. 【详解】（1），， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当时，函数的最小值为. （2），且， ， 当且仅当， 即时，等号成立， 故. 33．（1）已知，，且，求的最小值； （2）求函数的最小值． 【答案】（1）3；（2）9． 【分析】（1）依题意可得，则，利用基本不等式计算可得； （2）令，则，利用基本不等式计算可得； 【详解】（1）∵，，且，所以， 则， 当且仅当时等号成立，因此的最小值为3． （2）因为，所以，令，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立； 所以函数的最小值为． 考点07万能k法求最值(共3小题) 一般情况下的“万能K法” 设K法的三个步骤： ⑴问谁设谁：求谁，谁就是K； ⑵代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）； ⑶确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值. 34.已知，若，则的最小值是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】设，将变形整理，用含k的式子表示，这样会出现互为倒数的形式，再利用基本不等式即可求解. 【详解】设，则， ∴ ∴整理得：， 由得 ，当且仅当时取“=”. ∴， 解得或（舍去）,即当时，取得最小值8， 故选：A. 35.已知，若，则的最小值是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：通过变形，利用基本不等式的性质，即可得出答案. 详解：设，则，       ，即 整理得：当且仅当       当且仅当时取.       解得或（舍去）       即当时，取得最小值8. 故选C. 36．已知正数满足，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】，令， ，， ， 时等号成立， 可得的最大值为9，故答案为9. 考点08 因式分解法求最值（共6小题） 1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1） 37.已知正实数，，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可先对作变形处理，得，结合基本不等式进行放缩，可得，再进一步化简求值即可. 【详解】由， 得，化简得， 解得，即的取值范围为， 故选：B. 38.若实数、、，且，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知等式分解为，再应用基本不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件. 【详解】因为， 所以 ， 所以=，当且仅当时，等号成立. 故选：D 39.已知，，且，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可得，令，，可得，，，进一步可得，最后利用基本不等式求出最大值即可. 【详解】 ， ，配凑得：， 两边同时除以4得：，即， 令，，则，，， 所以 （当且仅当即时，等号成立）. 故选：C. 40.已知，且，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】a，b∈R+，由ab，可得．又，可得（a+b）5≥（a+b），化简整理即可得出． 【详解】∵a，b∈R+，∴ab，可得，当且仅当a=b=或a=b=2取等 ∵， ∴（a+b）5≥（a+b）， 化为：（a+b）2﹣5（a+b）+4≤0， 解得1≤a+b≤4， 则a+b的取值范围是[1，4]． 故选A． 41.若实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值. 【详解】由，得， 设，其中. 则，从而， 记，则， 不妨设，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为. 42.已知，且，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】原式可变形为，两边同时乘以2，得，所以，即x+2y ，当且仅当时等号成立．填 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题01 基本不等式巧求最值的八大策略 考点01 直接法求最值（共5小题） 1 考点02 凑配法求最值(共5小题) 3 考点03 消参法求最值（共6小题） 4 考点04 “1”的代换法求最值(共7小题) 6 考点05 双换元求最值(共6小题) 9 考点06 齐次化求最值(共6小题) 12 考点07万能k法求最值(共3小题) 15 考点08 因式分解法求最值（共6小题） 16 考点01 直接法求最值（共5小题） 1．（24-25高一上·江苏·期末）已知实数，则的最小值是（    ） A． B． C．6 D．5 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 3．若都是正数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若正数满足：，则当取最大值时的值为（    ） A． B． C．1 D． 5．（1）已知，求的最大值； （2）已知正实数满足，求的最大值. 考点02 凑配法求最值(共5小题) 6．已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则的最大值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 9.若，则的最小值为 . 10.已知，，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C． D． 考点03 消参法求最值（共6小题） 11．已知，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 12．已知，，，则的最小值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 13．已知正实数x，y满足，则的最小值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 14．已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 15．已知，，且，则的最小值为 . 考点04 “1”的代换法求最值(共7小题) 16．已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 17．已知实数，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．已知，且，则的最小值为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 19．已知且，则的最小值为（    ） A． B．7 C．15 D． 20．若，且，设，则的最小值为 . 21．已知均为正数，且，则的最小值 . 22.已知，且. (1)求的最小值； (2)求的取值范围； 考点05 双换元求最值(共6小题) 23．已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 24．已知，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．10 25．若正数a，b满足，则的最小值是 ． 26．若，，，，则的最小值为 ． 27．已知，且，则的最小值是 . 28．已知，且，则的最小值为 ，此时 ． 考点06 齐次化求最值(共6小题) 28．设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 29．若，则的最小值是 . 30．若，则的最小值为 . 31．解决下列问题： (1)求函数的最小值； (2)若，且，求的最小值. (3)求函数的最小值； 32．（1）当时，求的最小值； （2）已知，，都是正数，且，求证：. 33．（1）已知，，且，求的最小值； （2）求函数的最小值． 考点07万能k法求最值(共3小题) 一般情况下的“万能K法” 设K法的三个步骤： ⑴问谁设谁：求谁，谁就是K； ⑵代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）； ⑶确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值. 34.已知，若，则的最小值是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 35.已知，若，则的最小值是 A． B． C． D． 36．已知正数满足，则的最大值为 ． 考点08 因式分解法求最值（共6小题） 1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1） 37.已知正实数，，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38.若实数、、，且，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 39.已知，，且，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 40.已知，且，则的取值范围是 A． B． C． D． 41.若实数满足，则的最大值为 . 42.已知，且，则的最小值是 ． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $