精品解析：湖南省岳阳市汨罗市第一中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

2025年9月高中数学33 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 若命题“时，”是假命题，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知角的终边经过点，则（ ）． A. 3 B. C. D. 5. 已知函数（且）是奇函数，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 在中，是边上一点，且是的中点，记，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共15分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 为函数图象的一条对称轴 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上的值域为 D. 在区间上有3个零点 11. 已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数关于直线对称 B. 4是函数的周期 C. D. 方程恰有4不同的根 三、填空题（共15分） 12. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 13. 已知，则__________. 14. 已知直线是曲线与的公切线，则__________. 四、解答题（共80分） 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若的周长为9，面积为，求a. 16. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线的倾斜角为45°，求. 17. 如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，． （1）求证：平面平面； （2）若为的中点，求平面与平面的夹角． 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且过点，过点的一条直线与椭圆相交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）若，试求直线的方程. 19. 已知等差数列满足，． （1）求； （2）求数列的前2n项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年9月高中数学33 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：求出集合后可求. 【详解】[方法一]：直接法 因为，故，故选：B. [方法二]：【最优解】代入排除法 代入集合，可得，不满足，排除A、D； 代入集合，可得，不满足，排除C. 故选：B. 【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法； 方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解． 2. 若复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法运算求得，由此求得的虚部. 【详解】， 所以的虚部为. 故选：A 3. 若命题“时，”是假命题，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出全称量词命题的否定，故，设，由单调性求出，从而. 【详解】若命题“时，”是假命题， 则命题“时，”是真命题，则， 设，其在上单调递减，在上单调递增， 且，故当时，，则. 故选：D 4. 已知角的终边经过点，则（ ）． A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以. 故选：D． 5. 已知函数（且）是奇函数，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求出a的值，可得的解析式，继而代入求值，即得答案. 【详解】由题意知函数（且）的定义域为， 因为是奇函数，则，即， 得，即， 故，解得或（舍去）， 故，故， 故选：C 6. 在中，是边上一点，且是的中点，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则进行运算即可. 【详解】 ， 故选：D． 7. 若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别探究函数与的单调性，再求的最大值. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增. 而，， 所以的取值范围为. 【点睛】本题主要考查分段函数的最值以及指数函数，对数函数的单调性，属于中档题. 8. 已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设为圆上一点，得到的中点，求得，结合直线与圆有公共点，得到，求得，进而求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即， 且双曲线的渐近线方程为， 设为圆上一点，且圆心为，半径， 则的中点在其渐近线上，可得， 即，所以点在直线上， 因为圆心到直线的距离为， 因为圆上存在点满足条件，所以直线与圆有公共点， 所以，即，可得，可得，所以， 又因为双曲线的离心率，所以， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 二、多选题（共15分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对A和C利用不等式性质即可判断，对B和D举反例即可反驳. 【详解】对A，因为，则两边同乘得，两边同乘得， 则，故A正确； 对B，当时，，故B错误； 对C，因为，则，又因为，所以，故C正确； 对D，举例，则，而， 此时两者相等，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 为函数图象的一条对称轴 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上的值域为 D. 在区间上有3个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，通过判断是否在时，可取得最值，可判断选项正误； 对于BC，由正弦函数单调性可判断选项正误；对于D，当，，然后由正弦函数零点情况可判断选项正误. 【详解】对于A，时，，此时函数取最小值，故为函数图象的一条对称轴，故A正确； 对于B，时，，而在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于C，时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，故C正确； 对于D，，，因在上只有两个零点， 且由，即；由，即， 即在区间上有2个零点，故D错误. 故选：AC 11. 已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数关于直线对称 B. 4是函数的周期 C. D. 方程恰有4不同的根 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A的正误；根据题意，结合函数的周期性，可判断B的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C的正误；分别作出和的图象，即可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A：因为是偶函数， 所以，即 所以关于对称，故A正确. 对于B：因为， 所以， 所以，即周期，故B正确 对于C： 所以，故C错误； 对于D：因为，且关于直线对称， 根据对称性可以作出上的图象， 又，根据对称性，可作出上的图象， 又的周期， 作出图象与图象，如下图所示： 所以与有4个交点，故D正确. 故选： ABD 三、填空题（共15分） 12. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由且， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】将角度拆分成，再结合诱导公式转化即可得所求. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 14. 已知直线是曲线与的公切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算. 【详解】设曲线上切点，， 切线斜率，切线方程， 即 同理，设曲线上切点，， 切线斜率，切线方程， 即， 所以，解得， 所以，，. 故答案为：. 四、解答题（共80分） 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若的周长为9，面积为，求a. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简得解. （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及余弦定理列式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 则， 因此，而，则，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）及已知得，解得， 由，得， 由余弦定理得，则， 所以. 16. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线的倾斜角为45°，求. 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）由抛物线性质求解即可； （2）表示出直线方程，联立直线与抛物线，由韦达定理结合抛物线性质求解. 【小问1详解】 由抛物线的性质，，故抛物线. 【小问2详解】 由直线的倾斜角为45°，则斜率为1，直线方程为， 设， 联立， , 故. 17. 如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，． （1）求证：平面平面； （2）若为的中点，求平面与平面的夹角． 【答案】（1）证明：因为，所以，， 又，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得平面，然后利用面面垂直的判定定理即得； （2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 连接PO,OD,因为为正三角形，为中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又为的中点，所以，， 如图以为原点建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 又平面的一个法向量可取， 设平面与平面夹角为， 则， 又，所以，即平面与平面夹角为． 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且过点，过点的一条直线与椭圆相交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）若，试求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用椭圆过已知点以及向量数量积的条件，结合椭圆中的关系，求解椭圆的标准方程即可. （2）先分析特殊情况（直线与轴垂直），再设出直线的斜截式方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到根与系数的关系，结合线段长度的比例关系建立方程，求解直线的斜率，进而得到直线方程. 【小问1详解】 根据题意作图如下： 设，椭圆过点， 所以有，， 又，则， 所以，则，所以， 整理得，因为， 所以解得， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 根据题意作图如下： 若，则. 当直线与轴垂直时，其方程为， 则，，不满足题意. 设直线的方程为，代入椭圆方程得， 整理得，即. 设，则①，②. 因为，在直线上，且在的两侧， 所以，则，所以③. 由①③解得，代入②， 得解得， 所以直线的方程为，即或， 综上，直线的方程是或. 19. 已知等差数列满足，． （1）求； （2）求数列的前2n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由条件结合等差数列通项公式列方程求，，代入等差数列通项公式可得结论， （2）由（1）可得，利用裂项相消法求结论. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则， 因为，， 所以，， 所以，， 所以，， 所以， 【小问2详解】 由（1）， 所以数列的前2n项和， 所以， 所以数列的前2n项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $