第二章 与数轴有关的压轴突破8个专题（50题）（必考点分类集训）-2025-2026学年七年级数学上册必考点分类集训系列（人教版新教材）

第二章 与数轴有关的压轴突破8个专题（50题） 【人教版新教材】 压轴突破1 数轴与有理数综合多结论问题 1 压轴突破2 数轴上两点间的距离 3 压轴突破3 数轴折叠问题 5 压轴突破4 数轴上的动点与行程问题 8 压轴突破5 数轴上的动点与往返问题 10 压轴突破6 数轴上的动点与定值问题 13 压轴突破7 数轴上的动点与动线段问题 15 压轴突破8 数轴上的新定义问题 17 压轴突破1 数轴与有理数综合多结论问题核心方法：1. 定原点，标已知：先确定数轴原点位置，根据题干条件标注出已知有理数对应的点，明确各点的左右顺序。 2. 用字母，表未知：设出关键未知点所代表的字母（如a、b），结合数轴性质（右边数大于左边数）写出核心关系式（如a < 0 < b、|a| > |b|）。 3. 逐判断，用特值：对每个结论，结合上述关系式分析，复杂结论可代入符合条件的具体数值快速验证真假。 方法指导 1．已知整数a，b，c，d在数轴上对应的点如图所示，其中|b|＜|a|＝|c|＜|d|，则下列各式：①d﹣a＝d+c，②a+b+c+d＜0，③|a+b|+b＝|c|，④，其中一定成立的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法： ①a+b﹣c＞0；②ab+ac＞0；③；④|a﹣b|﹣|c+b|+|a﹣c|＝﹣2b． 其中正确结论序号是（　　） A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④ 3．在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论： ①（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）＜0， ②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|； ③（a+b）（b+c）（c+a）＞0； ④|a|＜1﹣bc． 其中正确的结论有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a，b，有下列结论：①a﹣b＜0；②a+b＞0；③（b﹣1）（a+1）＞0；④．其中正确的有（　　）个． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．有理数a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①（a+b）（b+c）（c+a）＞0；②b＜b2；③|a|＜1﹣bc；④|a﹣b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|﹣|a|＝a．其中正确的结论有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 6．如图，A、B两点在数轴上的数分别是a、b，则下列说法：①2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1；②A，B之间的非负整数有1，2；③|a|﹣|b|＝a+b；④﹣a＜b＜|b|＜a．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．③④ 7．有理数a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①（a+b）（b+c）（c+a）＞0；②b＜b2；③|a|＜1﹣bc；④a﹣c+bc＜0．其中正确的结论有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 压轴突破2 数轴上两点间的距离 一、数轴上两点间的距离 1. 核心公式：若数轴上两点表示的数为m和n，则两点间距离为 |m - n| ，即两数差的绝对值。 2. 简化规则：同侧点（都正或都负）：距离 = 绝对值的差（大减小）；异侧点（一正一负）：距离 = 绝对值的和。 二、距离求最值 1. 单动点型（如：求|x - a|的最值） 最小值：当x = a时，距离为0（动点与定点重合），这是最小值，无最大值。 2. 双动点型（如：求|x - a| + |x - b|的最值，设a < b） 最小值：当x在a和b之间（含端点）时，最小值为|a - b|（两定点间的距离）。 无最大值：x越向两端移动，和越大，趋向无穷。 3. 多动点型（如：求|x - a| + |x - b| + |x - c|的最值，设a < b < c） 最小值：当x = b（中间的定点）时，最小值为|a - c|（两端定点间的距离）。 无最大值：原理同双动点型。 方法指导 8．数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示x、y的数对应的两点之间的距离为|x﹣y|．借助数轴解决下列问题：已知代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣30|最小值为　 　 ． 9．一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果|a+2|＝3，那么a＝ 　 　 ．请你结合数轴与绝对值的知识求得|a+3|+|a﹣1|+2|a﹣3|的最小值为 　 　 ． 10．若点A、B在数轴上代表的数为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，则下列说法： ①数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离是|x﹣1|； ②若AB＝3，点B表示的数是2，则点A表示的数是1； ③当x＝3时，代数式|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|有最小值为6； ④当代数式|x+2|+|x﹣2|取最小值时，x的取值范围是﹣2≤x≤2； ⑤三个不同的点A，B，C在数轴上代表的数分别为a，b，c，若|a﹣b|+|c﹣a|＝|b﹣c|，则点A位于B，C两点之间．其中说法正确的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 11．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则AB＝a﹣b．请你利用数轴解决以下问题： （1）（如图1）数轴上M、N两点表示的数分别为﹣4、2，求M、N两点之间的距离MN； （2）（如图1）已知点P为数轴上任一动点，点P表示的数为m，若点P与表示有理数﹣2的点的距离是3个单位长度，求m的值； （3）已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置（如图2）所示，若|a﹣d|＝12，|b﹣d|＝7，|a﹣c|＝9，则|b﹣c|等于　　 ； （4）n为有理数，且满足|n+2|+|n﹣6|＝|n﹣10|，直接写出满足条件的n的值． 12．阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道|4﹣2|表示4与2在数轴上对应的两点之间的距离：|4+2|＝|4﹣（﹣2）|，所以|4+2|表示4与﹣2在数轴上对应的两点之间的距离；|4|＝|4﹣0|，所以|4|表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为AB＝|a﹣b|． 回答问题： （1）数轴上表示5与﹣2的两点之间的距离是 　 　 ；数轴上表示x与2的两点之间的距离是 　 　 ； （2）若|m﹣2|＝3，求m的值； （3）若|n﹣2|+|n+3|＝5，写出整数n的值； （4）若代数式|x﹣1|+|x+a|的最小值是4，请直接写出a的值． 13．数轴上两点间的距离，可以看作数轴上这两点所对应的数差的绝对值．如图，数轴上有A，B，C三个点，表示的数分别为：﹣1，2，4，数轴上有一动点表示的数是x． （1）A、C两点之间的距离为　 　 ；|x+2|表示数轴上数　 　 与　 　 对应的点之间的距离． （2）求|x﹣1|+|x﹣4|的最小值． （3）已知（|x﹣1|+|x+3|）（|y+4|+|y﹣2|）＝24，求x+2y的最大值． 14．我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为|AB|＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． （1）利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 　 　 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 　 　 ． ②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 　 　 ，如果|AB|＝2，那么x为 　 　 ． （2）探索规律： ①当|x﹣1|+|x﹣2|有最小值是 　 　 ． ②当|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|有最小值是 　 　 ． ③当|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值是 　 　 ． （3）规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ （4）知识迁移 |x+4|﹣|x﹣5|最大值是 　 　 ，最小值是 　 　 ． 压轴突破3 数轴折叠问题1. 找折痕（关键）：数轴折叠后，能重合的两个点，它们正中间的位置就是折痕。比如点1和点5重合，中间的点3就是折痕。 2. 算对应点（核心方法）：如果知道一个点和折痕，求它折叠后对应的点，就用“折痕的2倍减去已知点”。比如折痕是3，已知点是1，对应点就是3×2-1=5。 3. 验证对错（快速检查）：折叠后，原来的点和对应点到折痕的距离肯定相等。比如点1到折痕3的距离是2，点5到折痕3的距离也是2，说明结果对了。 方法指导 15．在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是﹣10，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若折叠后的点A在点B的右边，且AB＝1，则点C表示的数是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 16．在数轴上剪下9个单位长度（从﹣3到6）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 　 　 ． 17．数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础．小海在草稿纸上画了一条数轴，如图是数轴的一部分，并利用折叠进行下列的操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣5表示的点与 　 　 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使5表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题： ①若折痕处对应的点记为C，则C点表示的数是 　 　 ； ②﹣1表示的点与 　 　 表示的点重合； ③若数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b（A在B的左侧），折叠后A，B两点重合，且A，B两点的距离为12，求a，b的值，并画数轴表示A点和B点的位置． 18．平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．（1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 　 　 ； （2）一个机器人从数轴上表示﹣1的点出发，并在数轴上移动2次，每次移动3个单位后到达B点，则B点表示的数是 　 　 ； （3）数轴上点A表示的数为m．则点A向左移动n个单位长度所表示的数为 　 　 ； （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示﹣2的点与表示1的点重合，则表示﹣4的点与表示 　 　 的点重合； （5）若数轴上A、B两点之间的距离为8，点A在点B的左侧，A、B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示﹣2的点，则A点表示的数为 　 　 ； （6）在数轴上，点P表示的数为4，点Q表示的数为x，将点P、Q两点折叠后重合，折痕与数轴交于M点；将点P与点M折叠后重合，新的折痕与数轴交于N点，若此时点P与点N的距离为3，数x的值为 　 ． 19．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与 　 　 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使2表示的点与﹣6表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与 　 　 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为16（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 　 　 ； 操作三： （3）数轴上，点A，B表示的数分别是﹣17，7，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，且AB＝2，则C点表示的数是 　 　 ． 20．如图，已知点A，B（点A在点B的右侧）在数轴上所对应的数分别是1，b，且|b|＝3，C为数轴上一动点，其对应的数为c． （1）已知bc＝18，则点C到数轴原点O的距离为 　 　 ； （2）若将数轴在点A处折叠，当c＝5时，点B与点C 　 　 （填“能”或“不能”）重合； （3）已知点C与点A之间的距离为2.5．若将数轴折叠，使点A与表示﹣5的点重合，求点C与表示什么数的点重合？ （4）若数轴上M，N两点之间的距离为20（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，求M，N两点表示的数分别是多少？ （5）若数轴上M，N两点之间的距离为a（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是M：　 ；N：　 　 ． 21．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4表示的点与数4表示的点重合．根据你对例题的理解，解答下列问题：若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．（根据此情境解决下列问题） （1）则数轴上数3表示的点与数 　 表示的点重合． （2）若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B表示的数是 　 　 ． （3）若数轴上M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合，如果点M表示的数比点N表示的数大，则M点表示的数为 　 　 ，N点表示的数为 　 　 ． 压轴突破4 数轴上的动点与行程问题1. 设点表数：用字母（如t）表示运动时间，根据“路程=速度×时间”，写出动点在t时刻表示的数（注意运动方向：向右加，向左减）。 2. 列距求解：根据“两点距离=两数差的绝对值”，结合题干中距离相关的条件（如相遇、相距某距离）列等式。 3. 分类讨论：若动点运动方向不确定（如“相向”“同向”未明确）、位置关系不明（如某点在另一点左侧或右侧），需分情况计算并验证。 方法指导 22．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣1，0，3，点P为数轴上任意点，其对应的数为x． （1）MN的长为　 　 ； （2）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是：　 　 ； （3）如果点P以每分钟2个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值． 23．已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点左边，距离原点8个单位长度，点B在原点的右边． （1）请直接写出A，B两点所对应的数． （2）数轴上点A以每秒1个单位长度的速度出发向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度出发向左运动，在点C处追上了点A，求C点对应的数． （3）已知，数轴上点M从点A向左出发，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向左出发，速度为每秒2个单位长度，经t秒后点M、N、O（O为原点）其中的一点恰好到另外两点的距离相等，求t的值． 24．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　 　 ，点P表示的数是 　 　 （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 25．如图，在数轴上，点A表示﹣10，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒4个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发沿数轴负方向以每秒2个单位的速度匀速运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？ （2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等； （3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，求2CN﹣PC的值． 26．已知数轴上点A对应的数是﹣10，点B对应的数是2．若点P从点A出发以每秒2个单位的速度运动，与此同时，点Q从点B出发以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为t秒． （1）若点P与Q相向运动，当P，Q相遇时，求运动时间； （2）若点P与Q同时向左运动，当P与Q相距5个单位长度时，求运动时间； （3）若点P与Q相向运动，点C对应的数是﹣5，当PC+QC＝3时，求t的值． 27．已知A，B，C三点在数轴上对应的数分别为a，b，c，且a，b满足：（a+4）2+|b﹣12|＝0．点C到A，B两点的距离相等．规定：两点间的距离可用这两点的字母表示，如点A与点C之间的距离表示为AC． （1）则a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ； （2）点P是数轴上一点，它在数轴上对应的数为x，若PA＝2PB，求x的值； （3）点A以3个单位/秒的速度向右运动，点B以1个单位/秒的速度向左运动，点C以2个单位/秒的速度向右运动，点D从原点出发以m个单位/秒的速度运动．点A，B，C，D同时出发，设运动时间为t秒，在运动过程中，若总有AB＝4CD成立，求m的值及点D的运动方向． 28．已知点M，N在数轴上，M对应的数为﹣3，点N在点M右边，且距M点4个单位长度，点P，Q是数轴上两个动点． （1）直接写出点N所对应的数： （2）当点P到点M，N的距离之和是6个单位时，点P所对应的数是多少？ （3）如果P，Q分别从点M，N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P，Q两点相距2个单位长度时，点P，Q对应的数各是多少？ 压轴突破5 数轴上的动点与往返问题1. 分段建模：按往返的“去程”“返程”分段，明确每段的运动方向、时间范围、起点终点。比如动点从A出发向右到B再返回，需分成“从A到B”和“从B返回”两段分析。 2. 逐段表数：针对每段，用运动时间t（注意扣除前一段用时）表示动点位置，向右运动加路程，向左运动减路程。 3. 临界验证：重点关注“折返点”（如B点）的时间和位置，以此作为分段的临界值，避免混淆不同阶段的运动状态。 4. 列式求解：结合每段的位置表达式，按题干距离、相遇等条件列等式，计算后需核对结果是否在对应分段的时间范围内。 方法指导 29．已知点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，M、N两点之间的距离表示为MN，则在数轴上M、N两点之间的距离MN＝|m﹣n|，如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为﹣12和6． （1）直接写出A、B两点之间的距离 　 　 ； （2）若在数轴上存在一点C，使得C到B的距离是到A的距离的2倍，求点C表示的数； （3）如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在AB之间进行往返运动，点P出发的同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴一直向左运动，求当OQ＝2OP时，时间t的取值． 30．在一条光滑的轨道上，滑块P，Q可在轨道上进行无摩擦的滑动．P，Q分别从点A，B同时出发，以相同的速度相向运动．沿着轨道建立数轴，规定向右为正方向，A，B两点表示的数分别为a，b，且a，b满足（a+5）2+|b﹣25|＝0． （1）则a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若P，Q的速度均为3个单位/秒，运动时间为t（秒）．P，Q滑块碰撞后会相互弹开，并分别以原来速度的和原路返回，问：经过多长时间，两滑块在轨道上相距10个单位长度？（不考虑滑块的尺寸大小） （3）拓展应用： 已知数轴上两点A，B对应的数分别是6，﹣8，M，N，P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位．若点M，N，P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？ 31．已知数轴上A，B两点对应的数分别为a，b，且a，b满足|a+2b|+（a+4）2≤0，点C对应的数为20． （1）求a，b的值； （2）若点P从点A出发，以每秒3个单位长度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍； （3）若动点P、Q分别从A、B同时出发向右运动，点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒．点Q运动到C点立刻原速返回，到达B点后停正运动．点P运动至C点处又以原速返回至A点，一直这样在AC之间做往返运动，当点Q停止运动后，点P随之停止运动．求在整个运动过程中，两点P，Q同时到达的点在数轴上表示的数． 32．【阅读材料】 在数轴上点A表示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB，若a＞b，线段AB的长度可以表示为AB＝a﹣b；若a＜b，线段AB的长度可以表示为AB＝b﹣a． 【问题探究】 （1）如图，点A在数轴上表示的数是8，点B在数轴上表示的数是﹣10，则AB＝ 　 　 ； （2）在（1）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动；同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动，设P，Q两点的运动时间为t秒，当PQ＝10时，求t的值； （3）在（1）的条件下，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动；同时点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向点A运动．当点M到达点B后，立即以原速返回，到达点A停止运动，当点N到达点A后，立即速度变为原速的一半返回，到达点B停止运动，请问：当点M运动时间为多少秒时，MN＝7． 33．已知点A，B在数轴上对应的数为a，b，点A与点B之间的距离记为AB，且（a+10）2+|b﹣14|＝0． （1）a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，AB＝ 　 　 ； （2）若在数轴上存在一点M，且MA＝3MB，求点M表示的数； （3）已知点C表示的数为2，现甲从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时乙从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动．当甲到达点C后立即以原速度返回一直向左运动，当乙到达点A后，先休息1秒，再以每秒2个单位长度的速度一直向右运动．问当经过多少秒时，甲、乙相距8个单位长度？ 34．探究与发现： |a﹣b|表示a与b之差的绝对值，实际上也可理解为a与b两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离． 理解与应用： （1）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝20，则数轴上点B表示的数 　 　 ； （2）若|x﹣8|＝4，则x＝ 　 　 ． 拓展与延伸：在（1）的基础上，解决下列问题： （3）动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．求当t为多少秒时？A，P两点之间的距离为4； （4）数轴上还有一点C所对应的数为30，动点P和Q同时从点O和点B出发分别以每秒5个单位长度和每秒10个单位长度的速度向C点运动，点Q到达C点后，再立即以同样的速度返回，点P到达点C后，运动停止．设运动时间为t（t＞0）秒．问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为2． 压轴突破6 数轴上的动点与定值问题 1. 表动点位置：设运动时间为t，根据“起点数±速度×时间”（右加左减），写出所有动点在t时刻的具体表达式。 2. 列目标式子：按题干要求（如两点距离、多距离和差），用动点表达式列出含t的目标代数式。 3. 消参定结果：化简目标式子，若含t的项全部抵消，剩余常数即为定值；若未抵消，则说明非定值。核心是通过化简消去时间参数t。 方法指导 35．已知有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C，其中b是最小的正整数的10倍，a、c满足|a+20|+（c﹣50）2＝0． （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）现将点A、B、C分别以每秒4个、p（p＞0）个、2个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，当运动时间为15秒时，A、B、C三点中恰好有一点为另外两点的中点，求出p的值？ （3）现将点A、B、C分别以每秒4个、1个、2个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒．当点A在点C左侧时（不考虑点A与点B重合），是否存在常数m，n，使得mAC+nAB的值在一定时间范围内不随t的改变而改变？若存在，求出m，n的关系；若不存在，请说明理由． 36．已知：a是最大的负整数，且a、b、c满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答以下问题： （1）请直接写出a、b、c的值，a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ． （2）如图，在数轴上，a、b、c所对应的点分别为A、B、C，现有动点D从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，动点E从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点M从点B出发，以每秒m个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒．记点D与点M之间的距离为DM，点E与点M之间的距离为EM．运动过程中，点M始终在D、E两点之间的线段上，若2EM﹣3DM的值始终是一个定值，求m的值． （3）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以2，再把所得数对应的点在数轴上平移2个单位长度，得到的点叫点P的对应点P′．已知线段BC上的点N经过上述操作后，得到的对应点N′与点N重合，请求出点N表示的数． 37．如图（1），点A、B在数轴上表示的数分别为a、b．其中，式子M＝（a+2）x3+4xb﹣2﹣x+1是关于x的二次三项式， （1）点P为数轴上A点左边一点，且PA+PB＝10，求点P在数轴上对应的数． （2）在（1）的条件下，若点P、A、B三点在数轴上同时向右运动，点P、A、B的速度分别是4个单位长度/秒、3个单位长度/秒、2个单位长度/秒，设点P运动的时间为t秒，当点PB＝2PA时，求t的值． （3）如图（2），点C在数轴上对应的点所对应的数是1，点A、C的速度分别是3个单位长度/秒、2个单位长度/秒，当点A向左运动，点C向右运动，试问是否存在一个常数k使得kAB﹣BC不随运动时间t的改变而改变，若存在，请求出k；若不存在，请说明理由． 38．如图，在数轴上A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+10|+（b﹣5）2＝0． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）点C在线段OA上一个动点其对应的数为x，请化简式子： |x+10|﹣|x﹣1|+|x﹣5|．（写出化简过程） （3）点A、B分别以2个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点M从原点O以5个单位/秒的速度同时向右运动，请问3AM+2OB﹣3OM的值是否随着运动时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 39．已知：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|c|＞|a|． （1）化简：|b﹣c|﹣|c﹣3a|+|2a+b|； （2）若|a+10|＝20，b2＝400，c的相反数是30，求a、b、c的值； （3）在（2）的条件下，a、b、c分别是A、B、C点在数轴上所对应的数， ①数轴上是否存在一点P，使得P点到C点的距离加上P点到A点的距离减去P点到B点的距离为50，即PC+PA﹣PB＝50？若存在，求出P点在数轴上所对应的数；若不存在，请说明理由； ②点C，B分别以4个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点A以7个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得4CA+3OB﹣mOA为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 40．如图，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，且满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，点O为原点． （1）请直接写出a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）一动点P从A出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为t（秒）． ①试探究：P、Q两点到原点的距离可能相等吗？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由； ②若动点Q从B出发后，到达原点O后保持原来的速度向右运动，当点Q在线段OB上运动时，分别取OB和AQ的中点E，F，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 压轴突破7 数轴上的动点与动线段问题1. 锚定线段端点：动线段的位置由其两个端点决定，先设运动时间为t，按“起点±速度×t”（右加左减）写出两个端点的表达式。 2. 分析线段属性： 求长度：用右端点表达式减左端点表达式（因线段长度为正，无需绝对值，需先明确端点左右顺序）。 定位置关系：若线段与定点/定线段关联，用端点表达式列不等式或等式（如线段经过某点、与某线段重叠）。 3. 处理动态临界：关注线段端点到达关键位置（如原点、某定点）的时间，以此划分运动阶段，避免漏解。 方法指导 41．如图，点A、B和线段MN都在数轴上，点A、M、N、B对应的数字分别为﹣1、0、2、11．线段MN沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒． （1）用含有t的代数式表示AM的长为　 　 （2）当t＝　 　 时，AM+BN＝11． （3）若点A、B与线段MN同时移动，点A以每秒2个单位速度向数轴的正方向移动，点B以每秒1个单位的速度向数轴的负方向移动，在移动过程，AM和BN可能相等吗？若相等，请求出t的值，若不相等，请说明理由． 42．如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示数﹣20，﹣8，16，有两条动线段PQ和MN（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边），PQ＝2，MN＝4，线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始向右匀速运动，同时线段PQ以每秒3个单位的速度从点A开始向右匀速运动．当点Q运动到点C时，线段PQ立即以相同的速度返回；当点Q回到点A时，线段PQ、MN同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段PQ和MN保持长度不变）． （1）两线段运动前，点M表示的数为　 　 ，点P表示的数为　 　 ． （2）在整个运动过程中，当CQ＝PM时，求出点M表示的数． （3）在整个运动过程中，当两条线段有重合部分时，速度均变为原来的一半，当重合部分消失后，速度恢复，请直接写出当线段PQ和MN重合部分长度为1时所对应的t的值． 43．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：|m﹣7|+（n+2）2＝0． （1）求m、n的值； （2）情境：有一个玩具火车AB如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为 　 　 个单位长度； 应用：如图1所示，当火车AB匀速向右运动时，若火车从车头到车尾完全经过点M需要2秒，则火车的速度为每秒 　　 个单位长度； （3）在（2）的条件下，当火车AB匀速向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车AB运动后对应的位置为A1B1．点P、Q间的距离用a表示，点B1、A间的距离用b表示，是否存在常数k使得ka﹣b的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值：若不存在，请说明理由． 44．初一年级开设了丰富多彩的选修课，佳佳同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒PQ、MN研究数轴上的动点问题： 如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数﹣24，﹣10和12、佳佳把两根木棒放在数轴上，使点Q与点A重合，点N与点B重合，点P在点Q的左边，点M在点N的左边，且PQ＝2，MN＝6．木棒MN从点B开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动；木棒PQ同时从点A开始向右以每秒3个单位的速度匀速运动，当点Q运动到C时，木棒PQ立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点P在点Q的左边），当点Q再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为t秒． （1）当t＝16时，点N表示的数为 　 　 ，点P表示的数为 　 　 ； （2）在整个运动的过程中，当线段PM和线段QN的长度之和为12时，求出对应的t的值； （3）点D为木棒PQ上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值？若存在，请求出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由． 压轴突破8 数轴上的新定义问题1. 精读定义，抓本质：逐字分析题干中的新定义（如“距离和”“关联点”等），用自己的话转化为熟悉的数学语言，明确其核心是“数轴上的距离、位置关系还是运算规则”。 2. 代入示例，验理解：若题干给了示例，直接将示例代入新定义验证，确认自己对定义的解读无误，避免理解偏差。 3. 结合数轴，建模型：根据新定义，用字母表示动点或关键点的数，结合数轴的“距离公式”“左右顺序”等基础知识点，建立符合定义的关系式或表达式。 4. 按规计算，得结论：依据建立的模型，按新定义的规则进行计算、化简或判断，最终得出答案。 方法指导 45．我们规定：在数轴上，若点M到点A的距离是2，则称点M为点A的“青春点”；若点N到点A、B的距离之和是5，则称点N为点A、B的“奋斗中心”． （1）若点A表示最大的负整数，则点A的“青春点”M表示的数是 　 　 ； （2）如图1，点A表示的数是﹣3，点B表示的数是2，若点N为点A、B的“奋斗中心”，求满足条件的点N所表示的整数的和； （3）如图2，点A、B、N在数轴上表示的数分别是﹣2、1、4，点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向右运动，求经过几秒点N是点P、Q的“奋斗中心”． 46．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将PO与PA的长度之比称为点P的特征值，记作【P】，即，例如：当点P在OA上且PO＝PA时，点P的特征值【P】＝1． （1）如图，点P1，P2，P3为数轴上三个点，点P1的数是，点P2与P1表示的数互为相反数： ①【P2】＝ 　 　 ； ②比较【P1】、【P2】、【P3】的大小 　 　 （用“＜”连接）； （2）数轴上的点M满足，求【M】； （3）若数轴上有一点K，初始位置表示的数是﹣3，现在点K以每秒2个单位的速度沿着数轴向右运动，是否存在某一时刻t，使得此刻【K】＝3？若存在请求出t的值，若不存在，请说明理由； （4）数轴上的点P表示有理数p，已知【P】＜100且【P】为整数，则所有满足条件的p的倒数之和是多少？请直接写出答案． 47．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣7，点N所表示的数为2． （1）点E，F，G表示的数分别是﹣3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　 　 ；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　 ． （2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 48．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． （1）若点A表示数﹣2，点B表示数3，点M是点A，B的“联盟点”，点M在A、B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为　　 ； （2）若点A表示数﹣2，点B表示数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别为C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“联盟点”的是　　 ； （3）点A表示数﹣15，点B表示数25，P为数轴上一点． ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，此时点P表示的数是　 　 ； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数　 　 ． 49．阅读理解，完成下列各题． 定义：已知点A，B，C为数轴上任意三点，若点C到点B的距离是它到点A的距离的2倍，则称点C是[A，B]的2倍点，如图1，点C是[A，B]的2倍点，点D不是[A，B]的2倍点，但点D是[﹣1，B]的2倍点，根据这个定义解决下面问题： （1）在图1中，点A是 　 　 的2倍点，点B是 　 　 的2倍点；（选用A，B，C，D表示，不能添加其他字母） （2）如图2，点M，N为数轴上两点，点M表示的数是﹣3，点N表示的数是0，若点E在M，N之间且点E是[M，N]的2倍点，则点E表示的数是多少？ （3）若P，Q为数轴上两点，点P在点Q的左侧，且PQ＝6，一动点H从点Q出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，求运动多久时，点H恰好是P和Q两点的2倍点？ 50．数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． （1）【知识呈现】 数轴上的点A，点C所表示的数如图1所示：若点B与点A表示的数互为相反数，则点B表示的数是 　 　 ，点A与点C之间的距离AC＝ 　 　 ，点B与点C的中点D表示的数是 　 　 ，且在图1的数轴上标出点D． （2）【定义】 一个点M（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到M1的位置（点M1与点M表示的数互为相反数），点M1称为点M的一次跳跃点，紧接着从M1到M2的位置（点M1与点M2位于点P的两侧，且PM1＝PM2≠0），则点M2称为点M关于点P的二次跳跃点．例，如图2所示； 【初步理解】 ①若点M表示的数是﹣2，点P表示的数是5，则点M的一次跳跃点1表示的数是 　 　 ，点M关于点P的二次跳跃点M2表示的数是 　 　 ，线段MM2的长度为 　 　 ． 【深入探究】 ②若点M为数轴正半轴的一个点，点P是数轴负半轴上一个点，点M2为点M关于点P的二次跳跃点．若点M，点P表示的数分别是m，﹣3，当m变化时，探究MM2的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点M，P分别表示有理数m，p（其中m≠0，p≠0），点M2为点M关于点P的二次跳跃点，直接写出线段MM2的长度． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 与数轴有关的压轴突破8个专题（50题） 【人教版新教材】 压轴突破1 数轴与有理数综合多结论问题 1 压轴突破2 数轴上两点间的距离 6 压轴突破3 数轴折叠问题 14 压轴突破4 数轴上的动点与行程问题 23 压轴突破5 数轴上的动点与往返问题 30 压轴突破6 数轴上的动点与定值问题 40 压轴突破7 数轴上的动点与动线段问题 49 压轴突破8 数轴上的新定义问题 56 压轴突破1 数轴与有理数综合多结论问题 核心方法：1. 定原点，标已知：先确定数轴原点位置，根据题干条件标注出已知有理数对应的点，明确各点的左右顺序。 2. 用字母，表未知：设出关键未知点所代表的字母（如a、b），结合数轴性质（右边数大于左边数）写出核心关系式（如a < 0 < b、|a| > |b|）。 3. 逐判断，用特值：对每个结论，结合上述关系式分析，复杂结论可代入符合条件的具体数值快速验证真假。 方法指导 1．已知整数a，b，c，d在数轴上对应的点如图所示，其中|b|＜|a|＝|c|＜|d|，则下列各式：①d﹣a＝d+c，②a+b+c+d＜0，③|a+b|+b＝|c|，④，其中一定成立的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】通过观察数轴上各数的位置，得到c＝﹣a，a＜b＜0＜c＜d，逐一判断各个式子，即可得到结果． 【解答】解：根据题意，得c＝﹣a，a＜b＜0＜c＜d， ∵c＝﹣a， ∴d+c＝d﹣a， 故①正确，符合题意； ∵c+a＝0，b＜0＜d，|b|＜|d|， ∴b+d＞0， ∴a+b+c+d＞0， 故②错误，不符合题意； ∵a+b＜0，c＞0， ∴|a+b|＝﹣a﹣b，|c|＝c， ∴|a+b|+b＝﹣a﹣b+b＝﹣a， ∵c＝﹣a， ∴|a+b|+b＝|c|， 故③正确，符合题意； ∵a＜0，ab＞0，abc＞0， ∴1﹣1+2＝0， 故④正确，符合题意， 综上所述，成立的有3个， 故选：B． 2．已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法： ①a+b﹣c＞0；②ab+ac＞0；③；④|a﹣b|﹣|c+b|+|a﹣c|＝﹣2b． 其中正确结论序号是（　　） A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④ 【分析】该题根据a，b，c三点在数轴上的位置分析比较代数式的大小． 【解答】解：由题意得：b＜0＜a＜c，a＜|b|＜c． ①项：∵c＞0． ∴﹣c＜0， ∵b＜0且a＜|b|． ∴a+b＜0． 此选项错误，排除AD． ④项：∵b＜0，﹣b＞0，a﹣b＞0． ∴|a﹣b|＝a﹣b． ∵|b|＜c，b＜0． ∴c+b＞0，|c+b|＝c+b． ∵a＜c，a＞0，c＞0． ∴|a﹣c|＜0，|a﹣c|＝c﹣a． ∴；|a﹣b|﹣|c+b|+|a﹣c|＝a﹣b﹣（c+b）+c﹣a＝﹣2b． 此选项正确． 故选：C． 3．在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论： ①（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）＜0， ②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|； ③（a+b）（b+c）（c+a）＞0； ④|a|＜1﹣bc． 其中正确的结论有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据数轴上各数的位置得出a＜﹣1，0＜b＜c＜1，依此即可得出结论． 【解答】解：由数轴可得a＜﹣1，0＜b＜c＜1， ∴a﹣1＜0，b﹣1＜0，c﹣1＜0， ∴（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）＜0，故①正确， ∵|a﹣b|+|b﹣c|＝b﹣a+c﹣b＝c﹣a，|a﹣c|＝c﹣a， ∴|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|，故②正确， ∵a+b＜0，b+c＞0，c+a＜0， ∴（a+b）（b+c）（c+a）＞0，故③正确， ∵0＜bc＜1， ∴0＜1﹣bc＜1， ∵|a|＞1， ∴|a|＞1﹣bc， 故④错误， 故选：B． 4．如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a，b，有下列结论：①a﹣b＜0；②a+b＞0；③（b﹣1）（a+1）＞0；④．其中正确的有（　　）个． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】观察数轴，用a，b的取值范围解决问题． 【解答】解：﹣1＜a＜0，1＜b， ①a﹣b＜0，正确， ②a+b＞0，正确， ③b﹣1＞0，a+1＞0，（b﹣1）（a+1）＞0，正确， ④|a﹣1|＝1﹣a＞0，b﹣1＞0，0，正确， 故选：A． 5．有理数a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①（a+b）（b+c）（c+a）＞0；②b＜b2；③|a|＜1﹣bc；④|a﹣b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|﹣|a|＝a．其中正确的结论有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据数轴上各数的位置得出a＜﹣1＜0＜b＜c＜1，依此即可得出结论． 【解答】解：由数轴上a、b、c的位置关系可知： ①a＜0＜b＜c， ∵a+b＜0，b+c＞0，c+a＜0， ∴（a+b）（b+c）（c+a）＞0，故①正确； ②∵0＜b＜1， ∴b2＜b，b， ∴b2＜b，故②错误； ③∵|a|＞1，1﹣bc＜1， ∴|a|＞1﹣bc；故③错误； ④∵a＜b，c＞a，c＞b，a＜0， ∴a﹣b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0， ∴|a﹣b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|﹣|a|＝b﹣a﹣（c﹣a）+（c﹣b）﹣（﹣a）＝b﹣a﹣c+a+c﹣b+a＝a．故④正确． 故正确的结论有①④，一共2个． 故选：C． 6．如图，A、B两点在数轴上的数分别是a、b，则下列说法：①2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1；②A，B之间的非负整数有1，2；③|a|﹣|b|＝a+b；④﹣a＜b＜|b|＜a．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．③④ 【分析】根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，逐一进行判断即可． 【解答】解：由图可知：﹣2＜b＜﹣1＜0＜2＜a＜3，故①正确； ∴A，B之间的非负整数有0，1，2，故②错误； |a|﹣|b|＝a﹣（﹣b）＝a+b，故③正确； ﹣a＜b＜|b|＜a，故④正确； 所以，上列说法①③④， 故选：B． 7．有理数a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①（a+b）（b+c）（c+a）＞0；②b＜b2；③|a|＜1﹣bc；④a﹣c+bc＜0．其中正确的结论有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据数轴上各数的位置得出a＜﹣1＜0＜b＜c＜1，再根有理数的运算求解． 【解答】解：由数轴上a、b、c的位置关系可知：a＜﹣1＜0＜b＜c＜1， ①∵a+b＜0，b+c＞0，c+a＜0， ∴（a+b）（b+c）（c+a）＞0， 故①正确； ②∵0＜b＜1， ∴b2＜b，b， ∴b2＜b， 故②错误； ③∵|a|＞1，1﹣bc＜1， ∴|a|＞1﹣bc， 故③错误； ④∵a＜﹣1，0＜bc＜1， ∴a﹣c＜﹣2， ∴a﹣c+bc＜0， 故④正确； 故正确的结论有①④，一共2个． 故选：C． 压轴突破2 数轴上两点间的距离一、数轴上两点间的距离 1. 核心公式：若数轴上两点表示的数为m和n，则两点间距离为 |m - n| ，即两数差的绝对值。 2. 简化规则：同侧点（都正或都负）：距离 = 绝对值的差（大减小）；异侧点（一正一负）：距离 = 绝对值的和。 二、距离求最值 1. 单动点型（如：求|x - a|的最值） 最小值：当x = a时，距离为0（动点与定点重合），这是最小值，无最大值。 2. 双动点型（如：求|x - a| + |x - b|的最值，设a < b） 最小值：当x在a和b之间（含端点）时，最小值为|a - b|（两定点间的距离）。 无最大值：x越向两端移动，和越大，趋向无穷。 3. 多动点型（如：求|x - a| + |x - b| + |x - c|的最值，设a < b < c） 最小值：当x = b（中间的定点）时，最小值为|a - c|（两端定点间的距离）。 无最大值：原理同双动点型。 方法指导 8．数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示x、y的数对应的两点之间的距离为|x﹣y|．借助数轴解决下列问题：已知代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣30|最小值为　 　 ． 【分析】数轴上两点之间的距离公式，再根据数轴的定义得代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣30|表示的意义，确定x＝15或16时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣30|有最小值，再代值计算即可． 【解答】解：根据数轴的定义可知，当15≤x≤16时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣30|有最小值， 当x＝15时， |x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣30| ＝14+13+12+…+2+1+0+1+2+…+14+15 ＝225． 故答案为：225． 9．一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果|a+2|＝3，那么a＝ 　 　 ．请你结合数轴与绝对值的知识求得|a+3|+|a﹣1|+2|a﹣3|的最小值为 　 　 ． 【分析】根据绝对值的意义解答①，由|a+3|+|a﹣1|+2|a﹣3|＝|a﹣（﹣3）|+|a﹣1|+2|a﹣3|得式子|a+3|+|a﹣1|+2|a﹣3|表示a到﹣3的距离与a到1的距离与a到3的距离的2倍的和，可知，当a在1的位置时，距离之和最小，据此即可解答②． 【解答】解：由已知可知：a+2＝±3， ∴a＝1或a＝﹣5， ∵式子|a+3|+|a﹣1|+2|a﹣3|表示a到﹣3的距离与a到1的距离与a到3的距离的2倍的和， ∴当a在1的位置时，距离之和最小，最小值为|1﹣（﹣3）|+2|3﹣1|＝4+4＝8， 故答案为：1或﹣5，8． 10．若点A、B在数轴上代表的数为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，则下列说法： ①数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离是|x﹣1|； ②若AB＝3，点B表示的数是2，则点A表示的数是1； ③当x＝3时，代数式|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|有最小值为6； ④当代数式|x+2|+|x﹣2|取最小值时，x的取值范围是﹣2≤x≤2； ⑤三个不同的点A，B，C在数轴上代表的数分别为a，b，c，若|a﹣b|+|c﹣a|＝|b﹣c|，则点A位于B，C两点之间．其中说法正确的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据绝对值的几何意义逐一判断每个说法的对错即可． 【解答】解：①数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离是|x﹣（﹣1）|＝|x+1|，故①错误； ②设点A表示数a， ∵点B表示的数是2， ∴AB＝|a﹣2|， 则|a﹣2|＝3， 解得：a＝5或﹣1， ∴点A表示的数是5或﹣1，故②错误； ③代数式|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|表示数轴上数x对应的点到﹣1、3、5三个数对应点的距离之和， ∴当x＝3时，原式＝|3+1|+|3﹣3|+|3﹣5|＝4+0+2＝6为最小值，故③正确； ④代数式|x+2|+|x﹣2|表示数x对应点到数﹣2，2对应点的距离之和， 当数x对应点在﹣2和2对应点之间时，这个距离之和最小， ∴|x+2|+|x﹣2|取最小值时，﹣2≤x≤2，故④正确； ⑤因为|a﹣b|+|c﹣a|表示点A到点B、C的距离之和，|b﹣c|表示点B与点C之间的距离， 所以当|a﹣b|+|c﹣a|＝|b﹣c|时，点A位于B，C两点之间，故⑤正确； 综上可知：③④⑤正确，共3个， 故选：C． 11．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则AB＝a﹣b．请你利用数轴解决以下问题： （1）（如图1）数轴上M、N两点表示的数分别为﹣4、2，求M、N两点之间的距离MN； （2）（如图1）已知点P为数轴上任一动点，点P表示的数为m，若点P与表示有理数﹣2的点的距离是3个单位长度，求m的值； （3）已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置（如图2）所示，若|a﹣d|＝12，|b﹣d|＝7，|a﹣c|＝9，则|b﹣c|等于　　 ； （4）n为有理数，且满足|n+2|+|n﹣6|＝|n﹣10|，直接写出满足条件的n的值． 【分析】（1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可 （2）由题意易得|m﹣（﹣2）|＝3，然后求解即可； （3）由数轴可知a＜b＜c＜d，然后可得d﹣a＝12，d﹣b＝7，c﹣a＝9，则有|b﹣c|＝c﹣a+d﹣b﹣（d﹣a），进而问题可求解； （4）分当n＜﹣2时，当﹣2≤n＜6时，当6≤n＜10时，当n≥10时，四种情况分别去绝对值后解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）MN＝|﹣4﹣2|＝|﹣6|＝6； （2）|m﹣（﹣2）|＝3， ∴|m+2|＝3， ∴m＝1或m＝﹣5； （3）由数轴可知：a＜b＜c＜d， 由条件可知d﹣a＝12，d﹣b＝7，c﹣a＝9， ∴|b﹣c| ＝c﹣b ＝c﹣a+d﹣b﹣（d﹣a） ＝9+7﹣12 ＝4， 故答案为：4； （4）当n＜﹣2时， ∵|n+2|+|n﹣6|＝|n﹣10|， ∴﹣n﹣2+6﹣n＝10﹣n， 解得n＝﹣6； 当﹣2≤n＜6时， ∵|n+2|+|n﹣6|＝|n﹣10|， ∴n+2+6﹣n＝10﹣n， 解得n＝2； 当6≤n＜10时， ∵|n+2|+|n﹣6|＝|n﹣10|， ∴n+2+n﹣6＝10﹣n， 解得（舍去）； 当n≥10时， ∵|n+2|+|n﹣6|＝|n﹣10|， ∴n+2+n﹣6＝n﹣10， 解得n＝﹣6（舍去）； 综上所述，n＝﹣6或n＝2． 12．阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道|4﹣2|表示4与2在数轴上对应的两点之间的距离：|4+2|＝|4﹣（﹣2）|，所以|4+2|表示4与﹣2在数轴上对应的两点之间的距离；|4|＝|4﹣0|，所以|4|表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为AB＝|a﹣b|． 回答问题： （1）数轴上表示5与﹣2的两点之间的距离是 　 　 ；数轴上表示x与2的两点之间的距离是 　 　 ； （2）若|m﹣2|＝3，求m的值； （3）若|n﹣2|+|n+3|＝5，写出整数n的值； （4）若代数式|x﹣1|+|x+a|的最小值是4，请直接写出a的值． 【分析】（1）数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值； （2）根据绝对值几何意义即可得出结论； （3）根据绝对值几何意义得出x的取舍范围，进而得出结果； （4）根据绝对值的几何意义列出式子，即可求出a． 【解答】解：（1）数轴上表示5与﹣2的两点之间的距离是5﹣（﹣2）＝7；数轴上表示x与2的两点之间的距离是|x﹣2|， 故答案为：7；|x﹣2|； （2）|m﹣2|＝3表示m与2的距离为3，则m＝﹣1或5； （3）|n﹣2|+|n+3|＝5，数轴上表示n与2和n与﹣3两点之间的距离之和为5， 则n在数轴上的位置在﹣3与2之间， ∴﹣3≤n≤2， ∵n为整数， ∴n＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2； （4）∵|x﹣1|+|x+a|的最小值是4，即当x在1和﹣a之间时，|x﹣1|+|x+a|＝4， ∴﹣a＝5或﹣a＝﹣3， ∴a＝﹣5或a＝3． 13．数轴上两点间的距离，可以看作数轴上这两点所对应的数差的绝对值．如图，数轴上有A，B，C三个点，表示的数分别为：﹣1，2，4，数轴上有一动点表示的数是x． （1）A、C两点之间的距离为　 　 ；|x+2|表示数轴上数　 　 与　 　 对应的点之间的距离． （2）求|x﹣1|+|x﹣4|的最小值． （3）已知（|x﹣1|+|x+3|）（|y+4|+|y﹣2|）＝24，求x+2y的最大值． 【分析】（1）根据题意即可解答； （2）根据题意得|x﹣1|+|x﹣4|表示数轴上x到1的距离与x到4的距离之和，即可解答； （3）根据题意得|x﹣1|+|x+3|表示数轴上x到1的距离与x到﹣3的距离之和，即可解答． 【解答】（1）根据题意得AC＝|﹣1﹣4|＝5，|x+2|表示数轴上数x与﹣2对应的点之间的距离， 故答案为：5；x；﹣2； （2）∵|x﹣1|+|x﹣4|表示数轴上x到1的距离与x到4的距离之和， ∴当x在1到4之间时|x﹣1|+|x﹣4|有最小值为4﹣1＝3． （3）∵|x﹣1|+|x+3|表示数轴上x到1的距离与x到﹣3的距离之和， ∴当x在﹣3到1之间时，|x﹣1|+|x+3|有最小值为 1﹣（﹣3）＝4； 同理：当y在﹣4到2之间时，|y+4|+|y﹣2|有最小值为 2﹣（﹣4）＝6； ∵24＝4×6， ∴|x﹣1|+|x+3|＝4，|y+4|+|y﹣2|＝6， ∴﹣3≤x≤1，﹣4≤y≤2， ∴当x＝1，y＝2时，x+2y有最大值为5． 14．我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为|AB|＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． （1）利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 　 　 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 　 　 ． ②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 　 　 ，如果|AB|＝2，那么x为 　 　 ． （2）探索规律： ①当|x﹣1|+|x﹣2|有最小值是 　 　 ． ②当|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|有最小值是 　 　 ． ③当|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值是 　 　 ． （3）规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ （4）知识迁移 |x+4|﹣|x﹣5|最大值是 　 　 ，最小值是 　 　 ． 【分析】（1）①由数轴上两点间的距离公式可直接得出答案； ②先由数轴上两点间的距离公式得|AB|＝|x+1|，进而得|x+1|＝2，据此解出x即可； （2）①根据|x﹣1|+|x﹣2|的几何意义及“两点之间，线段最短”得：当表示数x的点在数轴上表示数1，2两点构成的线段上时，|x﹣1|+|x﹣2|为最小，最小值为数轴上表示数1，2两点之间的距离； ②根据|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的几何意义及“两点之间，线段最短”得：当数轴上表示数x的点与表示2的点重合时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|为最小，最小值为数轴上表示数1，3两点之间的距离； ③根据|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|的几何意义及“两点之间，线段最短”得：当表示数x的点在数轴上表示数2，3两点构成的线段上时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为最小值，最小值为数轴上表示数1，4两点之间的距离与数轴上表示数2，3两点之间的距离之和； （3）由（2）可知：当配件箱放在流水线的中点处，共作人员所走的路程最短，进而再求出最短路程即可； （4）根据|x+4|﹣|x﹣5|的几何意义意义分三种情况进行讨论：①当在数轴上表示数x的点在表示数﹣4点的左侧时，即x＜﹣4，可得|x+4|+|x﹣5|＝﹣x﹣4﹣（5﹣x）＝﹣9；②当在数轴上表示数x的点在表示数﹣4，5两点之间时，即﹣4≤x≤5，可得|x+4|+|x﹣5|＝x+4﹣（5﹣x）＝2x﹣1，③当在数轴上表示数x的点在表示数﹣4点的右侧时，即x＞5，可得|x+4|+|x﹣5|＝x+4﹣（x﹣5）＝9，综上所述可得出﹣9≤|x+4|+|x﹣5|≤9，据此可得出答案． 【解答】解：（1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|2﹣5|＝3； 数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是：|1﹣（﹣3）|＝4， 故答案为：3；4． ②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是：|x﹣（﹣1）|＝|x+1|， 当|AB|＝2，则|x+1|＝2， ∴x+1＝2或x+1＝﹣2， 由x+1＝2解得：x＝1， 由x+1＝﹣2解得：x＝﹣3， ∴x的值为：1或﹣3， 故答案为：|x+1|；1或﹣3． （2）①∵|x﹣1|的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离； |x﹣2|的几何意义是：在数轴上表示数x、2两点间的距离； ∴|x﹣1|+|x﹣2|的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离与数轴上表示数x、2两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： ∴当表示数x的点在数轴上表示数1，2两点构成的线段上时，|x﹣1|+|x﹣2|为最小，最小值为数轴上表示数1，2两点之间的距离，即为|2﹣1|＝1， 即|x﹣1|+|x﹣2|有最小值是1． 故答案为：1． ②∵|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离、数轴上表示数x、2两点间的距离、数轴上表示数x、3两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当数轴上表示数x的点与表示2的点重合时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|为最小，最小值为数轴上表示数1，3两点之间的距离，即为|3﹣1|＝2， 即|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|有最小值是2， 故答案为：2； ③∵|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离、数轴上表示数x、2两点间的距离、数轴上表示数x、3两点间的距离、数轴上表示数x、4两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当表示数x的点在数轴上表示数2，3两点构成的线段上时， |x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|的值为最小值，最小值为数轴上表示数1，4两点之间的距离与数轴上表示数2，3两点之间的距离之和，即为|4﹣1|+|2﹣1|＝4， 即|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值是4． 故答案为：4． （3）由（2）可知：当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为：2×8+2×6+2×4+2×2＝40（米）． （4）∵|x+4|﹣|x﹣5|表示的几何意义是：在数轴上表示数x、﹣4两点间的距离与数轴上表示数x、5两点间的距离之差， ①当在数轴上表示数x的点在表示数﹣4点的左侧时，即x＜﹣4， 则x+4＜0，x﹣5＜0， ∴|x+4|＝﹣x﹣4，|x﹣5|＝5﹣x， ∴|x+4|﹣|x﹣5|＝﹣x﹣4﹣（5﹣x）＝﹣9； ②当在数轴上表示数x的点在表示数﹣4，5两点之间时，即﹣4≤x≤5， 则x+4＞0，x﹣5＜0， ∴|x+4|＝x+4，|x﹣5|＝5﹣x， ∴|x+4|﹣|x﹣5|＝x+4﹣（5﹣x）＝2x﹣1， ③当在数轴上表示数x的点在表示数﹣4点的右侧时，即x＞5， 则x+4＞0，x﹣5＞0， ∴|x+4|＝x+4，|x﹣5|＝x﹣5， ∴|x+4|﹣|x﹣5|＝x+4﹣（x﹣5）＝9， ∴﹣9≤|x+4|﹣|x﹣5|≤9， ∴|x+4|﹣|x﹣5|的最大值是9（x≥5），|x+4|﹣|x﹣5|的最小值是﹣9（x≤﹣4）． 故答案为：9；﹣9． 压轴突破3 数轴折叠问题1. 找折痕（关键）：数轴折叠后，能重合的两个点，它们正中间的位置就是折痕。比如点1和点5重合，中间的点3就是折痕。 2. 算对应点（核心方法）：如果知道一个点和折痕，求它折叠后对应的点，就用“折痕的2倍减去已知点”。比如折痕是3，已知点是1，对应点就是3×2-1=5。 3. 验证对错（快速检查）：折叠后，原来的点和对应点到折痕的距离肯定相等。比如点1到折痕3的距离是2，点5到折痕3的距离也是2，说明结果对了。 方法指导 15．在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是﹣10，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若折叠后的点A在点B的右边，且AB＝1，则点C表示的数是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 【分析】根据题意和数轴，可以计算出折叠前AB的长度，折叠后CB的长度，然后即可计算出点C表示的数． 【解答】解：折叠以前AB的长度为：3﹣（﹣10）＝3+10＝13， 折叠后CB的长度为：（13﹣1）÷2＝12÷2＝6， 则点C表示的数为：3﹣6＝﹣3， 故选：C． 16．在数轴上剪下9个单位长度（从﹣3到6）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 　 　 ． 【分析】根据剪断后这三条线段的长度之比为1：1：2，三条线段长分别为，，，画出草图，分三种情况讨论，根据折叠性质和可求出线段的长度，再根据原线段端点再数轴上对应的数是﹣3和9，可求出折痕处对应的点所表示的数． 【解答】解：设原线段为AB，剪断处对应的点为C，D，折痕处对应的点为E， 则点A，B在数轴上对应的点分别是﹣3，6， 分三种情况讨论： ①如图1，AC：CD：BD＝1：1：2， ∵AB＝9， ∴AC＝CD＝9， 由折叠的性质得：CECD， ∴AE＝AC+CE， ∴折痕处对应的点（E）所表示的数为﹣3； ②如图2，AC：BD：CD＝1：1：2， 此时，AC＝CE＝ED＝BD＝9， ∴AE， ∴折痕处对应的点（E）所表示的数为﹣3； ③如图3，BD：CD：AC＝1：1：2， ∴BD＝CD＝9， 由折叠的性质得：DECD， ∴BE＝BD+DE， ∴折痕处对应的点（E）所表示的数为6； 综上所述，折痕处对应的点（E）所表示的数为或或； 故答案为：或或． 17．数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础．小海在草稿纸上画了一条数轴，如图是数轴的一部分，并利用折叠进行下列的操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣5表示的点与 　 　 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使5表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题： ①若折痕处对应的点记为C，则C点表示的数是 　 　 ； ②﹣1表示的点与 　 　 表示的点重合； ③若数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b（A在B的左侧），折叠后A，B两点重合，且A，B两点的距离为12，求a，b的值，并画数轴表示A点和B点的位置． 【分析】（1）根据题意可知数轴上数1表示的点与﹣1表示的点关于原点对称，由此即可得到答案； （2）①根据折叠的性质求解即可； ②据折叠的性质求解即可； ③根据AB＝12结合A、B关于1对称进行求解即可． 【解答】解：（1）∵1表示的点与﹣1表示的点重合， ∴数轴上数1表示的点与﹣1表示的点关于原点对称， ∴数轴上数﹣5表示的点与数5表示的点重合； 故答案为：5； （2）①∵5表示的点与﹣3表示的点重合， ∴数轴上数5表示的点与数﹣3表示的点关于数1表示的点对称， ∴C点表示的数是1． 故答案为：1； ②∵折痕C点表示的数是1， ∴﹣1表示的点与3表示的点重合；， 故答案为：3； ③∵折痕C点表示的数是1，AB＝12， ∴点A、B到1的距离均为6， 又∵A在B的左侧， ∴A点表示的数是a＝1﹣6＝﹣5，B表示的数是b＝1+6＝7． 画数轴表示如下： 18．平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．（1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 　 　 ； （2）一个机器人从数轴上表示﹣1的点出发，并在数轴上移动2次，每次移动3个单位后到达B点，则B点表示的数是 　 　 ； （3）数轴上点A表示的数为m．则点A向左移动n个单位长度所表示的数为 　 　 ； （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示﹣2的点与表示1的点重合，则表示﹣4的点与表示 　 　 的点重合； （5）若数轴上A、B两点之间的距离为8，点A在点B的左侧，A、B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示﹣2的点，则A点表示的数为 　 　 ； （6）在数轴上，点P表示的数为4，点Q表示的数为x，将点P、Q两点折叠后重合，折痕与数轴交于M点；将点P与点M折叠后重合，新的折痕与数轴交于N点，若此时点P与点N的距离为3，数x的值为 　 ． 【分析】（1）根据向左移动就减，向右移动就加，列式求解； （2）分向右或向左分类求解； （3）根据向左移动就减，列式求解； （4）根据折叠对称的性质列式求解； （5）根据折叠轴对称的性质，列式求解； （6）根据折叠轴对称的性质，列式求解． 【解答】解：（1）0﹣2+3＝1， 故答案为：1； （2）﹣1+3+3＝5，﹣1+3﹣3＝﹣1，﹣1﹣3﹣3＝﹣7，﹣1﹣3+3＝﹣1， 故答案为：5，﹣1或﹣7； （3）m﹣n， 故答案为：m﹣n； （4）1+（﹣2+4）＝3， 故答案为：3； （5）﹣2﹣4＝﹣6， 故答案为：﹣6； （6）由题意得：M是PQ的中点，N是PM 的中点， 则M表示的数为：（x+4）x+2， N表示的数为：（x+2+4）x+3， ∵点P与点N的距离为3， ∴|x+3﹣4|＝3， 解得：x＝16或x＝﹣8， 故答案为：﹣8或16． 19．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与 　 　 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使2表示的点与﹣6表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与 　 　 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为16（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 　 　 ； 操作三： （3）数轴上，点A，B表示的数分别是﹣17，7，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，且AB＝2，则C点表示的数是 　 　 ． 【分析】（1）根据对称性﹣1与1重合，可以得出折点为原点0，进而完成解答； （2）根据对称性找到折点表示的数为﹣2，①设3表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；②因为AB＝16，所以A到折点的点距离为8，因为折点对应的点为﹣2，由此得出A、B两点表示的数； （3）设C点表示的数是x，表示出AC、BC的长，然后根据AB＝2列绝对值方程求解即可．． 【解答】解：（1）由条件可知折点表示的点为0， ∴﹣3表示的点与3表示的点重合； 故答案为：3； （2）折叠纸面，若使2表示的点与﹣6表示的点重合，则折点表示的数为﹣2， ①3表示的点与﹣7表示的点重合； 故答案为：﹣7． ②∵数轴上A、B两点之间距离为16， ∴数轴上A、B两点到折点﹣2的距离为8， ∵A在B的左侧，则 A、B 两点表示的数分别是﹣10和6； 故答案为：﹣10和6； （3）设C点表示的数是x， 则AC＝x﹣（﹣17）＝x+17，BC＝7﹣x， ∵以点C为折点，将此数轴向右对折且AB＝2， ∴|AC﹣BC|＝2， ∴|x+17﹣（7﹣x）|＝2，解得：x＝﹣4或﹣6． ∴C点表示的数是﹣4或﹣6． 故答案为：﹣4或﹣6． 20．如图，已知点A，B（点A在点B的右侧）在数轴上所对应的数分别是1，b，且|b|＝3，C为数轴上一动点，其对应的数为c． （1）已知bc＝18，则点C到数轴原点O的距离为 　 　 ； （2）若将数轴在点A处折叠，当c＝5时，点B与点C 　 　 （填“能”或“不能”）重合； （3）已知点C与点A之间的距离为2.5．若将数轴折叠，使点A与表示﹣5的点重合，求点C与表示什么数的点重合？ （4）若数轴上M，N两点之间的距离为20（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，求M，N两点表示的数分别是多少？ （5）若数轴上M，N两点之间的距离为a（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是M：　 ；N：　 　 ． 【分析】（1）先求出b，在由bc＝18求出c即可得到答案； （2）求出BC的中点恰为A，即可得答案； （3）根据数轴上的点折叠后，这一点和对应点到折叠点的距离相等即可得答案； （4）根据数轴上的点折叠后，这一点和对应点到折叠点的距离相等即可得答案； （5）根据数轴上的点折叠后，这一点和对应点到折叠点的距离相等即可得答案． 【解答】解：（1）∵|b|＝3，点A在点B的右侧，A表示的数是1， ∴b＝﹣3， ∵bc＝18， ∴c＝﹣6， ∴点C到数轴原点O的距离为6， 故答案为：6； （2）∵b＝﹣3，c＝5， ∴BC的中点表示的数是1， ∵A表示的数是1， ∴A是BC的中点， ∴将数轴在点A处折叠，点B与点C能重合， 故答案为：能； （3）∵点C与点A之间的距离为2.5，1+2.5＝3.5，1﹣2.5＝﹣1.5， ∴点C所对应的数为3.5或﹣1.5． ∵点A与表示﹣5的点重合，1﹣（﹣5）＝6， ∴点A与折叠点之间的距离为6÷2＝3， ∴折叠点所表示的数为1﹣3＝﹣2， ∴点C与折叠点之间的距离为3.5﹣（﹣2）＝5.5或﹣1.5﹣（﹣2）＝0.5， ∴折叠后与点C重合的点所表示的数为﹣2﹣5.5＝﹣7.5或﹣2﹣0.5＝﹣2.5， 即将数轴折叠后，点C与表示﹣7.5或﹣2.5的点重合； （4）∵M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，20÷2＝10， ∴﹣2﹣10＝﹣12，﹣2+10＝8， 即点M表示的数为﹣12，点N表示的数为8； （5）∵M，N两点之间的距离为a，折叠点所表示的数﹣2， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， 故答案为：，． 21．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4表示的点与数4表示的点重合．根据你对例题的理解，解答下列问题：若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．（根据此情境解决下列问题） （1）则数轴上数3表示的点与数 　 表示的点重合． （2）若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B表示的数是 　 　 ． （3）若数轴上M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合，如果点M表示的数比点N表示的数大，则M点表示的数为 　 　 ，N点表示的数为 　 　 ． 【分析】（1）根据数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点的距离，列方程求解即可； （2）分点A所表示的数为5或﹣5两种情况，利用（1）的方法求解即可； （3）设出点M所表示的数，表示点N所表示的数，利用两点到表示数﹣1的点距离相等，列方程求解即可． 【解答】解：数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合，则折叠点所表示的数为， （1）设这个数为x，则3﹣（﹣1）＝﹣1﹣x，解得x＝﹣5， 故答案为：﹣5； （2）当点A表示的数为﹣5时，有﹣1﹣（﹣5）x﹣（﹣1），解得x＝3， 当点A表示的数为﹣5时，有5﹣（﹣1）＝﹣1﹣x，解得x＝﹣7． 故答案为：3或﹣7； （3）设点M表示的数为m，则点N所表示的数为m﹣2024，根据题意得：， 解得m＝1011， 当m＝1011时，m﹣2024＝1011﹣2024＝﹣1013， ∴点M表示的数为1011，点N表示的数为﹣1013． 故答案为：1011，﹣1013． 压轴突破4 数轴上的动点与行程问题1. 设点表数：用字母（如t）表示运动时间，根据“路程=速度×时间”，写出动点在t时刻表示的数（注意运动方向：向右加，向左减）。 2. 列距求解：根据“两点距离=两数差的绝对值”，结合题干中距离相关的条件（如相遇、相距某距离）列等式。 3. 分类讨论：若动点运动方向不确定（如“相向”“同向”未明确）、位置关系不明（如某点在另一点左侧或右侧），需分情况计算并验证。 方法指导 22．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣1，0，3，点P为数轴上任意点，其对应的数为x． （1）MN的长为　 　 ； （2）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是：　 　 ； （3）如果点P以每分钟2个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值． 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据中点坐标公式即可求解； （3）分两种情况：①点P是点M和点N的中点；②点M和点N相遇；进行讨论即可求解． 【解答】解：（1）MN的长为3﹣（﹣1）＝4． 故答案为：4； （2）x＝（3﹣1）÷2＝1． 故答案为：1； （3）①点P是点M和点N的中点． 根据题意得：（3﹣2）t＝3﹣1， 解得：t＝2． ②点M和点N相遇． 根据题意得：（3﹣2）t＝3+1， 解得：t＝4． 故t的值为2或4． 23．已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点左边，距离原点8个单位长度，点B在原点的右边． （1）请直接写出A，B两点所对应的数． （2）数轴上点A以每秒1个单位长度的速度出发向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度出发向左运动，在点C处追上了点A，求C点对应的数． （3）已知，数轴上点M从点A向左出发，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向左出发，速度为每秒2个单位长度，经t秒后点M、N、O（O为原点）其中的一点恰好到另外两点的距离相等，求t的值． 【分析】（1）根据题意找出A与B点对应的数即可； （2）设经过x秒点A、B相遇，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出C点对应的数； （3）根据题意分5种情况列出关于t的方程，求出方程的解即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题意得：A点所对应的数是﹣8；B对应的数是20； （2）设经过x秒点A、B相遇， 根据题意得：3x﹣x＝28， 解得：x＝14， 则点C对应的数为﹣8﹣14＝﹣22； （3）依题意，当O到M，N距离相等， 20﹣2t＝8+t， 解得t＝4； 当N和O重合，2t＝20， 解得t＝10； 当N到M，O距离相等，2（2t﹣20）＝8+t， 解得t＝16； 当M，N重合2t﹣t＝20+8， 解得t＝28； 当M到N，O距离相等，2t﹣20＝2（8+t），方程无解． 故t的值为4或10或16或28． 24．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　 　 ，点P表示的数是 　 　 （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【分析】（1）由已知得OA＝6，则OB＝AB﹣OA＝4，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为6t，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6﹣6t； （2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则6t＝10+4t，然后解方程得到t＝5； ②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则10+4a﹣6a＝8；超过Q，则10+4a+8＝6a；由此求得答案解即可． 【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6， ∴OA＝6， 则OB＝AB﹣OA＝4， 点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为﹣4； 点P运动t秒的长度为6t， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：6﹣6t； （2）①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得6t＝10+4t， 解得t＝5， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度， 当P不超过Q，则10+4a﹣6a＝8，解得a＝1； 当P超过Q，则10+4a+8＝6a，解得a＝9； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 25．如图，在数轴上，点A表示﹣10，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒4个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发沿数轴负方向以每秒2个单位的速度匀速运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？ （2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等； （3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，求2CN﹣PC的值． 【分析】（1）根据题意，由P、Q两点的路程和为28列出方程求解即可； （2）由题意得，t的值大于0且小于7．分点P在点O的左边，点P在点O的右边两种情况讨论即可求解； （3）根据中点的定义得到AN＝PNAP＝2t，可得CN＝AC﹣AN＝28﹣2t，PC＝28﹣AP＝28﹣4t，再代入计算即可求解． 【解答】解：（1）根据题意得4t+2t＝28， 解得t， ∴AM10， ∴M在O的右侧，且OM10， ∴当t时，P、Q两点相遇，相遇点M所对应的数是； （2）由题意得，t的值大于0且小于7． 若点P在点O的左边，则10﹣4t＝7﹣2t，解得t． 若点P在点O的右边，则4t﹣10＝7﹣2t，解得t． 综上所述，t的值为或时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等； （3）∵N是AP的中点， ∴AN＝PNAP＝2t， ∴CN＝AC﹣AN＝28﹣2t，PC＝28﹣AP＝28﹣4t， 2CN﹣PC＝2（28﹣2t）﹣（28﹣4t）＝28． 26．已知数轴上点A对应的数是﹣10，点B对应的数是2．若点P从点A出发以每秒2个单位的速度运动，与此同时，点Q从点B出发以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为t秒． （1）若点P与Q相向运动，当P，Q相遇时，求运动时间； （2）若点P与Q同时向左运动，当P与Q相距5个单位长度时，求运动时间； （3）若点P与Q相向运动，点C对应的数是﹣5，当PC+QC＝3时，求t的值． 【分析】（1）当运动时间为t秒时，点P表示的数是﹣10+2t，点Q表示是的数是2﹣3t，根据P，Q相遇（即两点表示的数相同），可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）当运动时间为t秒时，点P表示的数是﹣10﹣2t，点Q表示是的数是2﹣3t，根据PQ＝5，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）当运动时间为t秒时，PC＝|2t﹣5|，CQ＝|7﹣3t|，根据PC+QC＝3，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）当运动时间为t秒时，点P表示的数是﹣10+2t，点Q表示是的数是2﹣3t， 根据题意得：﹣10+2t＝2﹣3t， 解得：t． 答：运动时间为秒； （2）当运动时间为t秒时，点P表示的数是﹣10﹣2t，点Q表示是的数是2﹣3t， 根据题意得：|﹣10﹣2t﹣（2﹣3t）|＝5， 即12﹣t＝5或t﹣12＝5， 解得：t＝7或t＝17． 答：运动时间为7或17秒； （3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为﹣10+2t，点Q表示的数是2﹣3t， ∵点C表示的数是﹣5， ∴PC＝|﹣10+2t﹣（﹣5）|＝|2t﹣5|，CQ＝|2﹣3t﹣（﹣5）|＝|7﹣3t|． 根据题意得：|2t﹣5|+|7﹣3t|＝3， 当0≤t时，5﹣2t+7﹣3t＝3， 解得：t； 当t时，2t﹣5+7﹣3t＝3， 解得：t＝﹣1（不符合题意，舍去）； 当t时，2t﹣5+3t﹣7＝3， 解得：t＝3． 答：t的值为或3． 27．已知A，B，C三点在数轴上对应的数分别为a，b，c，且a，b满足：（a+4）2+|b﹣12|＝0．点C到A，B两点的距离相等．规定：两点间的距离可用这两点的字母表示，如点A与点C之间的距离表示为AC． （1）则a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ； （2）点P是数轴上一点，它在数轴上对应的数为x，若PA＝2PB，求x的值； （3）点A以3个单位/秒的速度向右运动，点B以1个单位/秒的速度向左运动，点C以2个单位/秒的速度向右运动，点D从原点出发以m个单位/秒的速度运动．点A，B，C，D同时出发，设运动时间为t秒，在运动过程中，若总有AB＝4CD成立，求m的值及点D的运动方向． 【分析】（1）由非负性直接求解即可； （2）根据PA＝2PB，列出方程|x+4|＝2|x﹣12|，求解即可； （3）依题意，列出方程|4t﹣16|＝4|（m﹣2）t﹣4|，求解即可． 【解答】解：（1）由（a+4）2+|b﹣12|＝0， 可得，a＝﹣4，b＝12， 由于点C到A、B两点的距离相等， 所以C为A、B的中点， ∴CA＝CB， 则c+4＝12﹣c， 解得：c＝4， 故答案为：﹣4，12，4； （2）依题意，根据PA＝2PB， 可得|x+4|＝2|x﹣12|， 解得x或x＝28； （3）设运动时间为t秒，则A表示的数为﹣4+3t， B表示的数为12﹣t， C表示的数为4+2t， D表示的数为mt， 由AB＝ 4CD， 可得|4t﹣16|＝4|（m﹣2）t﹣4|， 即：4|t﹣4|＝4|（m﹣2）t﹣4|， ∵与t的取值无关， ∴m﹣2＝1， 解得m＝3， ∴当m＝3时，点D向右运动． 28．已知点M，N在数轴上，M对应的数为﹣3，点N在点M右边，且距M点4个单位长度，点P，Q是数轴上两个动点． （1）直接写出点N所对应的数： （2）当点P到点M，N的距离之和是6个单位时，点P所对应的数是多少？ （3）如果P，Q分别从点M，N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P，Q两点相距2个单位长度时，点P，Q对应的数各是多少？ 【分析】（1）根据数轴表示数的意义，由点M表示的数是﹣3，点N在点M的右侧且MN＝4，可确定点N所表示的数； （2）因为MN＝4，因此点P不可能在点M、N之间，所以分两种情况进行解答，即点P在点M的左侧，在点N的右侧，设未知数，利用数轴上两点距离的计算方法列方程求解即可； （3）设Q移动的时间为ts，用含有t的代数式表示移动后点P、Q所表示的数，再根据两点距离计算方法列方程求出时间t，最后再计算所表示的数． 【解答】解：（1）∵点M表示的数是﹣3，点N在点M的右侧且MN＝4， ∴点N所表示的数为﹣3+4＝1， 答：点N所表示的数为1； （2）因为MN＝4，因此点P不可能在点M、N之间， 当点P在点M的左侧时，设点P所表示的数为x，则PM＝﹣3﹣x，PN＝1﹣x， 由PM+PN＝6得，﹣3﹣x+1﹣x＝6， 解得x＝﹣4， 当点P在点N的右侧时，设点P所表示的数为y，则PM＝y+3，PN＝y﹣1， 由PM+PN＝6得，y+3+y﹣1＝6， 解得y＝2， 所以当点P到点M，N的距离之和是6个单位时，点P所对应的数是﹣4或2； （3）点P从点M向左移动5s后所对应的数为﹣3﹣2×5＝﹣13， 设点Q移动的时间为ts，则点P所对应的数为（﹣13﹣2t），点Q所对应的数为（1﹣3t）， ①当点Q在点P的右侧时，有（1﹣3t）﹣（﹣13﹣2t）＝2， 解得t＝12， 此时点P所表示的数为﹣13﹣2×12＝﹣37，点Q所表示的数为1﹣3×12＝﹣35， ②当点Q在点P的左侧时，有（﹣13﹣2t）﹣（1﹣3t）＝2， 解得t＝16， 此时点P所表示的数为﹣13﹣2×16＝﹣45，点Q所表示的数为1﹣3×16＝﹣47， 答：当P，Q两点相距2个单位长度时，点P，Q对应的数为﹣37，﹣35或﹣45，﹣47． 压轴突破5 数轴上的动点与往返问题1. 分段建模：按往返的“去程”“返程”分段，明确每段的运动方向、时间范围、起点终点。比如动点从A出发向右到B再返回，需分成“从A到B”和“从B返回”两段分析。 2. 逐段表数：针对每段，用运动时间t（注意扣除前一段用时）表示动点位置，向右运动加路程，向左运动减路程。 3. 临界验证：重点关注“折返点”（如B点）的时间和位置，以此作为分段的临界值，避免混淆不同阶段的运动状态。 4. 列式求解：结合每段的位置表达式，按题干距离、相遇等条件列等式，计算后需核对结果是否在对应分段的时间范围内。 方法指导 29．已知点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，M、N两点之间的距离表示为MN，则在数轴上M、N两点之间的距离MN＝|m﹣n|，如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为﹣12和6． （1）直接写出A、B两点之间的距离 　 　 ； （2）若在数轴上存在一点C，使得C到B的距离是到A的距离的2倍，求点C表示的数； （3）如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在AB之间进行往返运动，点P出发的同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴一直向左运动，求当OQ＝2OP时，时间t的取值． 【分析】（1）根据A、B两点在数轴上对应的数分别为﹣12和6，得出|6﹣（﹣12）|＝18，即可作答． （2）进行分类讨论，则点C在B点的右边；当点C在A点与B点的之间，当点C在A点的左边，分别运用数轴两点间的距离进行列式计算，即可作答． （3）考虑0≤t≤4.5，则点P表示的数是﹣12+4t，列式|6﹣3t﹣0|＝2|﹣12+4t﹣0|，解得或，点P第一次从点B往点A移动时，则点P表示的数是﹣12+4t，得|6﹣3t|＝2|﹣12+4t|，解得或；当点P第二次从A出发，列式|6﹣3t|＝2|4t﹣48|，解得．据此即可作答． 【解答】解：（1）∵A、B两点在数轴上对应的数分别为﹣12和6． ∴A、B两点之间的距离为18； 故答案为：18； （2）设点C在数轴上表示的数为c， 点C在B点的右边，则结合数轴，不满足C到B的距离是到A的距离的2倍，故舍去； 当点C在A点与B点的之间， ∵A、B两点在数轴上对应的数分别为﹣12和6，C到B的距离是到A的距离的2倍， ∴2|c﹣（﹣12）|＝|6﹣c|， 解得：c＝﹣6， 当点C在A点的左边， ∵A、B两点在数轴上对应的数分别为﹣12和6，C到B的距离是到A的距离的2倍， ∴2|c﹣（﹣12）|＝|6﹣c|， 解得：c＝﹣30， ∴点C表示的数为﹣30或﹣6； （3）由条件可知，时间为t， 点Q表示的数：6﹣3t， ∵18÷4＝4.5， ∴0≤t≤4.5， ∴则点P表示的数是：﹣12+4t， ∵OQ＝2OP， ∴|6﹣3t|＝2|﹣12+4t|， ∴6﹣3t＝2（12﹣4t）或6﹣3t＝2（4t﹣12）， 解得或， 当点P表示的数去到点B，且点P第一次从点B往点A移动时， 则， ∴则点P表示的数是6﹣{4t﹣[6﹣（﹣12）]}＝24﹣4t， ∵OQ＝2OP， ∴|6﹣3t﹣0|＝2|24﹣4t﹣0|， 即6﹣3t＝48﹣8t或6﹣3t＝8t﹣48， 此时或， 当点P刚好回到A，此时t＝9，点Q表示的数是6﹣3t＝6﹣3×9＝﹣21， ∵OQ＝2OP， ∴OP＝21÷2＝11.5＜OA＝12， ∵OA＝12， ∴当点P第二次从A出发，9＜t＜13.5， 则点P表示的数是：4t﹣48， ∵OQ＝2OP， ∴|6﹣3t|＝2|4t﹣48|， ∴， 综上或，或或． 30．在一条光滑的轨道上，滑块P，Q可在轨道上进行无摩擦的滑动．P，Q分别从点A，B同时出发，以相同的速度相向运动．沿着轨道建立数轴，规定向右为正方向，A，B两点表示的数分别为a，b，且a，b满足（a+5）2+|b﹣25|＝0． （1）则a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若P，Q的速度均为3个单位/秒，运动时间为t（秒）．P，Q滑块碰撞后会相互弹开，并分别以原来速度的和原路返回，问：经过多长时间，两滑块在轨道上相距10个单位长度？（不考虑滑块的尺寸大小） （3）拓展应用： 已知数轴上两点A，B对应的数分别是6，﹣8，M，N，P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位．若点M，N，P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？ 【分析】（1）根据a+5＝0，b﹣25＝0，可得a、b； （2）分类讨论； （3）分类讨论． 【解答】解：（1）∵（a+5）2+|b﹣25|＝0 ∴a+5＝0，b﹣25＝0， ∴a＝﹣5，b＝25， 故答案为：a＝﹣5，b＝25；， （2）①还未碰撞时，25﹣3t﹣（﹣5+3t）＝10， 解得：， 25﹣3t﹣（﹣5+3t）＝0， 解得：t＝5， ∴相撞时，P，Q在数轴上10处， ②碰撞后，P的速度为1个单位1秒，Q的速度为4个单位1秒， 10+4t﹣（10﹣t）＝10， 解得：t＝2， 2+5＝7； 答：经过或7秒，两滑块在轨道上相距10个单位长度； （3）①N点还未追上M点时， t﹣（﹣8+6t）＝6+2t﹣t， 解得：， ②N点追上M点时， ﹣8+6t﹣t＝6+2t﹣t， 解得：， 答：或秒时，点P到点M，N的距离相等． 31．已知数轴上A，B两点对应的数分别为a，b，且a，b满足|a+2b|+（a+4）2≤0，点C对应的数为20． （1）求a，b的值； （2）若点P从点A出发，以每秒3个单位长度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍； （3）若动点P、Q分别从A、B同时出发向右运动，点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒．点Q运动到C点立刻原速返回，到达B点后停正运动．点P运动至C点处又以原速返回至A点，一直这样在AC之间做往返运动，当点Q停止运动后，点P随之停止运动．求在整个运动过程中，两点P，Q同时到达的点在数轴上表示的数． 【分析】（1）根据非负数的性质可得a+2b＝0，a+4＝0，则a＝﹣4，b＝2； （2）设点P的运动时间为t秒，则点P表示的数为﹣4+3t，则PA＝3t，PB＝|3t﹣6|，根据题意可得方程3t＝2|3t﹣6|，解方程即可得到答案； （3）设运动时间为x秒，先求出点P第一次到达点C需要8秒，点Q到达点C需要9秒，点P第一次返回A的时间为16秒，点Q返回B的时间为18秒；再分当点P没有到达点C时，则点P表示的数为﹣4+3x，点Q表示的数为2+2x，当点P第一次到达点C后，点Q未到点C时，则点P表示的数为44﹣3x，点Q表示的数为2+2x，当点P第一次返回点A时，点Q未到点B时，则点P表示的数为3x﹣52，点Q表示的数为38﹣2x，三种情况根据P、Q表示的数相同建立方程求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得：a+2b＝0，a+4＝0， ∴a＝﹣4，b＝2； （2）设点P的运动时间为t秒，则点P表示的数为﹣4+3t， ∴PA＝3t，PB＝|﹣4+3t﹣2|＝|3t﹣6|， ∵点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍， ∴3t＝2|3t﹣6|， ∴3t＝2（3t﹣6）或3t＝﹣2（3t﹣6）， ∴t＝4或， ∴运动时间为秒或4秒时，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍； （3）设运动时间为x秒， （秒），（秒）， ∴点P第一次到达点C需要8秒，点Q到达点C需要9秒，点P第一次返回A的时间为16秒，点Q返回B的时间为18秒， 当点P没有到达点C时，则点P表示的数为﹣4+3x，点Q表示的数为2+2x， ∴﹣4+3x＝2+2x， 解得x＝6， ∴此时相遇点表示的数为﹣4+3×6＝14； 当点P第一次到达点C后，点Q未到点C时，则点P表示的数为20﹣3（x﹣8）＝44﹣3x，点Q表示的数为2+2x， ∴44﹣3x＝2+2x， 解得， ∴此时相遇点表示的数为； 当点P第一次返回点A时，点Q未到点B时，则点P表示的数为﹣4+3（x﹣16）＝3x﹣52，点Q表示的数为20﹣2（x﹣9）＝38﹣2x， ∴3x﹣52＝38﹣2x， 解得x＝18， ∴此时相遇点表示的数为38﹣18×2＝2； ∴相遇点表示的数为2或14或． 32．【阅读材料】 在数轴上点A表示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB，若a＞b，线段AB的长度可以表示为AB＝a﹣b；若a＜b，线段AB的长度可以表示为AB＝b﹣a． 【问题探究】 （1）如图，点A在数轴上表示的数是8，点B在数轴上表示的数是﹣10，则AB＝ 　 　 ； （2）在（1）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动；同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动，设P，Q两点的运动时间为t秒，当PQ＝10时，求t的值； （3）在（1）的条件下，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动；同时点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向点A运动．当点M到达点B后，立即以原速返回，到达点A停止运动，当点N到达点A后，立即速度变为原速的一半返回，到达点B停止运动，请问：当点M运动时间为多少秒时，MN＝7． 【分析】（1）利用数轴上两点间的距离公式，即可求出AB的长； （2）当运动时间为t秒时，点P在数轴上表示的数是8+2t，点Q在数轴上表示的数是﹣10+4t，根据PQ＝10，可列出关于t的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用时间＝路程÷速度，可求出各时间节点，当0≤t≤6时，点M在数轴上表示的数是8﹣2t，点N在数轴上表示的数是﹣10+3t，根据MN＝7，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出t的值；当6＜t≤9时，点M在数轴上表示的数是8﹣2t，点N在数轴上表示的数是17t，根据MN＝7，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值；当9＜t≤18时，点M在数轴上表示的数是2t﹣28，点N在数轴上表示的数是17t，根据MN＝7，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出t的值． 【解答】解：（1）根据题意得：AB＝8﹣（﹣10）＝18． 故答案为：18； （2）当运动时间为t秒时，点P在数轴上表示的数是8+2t，点Q在数轴上表示的数是﹣10+4t， 根据题意得：|8+2t﹣（﹣10+4t）|＝10， 即18﹣2t＝10或2t﹣18＝10， 解得：t＝4或t＝14． 答：t的值为4或14； （3）18÷2＝9（秒），9×2＝18（秒），18÷3＝6（秒），6+1818（秒）． 当0≤t≤6时，点M在数轴上表示的数是8﹣2t，点N在数轴上表示的数是﹣10+3t， 根据题意得：|8﹣2t﹣（﹣10+3t）|＝7， 即18﹣5t＝7或5t﹣18＝7， 解得：t或t＝5； 当6＜t≤9时，点M在数轴上表示的数是8﹣2t，点N在数轴上表示的数是8（x﹣6）＝17t， 根据题意得：17t﹣（8﹣2t）＝7， 解得：t＝﹣4（不符合题意，舍去）； 当9＜t≤18时，点M在数轴上表示的数是﹣10+2（t﹣9）＝2t﹣28，点N在数轴上表示的数是17t， 根据题意得：|17t﹣（2t﹣28）|＝7， 即45t＝7或t﹣45＝7， 解得：t或t． 答：当点M运动时间为或5或或秒时，MN＝7． 33．已知点A，B在数轴上对应的数为a，b，点A与点B之间的距离记为AB，且（a+10）2+|b﹣14|＝0． （1）a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，AB＝ 　 　 ； （2）若在数轴上存在一点M，且MA＝3MB，求点M表示的数； （3）已知点C表示的数为2，现甲从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时乙从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动．当甲到达点C后立即以原速度返回一直向左运动，当乙到达点A后，先休息1秒，再以每秒2个单位长度的速度一直向右运动．问当经过多少秒时，甲、乙相距8个单位长度？ 【分析】（1）利用偶次方程及绝对值的非负性，可求出a，b的值，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出AB的长； （2）设点M表示的数为x，根据MA＝3MB，可列出关于x的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用时间＝路程÷速度，可求出各时间节点，设运动时间为t秒，分0≤t≤8，8＜t≤9，9＜t≤12及t＞12四种情况考虑，根据甲、乙相距8个单位长度，可列出关于t的含绝对值的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵（a+10）2+|b﹣14|＝0， ∴a+10＝0，b﹣14＝0， ∴a＝﹣10，b＝14， ∴AB＝|﹣10﹣14|＝24． 故答案为：﹣10，14，24； （2）设点M表示的数为x， 根据题意得：|x﹣（﹣10）|＝3|x﹣14|， 即x+10＝3（14﹣x）或x+10＝3（x﹣14）， 解得：x＝8或x＝26． 答：点M表示的数为8或26； （3）[2﹣（﹣10）]÷1＝12（秒），[14﹣（﹣10）]÷3＝8（秒），8+1＝9（秒）． 设运动时间为t秒． 当0≤t≤8时，甲表示的数为﹣10+t，乙表示的数为14﹣3t， 根据题意得：|14﹣3t﹣（﹣10+t）|＝8， 即24﹣4t＝8或4t﹣24＝8， 解得：t＝4或t＝8； 当8＜t≤9时，甲表示的数为﹣10+t，乙表示的数为﹣10， 根据题意得：﹣10+t﹣（﹣10）＝8， 解得：t＝8（不符合题意，舍去）； 当9＜t≤12时，甲表示的数为﹣10+t，乙表示的数为﹣10+2（t﹣9）＝（2t﹣28）， 根据题意得：|2t﹣28﹣（﹣10+t）|＝8， 即18﹣t＝8或t﹣18＝8， 解得：t＝10或t＝26（不符合题意，舍去）； 当t＞12时，甲表示的数为2﹣（t﹣12）＝（14﹣t），乙表示的数为2t﹣28， 根据题意得：|14﹣t﹣（2t﹣28）|＝8， 即42﹣3t＝8或3t﹣42＝8， 解得：t（不符合题意，舍去）或t． 答：当经过4或8或10或秒时，甲、乙相距8个单位长度． 34．探究与发现： |a﹣b|表示a与b之差的绝对值，实际上也可理解为a与b两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离． 理解与应用： （1）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝20，则数轴上点B表示的数 　 　 ； （2）若|x﹣8|＝4，则x＝ 　 　 ． 拓展与延伸：在（1）的基础上，解决下列问题： （3）动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．求当t为多少秒时？A，P两点之间的距离为4； （4）数轴上还有一点C所对应的数为30，动点P和Q同时从点O和点B出发分别以每秒5个单位长度和每秒10个单位长度的速度向C点运动，点Q到达C点后，再立即以同样的速度返回，点P到达点C后，运动停止．设运动时间为t（t＞0）秒．问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为2． 【分析】（1）利用数轴上两点间的距离公式，找出点B表示的数； （2）利用绝对值的定义（绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离），去掉绝对值符号； （3）①找准等量关系，正确列出一元一次方程； ②分，或t≥6三种情况，找出关于t的一元一次方程． 【解答】解：（1）∵点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝20， ∴点B表示的数＝8﹣20＝﹣12． 故答案为：﹣12； （2）∵|x﹣8|＝4， ∴x﹣8＝﹣4或x﹣8＝4， ∴x＝4或x＝12． 故答案为：4或12． （3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为5t， ∵|5t﹣8|＝4， 即5t﹣8＝﹣4或5t﹣8＝4， ∴或． ∴当t为秒或秒时，A，P两点之间的距离为4． （4）P到达C点时间：（30﹣0）÷5＝6（秒）， Q到达C点时间：（秒）． 当时，P、Q都没有到达C点， 点P表示的数为5t，点Q表示的数为10t﹣12， ∵|5t﹣（10t﹣12）|＝2， 即12﹣5t＝2或12﹣5t＝﹣2， t＝2或； 当时，Q已经到达C点并在返回的途中，P没有到达C点， 点P表示的数为5t，点Q表示的数为， ∵|5t﹣（﹣10t+72）|＝2， 即72﹣15t＝2或15t﹣72＝2， ∴或； 当t≥6时，P、Q都已经到达C点， 点P表示的数为30，点Q表示的数为， ∵30﹣（﹣10t+72）＝2， ∴（不合题意，舍去）． 答：当t为2秒或秒或秒或秒时，P，Q 之间的距离为 2． 压轴突破6 数轴上的动点与定值问题1. 表动点位置：设运动时间为t，根据“起点数±速度×时间”（右加左减），写出所有动点在t时刻的具体表达式。 2. 列目标式子：按题干要求（如两点距离、多距离和差），用动点表达式列出含t的目标代数式。 3. 消参定结果：化简目标式子，若含t的项全部抵消，剩余常数即为定值；若未抵消，则说明非定值。核心是通过化简消去时间参数t。 方法指导 35．已知有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C，其中b是最小的正整数的10倍，a、c满足|a+20|+（c﹣50）2＝0． （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）现将点A、B、C分别以每秒4个、p（p＞0）个、2个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，当运动时间为15秒时，A、B、C三点中恰好有一点为另外两点的中点，求出p的值？ （3）现将点A、B、C分别以每秒4个、1个、2个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒．当点A在点C左侧时（不考虑点A与点B重合），是否存在常数m，n，使得mAC+nAB的值在一定时间范围内不随t的改变而改变？若存在，求出m，n的关系；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用非负数的性质以及最小正整数很容易得解； （2）先将各点运动之后的数表示出来，再分类讨论建立方程即可求解； （3）先将各点运动之后的数用含t的式子表示出来，因为A和B大小不一定，所以AB需要分类讨论，然后不随t的变化而变化，实则是整式中无关项问题，令其系数为0即可得解． 【解答】解：（1）由非负数的性质可得，a+20＝0，c﹣50＝0， 所以a＝﹣20，c＝50， 因为最小正整数为1， 所以b＝10， 故答案为：﹣20，10，50； （2）15秒后：点A表示的数为﹣20+4×15＝40，点B表示的数为10+15p，点C表示的数为50+2×15＝80， ①当B为AC中点时，AB＝BC， ∴10+15p﹣40＝80﹣（10+15p）， 解得p； ②当C为AB中点时，AC＝BC， ∴80﹣40＝10+15p﹣80， 解得p， ③当A为BC中点时，AB＝AC， ∴40﹣（10+15p）＝80﹣40， 解得p（舍去）； 综上，p的值为或； （3）t秒后：点A表示的数为﹣20+4t，点B表示的数为10+t，点C表示的数为50+2t， ∵点A在点C左侧， ∴AC＝50+2t﹣（﹣20+4t）＝70﹣2t， AB＝|10+t﹣（﹣20+4t）|＝|3t﹣30|， ①0＜t＜10时，AB＝30﹣3t， ∴mAC+nAB＝70m﹣2mt+30n﹣3nt＝﹣（2m+3n）t+70m+30n， ∵值不随t的改变而改变， ∴2m+3n＝0； ②当t≥10时，AB＝3t﹣30， ∴mAC+nAB＝70m﹣2mt+3nt﹣30n＝（3n﹣2m）t+70m﹣30n， ∵值不随t的改变而改变， ∴3n﹣2m＝0； 综上，m和n的关系为2m+3n＝0或3n﹣2m＝0． 36．已知：a是最大的负整数，且a、b、c满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答以下问题： （1）请直接写出a、b、c的值，a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ． （2）如图，在数轴上，a、b、c所对应的点分别为A、B、C，现有动点D从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，动点E从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点M从点B出发，以每秒m个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒．记点D与点M之间的距离为DM，点E与点M之间的距离为EM．运动过程中，点M始终在D、E两点之间的线段上，若2EM﹣3DM的值始终是一个定值，求m的值． （3）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以2，再把所得数对应的点在数轴上平移2个单位长度，得到的点叫点P的对应点P′．已知线段BC上的点N经过上述操作后，得到的对应点N′与点N重合，请求出点N表示的数． 【分析】（1）根据a是最大的负整数，（c﹣5）2+|a+b|＝0，即可得a＝﹣1，b＝1，c＝5； （2）根据题意，D表示的数为﹣1﹣3t，E表示的数为5+2t，M表示的数为1﹣mt，故2EM﹣3DM＝2[（2+m）t+4]﹣3[（3﹣m）t+2]＝（﹣5+5m）t+2，由2EM﹣3DM的值始终是一个定值，知﹣5+5m＝0，m＝1； （3）设N表示的数为x，由对应点N′与点N重合，知x＝2x﹣2，解得N表示的数为2． 【解答】解：（1）∵a是最大的负整数，（c﹣5）2+|a+b|＝0， ∴a＝﹣1，c﹣5＝0，a+b＝0， ∴b＝1，c＝5， 故答案为：﹣1，1，5； （2）根据题意，D表示的数为﹣1﹣3t，E表示的数为5+2t，M表示的数为1﹣mt， ∵点M始终在D、E两点之间的线段上， ∴EM＝5+2t﹣（1﹣mt）＝（2+m）t+4，DM＝1﹣mt﹣（﹣1﹣3t）＝（3﹣m）t+2， ∴2EM﹣3DM＝2[（2+m）t+4]﹣3[（3﹣m）t+2]＝（﹣5+5m）t+2， ∵2EM﹣3DM的值始终是一个定值， ∴﹣5+5m＝0， ∴m＝1； （3）设N表示的数为x，根据题意N'表示的数为2x﹣2， ∵对应点N′与点N重合， ∴x＝2x﹣2， 解得x＝2， ∴N表示的数为2． 37．如图（1），点A、B在数轴上表示的数分别为a、b．其中，式子M＝（a+2）x3+4xb﹣2﹣x+1是关于x的二次三项式， （1）点P为数轴上A点左边一点，且PA+PB＝10，求点P在数轴上对应的数． （2）在（1）的条件下，若点P、A、B三点在数轴上同时向右运动，点P、A、B的速度分别是4个单位长度/秒、3个单位长度/秒、2个单位长度/秒，设点P运动的时间为t秒，当点PB＝2PA时，求t的值． （3）如图（2），点C在数轴上对应的点所对应的数是1，点A、C的速度分别是3个单位长度/秒、2个单位长度/秒，当点A向左运动，点C向右运动，试问是否存在一个常数k使得kAB﹣BC不随运动时间t的改变而改变，若存在，请求出k；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由二次三项式可求a＝﹣2，b＝4，进而表示出PA和PB，建立方程求解即可； （2）先将动点用含t的式子表示出来，进而在表示两点距离，这里有两种方法一则是利用绝对值，再分类讨论，二则是先分类讨论，然后表示，最后利用PB＝2PA建立方程求解即可； （3）和第二问一样，先表示出动点，再分类讨论，要与t无关，令t的系数为0即可得解． 【解答】解（1）由题易得a+2＝0，b﹣2＝2， ∴a＝﹣2，b＝4， 设P对应的数为p，则PA＝﹣2﹣p，PB＝4﹣p， ∵PA+PB＝10， ∴﹣2﹣p+4﹣p＝10， 解得p＝﹣4， 答：点P对应的数为﹣4． （2）由题可知动点P：﹣4+4t，点A：﹣2+3t，点B：4+2t， ∴|PA|＝|t﹣2|，PB＝|2t﹣8|， ∵PB＝2PA， ∴|2t﹣8|＝2|t﹣2|， ∴2t﹣8＝2（t﹣2） 此时t无解， 或（2t﹣8）+2（t﹣2）＝0， 解得t＝3， ∴t的值为3． （3）根据题意可知点A对应的数为：﹣2﹣3t，点C对应的数为：1+2t， ∴AB＝3t+6，BC＝|2t﹣3|， ①当0≤t时，BC＝3﹣2t， ∴kAB﹣BC＝k（3t+6）﹣（3﹣2t）＝（3k+2）t+6k﹣3， ∴3k+2＝0， 解得k； ②当t时，BC＝2t﹣3， ∴kAB﹣BC＝k（3t+6）﹣（2t﹣3）＝（3k﹣2）t+6k+3， ∴3k﹣2＝0， 解得k； 综上，当0≤t时，k，当t时，k． 38．如图，在数轴上A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+10|+（b﹣5）2＝0． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）点C在线段OA上一个动点其对应的数为x，请化简式子： |x+10|﹣|x﹣1|+|x﹣5|．（写出化简过程） （3）点A、B分别以2个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点M从原点O以5个单位/秒的速度同时向右运动，请问3AM+2OB﹣3OM的值是否随着运动时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【分析】（1）根据若几个非负数之和为0，则每一个加数为0计算即可； （2）由题意得出﹣10≤x≤0，再根据绝对值的意义化简即可； （3）设点A、B、M运动t秒时的距离分别是2t、3t、5t，分别用含t的式子表示AM、OB、OM，然后计算式子3AM+2OB﹣3OM的值，由此判断即可． 【解答】解：（1）∵|a+10|+（b﹣5）2＝0， 又∵|a+10|≥0，（b﹣5）2≥0， ∴a+10＝0，b﹣5＝0， ∴a＝﹣10，b＝5， 故答案为：﹣10，5； （2）由题意得，﹣10≤x≤0， ∴x+10＞0，x﹣1＜0，x﹣5＜0， ∴|x+10|﹣|x﹣1|+|x﹣5| ＝（x+10）﹣（1﹣x）+（5﹣x） ＝x+10﹣1+x+5﹣x ＝x+14； （3）不变，值是40，理由： 由题意得点A、B、M运动t秒时的距离分别是2t、3t、5t，此时点A、B、M在数轴上的位置对应的数分别是﹣10+2t、5+3t、5t， 则AM＝5t﹣（﹣10+2t）＝10+3t，OB＝5+3t，OM＝5t， ∴3AM+2OB﹣3OM ＝3（10+3t）+2（5+3t）﹣3×5t ＝30+9t+10+6t﹣15t ＝40， 即3AM+2OB﹣3OM的值不变，总等于40． 39．已知：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|c|＞|a|． （1）化简：|b﹣c|﹣|c﹣3a|+|2a+b|； （2）若|a+10|＝20，b2＝400，c的相反数是30，求a、b、c的值； （3）在（2）的条件下，a、b、c分别是A、B、C点在数轴上所对应的数， ①数轴上是否存在一点P，使得P点到C点的距离加上P点到A点的距离减去P点到B点的距离为50，即PC+PA﹣PB＝50？若存在，求出P点在数轴上所对应的数；若不存在，请说明理由； ②点C，B分别以4个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点A以7个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得4CA+3OB﹣mOA为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）观察数轴，可得出c＜0，a＞0，b＞0，进而可得出b﹣c＞0，c﹣3a＜0，2a+b＞0，再利用绝对值的定义，即可将原式化简为2b﹣a； （2）由|a+10|＝20，b2＝400，c的相反数是30，结合a＞0，b＞0，即可求出a，b，c的值； （3）①设点P表示的数为x，分x＜﹣30，﹣30≤x≤10，10＜x≤20及x＞20四种情况，结合PC+PA﹣PB＝50可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； ②找出当运动时间为t秒时4CA+3OB﹣mOA的值，由该值为定值可得出关于m的一元一次方程，解之可求出m的值，再将其代入4CA+3OB﹣mOA中即可求出结论． 【解答】解：（1）观察数轴，可知：c＜0，a＞0，b＞0， ∴b﹣c＞0，c﹣3a＜0，2a+b＞0， ∴原式＝（b﹣c）﹣（3a﹣c）+（2a+b）＝2b﹣a． （2）∵|a+10|＝20，a＞0， ∴a＝10； ∵b2＝400，b＞0， ∴b＝20； ∵c的相反数是30， ∴c＝﹣30． （3）①设点P表示的数为x． 当x＜﹣30时，有﹣30﹣x+（10﹣x）﹣（20﹣x）＝50， 解得：x＝﹣90； 当﹣30≤x≤10时，有x﹣（﹣30）+（10﹣x）﹣（20﹣x）＝50， 解得：x＝30（舍去）； 当10＜x≤20时，有x﹣（﹣30）+（x﹣10）﹣（20﹣x）＝50， 解得：x； 当x＞20时，有x﹣（﹣30）+（x﹣10）﹣（x﹣20）＝50， 解得：x＝10（舍去）． 综上所述：数轴上存在一点P，使得PC+PA﹣PB＝50，P点在数轴上所对应的数为﹣90或． ②当运动时间为t秒时，点C对应的数为4t﹣30，点B对应的数为3t+20，点A对应的数为7t+10， ∴CA＝7t+10﹣（4t﹣30）＝3t+40，OA＝7t+10，OB＝3t+20， ∴4CA+3OB﹣mOA＝12t+160+9t+60﹣7mt﹣10m＝（21﹣7m）t+220﹣10m． ∵4CA+3OB﹣mOA为定值， ∴21﹣7m＝0， ∴m＝3， ∴4CA+3OB﹣mOA＝（21﹣7m）t+220﹣10m＝190． ∴存在常数m，使得4CA+3OB﹣mOA为定值，m的值为3，定值为190． 40．如图，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，且满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，点O为原点． （1）请直接写出a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）一动点P从A出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为t（秒）． ①试探究：P、Q两点到原点的距离可能相等吗？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由； ②若动点Q从B出发后，到达原点O后保持原来的速度向右运动，当点Q在线段OB上运动时，分别取OB和AQ的中点E，F，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）根据非负数的性质即可求出a、b的值； （2）①先表示出运动t秒后P点对应的数为﹣3﹣2t，Q点对应的数为9﹣3t，再根据两点间的距离公式得出PO＝|﹣3﹣2t|，OQ＝|9﹣3t|，利用建立方程，求解即可； ②先分别表示出点E表示的数，点F表示的数，再计算即可． 【解答】解：（1）∵|a+3|+（b﹣9）2＝0， ∴a+3＝0，b﹣9＝0， ∴a＝﹣3，b＝9， 故答案为：﹣3，9； （2）①∵若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向左运动， ∴运动t秒后P点对应的数为﹣3﹣2t，Q点对应的数为9﹣3t， ∴|﹣3﹣2t|＝|9﹣3t|， 解得t或12， 答：点P的运动时间t为或12秒； ②的值是一个定值，理由如下： 当点Q运动到线段OB上时，OB中点E表示的数是， 当Q从B向O运动时，AQ中点F表示的数是， 则， 所以； 当Q从O向B运动时，Q点对应数为3t﹣9， AQ中点F表示的数是， 则， 所以； 故的值是一个定值，为2． 压轴突破7 数轴上的动点与动线段问题 1. 锚定线段端点：动线段的位置由其两个端点决定，先设运动时间为t，按“起点±速度×t”（右加左减）写出两个端点的表达式。 2. 分析线段属性： 求长度：用右端点表达式减左端点表达式（因线段长度为正，无需绝对值，需先明确端点左右顺序）。 定位置关系：若线段与定点/定线段关联，用端点表达式列不等式或等式（如线段经过某点、与某线段重叠）。 3. 处理动态临界：关注线段端点到达关键位置（如原点、某定点）的时间，以此划分运动阶段，避免漏解。 方法指导 41．如图，点A、B和线段MN都在数轴上，点A、M、N、B对应的数字分别为﹣1、0、2、11．线段MN沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒． （1）用含有t的代数式表示AM的长为　 　 （2）当t＝　 　 时，AM+BN＝11． （3）若点A、B与线段MN同时移动，点A以每秒2个单位速度向数轴的正方向移动，点B以每秒1个单位的速度向数轴的负方向移动，在移动过程，AM和BN可能相等吗？若相等，请求出t的值，若不相等，请说明理由． 【分析】（1）根据点M开始表示的数结合其运动速度和时间，即可得出运动后点M的表示的数，再依据点A表示的数为﹣1即可得出结论； （2）分别找出AM、BN，根据AM+BN＝11即可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论； （3）假设能够相等，找出AM、BN，根据AM＝BN即可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：（1）∵点A、M、N对应的数字分别为﹣1、0、2，线段MN沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒， ∴移动后M表示的数为t，N表示的数为t+2， ∴AM＝t﹣（﹣1）＝t+1． 故答案为：t+1． （2）由（1）可知：BN＝|11﹣（t+2）|＝|9﹣t|， ∵AM+BN＝11， ∴t+1+|9﹣t|＝11， 解得：t． 故答案为：． （3）假设能相等，则点A表示的数为2t﹣1，M表示的数为t，N表示的数为t+2，B表示的数为11﹣t， ∴AM＝|2t﹣1﹣t|＝|t﹣1|，BN＝|t+2﹣（11﹣t）|＝|2t﹣9|， ∵AM＝BN， ∴|t﹣1|＝|2t﹣9|， 解得：t1，t2＝8． 故在运动的过程中AM和BN能相等，此时运动的时间为秒和8秒． 42．如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示数﹣20，﹣8，16，有两条动线段PQ和MN（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边），PQ＝2，MN＝4，线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始向右匀速运动，同时线段PQ以每秒3个单位的速度从点A开始向右匀速运动．当点Q运动到点C时，线段PQ立即以相同的速度返回；当点Q回到点A时，线段PQ、MN同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段PQ和MN保持长度不变）． （1）两线段运动前，点M表示的数为　 　 ，点P表示的数为　 　 ． （2）在整个运动过程中，当CQ＝PM时，求出点M表示的数． （3）在整个运动过程中，当两条线段有重合部分时，速度均变为原来的一半，当重合部分消失后，速度恢复，请直接写出当线段PQ和MN重合部分长度为1时所对应的t的值． 【分析】（1）由PQ＝2，MN＝4，再利用点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边可得答案； （2）当t≤12时，Q表示的数是﹣20+3t，P表示的数是﹣22+3t，M表示的数是﹣12+t，36﹣3t＝|﹣10+2t|，此时，当12＜t≤24时，Q表示的数是16﹣3（t﹣12）＝52﹣3t，P表示的数是50﹣3t，M表示的数是﹣12+t，3t﹣36＝|62﹣4t|， （3）当PQ从A向C运动时，或，当PQ从C向A运动时，或，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意可得：M对应的数为﹣8﹣4＝﹣12，P对应的数为﹣20﹣2＝﹣22； 故答案为：﹣12，﹣22； （2）当t≤12时，Q表示的数是﹣20+3t，P表示的数是﹣22+3t，M表示的数是﹣12+t， ∴CQ＝16﹣（﹣20+3t）＝36﹣3t，PM＝|﹣22+3t﹣（﹣12+t）|＝|﹣10+2t|， ∴36﹣3t＝|﹣10+2t|， 解得或t＝26（不符合题意，舍去）， 此时 当12＜t≤24时，Q表示的数是16﹣3（t﹣12）＝52﹣3t，P表示的数是14﹣3（t﹣12）＝50﹣3t，M表示的数是﹣12+t， ∴CQ＝16﹣（52﹣3t）＝3t﹣36，PM＝|50﹣3t﹣（﹣12+t）|＝|62﹣4t|， ∴3t﹣36＝|62﹣4t|， 解得t＝14或t＝26（不符合题意，舍去）， 此时﹣12+t＝﹣12+14＝2， ∴当CQ＝PM时，点M表示的数是或2； （3）当PQ从A向C运动时， t＝4时，PQ与MN开始有重合部分，有重合部分时，Q表示的数为，P表数为，M表示的数为，N表示的数是， 若线段PQ和MN重合部分长度为1， 则， 或， 解得t＝5或t＝9， 由， 得t＝10， ∴当t＝10时，PQ与MN的重合部分消失，恢复原来的速度，此时Q表示的数是1， 再过（16﹣1）÷3＝5（秒），Q到达C，此时t＝15， 则M所在点表示的数是，N所在点表示的数4， 当PQ从C向A运动时， ∴P，N重合时，4+t﹣15＝14﹣3（t﹣15）， 解得：， 此时P，N对应的数为：，Q为，M为， 当时，PQ与MN开始有重合部分，有重合部分后， Q表示的数为，P表示的数为， M表示的数为，N表示的数是， 若线段PQ和MN重合部分长度为1， 或， 解得t＝18或t＝20， ∴t的值是5或9或18或20． 43．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：|m﹣7|+（n+2）2＝0． （1）求m、n的值； （2）情境：有一个玩具火车AB如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为 　 　 个单位长度； 应用：如图1所示，当火车AB匀速向右运动时，若火车从车头到车尾完全经过点M需要2秒，则火车的速度为每秒 　　 个单位长度； （3）在（2）的条件下，当火车AB匀速向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车AB运动后对应的位置为A1B1．点P、Q间的距离用a表示，点B1、A间的距离用b表示，是否存在常数k使得ka﹣b的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值：若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由非负性可求m，n的值； （2）由题意可得3AB＝m﹣n，即可求解； （3）用参数t分别表示出PQ，B'A的长度，即可求解． 【解答】解（1）m﹣7＝0，n+2＝0， ∴m＝7，n＝﹣2． （2）玩具火车长3个单位长度， 玩具火车的速度为： （单位长度/秒）． 故答案为：3，． （3）存在，，定值为 ． 理由如下： 设玩具火车运动的时间为t秒， ， 根据题意，得到点Q表示的数是 2t+7，点9表示的数是﹣2﹣t， ∴PQ＝2t+7﹣（﹣2﹣t）＝9+3t， ∴， ∵常数k使得 kPQ﹣B1A 的值与它们的运动时间无关， ∴，解得 ， 故 ， 故当 时，常数k使得 kPQ﹣B1A 的值与它们的运动时间无关， 此时值为 ． 44．初一年级开设了丰富多彩的选修课，佳佳同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒PQ、MN研究数轴上的动点问题： 如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数﹣24，﹣10和12、佳佳把两根木棒放在数轴上，使点Q与点A重合，点N与点B重合，点P在点Q的左边，点M在点N的左边，且PQ＝2，MN＝6．木棒MN从点B开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动；木棒PQ同时从点A开始向右以每秒3个单位的速度匀速运动，当点Q运动到C时，木棒PQ立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点P在点Q的左边），当点Q再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为t秒． （1）当t＝16时，点N表示的数为 　 　 ，点P表示的数为 　 　 ； （2）在整个运动的过程中，当线段PM和线段QN的长度之和为12时，求出对应的t的值； （3）点D为木棒PQ上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值？若存在，请求出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）分0＜t≤12时和12＜t≤30两种情况解答即可； （3）分0＜t≤12时和12＜t≤30两种情况进行讨论即可得出答案． 【解答】解：（1）当t＝16时，点N表示的数为：﹣10+16＝6， [12﹣（﹣24）]÷3＝12， P表示的数为：12﹣（16﹣12）×2﹣2＝2， 故答案为：6，2； （2）况1：当0＜t≤12时，P：﹣26+3t，M：﹣16+t，Q：﹣24+3t，N：﹣10+t， PM＝|（﹣26+3t）﹣（﹣16+t）|＝|2t﹣10|， QN＝|（﹣24+3t）﹣（﹣10+t）|＝|2t﹣14|， ∵PM+QN＝12， ∴|2t﹣10|+|2t﹣14|＝12，即|t﹣5|+|t﹣7|＝6， ∴t1＝3，t2＝9； 况2：当12＜t≤30时， P：10﹣2（t﹣12）＝34﹣2t，M：﹣16+t，Q：36﹣2t，N：﹣10+t， PM＝|50﹣3t|，QN＝|46﹣3t|， ∵PM+QN＝12， ， ∴t3＝14，t4＝18， 综上所述，对应t的值为3秒、9秒、14秒或18秒； （3）定值为8；持续总时长为秒，求解过程如下： ∵点D为小木棒PQ上任意一点， ∴在运动过程中PD+QD＝PQ＝2始终保持不变， ∴只要使DM+DN保持不变即可， ∴当点D在MN上时，点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值，该定值为PQ+MN＝2+6＝8； 况1：当0＜t≤12时， 1°∵﹣26+3t＝﹣16+t， ∴t1＝5（不符合题意）； 况2：当12＜t≤30时， ∵36﹣2t＝﹣10+t， ∴， 2°∵﹣16+t＝34﹣2t， ∴， ∴持续时长为（ 秒）， 2（ 秒）， ∴持续的总时长为秒． 压轴突破8 数轴上的新定义问题1. 精读定义，抓本质：逐字分析题干中的新定义（如“距离和”“关联点”等），用自己的话转化为熟悉的数学语言，明确其核心是“数轴上的距离、位置关系还是运算规则”。 2. 代入示例，验理解：若题干给了示例，直接将示例代入新定义验证，确认自己对定义的解读无误，避免理解偏差。 3. 结合数轴，建模型：根据新定义，用字母表示动点或关键点的数，结合数轴的“距离公式”“左右顺序”等基础知识点，建立符合定义的关系式或表达式。 4. 按规计算，得结论：依据建立的模型，按新定义的规则进行计算、化简或判断，最终得出答案。 方法指导 45．我们规定：在数轴上，若点M到点A的距离是2，则称点M为点A的“青春点”；若点N到点A、B的距离之和是5，则称点N为点A、B的“奋斗中心”． （1）若点A表示最大的负整数，则点A的“青春点”M表示的数是 　 　 ； （2）如图1，点A表示的数是﹣3，点B表示的数是2，若点N为点A、B的“奋斗中心”，求满足条件的点N所表示的整数的和； （3）如图2，点A、B、N在数轴上表示的数分别是﹣2、1、4，点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向右运动，求经过几秒点N是点P、Q的“奋斗中心”． 【分析】（1）根据青春点的定义即可解答； （2）根据奋斗中心的定义即可解答； （3）设时间为t，先用含t的式子表示出点P，点Q表示的数，然后构造方程即可求解． 【解答】解：（1）∵点A表示最大的负整数， ∴点A表示的数是﹣1， 设M表示的数是x，则|x﹣（﹣1）|＝2， 解得x＝﹣3或1， ∴点A的“青春点”M表示的数是﹣3或1， 故答案为：﹣3或1； （2）设点N表示的数为y， ∵A，B间的距离为5， ∴﹣3≤y≤2， ∵N表示的数是整数， ∴y的值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2， ∴满足条件的点N所表示的整数的和为（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2＝﹣3； （3）设经过z秒，点N是点P、Q的“奋斗中心”． 根据题意可知，经过z秒，点P表示的数是﹣2+2z，点Q表示的数是1+z， 由题意知，|﹣2+2z﹣4|+|1+z﹣4|＝5， ∴|2z﹣6|+|z﹣3|＝5， ∴2|z﹣3|+|z﹣3|＝5， ∴|z﹣3|， ∴z﹣3或z﹣3， 解得z或， ∴经过秒或秒，点N是点P、Q的“奋斗中心”． 46．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将PO与PA的长度之比称为点P的特征值，记作【P】，即，例如：当点P在OA上且PO＝PA时，点P的特征值【P】＝1． （1）如图，点P1，P2，P3为数轴上三个点，点P1的数是，点P2与P1表示的数互为相反数： ①【P2】＝ 　 　 ； ②比较【P1】、【P2】、【P3】的大小 　 　 （用“＜”连接）； （2）数轴上的点M满足，求【M】； （3）若数轴上有一点K，初始位置表示的数是﹣3，现在点K以每秒2个单位的速度沿着数轴向右运动，是否存在某一时刻t，使得此刻【K】＝3？若存在请求出t的值，若不存在，请说明理由； （4）数轴上的点P表示有理数p，已知【P】＜100且【P】为整数，则所有满足条件的p的倒数之和是多少？请直接写出答案． 【分析】（1）根据相反数的性质和新定义计算即可； （2）根据新定义计算即可； （3）用代数式表示运动的长度，代入求值即可； （4）根据新定义，用不同的【P】求出p的值，找到规律，计算即可． 【解答】解：（1）①∵P1表示的数是，P2与P1互为相反数， ∴P2表示的数是， ∴P2O， ∵P2O+P2A＝OA， ∴P2A＝1， ∴【P2】， ②同理，P1A＝1﹣（）， ∴【P1】， 由图可知，P3O＝AO+P3A＝1+P3A， ∴【P3】1， ∵1， ∴【P1】＜【P2】＜【P3】； （2）∵OA＝1，OMOA， ∴OM，MA或MA， ∴【M】或； （3）存在，当t或时，【K】＝3， ∵点K以每秒2个单位的速度沿着数轴向右运动， ∴运动的距离为：2t， ∵【K】3， ∴OK＝3AK， ∴|﹣3+2t|＝3|4﹣2t|， ∴（﹣3+2t）＝3（4﹣2t）或（﹣3+2t）＝﹣3（4﹣2t）， 解得：t或； （4）∵【P】， ∴OP＝【P】AP， ∵【P】＜100且【P】为整数， ∴【P】为：1，2，3，4…99， ∴OP＞AP且OP为AP的整数倍， ∴OP＝p，AP， 当【P】＝1时，p＝1﹣p或p＝p﹣1（舍）， 此时：p； 当【P】＝2时，p＝2（1﹣p）或p＝2（p﹣1）， 此时：p或p＝2； 当【P】＝3时，p＝3（1﹣p）或p＝3（p﹣1）， 此时：p或p； 以此类推，所有满足条件的p的倒数之和为：2+（）+（）+…+（）＝2×99＝198． 47．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣7，点N所表示的数为2． （1）点E，F，G表示的数分别是﹣3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　 　 ；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　 ． （2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考查点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据没好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值． 【解答】解：（1）根据美好点的定义，GM＝18，GN＝9，GM＝2GN，只有点G符合条件， 故答案为：G． 结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定﹣4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是﹣16． 故答案为：﹣4或﹣16． （2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况， 第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1， 当MP＝2PN时，PN＝3，点P对应的数为2﹣3＝﹣1，因此t＝1.5秒； 第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2， 当2PM＝PN时，NP＝6，点P对应的数为2﹣6＝﹣4，因此t＝3秒； 第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3， 当PN＝2MN时，NP＝18，点P对应的数为2﹣18＝﹣16，因此t＝9秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4， 当MP＝2MN时，NP＝27，点P对应的数为2﹣27＝﹣25，因此t＝13.5秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5， 当MN＝2MP时，NP＝13.5，点P对应的数为2﹣13.5＝﹣11.5，因此t＝6.75秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图6， 当MN＝2MP时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒； 第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧， 当PN＝2MN时，NP＝18，因此t＝9秒， 第八种情况， N为【M，P】的美好点，点P在M右侧， 当MN＝2PN时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒， 综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5． 48．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． （1）若点A表示数﹣2，点B表示数3，点M是点A，B的“联盟点”，点M在A、B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为　　 ； （2）若点A表示数﹣2，点B表示数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别为C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“联盟点”的是　　 ； （3）点A表示数﹣15，点B表示数25，P为数轴上一点． ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，此时点P表示的数是　 　 ； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数　 　 ． 【分析】（1）根据“联盟点”的定义可得AM＝2BM或BM＝2AM，设点M表示的数为m，得出m的取值范围为﹣2＜m＜3，然后进行分类讨论即可； （2）根据题目所给“联盟点”的定义，逐个进行判断即可； （3）①设点P标示的数为x，进行分类讨论：当点P在点A和点B之间时，当点P在点A左边时，即可解答；②设点P表示的数为x，然后进行分类讨论：当点A是点B和点P的“联盟点”时，当点B是点A和点P的“联盟点”时，当点P是点A和点B的“联盟点”时． 【解答】解：（1）∵点M是点A，B的“联盟点”， ∴MA＝2BM或MB＝2AM， 设点M表示数为m， ∵点M在A、B之间，且表示负数， ∴﹣2＜m＜3， 若MA＝2MB，则m+2＝2（3﹣m）， 解得：，舍去； 若BM＝2AM，则3﹣m＝2（m+2）， 解得：，行， 故答案为：； （2）根据题意可得： ， ∵2AC1＝BC1， ∴C1是点A，B的“联盟点”， AC2＝0﹣（﹣2）＝2，BC2＝2﹣0＝2， ∵AC2＝BC2， ∴C2不是点A，B的“联盟点”， AC3＝4﹣（﹣2）＝6，BC2＝4﹣2＝2， ∵AC3＝3BC3， ∴C3不是点A，B的“联盟点”， AC4＝6﹣（﹣2）＝8，BC4＝6﹣2＝4， ∵AC4＝2BC4， ∴C4是点A，B的“联盟点”， 总之，C1，C4是点A，B的“联盟点”， 故答案为：C1，C4； （3）①设点P标示的数为x， 当点P在A和B之间时， 若AP＝2BP，则x﹣（﹣15）＝2（25﹣x）， 解得； 若2AP＝BP，则2[x﹣（﹣15）]＝25﹣x， 解得； 当P在A左边时，2PA＝PB， 则2（﹣15﹣x）＝25﹣x， 解得：x＝﹣55； 故答案为：或或﹣55； ②设点P表示的数为x， 当A是B和P的“联盟点”时，AP＝2AB， 则x﹣（﹣15）＝2[25﹣（﹣15）]， 解得x＝65； 当B是A和P的“联盟点”时， 若BA＝2PB，则25﹣（﹣15）＝2（x﹣25）， 解得x＝45， 若2BA＝PB，则2[25﹣（﹣15）]＝x﹣25， 解得x＝105； 当P是A和B的“联盟点”时，AP＝2BP， 则x﹣（﹣15）＝2（x﹣25）， 解得x＝﹣35（舍去）， 总之，点P表示的数为65或45或105， 故答案为：65或45或105． 49．阅读理解，完成下列各题． 定义：已知点A，B，C为数轴上任意三点，若点C到点B的距离是它到点A的距离的2倍，则称点C是[A，B]的2倍点，如图1，点C是[A，B]的2倍点，点D不是[A，B]的2倍点，但点D是[﹣1，B]的2倍点，根据这个定义解决下面问题： （1）在图1中，点A是 　 　 的2倍点，点B是 　 　 的2倍点；（选用A，B，C，D表示，不能添加其他字母） （2）如图2，点M，N为数轴上两点，点M表示的数是﹣3，点N表示的数是0，若点E在M，N之间且点E是[M，N]的2倍点，则点E表示的数是多少？ （3）若P，Q为数轴上两点，点P在点Q的左侧，且PQ＝6，一动点H从点Q出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，求运动多久时，点H恰好是P和Q两点的2倍点？ 【分析】（1）根据图形可直接解得； （2）利用2倍点的定义列式解答即可； （3）点H恰好是P和Q 两点的2倍点，可分为三种情况而定，解得t有3个值． 【解答】解：（1）∵CA＝2，DA＝1，CA＝2DA， ∴点A 是[C，D]的2倍点． ∵BD＝2，BC＝1，BD＝2BC， ∴点B是[D，C]的2倍点． 故答案为：[C，D][D，C]； （2）∵NM＝0﹣（﹣3）＝3， ∵点E在线段MN上，点E是[M，N]的2倍点， ∴ENMN＝2． ∴点E表示的数是﹣2， 故答案为：﹣2； （3 ）设运动t秒时，点H恰好是P和Q两点的2倍点， ∵PQ＝6，HQ＝2t， ∴PH＝6﹣2t或2t﹣6， 又∵点H恰好是P和Q两点的2倍点， ∴点H是[P，Q]的2倍点或点H是[Q，P]的2倍点， ∴PH＝2HQ或HQ＝2PH， 即：2×2t＝6﹣2t或2t＝2（m﹣2t）或2t＝2（2t﹣m）， 解得t＝1或t＝2或t＝6． 所以，当t＝1或t＝2或t＝6时，点H恰好是P和Q两点的2倍点． 50．数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． （1）【知识呈现】 数轴上的点A，点C所表示的数如图1所示：若点B与点A表示的数互为相反数，则点B表示的数是 　 　 ，点A与点C之间的距离AC＝ 　 　 ，点B与点C的中点D表示的数是 　 　 ，且在图1的数轴上标出点D． （2）【定义】 一个点M（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到M1的位置（点M1与点M表示的数互为相反数），点M1称为点M的一次跳跃点，紧接着从M1到M2的位置（点M1与点M2位于点P的两侧，且PM1＝PM2≠0），则点M2称为点M关于点P的二次跳跃点．例，如图2所示； 【初步理解】 ①若点M表示的数是﹣2，点P表示的数是5，则点M的一次跳跃点1表示的数是 　 　 ，点M关于点P的二次跳跃点M2表示的数是 　 　 ，线段MM2的长度为 　 　 ． 【深入探究】 ②若点M为数轴正半轴的一个点，点P是数轴负半轴上一个点，点M2为点M关于点P的二次跳跃点．若点M，点P表示的数分别是m，﹣3，当m变化时，探究MM2的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点M，P分别表示有理数m，p（其中m≠0，p≠0），点M2为点M关于点P的二次跳跃点，直接写出线段MM2的长度． 【分析】（1）由题意很容易得解； （2）①根据跳跃点的定义可知M和M1关于原点对称，所以可得到M1表示的数，再根据二次跳跃点的定义可得M2表示的数，进而可求MM2的长度； ②由题易知P是M1和M2中点，再利用数轴上两点距离求解即可； ③同②思路即可得解． 【解答】解：（1）由题易知，点B表示的数是1，AC＝6，D表示的数是3；如图所示，点D为所求作． 故答案为：1，6，3； （2）①由题可知M和M1关于原点对称， ∴M1表示的数是2， ∵点P表示的数为5， ∴PM1＝5﹣2＝3， ∵PM1＝PM2＝3， ∴M2表示的数是8， ∴线段MM2的长度为8﹣（﹣2）＝10， 故答案为：2，8，10； ②解：MM2的值不变，MM2＝6，理由如下： 方法1：代数推理， ∵点M表示的数是m，则一次跳跃点M1表示的数是﹣m， ∵点M1与点M2位于点P的两侧，且PM1＝PM2， 即点P是M1M2的中点， ∵点P表示的数是﹣3， ∴点M2表示的数是﹣3×2﹣（﹣m）＝﹣6+m， ∴MM2＝|﹣6+m﹣m|＝6； 方法2：分类讨论， 依题意知点M1表示的数是﹣m， ①若|m|＞3，如图所示， ∵点M1与点M2位于点P的两侧，且 PM1＝PM2， ∴PM2＝PM1＝﹣3﹣（﹣m）＝﹣3+m， ∴﹣3+（﹣3+m）＝﹣6+m， ∴点M2表示的数是﹣6+m， ∴MM2＝m﹣m+6＝6； ②若|m|＜3，如图所示， ∵点M1与点M2位于点P的两侧，且PM1＝PM2， ∴PM2＝PM1＝﹣m﹣（﹣3）＝﹣m+3， ∴﹣3﹣（﹣m+3）＝m﹣6， ∴点M2表示的数是m﹣6， ∴MM2＝m﹣m+6＝6， 综上所述：MM2＝6； ③∵点M表示的数是m，则一次跳跃点M1表示的数是﹣m， ∵点M1与点M2位于点P的两侧，且PM1＝PM2， 即点P是M1M2的中点， ∵点P表示的数是p， ∴点M2表示的数是p×2﹣（﹣m）＝2p+m， ∴MM2＝|2p+m﹣m|＝2|p|． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $