期中必考压轴题十大类型（80题）（必考点分类集训）-2025-2026学年七年级数学上册必考点分类集训系列（人教版新教材）

七上数学期中必考压轴题十大类型（80题） 【人教版新教材】 压轴突破1 与绝对值有关的综合（10题） 1 压轴突破2 多结论判断（10题） 2 压轴突破3 代数式求值（5题） 4 压轴突破4 整式加减的应用（5题） 4 压轴突破5 数字的变化规律（10题） 6 压轴突破6 图形的变化规律（10题） 8 压轴突破7 幻方问题（5题） 11 压轴突破8 进制问题（5题） 13 压轴突破9 新定义问题（10题） 14 压轴突破10 与数轴有关的综合大题（10题） 15 压轴突破1 与绝对值有关的综合（10题） 1．（2024秋•合肥期中）已知|a|＝3，b2＝25，且|a﹣b|＝|a|+|b|，则a+b的值为（　　） A．2或﹣2 B．﹣2或﹣8 C．2或﹣8 D．﹣2或8 2．（2024秋•江岸区期中）已知，且abc＜0，a+b+c＝0，则m的值在分类讨论化简后共有x种不同的结果，若在这些不同的m值中，最大的为y，最小的为z，则（y+z）x的值为（　　） A．﹣8 B．16 C．﹣1 D．1 3．（2024秋•花山区校级期中）若abc≠0，则的值为（　　） A．±1或0 B．±2或0 C．±1或±4 D．±4或0 4．（2024秋•无锡期中）已知0＜c＜a＜b，求|x﹣c|﹣|x﹣a|﹣|x﹣b|的最大值（　　） A．2c+a+b B．a﹣c C．2a﹣b﹣c D．b﹣a 5．（2024秋•广州期中）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定 6．（2024秋•武汉期中）已知x，y，z均为整数，若|x﹣y|+（z﹣x）2024＝2，则|x﹣z|+2|x﹣y|﹣3|y﹣z|的值为 　 　 ． 7．（2024秋•武汉期中）已知a是常数，若式子|x﹣1|+|2x﹣a|+|3x﹣1|的最小值是|2a﹣3|+1，则a的值为 　 　 ． 8．（2024秋•大冶市期中）已知a为任意有理数，则|a+3|+3|a+5|+2|a﹣7|的最小值为 　 　 ． 9．（2024秋•海珠区校级期中）已知a+b+c＝0，abc≠0，则代数式的值为 　 　 ． 10．（2024秋•洪山区期中）设有理数a，b，c，满足a＜0，c＞0，且|a|＜|b|＜|c|，则的最小值为 ． 压轴突破2 多结论判断（10题） 1．（2024秋•青山区期中）如图，数轴上A，B两点分别表示有理数a，b．则以下结论正确的个数有（　　） ①﹣b＜a＜﹣a＜b；②：③b﹣a＝|a|+|b|；④（a+1）（b﹣3）＜0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024秋•武汉期中）下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若a为有理数，且a≠0，则|a|＜a2；③若b＜0＜a，且|a|＜|b|，则|a+b|＝|b|﹣|a|，④若a+b+c＜0，ab＞0，c＞0，则|﹣a|＝﹣a，⑤若三个有理数a，b，c满足，则．其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024秋•黄梅县期中）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，下列结论：①abc＞0；②a+c﹣b＞0；③；④|a+b|﹣|a﹣c|+|b﹣c|＝﹣2c．正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．②③④ 4．（2024秋•南沙区期中）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣c|＝﹣a+c；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（2024秋•淮北期中）在数轴上，有理数a，b的位置如图，将a与b的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为a1，a2，a3，a4，a5，且ab＜0，|a|＞|b|．下列结论：①a3＜0；②a1a4＞0；③|a﹣a3|＝|a|﹣|a3|；④|b﹣a|＝2（|a3|+|b|）．其中所有正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024秋•蓬溪县校级期中）已知a，b为实数，下列说法： ①若ab＜0，且a，b互为相反数，则； ②若a+b＜0，ab＞0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b； ③若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）是正数； ④若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a； ⑤若a＜b，ab＜0且|a﹣3|＜|b﹣3|，则a+b＞6，其中正确的是 　 　 ． 7．（2024秋•江岸区期中）已知3个多项式分别为：A＝x2+3x，B＝﹣2x2+4，C＝x﹣4． ①A+B+C化简后是二次二项式； ②若mA+B+C的结果为关于x的单项式，则m＝2； ③若关于x的式子A﹣nB﹣3C的结果恒为常数，则该常数为14； ④若，代数式|2A+B|+|﹣2A﹣B+2C|化简后为﹣2x+8． 其中正确的是 　 　 ．（填写序号） 8．（2024秋•蔡甸区校级期中）已知3个多项式分别为：A＝3x2+2x+1，B＝x2+2x﹣1，C＝2x+2． ①若|C|＝2，则x＝0； ②无论x取何值，一定都有A＞B； ③若mA+nB+C的值与x无关，则，； ④代数式|A﹣3B|+|C|化简后共有3种不同的表达式． 其中正确的是 　 　 ． 9．（2024秋•蓬莱区期中）已知a、b为有理数，下列说法：①若a、b互为相反数，则1； ②若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b≥a；③若a+b＜0，ab＞0，则|3a+4b|＝﹣3a﹣4b； ④若|a﹣4|＞1，则a＞5，其中正确的 　 　 ． 10．（2024秋•东西湖区期中）有下列说法： ①若单项式2a3bm+1与3anb3是同类项，则（﹣m）n＝﹣8． ②已知a，b、c是不为0的有理数且a＜0，abc＜0，则的值为﹣2或﹣6． ③已知有理数a，b满足ab≠0，且|a﹣b|＝4a﹣3b，则的值为． ④若|a+3|＝﹣3﹣a，|b﹣2|＝b﹣2，则化简|b+3|﹣|a﹣2|的结果为a+b+1． 其中正确的说法有　 　 ．（请填写序号） 压轴突破3 代数式求值（5题） 1．（2024秋•歙县期中）若x＝1时，式子ax3+bx+7的值为4．则当x＝﹣1时，式子ax3+bx+7的值为（　　） A．7 B．10 C．11 D．12 2．（2024秋•瑶海区校级期中）已知m+n＝﹣2，mn＝4，则2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn）的值是（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣32 D．32 3．（2024秋•武昌区期中）有一数值转换器，原理如图，若开始输入x的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，…，请你探索第2024次输出的结果是（　　） A．8 B．4 C．2 D．1 4．（2024秋•蜀山区校级期中）七年级的小西看到读高三的姐姐在解一道高考题，姐姐做不出，正在苦思冥想，小西凑上去说：姐姐，这个题太简单了我会做，随后说出了答案． 题目如下：（2x﹣1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 （1）当x＝0时，a0＝ 　 　 ； （2）a2+a4＝ 　 　 ． 5．（2024秋•十堰期中）已知（1+2x）7＝a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，求a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7＝ 　 ． 压轴突破4 整式加减的应用（5题） 1．（2024秋•嘉定区期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．4n B．4m C．2（m+n） D．4（m﹣n） 2．（2024秋•方城县期末）将8张长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图1和图2所示的两种方式放在长方形ABCD内（相邻的小长方形既无重叠，又不留空隙）．图1中两块阴影部分的周长和为C1，图2中阴影部分的周长为C2．若长方形ABCD的长比宽大（a﹣b），则C1﹣C2的值为（　　） A．2a+b B．2a+2b C．3a+b D．3a+2b 3．（2024秋•硚口区期中）如图，在一个长方形中从左至右依次放置四个正方形，其边长分别为a，a，b，c，且a＜b＜c，则图中左上角阴影部分图形周长与右下角阴影部分图形周长的差是 　 ． 4．（2024秋•南京期中）现有四张图①中的形状大小完全相同的小长方形卡片，将它们按图②方式不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部，盒底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若两块阴影部分的周长和为l，则盒子底面边的长度m为　 　 （用含l的式子表示）． 5．（2024秋•广州期中）如图，在一个长方形中放入A1、A2、A3三个正方形，边长分别为x、y、3，则右下角阴影部分C2的周长与左上角阴影部分C1的周长之差为 　 　 ． 压轴突破5 数字的变化规律（10题） 1．（2024秋•武汉期中）已知数列4，7，10，13，16，…，将其中的各项依次按一项、二项、三项、四项循环的方式进行分组：（4），（7，10），（13，16，19），（22，25，28，31），（34），（37，40），（43，46，49），（52，55，58，61），（64），…，那么第116个括号内的各数之和是（　　） A．3460 B．3466 C．3496 D．3508 2．（2024秋•庐阳区校级期中）观察一列数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，﹣128，256，﹣512…将这列数排成如图所示的形式，则第8行第10个数是（　　） A．﹣259 B．﹣289 C．289 D．259 3．（2024秋•花都区期中）观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，…，通过观察，找出规律，确定32025的个位数字是（　　） A．3 B．9 C．7 D．1 4．（2024秋•无为市期中）已知m是不为1的有理数，我们把称为m的“差倒数”．例如：2的“差倒数”是，﹣1的“差倒数”是．如果m1＝﹣1，m2是m1的“差倒数”，m3是m2的“差倒数”，…，依此类推，那么m2024的值为（　　） A．﹣1 B． C．2 D． 5．（2024秋•合肥期中）一列数a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣2，，，…，，则a1+a2+a3+⋯+a2023+a2024＝（　　） A． B． C．﹣112 D．﹣114 6．（2024秋•南京期中）一组数：，根据这个规律，第n个数是　　 （n为正整数）．（用含n的代数式表示） 7．（2024秋•庐阳区校级期中）将一些数按如下规律排列： 第一列，第二列，第三列，第四列，第五列… 第一行：2； 第二行：6，10； 第三行：14，18，22； 第四行：26，30，34，38； 第五行：42，46，50，54，58； … （1）第六行第2列上的数为　 　 ； （2）第m（m≥2）行第（m﹣1）列上的数为　 ． 8．（2024秋•白云区校级期中）观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8，……将这列数排成下列形式： 按照上述规律排下去，那么数﹣201是第　 　 行从左边数第　 　 个数． 9．（2024秋•武汉期中）观察下列三行数，回答下面的问题： 1，﹣3，5，﹣7，9，﹣11，…； ① 3，﹣1，7，﹣5，11，﹣9，…； ② ﹣3，9，﹣15，21，﹣27，33，…； ③ 取每一行的第n个数，分别记为a，b，c．例如当n＝2时，a＝﹣3，b＝﹣1，c＝9． （1）当n＝7时，请直接写出a，b，c的值分别为 　 　 ； （2）取每行数中的第n个数，是否存在a，b，c三个数的和等于19？如果存在，请你求出a的值，如果不存在，请说明理由； （3）在第②行中，是否存在连续的三个数的和是﹣95，若存在，求出这三个数；若不存在，请说明理由： （4）若m＝a+b+c，则a，b，c中最大数和最小数的差是 　 .（请用含m的式子表示）． 10．（2024秋•蕲春县期中）【基础演练】：观察下列等式： 1，，， 将以上三个等式两边分别相加得： 11． （1）猜想并写出； 　 ． （2）直接写出下列各式的计算结果； ① 　 ； ② 　 　 ． 【举一反三】：（3）探究并计算：． 【拓广探索】：（4）为了求1+2+22+23+…+22024的值，可令S＝1+2+22+23+…+22024，则2S＝2+22+23+…+22025，因此2S﹣S＝22025﹣1，所以1+2+22+23+…+22024＝22025﹣1． 仿照上面推理计算：求1+5+52+53+…+52024的值． 压轴突破6 图形的变化规律（10题） 1．（2024秋•蜀山区校级期中）小明和小伙伴利用若干台无人机操作，按照某种规律摆出自己家乡合肥的拼音缩写．第一次摆出的图形如图1，第二次摆出的图形如图2，第三次摆出的图形如图3，…按照这种规律，需要越来越多的无人机，第100次需要（　　）架无人机． A．614 B．608 C．600 D．618 2．（2024秋•越秀区校级期中）如图图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，……则第⑫个图形中五角星的个数为（　　） A．242 B．288 C．300 D．338 3．（2024秋•白云区校级期中）云南少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到追求独立与个性的设计师的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案，如图，第①个图案由4个组成，第②个图案由7个中组成，第③个图案由10个中组成，…，按此规律排列下去，第100个图案中的个数为（　　） A．303 B．299 C．300 D．301 4．（2024秋•汉阳区期中）如图，每个图案按规律摆放，按此规律摆放到第n个图案，若第n个图案中的“★”个数正好等于第n个图案中“◎”的个数的2倍，正整数n的值为 　 　 ． 5．（2024秋•武汉期中）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第一幅图形中“●”的个数为a1，第二幅图形中的“●”个数为a2，第三幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则an﹣an﹣1＝ 　 　 .（用n的代数式表示，n≥2） 6．（2024秋•巴彦县期中）如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，摆成第6个图案需要棋子的个数为 　 　 ． 7．（2024秋•庐阳区校级期中）如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子放的位置为第1列第1排，第二颗棋子放的位置为第2列第1排，第三颗棋子摆放的位置为第2列第2排…”，按此规则摆放在第2024颗棋子是第 　 　 列第 　 　 排的． 8．（2024秋•锡山区期中）某沿路护栏纹饰部分设计成若干个相同的菱形图案，如图所示，每个菱形的横向对角线长为30cm，每增加一个菱形图案，纹饰长度增加20cm，当菱形图案的总个数为2023时，该纹饰总长度L为 　 　 ． 9．（2024秋•天河区校级期中）如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n是正整数，且n＞1）个点，相应的图案中总的点数记为an，则 　　 ． 10．（2024秋•庐阳区校级期中）如图，通过观察，小翰同学发现可以用这样的方法确定每个图形中小正方形的总个数：图（1）中有1个小正方形，图（2）中共有1+8＝32个小正方形，图（3）中共有1+8+16＝52个小正方形，回答下列问题． （1）根据前三个图中计算小正方形的总个数的方法和规律，则图（4）中计算小正方形个数的等式是：　 ； （2）根据规律，图（45）比图（44）多 　 个小正方形； （3）根据每个图中计算小正方形总个数的方法和规律，计算：1+8+16+⋯+80． 压轴突破7 幻方问题（5题） 1．（2024秋•洪山区期中）请将数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，2，3，6，9，10填入图中，使每条边上四个数之和都相等．则m的值为（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．﹣2 D．3 2．（2024秋•东西湖区期中）图1是我国古代传说中的“洛书”，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会、流传下来收入《尚书》中，名《洪范》，《易•系辞上》说：“河出图．洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中．使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3中：若A＝a，B＝2a﹣1，C＝9a+7，整式F是（　　） A．﹣4a+5 B．﹣4a﹣5 C．﹣5a﹣4 D．﹣5a+4 3．（2024秋•襄州区期中）幻方，又称纵横图．如图1是由数字1～9九个整数按照一定的规律排列成三行三列的一个方阵，每一横行、每一竖列以及两条斜线上的数的和都相等．如图2所示的幻方中给出了三个数，则P处应该填的数字是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 4．（2024秋•汉川市期中）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1），“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． 如图3，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将﹣11，﹣9，﹣7，﹣5，﹣3，﹣1，2，4，6，8，10，12．这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用）．使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则mn的值为（　　） A．﹣10 B．11 C．﹣10或11 D．﹣11或10 5．（2024秋•惠山区校级期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将﹣4，8，﹣12，16，﹣20，24，﹣28，32分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则m+n的值为（　　） A．﹣12或﹣24 B．﹣4或﹣16 C．4或﹣4 D．4或﹣32 压轴突破8 进制问题（5题） 1．（2024秋•旌阳区期中）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0、1，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干2n数的和，依次写出1或0即可．如：21（10）＝1×24+0×23+1×22+0×21+1＝10101（2），则十进制数30是二进制下的（　　） A．11101 B．10111 C．11110 D．11100 2．（2024秋•荔湾区校级期中）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），是逢2进1的计数制，它们两者之间可以互相换算，如将（101）2换算成十进制数应为．按此方式，（101）2+（1111）2＝ 　 　 ． 3．（2024秋•黄埔区期中）我们平常使用的是十进制数，例如1354这个数可以写成1×103+3×102+5×101+4×100，a0＝1（a≠0）．十进制外还有其它进制，都可以和十进制互相转化，例如2进制数1011转化成十进制为1×23+0×22+1×21+1×20＝8+2+1＝11，二进制数10011转化成十进制数为 　 　 ． 4．（2024秋•安庆期中）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如：十进制中26，用十六进制表示为1A，具体转化方法：26÷16＝1⋯⋯10（对应十六进制A）；十进制中123用十六进制表示为7B，具体转化方法：123÷16＝7⋯⋯11（对应十六进制B）．由上可知，在十六进制中6C＝ 　 　 （运算结果用十进制表示）；在十进制中2024＝ 　 　 （运算结果用十六进制表示）． 5．（2024秋•夷陵区期中）国际数学教育大会（ICME）是全球数学教育水平最高，规模最大的学术盛会．ICME﹣14于2021年在上海举行，如图（1）是大会会标，蕴含很多中国传统数学文化元素．如图（2）是我国古老的八卦图案．八卦可以用来表示二进制数，其中“”表示0，“”表示1，则数“”可以记作（110100）2，转换成十进制数就是1×25+1×24+0×23+1×22+0×2+0×1＝52．将图（1）中数“”写成二进制数是（ 　 　 ）2；将数“”转换成十进制数是 　 　 ． 压轴突破9 新定义问题（10题） 1．（2024秋•丹江口市期中）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位数字不为零，且它正好等于其个位和十位上数字和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”．例如：27就是一个“3喜数”，因为27＝3×（2+7）；25就不是一个“n喜数”，因为25≠（2+5）n．小江发现个位数字是十位数字2倍的两位数都是“n喜数”，则n的值为（　　） A．2 B．4 C．2或4 D．8 2．（2024秋•梁溪区校级期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取n＝26，则： 若n＝49，则第2024次“F运算”的结果是（　　） A．152 B．19 C．62 D．49 3．（2024秋•老城区期中）定义一种新运算，规定：a⊕b＝3a﹣b，若a⊕（﹣6b）＝﹣2，请计算（2a+b）⊕（2a﹣5b）值为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4 4．（2024秋•武昌区期中）已知：[x]表示不超x的最大整数．例如：[2.3]＝2，[﹣1.8]＝﹣2．令关于k的等式（k是整数）．例如：，则下列结论正确的有　 　 （填序号）． ①f（1）＝0；②f（k+4）＝f（k）；③f（k）≤f（k+1）；④f（k）＝0或1． 5．（2024秋•青山区期中）给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，依此类推，第n个数记为an（n为正整数），规定运算：．已知一列数﹣1，0，1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，﹣8，9，﹣10，…．若存在正整数n使等式成立，则n＝ 　 　 ， 6．（2024秋•江汉区期中）有一个运算程序：若a⊕b＝n，则（a+1）⊕b＝n+4且a⊕（b+1）＝n﹣1．按程序运算，若1⊕1＝2，则24⊕25＝ 　 　 ． 7．（2024秋•合肥期中）对于一个三位数，它的各个数位上的数字互不相等，如果它满足百位上的数字减去个位上数字的差等于十位上的数字的2倍，我们称这个三位数为“互差数”，定义一个新运算，我们把一个“互差数”a的百位数字减去个位数字的差加上十位数字的和记为K（a），例如：a＝723，因为（7﹣3）＝2×2，所以723是一个“互差数”，K（723）＝（7﹣3）+2＝6． （1）计算K（513）＝　 　 ； （2）若m是一个“互差数”，且K（m）＝12，那么m的值是　 　 ． 8．（2024秋•启东市期中）定义一种正整数的“H运算”：①当它是奇数时，则该数乘3加13为一次“H运算”；②当它是偶数时，则取该数的一半，一直取到结果为奇数停止为一次“H运算”．如：数3经过1次“H运算”的结果是22，经过2次“H运算”的结果为11，经过3次“H运算”的结果为46．那么数28经过2024次“H运算”得到的结果是 　 　 ． 9．（2024秋•花都区期中）关于x的代数式，当x取任意一组相反数a与﹣a时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”；例如代数式x2是“偶代数式”，x3是“奇代数式”． （1）代数式x5﹣x3+x是“　 　 代数式”；（填“奇”或“偶”） （2）对于整式x5﹣x3+x+x2，当x分别取﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，时，这七个整式的值之和为 　 　 ． 10．（2024秋•合肥期中）我们定义新运算“△”：对于任意的有理数a和b，a△b＝a+b﹣ab． （1）分别求出2△3，3△（﹣5）的值； （2）若m△n＝0，求代数式4[mn+m﹣2（mn﹣3）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2的值； （3）若a＝3，b＝m2+3mn+2n，c＝2m2﹣mn+n，且a△b﹣a△c的运算结果与n的取值无关，求m的值及a△b﹣a△c的值． 压轴突破10 与数轴有关的综合大题（10题） 1．（2024秋•青山区期中）已知A，B，C三点在数轴上对应的数分别为a，b，c，且a，b满足：（a+4）2+|b﹣12|＝0．点C到A，B两点的距离相等．规定：两点间的距离可用这两点的字母表示，如点A与点C之间的距离表示为AC． （1）则a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ； （2）点P是数轴上一点，它在数轴上对应的数为x，若PA＝2PB，求x的值； （3）点A以3个单位/秒的速度向右运动，点B以1个单位/秒的速度向左运动，点C以2个单位/秒的速度向右运动，点D从原点出发以m个单位/秒的速度运动．点A，B，C，D同时出发，设运动时间为t秒，在运动过程中，若总有AB＝4CD成立，求m的值及点D的运动方向． 2．（2024秋•武汉期中）已知点A，B在数轴上对应的数为a，b，点A与点B之间的距离记为AB，且（a+10）2+|b﹣14|＝0． （1）a＝ 　 ，b＝ 　 　 ，AB＝ 　 　 ； （2）若在数轴上存在一点M，且MA＝3MB，求点M表示的数； （3）已知点C表示的数为2，现甲从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时乙从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动．当甲到达点C后立即以原速度返回一直向左运动，当乙到达点A后，先休息1秒，再以每秒2个单位长度的速度一直向右运动．问当经过多少秒时，甲、乙相距8个单位长度？ 3．（2024秋•江岸区期中）【探究与发现】 数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，例：如图所示，点A，B在数轴上分别对应的数为a，b，则A，B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|，学习以上内容解决问题： （1）若数轴上两点A，B表示的数为x，1， ①A，B两点之间的距离可用含x的式子表示为 　 　 ； ②若A，B两点之间的距离为2，那么x值为 　 　 ． 【理解与应用】 （2）若x，y分别表示点A，B在数轴上对应的数． ①|x﹣1|+|x+3|的最小值为 　 　 ，此时x的取值范围是 　 　 ； ②已知（|x﹣1|+|x+3|）（|y+1|+|y﹣6|）＝28，求2y﹣x的最大值． 【拓展与延伸】 （3）若x，y分别表示点A，B在数轴上对应的数，O为原点，当x＝﹣3，y＝5时，点M，N分别从点O，B同时出发，分别以v1，v2的速度沿数轴负方向运动（点M在点O，A之间，点N在点O，B之间），运动时间为t，点M运动到点A时，点N立即停止运动，点Q为点B，M之间一点，且点Q到点M的距离是点B到点M距离的一半（即|QM||BM|），若在点M，N运动过程中，点Q到点N的距离（即|QN|）总为一个固定的值，求的值． 4．（2024秋•武昌区期中）如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示数﹣20，﹣8，16，有两条动线段PQ和MN（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边），PQ＝2，MN＝4，线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始向右匀速运动，同时线段PQ以每秒3个单位的速度从点A开始向右匀速运动．当点Q运动到点C时，线段PQ立即以相同的速度返回；当点Q回到点A时，线段PQ、MN同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段PQ和MN保持长度不变）． （1）两线段运动前，点M表示的数为　 　 ，点P表示的数为　 　 ． （2）在整个运动过程中，当CQ＝PM时，求出点M表示的数． （3）在整个运动过程中，当两条线段有重合部分时，速度均变为原来的一半，当重合部分消失后，速度恢复，请直接写出当线段PQ和MN重合部分长度为1时所对应的t的值． 5．（2024秋•洪山区期中）如图，在数轴上有A，B，M三点，分别表示有理数a，b，m．其中a，b，m满足|a+1|+（b﹣2）2+|m﹣3|＝0．已知线段AB的中点表示的数可以记作，A、B之间的距离为|a﹣b|． （1）求a，b，m的值； （2）数轴上的一动点N从A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，当N与B的距离为线段BM长度的两倍时，求运动时间t，以及此时点N表示的数； （3）有一动点P从表示﹣7的点出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，动点Q从表示﹣2的点出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动．点P比点Q先出发1秒，设点Q运动的时间为t秒，若线段PQ上至少存在一点T与点A构成线段，当线段AT的中点在线段OB（包含端点）上，求t最大值和最小值． 6．（2024秋•硚口区期中）如图1，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，b满足（a+20）2+|b﹣16|＝0，点C到原点O的距离与点A到原点O的距离相等．点A，B之间的距离记为AB． （1）直接写出a，b，c的值； （2）点P从点A出发，沿着数轴负方向匀速运动，同时，点Q从点C出发，沿数轴负方向匀速运动，点P和点Q的速度分别为4个单位长度/秒和m（m＞4）个单位长度/秒．设点P运动的时间为t秒． ①t秒时，点P表示的数为　 ，点B，P之间的距离为　 ； ②当点Q追上点P之后，的值与t的值无关，求m的值． （3）点G在数轴上，OG＝BG，将数轴在点O，G，B各折一下，得到如图2的“折线数轴”．点M从点A出发沿着“折线数轴”运动至点C，同时点N从点C出发沿着“折线数轴”向点A运动，点M，N的初始速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒，两点运动到折线时速度才会发生变化，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍，离开折线OGB后速度恢复为初始速度．当点M和点N相遇时，直接写出此时点M表示的数． 7．（2024秋•新洲区期中）如图（1），点A、B在数轴上表示的数分别为a、b．其中，式子M＝（a+2）x3+4xb﹣2﹣x+1是关于x的二次三项式， （1）点P为数轴上A点左边一点，且PA+PB＝10，求点P在数轴上对应的数． （2）在（1）的条件下，若点P、A、B三点在数轴上同时向右运动，点P、A、B的速度分别是4个单位长度/秒、3个单位长度/秒、2个单位长度/秒，设点P运动的时间为t秒，当点PB＝2PA时，求t的值． （3）如图（2），点C在数轴上对应的点所对应的数是1，点A、C的速度分别是3个单位长度/秒、2个单位长度/秒，当点A向左运动，点C向右运动，试问是否存在一个常数k使得kAB﹣BC不随运动时间t的改变而改变，若存在，请求出k；若不存在，请说明理由． 8．（2024秋•安陆市期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b（b＞a），则线段AB的长（点A到点B的距离）可表示为b﹣a，请用上面材料中的知识解答下面的问题： 【问题情境】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点A，再向右移动3个单位长度到达点B，然后再向右移动5个单位长度到达点C． （1）【问题探究】请在图2中表示出A，B，C三点的位置； （2）【问题探究】若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M、N从点B，点C分别以每秒2个单位长度，每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒（t＞0）． ①A，B两点间的距离AB＝ 　 ； ②用含t的代数式表示t秒时，点P表示的数为 　 ，点M表示的数为 　 ，点N表示的数为 　 ； ③试探究在移动的过程中，6PN﹣8PM的值是否随着时间t的变化而变化？若变化说明理由；若不变，请求其值． 9．（2024秋•丹江口市期中）【问题背景】我们知道|x|的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离． 这个结论可以推广为：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A，B两点之间的表距离示为|a﹣b|，即AB＝|a﹣b|．例如，在数轴上，表示﹣4和﹣2的点的距离为AB＝|﹣4﹣（﹣2）|＝2． 【问题解决】 （1）|x﹣2|表示数轴上数x与 　 　 （填数字）之间的距离； （2）若点C为数轴上一点，它所表示的数为x，点D在数轴上表示的数为﹣2，则CD＝ 　 　 （用含x的代数式表示）； 【关联运用】 （3）运用一：若|x﹣2|+|x+4|＝10，则x的值为 　 　 ； （4）运用二：代数式|x﹣2|+|x+4|的最小值为 　 　 ； （5）运用三：代数式|x﹣3|﹣|x+4|的最大值为 　 　 ； （6）运用四：已知动点A、B、C分别从数轴﹣2、3、4的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒．原点为点O，线段OA，OB，OC的中点分别为P，M，N，若mPM﹣MN＝k，且k的值为常数，求出m和k的值． 10．（2024秋•无锡期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足|m+8|+（n﹣1）2＝0． （1）求m，n的值； （2）①有一个玩具火车AB如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为n，当点B移动到点A时，点A所对应的数为m．则玩具火车的长为 　 　 个单位长度； ②如图1所示，将第①题中的玩具火车沿数轴左右水平移动，当MA：BN＝2：1时，直接写出此时点A所表示的数； （3）在（2）的条件下，当火车AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从M、N出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，记火车AB运动后对应的位置为A'B'，是否存在常数k使得2PQ+k•B′A的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七上数学期中必考压轴题十大类型（80题） 【人教版新教材】 压轴突破1 与绝对值有关的综合（10题） 1 压轴突破2 多结论判断（10题） 8 压轴突破3 代数式求值（5题） 16 压轴突破4 整式加减的应用（5题） 19 压轴突破5 数字的变化规律（10题） 22 压轴突破6 图形的变化规律（10题） 31 压轴突破7 幻方问题（5题） 37 压轴突破8 进制问题（5题） 41 压轴突破9 新定义问题（10题） 43 压轴突破10 与数轴有关的综合大题（10题） 50 压轴突破1 与绝对值有关的综合（10题） 1．（2024秋•合肥期中）已知|a|＝3，b2＝25，且|a﹣b|＝|a|+|b|，则a+b的值为（　　） A．2或﹣2 B．﹣2或﹣8 C．2或﹣8 D．﹣2或8 【分析】由|a|＝3，b2＝25，得出a＝±3，b＝±5，再根据|a﹣b|＝|a|+|b|，得出a＝﹣3，b＝5，或a＝3，b＝﹣5，由此代入求得答案即可． 【解答】解：∵|a|＝3，b2＝25， ∴a＝±3，b＝±5， ∵|a﹣b|＝|a|+|b|， ∴a＝﹣3，b＝5，或a＝3，b＝﹣5， ∴a+b＝±2． 故选：A． 2．（2024秋•江岸区期中）已知，且abc＜0，a+b+c＝0，则m的值在分类讨论化简后共有x种不同的结果，若在这些不同的m值中，最大的为y，最小的为z，则（y+z）x的值为（　　） A．﹣8 B．16 C．﹣1 D．1 【分析】根据abc＜0，a+b+c＝0，可以知道a，b，c中有2个正数，1个负数，然后分三种情况分别计算m的值，从而得到m的最大值和最小值，从而得出答案． 【解答】解：∵abc＜0，a+b+c＝0， ∴a，b，c中只有一个负数，两个整数， ∴当a＞0，b＞0，c＜0时， a+b＝﹣c＞0，b+c＝﹣a＜0，c+a＝﹣b＜0， m3﹣1﹣2＝﹣6； 当a＞0，b＜0，c＞0时， a+b＝﹣c＜0，b+c＝﹣a＜0，c+a＝﹣b＞0， m3+1﹣2＝2； 当a＜0，b＞0，c＞0时， a+b＝﹣c＜0，b+c＝﹣a＞0，c+a＝﹣b＜0， m3﹣1+2＝4； ∴m共有3个不同的值， ∴x＝3， ∵m的最大值为4，m最小的为﹣6， ∴y＝4，z＝﹣6， ∴（y+z）x＝（﹣6+4）3＝﹣8． 故选：A． 3．（2024秋•花山区校级期中）若abc≠0，则的值为（　　） A．±1或0 B．±2或0 C．±1或±4 D．±4或0 【分析】分四种情况：①三个都为正数；②三个都为负数；③一个正数，两个负数；④一个负数，两个正数，进行解答即可求解． 【解答】解：根据题意可知，abc≠0， ∴有四种情况： 当三个都为正数时， ， 当三个都为负数时， ， 当一个正数，两个负数时，假设a为正数，b、c为负数， ， 当一个负数，两个正数时，假设a为负数，b、c为正数， ， 综上，的值为±4或0． 故选：D． 4．（2024秋•无锡期中）已知0＜c＜a＜b，求|x﹣c|﹣|x﹣a|﹣|x﹣b|的最大值（　　） A．2c+a+b B．a﹣c C．2a﹣b﹣c D．b﹣a 【分析】利用绝对值的定义解答． 【解答】解：当x≥b时， ∵0＜c＜a＜b， ∴x﹣c＞0，x﹣a＞0，x﹣b≥0， ∴|x﹣c|﹣|x﹣a|﹣|x﹣b| ＝x﹣c﹣（x﹣a）﹣（x﹣b） ＝﹣x+a+b﹣c， ∵x≥b， ∴﹣x≤﹣b， ∴﹣x+a+b﹣c≤﹣b+a+b﹣c＝a﹣c， 当a≤x≤b时， ∵0＜c＜a＜b， ∴x﹣c＞0，x﹣a≥0，x﹣b＜0， ∴|x﹣c|﹣|x﹣a|﹣|x﹣b| ＝x﹣c﹣（x﹣a）﹣（b﹣x） ＝x+a﹣b﹣c， ∵a≤x≤b， ∴x+a﹣b﹣c＜b+a﹣b﹣c＝a﹣c， 当c≤x≤a时， ∵x﹣c≥0，x﹣a＜0，x﹣b＜0， ∴|x﹣c|﹣|x﹣a|﹣|x﹣b| ＝c﹣x﹣（a﹣x）﹣（b﹣x） ＝x+c﹣b﹣a， ∵c≤x≤a， ∴x+c﹣b﹣a＜c+c﹣b﹣a＝2c﹣a﹣b， 已知c＜a，所以2c﹣a﹣b＜2a﹣a﹣b＝a﹣b， 已知c＜b，﹣c＞﹣b，所以a﹣b＜a﹣c， ∴x+c﹣a﹣b＜a﹣c， 综上所述，当x≥b时，|x﹣c|﹣|x﹣a|﹣|x﹣b|的最大值a﹣c， 故选：B． 5．（2024秋•广州期中）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定 【分析】利用绝对值的意义先确定a的大小，再利用，确定b，c的符号，最后利用绝对值的意义进行化简即可． 【解答】解：∵当4≤x≤6时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是8， |x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a， ∴a＝8． ∴． ∵， ∴b＜0，c＜0． ∴ab＜0，bc＞0，ac＜0，abc＞0． ∴1+1﹣1+1＝0． 故选：C． 6．（2024秋•武汉期中）已知x，y，z均为整数，若|x﹣y|+（z﹣x）2024＝2，则|x﹣z|+2|x﹣y|﹣3|y﹣z|的值为 　±3或﹣2　 ． 【分析】根据绝对值的定义即可得到结论． 【解答】解：∵|x﹣y|+（z﹣x）2024＝2， ∴①（z﹣x）2024＝1，即|z﹣x|＝1，|z﹣x|＝1．|x﹣y|＝1，则|y﹣z|＝0或2． 此时|x﹣z|+2|x﹣y|﹣3|y﹣z|＝1+2×1﹣3×0＝3， 或|x﹣z|+2|x﹣y|﹣3|y﹣z|＝1+2×1﹣3×2＝﹣3： ②|x﹣y|＝2，|x﹣y|＝2，|z﹣x|＝0，则|y﹣z|＝2， |x﹣z|+2|x﹣y|﹣3|y﹣z|＝0+2×2﹣3×2＝﹣2． 综上所述，|x﹣z|+2|x﹣y|﹣3|y﹣z|的值为±3或﹣2， 故答案为：±3或﹣2． 7．（2024秋•武汉期中）已知a是常数，若式子|x﹣1|+|2x﹣a|+|3x﹣1|的最小值是|2a﹣3|+1，则a的值为 　2或　 ． 【分析】若x1＜x2＜x3，则当x＝x2时，|x﹣x1|+|x﹣x2|+|x﹣x3|的最小值为|x2﹣x1|+|x2﹣x3|，分三种情况讨论：当1，即a≥2时，当1，即a＜2时，当，即a时，分别列方程求解即可． 【解答】解：若x1＜x2＜x3， 则当x＝x2时，|x﹣x1|+|x﹣x2|+|x﹣x3|的最小值为|x2﹣x1|+|x2﹣x3|， 由x﹣1＝0，得x＝1， 由2x﹣a＝0，得x， 由3x﹣1＝0，得x， 当1，即a≥2时， 则当x＝1时，原式＝|2﹣a|+2为最小值， 由题意得：|2﹣a|+2＝|2a﹣3|+1， 解得：a＝2； 当1，即a＜2时， 则当x时，原式＝|1|+|1|＝11＝a为最小值， 由题意得：a＝|2a﹣3|+1， 解得：a或2， ∵a＜2， ∴a； 当，即a时， 则当x时，原式＝|1|+|a|a， 由题意得：a＝|2a﹣3|+1， 解得：a，与a矛盾； 综上所述，a的值为2或， 故答案为：2或． 8．（2024秋•大冶市期中）已知a为任意有理数，则|a+3|+3|a+5|+2|a﹣7|的最小值为 　26　 ． 【分析】此题可转化为点a到﹣3，﹣5，+7三点的距离之和，画出数轴可知当a与﹣3重合时，三点之间的距离恰好等于﹣5和7之间的距离，此时最小，据此可得出结论． 【解答】解：如图， 由图可知，当a＝﹣3时，|a+3|+3|a+5|+2|a﹣7|最小， 原式＝|﹣3+3|+3|﹣3+5|+2|﹣3﹣7|＝0+6+20＝26． 故答案为：26． 9．（2024秋•海珠区校级期中）已知a+b+c＝0，abc≠0，则代数式的值为 　2或﹣2　 ． 【分析】由已知条件得出a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，再化简式子，再分四种情况讨论：当a＞0，b＞0，c＞0时，当a、b、c中有一正两负时，当a、b、c中有两正一负时，当a＜0，b＜0，c＜0时，分别化简即可． 【解答】解：∵a+b+c＝0，abc≠0， ∴a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a， ∴， 当a＞0，b＞0，c＞0时，原式1+（﹣1）+（﹣1）+1＝﹣2； 当a、b、c中有一正两负时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0， 原式1+1+（﹣1）+1＝2； 当a、b、c中有两正一负时，不妨设a＞0，b＞0，c＜0， 原式1+（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）＝﹣2； 当a＜0，b＜0，c＜0时，原式1+1+1+（﹣1）＝2； 综上，原式的值是2或﹣2， 故答案为：2或﹣2． 10．（2024秋•洪山区期中）设有理数a，b，c，满足a＜0，c＞0，且|a|＜|b|＜|c|，则的最小值为 cab或cab ． 【分析】依据题意，由a＜0，c＞0，且|a|＜|b|＜|c|，再分b＞0和b＜0分别进行讨论，则a＜b＜c，从而﹣a＞﹣b＞﹣c，进而化简即可判断得解． 【解答】解：由题意，①若b＞0， ∵a＜0，c＞0，且|a|＜|b|＜|c|， ∴﹣c＜﹣a＜b． 又∵2|x+a|+2|x﹣b|+3|x+c|＝|x﹣（﹣c）|+|x﹣（﹣c）|+|x﹣（﹣c）|+|x﹣（﹣a）|+|x﹣b|+|x﹣（﹣a）|+|x﹣b|， ∴当x＝﹣a时，2|x+a|+2|x﹣b|+3|x+c|取最小值为：3|﹣a+c|+2|﹣a﹣b|． 又∵a﹣c＜0，b+c＞0， ∴2|x+a|+2|x﹣b|+3|x+c|的最小值为：3c﹣3a+2b+2a＝3c﹣a+2b． ∴的最小值等于（2|x+a|+2|x﹣b|+3|x+c|）的最小值，即为cab． ②若b＜0， ∵a＜0，c＞0，且|a|＜|b|＜|c|， ∴﹣c＜b＜﹣a． 又∵2|x+a|+2|x﹣b|+3|x+c|＝|x﹣（﹣c）|+|x﹣（﹣c）|+|x﹣（﹣c）|+|x﹣b|+|x﹣（﹣a）|+|x﹣b|+|x﹣（﹣a）|， ∴当x＝b时，2|x+a|+2|x﹣b|+3|x+c|取最小值为：2|b+a|+3|b+c|． 又∵a+b＜0，b+c＞0， ∴2|x+a|+2|x﹣b|+3|x+c|的最小值为：﹣2a﹣2b+3b+3c＝b+3c﹣2a． ∴的最小值等于（2|x+a|+2|x﹣b|+3|x+c|）的最小值，即为cab． 综上，的最小值为cab或cab． 故答案为：cab或cab． 压轴突破2 多结论判断（10题） 1．（2024秋•青山区期中）如图，数轴上A，B两点分别表示有理数a，b．则以下结论正确的个数有（　　） ①﹣b＜a＜﹣a＜b；②：③b﹣a＝|a|+|b|；④（a+1）（b﹣3）＜0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据数轴可得，a＜﹣1，b＞3，且1＜|a|＜3＜|b|，再逐一判断每个选项即可． 【解答】解：根据数轴可得，a＜﹣1，b＞3，且1＜|a|＜3＜|b|， 则﹣b＜a＜﹣a＜b， 故选项①符合题意； a＜﹣1＜0，b＞3＞0，则3ab＜0， ∵a2+b2＞0， ∴0， 故选项②不符合题意； ∵a＜0，b＞0， ∴|a|+|b|＝﹣a+b＝b﹣a， ∴b﹣a＝|a|+|b|， 故选项③符合题意； ∵a＜﹣1，b＞9， ∴a+1＜0，b﹣3＞0， ∴（a+1）（b﹣3）＜0， 故选项④符合题意； 综上，符合题意的选项为：①③④，共3个． 故选：C． 2．（2024秋•武汉期中）下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若a为有理数，且a≠0，则|a|＜a2；③若b＜0＜a，且|a|＜|b|，则|a+b|＝|b|﹣|a|，④若a+b+c＜0，ab＞0，c＞0，则|﹣a|＝﹣a，⑤若三个有理数a，b，c满足，则．其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】运用实数相反数、绝对值、平方和大小比较的知识进行逐一辨别、求解． 【解答】解：∵若a、b互为相反数，当a≠b时，； 当a＝b＝0时，无意义， ∴说法①不正确； ∵若a为有理数，且a≠0， 则当0＜|a|≤1时，|a|≥a2； 当|a|＞1时，|a|＜a2， ∴说法②不正确； ∵若b＜0＜a，且|a|＜|b|，则|a+b|＝|b|﹣|a|， ∴说法③正确； ∵若a+b+c＜0，ab＞0，c＞0， ∴a＜0，b＜0， 则|﹣a|＝﹣a， ∴说法④正确； ∵若三个有理数a，b，c满足，则． ∴说法⑤正确， ∴其中正确的有3个， 故选：C． 3．（2024秋•黄梅县期中）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，下列结论：①abc＞0；②a+c﹣b＞0；③；④|a+b|﹣|a﹣c|+|b﹣c|＝﹣2c．正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．②③④ 【分析】根据点在数轴上的位置，判断出数的符号以及数的大小关系，进而判断出式子的符号，即可得出结论． 【解答】解：由图可知：a＜c＜0＜b，|a|＞|c|＞b，a+b＜0，a﹣c＜0，b﹣c＞0， ∴abc＞0，故①正确； a+c﹣b＜0，故②错误； ，故③正确； |a+b|﹣|a﹣c|+|b﹣c|＝﹣a﹣b﹣c+a+b﹣c＝﹣2c，故④正确； 故选：B． 4．（2024秋•南沙区期中）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣c|＝﹣a+c；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】首先判断出b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识一一判断即可． 【解答】解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则 ①ab+ac＞0，故原结论正确； ②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误； ③1﹣1+1＝1，故原结论错误； ④∵a﹣c＜0， ∴|a﹣c|＝﹣a+c，故原结论正确； ⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确． 故正确结论有3个． 故选：B． 5．（2024秋•淮北期中）在数轴上，有理数a，b的位置如图，将a与b的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为a1，a2，a3，a4，a5，且ab＜0，|a|＞|b|．下列结论：①a3＜0；②a1a4＞0；③|a﹣a3|＝|a|﹣|a3|；④|b﹣a|＝2（|a3|+|b|）．其中所有正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据数轴表示数以及绝对值的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：∵ab＜0，|a|＞|b|， ∴a＜0，且距离原点比较远，b＞0，且距离原点比较近， ∴中点所表示的数a3在原点的左侧， ∴a3＜0，∴①正确； 由数轴所表示的数可知a1＜0，a4可能大于0，也可能小于0， ∴a1a4符号不确定，∴②不正确； ∵a＜a3＜0， ∴表示数a的点到表示数a3的点距离既可以表示为a﹣a3，也可以表示为|a|﹣|a3|， ∴|a﹣a3|＝|a|﹣|a3|，∴③正确； ∵a3在原点的左侧，而b在原点右侧， ∴表示数a3的点到表示数b的点距离为|a3|+|b|， ∴a到b的距离为2（|a3|+|b|）， 即：|b﹣a|＝2（|a3|+|b|），∴④正确； 故选：C． 6．（2024秋•蓬溪县校级期中）已知a，b为实数，下列说法： ①若ab＜0，且a，b互为相反数，则； ②若a+b＜0，ab＞0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b； ③若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）是正数； ④若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a； ⑤若a＜b，ab＜0且|a﹣3|＜|b﹣3|，则a+b＞6，其中正确的是 　 　 ． 【分析】根据相反数，绝对值性质以及有理数的运算，逐项进行判断分析即可． 【解答】解：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则，本选项正确； ②若ab＞0，a、b同号，由a+b＜0，则a＜0，b＜0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b；本选项正确； ③若|a|＞|b|，当a＞0，b＞0，则a＞b，a﹣b＞0，a+b＞0，（a+b）（a﹣b）是正数， 当a＞0，b＜0时，a﹣b＞0，a+b＞0，（a+b）（a﹣b）是正数， 当a＜0，b＞0时，a﹣b＜0，a+b＜0，（a+b）（a﹣b）是正数， 当a＜0，b＜0时，a﹣b＜0，a+b＜0，（a+b）（a﹣b）是正数，本选项正确； ④若|a﹣b|+a﹣b＝0，则|a﹣b|＝﹣（a﹣b），a﹣b≤0，a≤b，本选项错误； ⑤若a＜b，a﹣3＜b﹣3，因为ab＜0，所以a＜0，b＞0，当0＜b＜3时，|a﹣3|＜|b﹣3|不符合题意，所以b≥3，3﹣a＜b﹣3，则a+b＞6，本选项正确． 故答案为：①②③⑤． 7．（2024秋•江岸区期中）已知3个多项式分别为：A＝x2+3x，B＝﹣2x2+4，C＝x﹣4． ①A+B+C化简后是二次二项式； ②若mA+B+C的结果为关于x的单项式，则m＝2； ③若关于x的式子A﹣nB﹣3C的结果恒为常数，则该常数为14； ④若，代数式|2A+B|+|﹣2A﹣B+2C|化简后为﹣2x+8． 其中正确的是 　 　 ．（填写序号） 【分析】利用整式的加减法则，绝对值的性质一一化简判断即可． 【解答】解：①A+B+C＝x2+3x﹣2x2+4+x﹣4＝﹣x2+4x，是二次二项式，正确； ②mA+B+C＝m（x2+3x）﹣2x2+4+x﹣4＝（m﹣2）x2+（3m+1）x，由题意m﹣2＝0或3m+1＝0，m＝2或，错误； ③A﹣nB﹣3C＝x2+3x﹣n（﹣2x2+4）﹣3（x﹣4）＝x2+3x+2nx2﹣4n﹣3x+12＝（1+2n）x2﹣4n+12，由题意1+2n＝0，n，所以结果为14，正确； ④|2A+B|+|﹣2A﹣B+2C| ＝|2（x2+3x）﹣2x2+4|+|﹣2（x2+3x）+2x2﹣4+2（x﹣4）| ＝|6x+4|+|﹣4x﹣12|， ∵， ∴上式＝﹣6x﹣4+4x+12＝﹣2x+8，正确． 故答案为：①③④． 8．（2024秋•蔡甸区校级期中）已知3个多项式分别为：A＝3x2+2x+1，B＝x2+2x﹣1，C＝2x+2． ①若|C|＝2，则x＝0； ②无论x取何值，一定都有A＞B； ③若mA+nB+C的值与x无关，则，； ④代数式|A﹣3B|+|C|化简后共有3种不同的表达式． 其中正确的是 　 　 ． 【分析】将A、B、C按要求代入各选项计算即可． 【解答】解：①根据题意可知，C＝±2， 当C＝2时，2x+2＝2， 解得：x＝0， 当C＝﹣2时， 2x+2＝﹣2， 2x＝﹣4， 解得：x＝﹣2，①不正确，不符合题意； ②∵A﹣B＝3x2+2x+1﹣（x2+2x﹣1） ＝3x2+2x+1﹣x2﹣2x+1 ＝2x2+2＞0，故②正确，符合题意； ③mA+nB+C＝m（3x2+2x+1）+n（x2+2x﹣1）+（2x+2） ＝（3m+n）x2+（2m+2n+2）x+（m﹣n+2）， ∵mA+nB+C的值与x无关， ∴2m+2n+2＝0，3m+n＝0， 解得：n＝﹣3m， 即2m﹣6m+2＝0， 解得：，，故③正确，符合题意； ④|A﹣3B|+|C|＝|（3x2+2x+1）﹣3（x2+2x﹣1）|+|2x+2| ＝|﹣4x+4|+|2x+2| ＝4|x﹣1|+2|x+1|， 当x＜﹣1时，原式＝4（1﹣x）﹣2（x+1）＝4﹣4x﹣2x﹣2＝﹣6x+2， 当﹣1≤x＜1时，原式＝4（1﹣x）+2（x+1）＝4﹣4x+2x+2＝﹣2x+6， 当x＞1时，原式＝4（x﹣1）+2（x+1）＝4x﹣4+2x+2＝6x﹣2， 当x＝1时，原式＝4（1﹣x）+2（x+1）＝4﹣4x+2x+2＝﹣2x+6＝﹣2×1+6＝4， ∴代数式|A﹣3B|+|C|化简后共有3种不同的表达式，故④正确，符合题意． 故答案为：②③④． 9．（2024秋•蓬莱区期中）已知a、b为有理数，下列说法：①若a、b互为相反数，则1； ②若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b≥a；③若a+b＜0，ab＞0，则|3a+4b|＝﹣3a﹣4b； ④若|a﹣4|＞1，则a＞5，其中正确的 　 　 ． 【分析】根据0的相反数是0判断①；对条件进行变形，根据绝对值的性质判断②；根据乘法和加法法则确定a＜0，b＜0，由负数的绝对值等于它的相反数判断③；通过分类讨论可判断④． 【解答】解：①若a＝b＝0，则没有意义， 故①错误； ②∵|a﹣b|+a﹣b＝0， ∴|a﹣b|＝b﹣a， ∴b≥a， 故②正确； ③∵a+b＜0，ab＞0， ∴a＜0，b＜0， ∴3a+4b＜0， ∴|3a+4b|＝﹣3a﹣4b， 故③正确； ④若|a﹣4|＞1，则a＞5或a＜3， 故④错误； 故答案为：②③． 10．（2024秋•东西湖区期中）有下列说法： ①若单项式2a3bm+1与3anb3是同类项，则（﹣m）n＝﹣8． ②已知a，b、c是不为0的有理数且a＜0，abc＜0，则的值为﹣2或﹣6． ③已知有理数a，b满足ab≠0，且|a﹣b|＝4a﹣3b，则的值为． ④若|a+3|＝﹣3﹣a，|b﹣2|＝b﹣2，则化简|b+3|﹣|a﹣2|的结果为a+b+1． 其中正确的说法有　 　 ．（请填写序号） 【分析】①根据单项式的定义可得：n＝3，m+1＝3，求出m，n的值，然后再根据有理数的乘方运算法则计算即可； ②根据题意可知，a＜0，由abc＜0可分b＞0，c＞0和b＜0，c＜0两种情况，去掉所求问题中的绝对值，进而得出答案； ③根据已知，可分两种情况分析，当a≥b时；当a＜b时，由绝对值的非负性质结合已知，得出a，b的关系，进而得出答案； ④根据题意，|a+3|＝﹣3﹣a，|b﹣2|＝b﹣2，利用绝对值的非负性质可得：a+3≤0，b﹣2≥0，求出a，b的取值范围，即可判断出b+3，a﹣2的符号，进而得出答案． 【解答】解：①∵单项式2a3bm+1与3anb3是同类项， ∴n＝3，m+1＝3， ∴n＝3，m＝2， ∴（﹣m）n＝（﹣2）3＝﹣8，故①正确； ②∵a＜0，abc＜0， ∴b，c同号， （i）当b＞0，c＞0时，原式， （ii）当b＜0，c＜0时，原式， 综上所述，的值为﹣2或﹣6，故②正确； ③∵ab≠0， ∴a≠0，b≠0， 当a≥b时，|a﹣b|＝a﹣b， ∴a﹣b＝4a﹣3b， ∴3a＝2b， ∴， 当a＜b时，|a﹣b|＝b﹣a， ∴b﹣a＝4a﹣3b， ∴5a＝4b， ∴， ∴的值为或，故③错误； ④∵|a+3|＝﹣3﹣a， ∴a+3≤0， ∴a≤﹣3． ∵|b﹣2|＝b﹣2， ∴b﹣2≥0， ∴b≥2， ∴|b+3|﹣|a﹣2| ＝b+3﹣（﹣a+2） ＝b+3+a﹣2 ＝a+b+1，故④正确， 综上所述，其中正确的说法有①②④． 故答案为：①②④． 压轴突破3 代数式求值（5题） 1．（2024秋•歙县期中）若x＝1时，式子ax3+bx+7的值为4．则当x＝﹣1时，式子ax3+bx+7的值为（　　） A．7 B．10 C．11 D．12 【分析】首先根据x＝1时，式子ax3+bx+7的值为4，求出a+b的值是多少；然后应用代入法，求出当x＝﹣1时，式子ax3+bx+7的值为多少即可． 【解答】解：x＝1时， ax2+bx+7 ＝a+b+7 ＝4， ∴a+b＝﹣3， 当x＝﹣1时， ax3+bx+7 ＝﹣a﹣b+7 ＝﹣（a+b）+7 ＝﹣（﹣3）+7 ＝10． 故选：B． 2．（2024秋•瑶海区校级期中）已知m+n＝﹣2，mn＝4，则2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn）的值是（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣32 D．32 【分析】将代数式去括号、合并同类项后变形为5mn﹣6（m+n），再整体代入计算求值即可． 【解答】解：∵m+n＝﹣2，mn＝4， ∴2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn） ＝2mn﹣6m﹣6n+3mn ＝2mn+3mn﹣6m﹣6n ＝5mn﹣6（m+n） ＝5×4﹣6×（﹣2） ＝20+12 ＝32， 故选：D． 3．（2024秋•武昌区期中）有一数值转换器，原理如图，若开始输入x的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，…，请你探索第2024次输出的结果是（　　） A．8 B．4 C．2 D．1 【分析】根据题意得出从第二次开始，每3次一循环，结合（2024﹣1）÷3＝674…1即可得解． 【解答】解：若开始输入x的值是5，可发现 第一次输出的结果是8， 第二次输出的结果是4， 第三次输出的结果是2， 第四次输出的结果是1， 第五次输出的结果是4， 第六次输出的结果是2， 第七次输出的结果是1， 第八次输出的结果是4， 第九次输出的结果是2， 第十次输出的结果是1， …， 故从第二次开始，每3次一循环， ∵（2024﹣1）÷3＝674…1， ∴第2024次输出的结果是4， 故选：B． 4．（2024秋•蜀山区校级期中）七年级的小西看到读高三的姐姐在解一道高考题，姐姐做不出，正在苦思冥想，小西凑上去说：姐姐，这个题太简单了我会做，随后说出了答案． 题目如下：（2x﹣1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 （1）当x＝0时，a0＝ 　 　 ； （2）a2+a4＝ 　 　 ． 【分析】（1）把x＝0代入等式中即可求出a0的值； （2）当x＝1时得出a1+a2+a3+a4+a5＝1﹣（﹣1）＝1+1＝2①，当x＝﹣1时得出﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝﹣243﹣（﹣1）＝﹣243+1＝﹣242②，两式相加即可得出答案． 【解答】解：（1）当x＝0时，， 故答案为：﹣1； （2）由（1）知a0＝﹣1， 当x＝1时，， 即a1+a2+a3+a4+a5＝1﹣（﹣1）＝1+1＝2①， 当x＝﹣1时，， 即﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝﹣243﹣（﹣1）＝﹣243+1＝﹣242②， ①+②，得2a2+2a4＝﹣240， 所以a2+a4＝﹣120， 故答案为：﹣120． 5．（2024秋•十堰期中）已知（1+2x）7＝a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，求a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7＝ 　 ． 【分析】首先令x＝0，求出a0的值，再令x＝1，求a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值，再用a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7减a0即可求出a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值． 【解答】解：已知， 当x＝0时，（1+0）7＝a0， 即a0＝1， 当x＝1时，（1+2）7＝a0+a1+a2+⋯+a7， 即， ∴a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7＝2187﹣1＝2186， 故答案为：2186． 压轴突破4 整式加减的应用（5题） 1．（2024秋•嘉定区期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．4n B．4m C．2（m+n） D．4（m﹣n） 【分析】设小长方形卡片的长为a，宽为b，结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们加起来即可求出答案． 【解答】解：设小长方形卡片的长为a，宽为b， ∴L上面的阴影＝2（n﹣a+m﹣a）， L下面的阴影＝2（m﹣2b+n﹣2b）， ∴L总的阴影＝L上面的阴影+L下面的阴影 ＝2（n﹣a+m﹣a）+2（m﹣2b+n﹣2b） ＝4m+4n﹣4（a+2b）， 又∵a+2b＝m， ∴4m+4n﹣4（a+2b） ＝4n． 故选：A． 2．（2024秋•方城县期末）将8张长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图1和图2所示的两种方式放在长方形ABCD内（相邻的小长方形既无重叠，又不留空隙）．图1中两块阴影部分的周长和为C1，图2中阴影部分的周长为C2．若长方形ABCD的长比宽大（a﹣b），则C1﹣C2的值为（　　） A．2a+b B．2a+2b C．3a+b D．3a+2b 【分析】将图1拆成两个长方形，计算出长方形的宽为a+5b，再求得长方形的长为2a+4b，用a，b表示出C1，C2，即可解决问题． 【解答】解：将图1拆成两个长方形，可知，宽为a+5b， 则长为a+5b+a﹣b＝2a+4b， 根据题意知， C1﹣C2＝2（2a+4b﹣a﹣3b）＝2a+2b． 故选：B． 3．（2024秋•硚口区期中）如图，在一个长方形中从左至右依次放置四个正方形，其边长分别为a，a，b，c，且a＜b＜c，则图中左上角阴影部分图形周长与右下角阴影部分图形周长的差是 　 ． 【分析】设重叠部分的小长方形的长与宽分别为x和y，依次表示图上阴影部分的各边的长，从而利用周长公式可得答案． 【解答】解：设重叠部分的小长方形的长与宽分别为x和y， 则右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为： 2（2a+b﹣x）+2（b+c﹣y﹣a）﹣2（b﹣y）﹣2（c﹣x） ＝4a+2b﹣2x+2b+2c﹣2y﹣2a﹣2b+2y﹣2c+2x ＝2a+2b． 故答案为：2a+2b． 4．（2024秋•南京期中）现有四张图①中的形状大小完全相同的小长方形卡片，将它们按图②方式不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部，盒底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若两块阴影部分的周长和为l，则盒子底面边的长度m为　 　 （用含l的式子表示）． 【分析】根据题意，设图①中长方形的长和宽，则可表示出图②中阴影部分的边长，利用两块阴影部分的周长和为l，得到结果． 【解答】解：设图①中小长方形的长为a，宽为b， ∴图②中右上边的阴影为长方形，长为a，宽为（m﹣2b）， 左下边的阴影也为长方形，长为2b，宽为（m﹣a）， ∵两块阴影部分的周长和为l， ∴2[a+（m﹣2b）+2b+（m﹣a）]＝l， ∴2（a+m﹣2b+2b+m﹣a）＝l， ∴4m＝l， ∴m． 故答案为：． 5．（2024秋•广州期中）如图，在一个长方形中放入A1、A2、A3三个正方形，边长分别为x、y、3，则右下角阴影部分C2的周长与左上角阴影部分C1的周长之差为 　 　 ． 【分析】设重叠部分的小长方形的长与宽分别为a和b，依次表示图上阴影部分的各边的长，从而利用周长公式可得答案． 【解答】解：设重叠部分的小长方形的长与宽分别为a，b， ∴右下角阴影部分C2的周长与左上角阴影部分C1的周长之差为： 2（x﹣a）+2（3+y﹣b）﹣2（y﹣a）﹣2（x﹣b） ＝2x﹣2a+6+2y﹣2b﹣2y+2a﹣2x+2b ＝6． 故答案为：6． 压轴突破5 数字的变化规律（10题） 1．（2024秋•武汉期中）已知数列4，7，10，13，16，…，将其中的各项依次按一项、二项、三项、四项循环的方式进行分组：（4），（7，10），（13，16，19），（22，25，28，31），（34），（37，40），（43，46，49），（52，55，58，61），（64），…，那么第116个括号内的各数之和是（　　） A．3460 B．3466 C．3496 D．3508 【分析】先根据所给数列，用n表示出这列数中的第n个数，再根据所给循环方式得出第116个括号内数的个数，最后分别求出括号内的各数再相加即可． 【解答】解：由题知， 因为4＝1×3+1，7＝2×3+1，10＝3×3+1，…， 所以这列数中的第n个数可表示为3n+1． 又因为括号内数的个数按1，2，3，4循环， 所以116÷4＝29， 则第116个括号内数的个数为4． 因为29×（1+2+3+4）＝290， 即第116个括号内的最后一个数是这列数中的第290个数． 当n＝290时， 3n+1＝871， 所以第116个括号内的四个数分别为：862，865，868，871， 所以862+865+868+871＝3466， 即第116个括号内的各数之和是3466． 故选：B． 2．（2024秋•庐阳区校级期中）观察一列数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，﹣128，256，﹣512…将这列数排成如图所示的形式，则第8行第10个数是（　　） A．﹣259 B．﹣289 C．289 D．259 【分析】观察一列数，发现第n个数为（﹣2）n，根据图示可知，第8行第10个数是第59个数，即可得到答案． 【解答】解：一列数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，﹣128，256，﹣512．．．， ∴第n个数为（﹣2）n， 根据图示可知，第1行1个数， 第2行3个数， 第3行5个数， ……， ∴第7行13个数， ∴前7行的总个数为1+3+5+7+9+11+13＝49个， ∴第8行第10个数是第49+10＝59个数， ∴第8行第10个数是（﹣2）59＝﹣259， 故选：A． 3．（2024秋•花都区期中）观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，…，通过观察，找出规律，确定32025的个位数字是（　　） A．3 B．9 C．7 D．1 【分析】由题意得3n的个位数出现规律为3、9、7、1四次一循环的规律，而2025÷4＝506…1，故可选得此题的准确答案． 【解答】解：由题意得3n的个位数出现规律为3、9、7、1、…四次一循环的规律， 而2025÷4＝506…1， ∴32025的个位数字是3， 故选：A． 4．（2024秋•无为市期中）已知m是不为1的有理数，我们把称为m的“差倒数”．例如：2的“差倒数”是，﹣1的“差倒数”是．如果m1＝﹣1，m2是m1的“差倒数”，m3是m2的“差倒数”，…，依此类推，那么m2024的值为（　　） A．﹣1 B． C．2 D． 【分析】分别求出m1＝﹣1，，m3＝2，m4＝﹣1，，可以找到规律，每三个数是一组循环，则． 【解答】解：∵m1＝﹣1，m2是m1的“差倒数”， ∴， ∵m3是m2的“差倒数”， ∴， ∵m4是m3的“差倒数”， ∴， ∵m5是m4的“差倒数”， ∴， ……， ∴每三个数﹣1、、2是一组循环， ∵2024÷3＝674…2， ∴， 故选：B． 5．（2024秋•合肥期中）一列数a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣2，，，…，，则a1+a2+a3+⋯+a2023+a2024＝（　　） A． B． C．﹣112 D．﹣114 【分析】通过计算发现，这列数从a1开始，以﹣2，，这三个数字为一个周期依次循环，据此计算即可． 【解答】解：∵a1＝﹣2， ∴a2， a3， a4＝﹣2， …， ∴三个数字一循环． ∵a1+a2+a3＝﹣2，2024÷3＝674余2 ∴a1+a2+a3+⋯+a2023+a2024＝674（﹣2）114． 故选：D． 6．（2024秋•南京期中）一组数：，根据这个规律，第n个数是　　 （n为正整数）．（用含n的代数式表示） 【分析】根据所给各数，观察其分子及分母的变化，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给各数可知， 第奇数个数是负数，第偶数个数是正数， 所以第n个数的符号为：（﹣1）n； 所给各数的分子依次为：2，6，12，20，30，…， 所以第n个数的分子可表示为：n（n+1）； 所给各数的分母依次为：3，5，9，17，33，…， 所以第n个数的分母可表示为：2n+1， 所以第n个数可表示为：． 故答案为：． 7．（2024秋•庐阳区校级期中）将一些数按如下规律排列： 第一列，第二列，第三列，第四列，第五列… 第一行：2； 第二行：6，10； 第三行：14，18，22； 第四行：26，30，34，38； 第五行：42，46，50，54，58； … （1）第六行第2列上的数为　 　 ； （2）第m（m≥2）行第（m﹣1）列上的数为　 ． 【分析】（1）根据所给各数的排列方式，发现第a行有a个数，且这些数从2开始，依次增加4，据此可解决问题． （2）结合（1）中发现的规律即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 因为第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，…， 所以第a行有a个数， 则前a行数的总个数为：1+2+3+…+a． 又因为这些数依次为2，6，10，14，18，…， 所以这些数的第b个数可表示为4b﹣2． 令a＝5得， ， 令b＝15得，4b﹣2＝4×15﹣2＝58， 所以第五行的第5列上的数为58， 则第六行第2列上的数为：58+4+4＝66． 故答案为：66． （2）由（1）知， 前m行一共有个数， 则第m行的第m个数可表示为：2m2+2m﹣2， 则第m行的第（m﹣1）个数可表示为：2m2+2m﹣6． 故答案为：2m2+2m﹣6． 8．（2024秋•白云区校级期中）观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8，……将这列数排成下列形式： 按照上述规律排下去，那么数﹣201是第　 　 行从左边数第　 　 个数． 【分析】根据数的排列，每一行的最后一个数的绝对值等于行数的平方，并且奇数都是负数，偶数都是正数，每行数的个数是奇数为2n﹣1个数，即可得解． 【解答】解：每行最后一个数为行数的平方，每行有（2n﹣1）个数， 1+3+5+7+…+（2n﹣1）＝n2， ∵142＝196，201﹣196＝5， ∴数﹣201是第15行从左边数第5个数； 故答案为：15，5． 9．（2024秋•武汉期中）观察下列三行数，回答下面的问题： 1，﹣3，5，﹣7，9，﹣11，…； ① 3，﹣1，7，﹣5，11，﹣9，…； ② ﹣3，9，﹣15，21，﹣27，33，…； ③ 取每一行的第n个数，分别记为a，b，c．例如当n＝2时，a＝﹣3，b＝﹣1，c＝9． （1）当n＝7时，请直接写出a，b，c的值分别为 　 　 ； （2）取每行数中的第n个数，是否存在a，b，c三个数的和等于19？如果存在，请你求出a的值，如果不存在，请说明理由； （3）在第②行中，是否存在连续的三个数的和是﹣95，若存在，求出这三个数；若不存在，请说明理由： （4）若m＝a+b+c，则a，b，c中最大数和最小数的差是 　 .（请用含m的式子表示）． 【分析】（1）从所给的数可得：第①行的第n个数为：（﹣1）n+1×（2n﹣1）；第②行的数比第①行相应位置的数加2，则有第n个数为：（﹣1）n+1×（2n﹣1）+2；第③行的数为第①行的数的﹣3倍，即第n个数为：﹣3×（﹣1）n+1×（2n﹣1），据此解答即可； （2）可设这三个数分别为a，a+2，﹣3a，再根据a，b，c三个数的和为19求出a的值，再根据第①列数的规律判断a的值合不合题意即可； （3）设这三个数中第一个数为x，然后分n为奇数和n为偶数两种情况求出第一个数，然后判断是否符合题意即可； （4）分n为奇数和n为偶数两种情况讨论即可． 【解答】解：（1）①的规律为：（﹣1）n+1×（2n﹣1），则第7个数是13； ②的规律为：每个数是第①对应数加2，即（﹣1）n+1×（2n﹣1）+2，则第7个数是15； ③的规律为：每个数是第①对应数的﹣3倍，即﹣3×（﹣1）n+1×（2n﹣1），则第7个数是﹣39； 故答案为：13，15，﹣39； （2）依题意设这三个数分别为a，a+2，﹣3a， a，b，c三个数的和为a+a+2+（﹣3a）＝19， 解得a＝﹣17， ∵2n﹣1＝17， 解得n＝9， ∵第一行第9个数为正数， ∴a＝﹣17不符合题意，舍去， 故不存在a，b，c三个数的和为19； （3）依题意设这三个数中第一个数为x， ①当n为奇数时，后两个数分别为﹣x+2，x+4， 则x+（﹣x+2）+x+4＝﹣95，即x＝﹣101；（不符合题意，舍去）， ②当n为偶数时，后两个数分别为﹣x+6，x﹣4， 则x+（﹣x+6）+x﹣4＝﹣95，即x＝﹣97； 综上所述，在第②行中，存在连续三个数的和是﹣95， 这三个数分别为﹣97，103，﹣101； （4）依题意b＝a+2，c＝﹣3a，m＝a+b+c＝2﹣a，即a＝2﹣m， ①当n为奇数时， 则a，b，c中最大数和最小数的差是：b﹣c＝a+2﹣（﹣3a）＝4a+2＝4（2﹣m）+2＝10﹣4m． ②当n为偶数时，则a，b，c中最大数和最小数的差是：c﹣a＝﹣3a﹣a＝﹣4a＝﹣4（2﹣m）＝﹣8+4m． 综上所述，a，b，c中最大数和最小数的差是10﹣4m或﹣8+4m， 故答案为：10﹣4m或﹣8+4m． 10．（2024秋•蕲春县期中）【基础演练】：观察下列等式： 1，，， 将以上三个等式两边分别相加得： 11． （1）猜想并写出； 　 ． （2）直接写出下列各式的计算结果； ① 　 ； ② 　 　 ． 【举一反三】：（3）探究并计算：． 【拓广探索】：（4）为了求1+2+22+23+…+22024的值，可令S＝1+2+22+23+…+22024，则2S＝2+22+23+…+22025，因此2S﹣S＝22025﹣1，所以1+2+22+23+…+22024＝22025﹣1． 仿照上面推理计算：求1+5+52+53+…+52024的值． 【分析】（1）根据可得出答案； （2）①依题意得①，由此可得出答案； ②，由此可得出答案； （3）依题意得，进而可得出答案； （4）设S＝1+5+52+53+…+52024，则5S＝5+52+53+54+…+52024+52025，进而得5S﹣S＝52025﹣1，由此可得出答案． 【解答】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （3） ； （4）设S＝1+5+52+53+…+52024， ∴5S＝5+52+53+54+…+52024+52025， ∴5S﹣S＝52025﹣1， ∴S， ∴1+5+52+53+…+52024． 压轴突破6 图形的变化规律（10题） 1．（2024秋•蜀山区校级期中）小明和小伙伴利用若干台无人机操作，按照某种规律摆出自己家乡合肥的拼音缩写．第一次摆出的图形如图1，第二次摆出的图形如图2，第三次摆出的图形如图3，…按照这种规律，需要越来越多的无人机，第100次需要（　　）架无人机． A．614 B．608 C．600 D．618 【分析】根据观察，第n次需要无人机2n﹣1+2（n+2）+2（n+2）+n＝（7n+7）架，由此得到答案． 【解答】解：由题意可知，第1次需要无人机2（3×3﹣2）＝14架， 第2次需要无人机2（3×4﹣2）＝20架， 第3次需要无人机2（3×5﹣2）＝26架， ……， 第n次需要无人机2[3（n+2）﹣2]＝（6n+8）架， ∴第100次需要6×100+8＝608架无人机， 故选：B． 2．（2024秋•越秀区校级期中）如图图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，……则第⑫个图形中五角星的个数为（　　） A．242 B．288 C．300 D．338 【分析】先根据题意求找出其中的规律，即可求出第⑫个图形中五角星的个数． 【解答】解：第①个图形一共有2个五角星， 第②个图形一共有：2+（3×2）＝8（个）五角星， 第③个图形一共有8+（5×2）＝18（个）五角星， …， 第n个图形一共有： 1×2+3×2+5×2+7×2+…+2（2n﹣1） ＝2[1+3+5+…+（2n﹣1）]， ＝[1+（2n﹣1）]×n ＝2n2， 则第⑫个图形一共有： 2×122＝288（个）五角星； 故选：B． 3．（2024秋•白云区校级期中）云南少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到追求独立与个性的设计师的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案，如图，第①个图案由4个组成，第②个图案由7个中组成，第③个图案由10个中组成，…，按此规律排列下去，第100个图案中的个数为（　　） A．303 B．299 C．300 D．301 【分析】根据所给图形总结规律即可． 【解答】解：∵第1个图案由4个基础图形组成， 第2个图案由7个基础图形组成，即7＝4+3＝4+3×1， 第3个图案由10个基础图形组成，10＝4+3+3＝4+3×2， ∴第n个图案中基础图形的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1， ∴第100图案中的个数为3×100+1＝301， 故选：D． 4．（2024秋•汉阳区期中）如图，每个图案按规律摆放，按此规律摆放到第n个图案，若第n个图案中的“★”个数正好等于第n个图案中“◎”的个数的2倍，正整数n的值为 　 　 ． 【分析】根据所给图形，依次求出图形中“★”和“◎”的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图案中“★”的个数为：1＝1，“◎”的个数为：3＝1×3， 第2个图案中“★”的个数为：3＝1+2，“◎”的个数为：6＝2×3， 第3个图案中“★”的个数为：6＝1+2+3，“◎”的个数为：9＝3×3， …， 所以第n个图案中“★”的个数为1+2+3+…+n个，“◎”的个数为3n个． 因为第n个图案中的“★”个数正好等于第n个图案中“◎”的个数的2倍， 所以， 解得n＝0或11， 又因为n为正整数， 所以n＝11． 故答案为：11． 5．（2024秋•武汉期中）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第一幅图形中“●”的个数为a1，第二幅图形中的“●”个数为a2，第三幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则an﹣an﹣1＝ 　 　 .（用n的代数式表示，n≥2） 【分析】根据所给图形，依次求出a1，a2，a3，…，并进一步求出a2﹣a1，a3﹣a2，…，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， a1＝3，a2＝8，a3＝15，a4＝24，…， 所以a2﹣a1＝8﹣3＝5，a3﹣a2＝15﹣8＝7，a4﹣a3＝24﹣15＝9，…， 由此可见，an﹣an﹣1＝2n+1． 故答案为：2n+1． 6．（2024秋•巴彦县期中）如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，摆成第6个图案需要棋子的个数为 　 　 ． 【分析】根据图形的变化归纳出第n个图案需要棋子个数为：n2+n+1，再把n＝6代入n2+n+1，即可求解． 【解答】解：由图知，第1个图案中棋子的个数为3＝12+1+1， 第2个图案中棋子的个数为7＝22+2+1， 第3个图案中棋子的个数为13＝32+3+1， 第4个图案中棋子的个数为21＝42+4+1， ……， 第n个图案需要棋子个数为n2+n+1， 第6个这样的图案需要棋子个数为n2+n+1＝36+6+1＝43， 故答案为：43． 7．（2024秋•庐阳区校级期中）如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子放的位置为第1列第1排，第二颗棋子放的位置为第2列第1排，第三颗棋子摆放的位置为第2列第2排…”，按此规则摆放在第2024颗棋子是第 　 　 列第 　 　 排的． 【分析】从左到右，第1列至第2n﹣2列，棋子数分别为：1，2，3，3，4，4，5，5，...，n，n；计算出第2024颗棋子所在的列数和排数即可． 【解答】解：前2n﹣2列（包含第2n列，n≥3）总的棋子数为： 1+2+3+3+4+4+5+5+...+n+n2﹣3＝n2+n﹣3， ∵44×45﹣3＝1980﹣3＝1977，45×46﹣3＝2070﹣3＝2067， ∴1977＜2024＜2067， 2×44﹣2＝86， ∴前86列（包含第86列）总的棋子数为：1977个棋子； ∴前87列（包含第87列）总的棋子数为：1977+45＝2022个棋子； 2024﹣2022＝2， ∴第2024颗棋子是第88列2排． 故答案为：88，2． 8．（2024秋•锡山区期中）某沿路护栏纹饰部分设计成若干个相同的菱形图案，如图所示，每个菱形的横向对角线长为30cm，每增加一个菱形图案，纹饰长度增加20cm，当菱形图案的总个数为2023时，该纹饰总长度L为 　 　 ． 【分析】根据题意可知，第一个菱形横向对角线长为30cm，以后每增加一个就加20cm，当菱形图案的总个数为2023时，故增加的菱形图案为2022故增加的长度为2022×20，然后求解计算即可． 【解答】解：∵每个菱形的横向对角线长为30cm，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加20cm， ∴当菱形图案的总个数为2023时，L＝30+2022×20＝40470． 故答案为：40470． 9．（2024秋•天河区校级期中）如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n是正整数，且n＞1）个点，相应的图案中总的点数记为an，则 　　 ． 【分析】先由特殊到一般得到an＝3n﹣3，把原式化为，再进一步计算即可． 【解答】解：由图示可知：每个边上有n个点时的点数为3n﹣3， 即an＝3n﹣3， ∴ ； 故答案为：． 10．（2024秋•庐阳区校级期中）如图，通过观察，小翰同学发现可以用这样的方法确定每个图形中小正方形的总个数：图（1）中有1个小正方形，图（2）中共有1+8＝32个小正方形，图（3）中共有1+8+16＝52个小正方形，回答下列问题． （1）根据前三个图中计算小正方形的总个数的方法和规律，则图（4）中计算小正方形个数的等式是：　 ； （2）根据规律，图（45）比图（44）多 　 个小正方形； （3）根据每个图中计算小正方形总个数的方法和规律，计算：1+8+16+⋯+80． 【分析】（1）据前三个图形中小正方形个数的变化可找出变化规律即可求出结论； （2）根据各图形中小正方形个数的变化，可找出变化规律，第n个图形中有小正方形的个数为（2n﹣1）2个．后将n＝45，n＝44代入即可求解； （3）利用（2）的规律即可求解． 【解答】解：（1）由题意得1+8+16+24＝72； 故答案为：1+8+16+24＝72； （2）图（1）有12个小正方形， 图（2）有32个小正方形， 图（3）有52个小正方形， ……， 图（n）有（2n﹣1）2个小正方形， （2×45﹣1）2﹣（2×44）2＝892﹣872＝352； 故答案为：352； （3）1+8+16+⋯+80＝1+8×1+8×2+8×3+…8×10＝（2×11﹣1）2＝441． 压轴突破7 幻方问题（5题） 1．（2024秋•洪山区期中）请将数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，2，3，6，9，10填入图中，使每条边上四个数之和都相等．则m的值为（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．﹣2 D．3 【分析】设第2行第3个数为x，则可用x表示出第3行第2个数为x﹣5，这两个数的差为x﹣（x﹣5）＝5，从已知的10个数字去掉图中已填的数字得到剩下4个数，其中相差5的两个数即为x和x﹣5，再根据每条边上四个数之和都相等即可求出m． 【解答】解：设第2行第3个数为x，则第3行第2个数为（10﹣4+x+m）﹣（9+2+m）＝x﹣5，这两个数的差为x﹣（x﹣5）＝5， 数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，2，3，6，9，10中除去已填的6，10，﹣4，2，9，﹣1外，剩下的数为﹣5，﹣3，﹣2，3， 其中只有3﹣（﹣2）＝5， ∴x＝3，x﹣5＝﹣2， ∴每条边上四个数之和为6+3﹣2﹣1＝6， ∴m＝6﹣10﹣（﹣4）﹣3＝﹣3， 故选：B． 2．（2024秋•东西湖区期中）图1是我国古代传说中的“洛书”，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会、流传下来收入《尚书》中，名《洪范》，《易•系辞上》说：“河出图．洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中．使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3中：若A＝a，B＝2a﹣1，C＝9a+7，整式F是（　　） A．﹣4a+5 B．﹣4a﹣5 C．﹣5a﹣4 D．﹣5a+4 【分析】由每一横行三个数的和是E的3倍，可找出整式E是4a+2，由第一横行和对角线上的三个数之和相等，可得出整式I是7a+4，再由第一横行和第三竖列上的三个数之和相等，可求出整式F是﹣4a﹣5． 【解答】解：根据题意得：3E＝A+B+C， ∴3E＝a+2a﹣1+9a+7， ∴E＝4a+2， ∴I＝B+C﹣E＝2a﹣1+9a+7﹣（4a+2）＝7a+4， ∴F＝A+B﹣I＝a+2a﹣1﹣（7a+4）＝﹣4a﹣5． 故选：B． 3．（2024秋•襄州区期中）幻方，又称纵横图．如图1是由数字1～9九个整数按照一定的规律排列成三行三列的一个方阵，每一横行、每一竖列以及两条斜线上的数的和都相等．如图2所示的幻方中给出了三个数，则P处应该填的数字是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】设P处应该填的数字是x，幻方中右上角的数字是a，根据每一横行、每一竖列上的数的和都相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设P处应该填的数字是x，幻方中右上角的数字是a， 根据题意得：﹣1+4+a＝a+2+x， 解得：x＝1， ∴P处应该填的数字是1． 故选：C． 4．（2024秋•汉川市期中）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1），“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． 如图3，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将﹣11，﹣9，﹣7，﹣5，﹣3，﹣1，2，4，6，8，10，12．这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用）．使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则mn的值为（　　） A．﹣10 B．11 C．﹣10或11 D．﹣11或10 【分析】因为每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2，易得m＝﹣1；结合选项，则中间的正方形的顶点不能为﹣11，10，则中间的正方形的未知顶点为﹣7，6；从而得到n＝10或﹣11，所以mn＝﹣10或11． 【解答】解：根据题意，m+4+2+（﹣3）＝2， m+6﹣3＝2， 解得：m＝﹣1； 12个数中，还余下﹣7，6，﹣11，10， 结合选项，则中间的正方形的顶点不能为﹣11，10， ∵8﹣5﹣7+6＝2， ∴中间的正方形的未知顶点为：﹣7，6； ∴n＝10或﹣11， ∴mn＝﹣1×10＝﹣10或mn＝﹣1×（﹣11）＝11． 故选：C． 5．（2024秋•惠山区校级期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将﹣4，8，﹣12，16，﹣20，24，﹣28，32分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则m+n的值为（　　） A．﹣12或﹣24 B．﹣4或﹣16 C．4或﹣4 D．4或﹣32 【分析】根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为8，再由已经填写的数，确定m＝﹣20n＝﹣4或n＝8，即可求解． 【解答】解：∵﹣4+8﹣12+16﹣20+24﹣28+32＝16， ∴由横线得：32+m+24+（﹣28）＝8， ∴m＝﹣20， 如图，设空白位置两个数分别为a、b， ∴16+24+（﹣20）+a＝8， 解得：a＝﹣12， ∵n+（﹣12）+16+b＝8，即n+b＝4， ∴n＝﹣4或n＝8， 当n＝﹣4时，b＝8，此时m+n＝﹣20﹣4＝﹣24， 当n＝8时，b＝﹣4，此时m+n＝﹣20+8＝﹣12． 故选：A． 压轴突破8 进制问题（5题） 1．（2024秋•旌阳区期中）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0、1，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干2n数的和，依次写出1或0即可．如：21（10）＝1×24+0×23+1×22+0×21+1＝10101（2），则十进制数30是二进制下的（　　） A．11101 B．10111 C．11110 D．11100 【分析】此题只需估计最高位是乘以2的几次方，由y＝25＝32＞30，24＝16＜30，再逐步确定即可． 【解答】解：． 故选：C． 2．（2024秋•荔湾区校级期中）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），是逢2进1的计数制，它们两者之间可以互相换算，如将（101）2换算成十进制数应为．按此方式，（101）2+（1111）2＝ 　 　 ． 【分析】根据已知，从个位数字起，将二进制的每一位数分别乘以20，21，22，23，再把所得结果相加即可得． 【解答】解：（101）2+（1111）2 ＝1×22+0×21+1×20+1×23+1×22+1×21+1×20 ＝5+15 ＝20． 故答案为：20． 3．（2024秋•黄埔区期中）我们平常使用的是十进制数，例如1354这个数可以写成1×103+3×102+5×101+4×100，a0＝1（a≠0）．十进制外还有其它进制，都可以和十进制互相转化，例如2进制数1011转化成十进制为1×23+0×22+1×21+1×20＝8+2+1＝11，二进制数10011转化成十进制数为 　 　 ． 【分析】根据题意得出二进制与十进制的转换方法，计算即可得到结果． 【解答】解：10011＝1×24+0×23+0×22+1×21+1 ＝16+0+0+2+1 ＝19． 故答案为：19． 4．（2024秋•安庆期中）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如：十进制中26，用十六进制表示为1A，具体转化方法：26÷16＝1⋯⋯10（对应十六进制A）；十进制中123用十六进制表示为7B，具体转化方法：123÷16＝7⋯⋯11（对应十六进制B）．由上可知，在十六进制中6C＝ 　 　 （运算结果用十进制表示）；在十进制中2024＝ 　 　 （运算结果用十六进制表示）． 【分析】根据十六制与十进制的换算方法计算即可． 【解答】解：十六进制数6C转换成十进制数为：6×16+12＝108； 十进制数2024转换成十六进制数方法： 2024÷16＝126⋯⋯8（对应十六进制8）， 126÷16＝7⋯⋯14（对应十六进制E）， ∴十进制数2024转换成十六进制数为7E8． 故答案为：108，7E8． 5．（2024秋•夷陵区期中）国际数学教育大会（ICME）是全球数学教育水平最高，规模最大的学术盛会．ICME﹣14于2021年在上海举行，如图（1）是大会会标，蕴含很多中国传统数学文化元素．如图（2）是我国古老的八卦图案．八卦可以用来表示二进制数，其中“”表示0，“”表示1，则数“”可以记作（110100）2，转换成十进制数就是1×25+1×24+0×23+1×22+0×2+0×1＝52．将图（1）中数“”写成二进制数是（ 　 　 ）2；将数“”转换成十进制数是 　 　 ． 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：0×211+1×210+1×29+1×28+1×27+1×26+1×25+0×24+1×23+0×22+0×21+0×20 ＝0+1024+512+256+128+64+32+0+8+0+0+0 ＝2024， 故答案为：2024． 压轴突破9 新定义问题（10题） 1．（2024秋•丹江口市期中）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位数字不为零，且它正好等于其个位和十位上数字和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”．例如：27就是一个“3喜数”，因为27＝3×（2+7）；25就不是一个“n喜数”，因为25≠（2+5）n．小江发现个位数字是十位数字2倍的两位数都是“n喜数”，则n的值为（　　） A．2 B．4 C．2或4 D．8 【分析】设十位数字为a，则个位数字为2a，根据题意列出方程即可求解． 【解答】解：设十位数字为a（a≠0），则个位数字为2a， ∴10a+2a＝n（a+2a）， 那么有12a＝3an， ∴n＝4， 故选：B． 2．（2024秋•梁溪区校级期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取n＝26，则： 若n＝49，则第2024次“F运算”的结果是（　　） A．152 B．19 C．62 D．49 【分析】根据运行的框图依次计算，发现其运算结果的循环规律：6次一循环，再计算求解即可． 【解答】解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n＝49为奇数应先进行F①运算， 即3×49+5＝152（偶数）； 需再进行F②运算，即152÷23＝19（奇数）； 再进行F①运算，得到3×19+5＝62（偶数）； 再进行F②运算，即62÷21＝31（奇数）； 再进行F①运算，得到3×31+5＝98（偶数）； 再进行F②运算，即98÷21＝49； 再进行F①运算，得到3×49+5＝152（偶数）；…， 则6次一循环， 2024÷6＝337……2， 则第2024次“F运算”的结果是19． 故选：B． 3．（2024秋•老城区期中）定义一种新运算，规定：a⊕b＝3a﹣b，若a⊕（﹣6b）＝﹣2，请计算（2a+b）⊕（2a﹣5b）值为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4 【分析】根据定义的新运算，求出a+b的值；再对（2a+b）⊕（2a﹣5b）进行运算，转化成关于a+b的形式，即可求出结果． 【解答】解：∵a⊕（﹣6b） ＝3a﹣（﹣6b） ＝3a+6b， ∴3a+6b＝﹣2， ∴a+2b＝﹣23． 则：（2a+b）⊕（2a﹣5b） ＝3（2a+b）﹣（2a﹣5b） ＝6a+3b﹣2a+5b ＝4a+8b ＝4（a+2b） ＝4×（） ＝﹣3， 故选：B． 4．（2024秋•武昌区期中）已知：[x]表示不超x的最大整数．例如：[2.3]＝2，[﹣1.8]＝﹣2．令关于k的等式（k是整数）．例如：，则下列结论正确的有　 　 （填序号）． ①f（1）＝0；②f（k+4）＝f（k）；③f（k）≤f（k+1）；④f（k）＝0或1． 【分析】根据新定义的运算逐项进行计算即可做出判断． 【解答】解：由题意例如：可得： ，故①正确， ， 而， ∴f（k+4）＝f（k），故②正确， 设n为正整数， 当k＝4n时，， 当k＝4n+1时，， 当k＝4n+2时，， 当k＝4n+3时，， 所以f（k）＝0或1，故④正确， 由③可得：当k＝4n，k＝4n+1时， f（k）＝0，f（k+1）＝0， 此时f（k）＝f（k+1）， 当k＝4n+2时，k+1＝4n+3， ∴f（k）＝0，f（k+1）＝1， ∴此时f（k）＜f（k+1）， 当k＝4n+3时，k+1＝4n+4， ∴f（k）＝1，， 此时f（k）＞f（k+1），故③错误，不符合题意； 故正确的有①②④，符合题意． 故答案为：①②④． 5．（2024秋•青山区期中）给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，依此类推，第n个数记为an（n为正整数），规定运算：．已知一列数﹣1，0，1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，﹣8，9，﹣10，…．若存在正整数n使等式成立，则n＝ 　 　 ， 【分析】对n为奇数和偶数的情况进行分类讨论，分别列出算式进行计算即可． 【解答】解：由题知， 当n为奇数时， |﹣1+0+1﹣2+3﹣4+…﹣（n﹣3）+n﹣2|＝2024， ﹣12024， 则n＝4051． 当n为偶数时， |﹣1+0+1﹣2+3﹣4+…+n﹣3﹣（n﹣2）|＝2024， ， 则n＝4048， 综上所述，n＝4051或4048． 故答案为：4051或4048． 6．（2024秋•江汉区期中）有一个运算程序：若a⊕b＝n，则（a+1）⊕b＝n+4且a⊕（b+1）＝n﹣1．按程序运算，若1⊕1＝2，则24⊕25＝ 　 　 ． 【分析】根据运算程序先得到规律，根据规律计算得结论． 【解答】解：∵a⊕b＝n，则（a+1）⊕b＝n+4且a⊕（b+1）＝n﹣1， ∴a加1，结果加4，b加1，结果减1． 即前项加1，结果加4，后项加1，结果减1． ∵1⊕1＝2， ∴24⊕25＝2加上23个4减去24个1， ∴2+23×4﹣24 ＝2+92﹣24 ＝94﹣24 ＝70． ∴故答案为：70． 7．（2024秋•合肥期中）对于一个三位数，它的各个数位上的数字互不相等，如果它满足百位上的数字减去个位上数字的差等于十位上的数字的2倍，我们称这个三位数为“互差数”，定义一个新运算，我们把一个“互差数”a的百位数字减去个位数字的差加上十位数字的和记为K（a），例如：a＝723，因为（7﹣3）＝2×2，所以723是一个“互差数”，K（723）＝（7﹣3）+2＝6． （1）计算K（513）＝　 　 ； （2）若m是一个“互差数”，且K（m）＝12，那么m的值是　 　 ． 【分析】（1）根据新定义求解； （2）根据新定义求解． 【解答】解：（1）K（513）＝5﹣3+1＝3， 故答案为：3； （2）设“互差数”m的百位、十位、个位数字分别为a，b，c， 依题意得，a﹣c＝2b，K（m）＝（a﹣c）+b＝3b＝12， 解得，b＝4， ∴a﹣c＝8， ∵a，b，c互不相等， ∴当c＝0时，a＝8，满足要求，m＝840； 当c＝1时，a＝9，满足要求，m＝941； ∴m的值是840或941， 故答案为：840或941． 8．（2024秋•启东市期中）定义一种正整数的“H运算”：①当它是奇数时，则该数乘3加13为一次“H运算”；②当它是偶数时，则取该数的一半，一直取到结果为奇数停止为一次“H运算”．如：数3经过1次“H运算”的结果是22，经过2次“H运算”的结果为11，经过3次“H运算”的结果为46．那么数28经过2024次“H运算”得到的结果是 　 　 ． 【分析】从28开始，分别按照偶数和奇数的计算法则依次计算， 【解答】解：第1次：； 第2次：3×7+13＝34； 第3次：； 第4次：3×17+13＝64； 第5次：； 第6次：3×1+13＝16； 第7次：，等于第5次． 所以从第5次开始，奇数次等于1，偶数次等于16． 因为2024是偶数，所以数28经过2024次“H运算”得到的结果是16． 故答案为：16． 9．（2024秋•花都区期中）关于x的代数式，当x取任意一组相反数a与﹣a时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”；例如代数式x2是“偶代数式”，x3是“奇代数式”． （1）代数式x5﹣x3+x是“　 　 代数式”；（填“奇”或“偶”） （2）对于整式x5﹣x3+x+x2，当x分别取﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，时，这七个整式的值之和为 　 　 ． 【分析】（1）根据题目所给定义，任意选取一组相反数代入，检验所给代数式是奇、偶代数式； （2）将所给代数式拆分成一个奇代数式与一个偶代数式，根据奇、偶代数式的特征，分别求解． 【解答】解：（1）任意选一组相反数代入，例如1与﹣1， 当x＝1时，x5﹣x3+x＝1﹣1+1＝1， 当x＝﹣1时，x5﹣x3+x＝﹣1+1﹣1＝﹣1，两个代数式的值不等，且互为相反数，所以为奇代数式； 故答案为：奇； （2）将x＝1与x＝﹣1分别代入此代数式， 当x＝﹣1时，x5﹣x3+x+x2＝﹣1+1﹣1+1＝0， 当x＝1时，x5﹣x3+x+x2＝1﹣1+1+1＝2， 可以发现，此代数式并不属于奇代数式或偶代数式，因此将其拆分， 将原代数式拆分成两个代数式：一是x5﹣x3+x，为奇代数式，取相反数时，其得到的值为相反数， 当x分别取﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3代入时，七个整式的和为0， 二是x2，为偶代数式，取相反数时，其得到的值相等， 当x分别取﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3代入时，七个整式的和＝2（9+4+1）+0＝28， 即原式在x分别取取﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3代入时，七个整式的和为28． 故答案为：28． 10．（2024秋•合肥期中）我们定义新运算“△”：对于任意的有理数a和b，a△b＝a+b﹣ab． （1）分别求出2△3，3△（﹣5）的值； （2）若m△n＝0，求代数式4[mn+m﹣2（mn﹣3）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2的值； （3）若a＝3，b＝m2+3mn+2n，c＝2m2﹣mn+n，且a△b﹣a△c的运算结果与n的取值无关，求m的值及a△b﹣a△c的值． 【分析】（1）根据新定义列出式子，然后根据有理数的混合运算法则计算即可； （2）先根据新定义，得出m+n﹣mn＝0，即m+n＝mn，然后把原代数式去括号，合并同类项化简为﹣4mn+4（m+n）+24，最后把m+n＝mn整体代入计算即可； （3）原式利用新定义化简，根据结果与n的取值无关，使n的系数为0，求出m的值，进而得出答案． 【解答】解：（1）∵a△b＝a+b﹣ab， ∴2△3＝2+3﹣2×3＝2+3﹣6＝﹣1， 3△（﹣5）＝3+（﹣5）﹣3×（﹣5）＝3﹣5+15＝13； （2）∵m△n＝0， ∴m+n﹣mn＝0， ∴m+n＝mn， ∴4[mn+m﹣2（mn﹣3）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2 ＝4（mn+m﹣2mn+6）﹣6m2+4n+6m2 ＝4mn+4m﹣8mn+24﹣6m2+4n+6m2 ＝﹣4mn+4m+4n+24 ＝﹣4mn+4（m+n）+24 ＝﹣4mn+4mn+24 ＝24； （3）a△b﹣a△c ＝a+b﹣ab﹣（a+c﹣ac） ＝a+b﹣ab﹣a﹣c+ac ＝b﹣c+ac﹣ab ＝（b﹣c）+（ac﹣ab） ＝（b﹣c）﹣a（b﹣c） ＝（b﹣c）（1﹣a）， 当a＝3，b＝m2+3mn+2n，c＝2m2﹣mn+n， ∴原式＝[（m2+3mn+2n）﹣（2m2﹣mn+n）]×（1﹣3） ＝﹣2×（m2+3mn+2n﹣2m2+mn﹣n） ＝﹣2×（﹣m2+4mn+n） ＝2m2﹣8mn﹣2n ＝2m2﹣（8m+2）n， ∵a△b﹣a△c的运算结果与n的值无关， ∴﹣（8m+2）＝0， 解得：， 此时a△b﹣a△c． 压轴突破10 与数轴有关的综合大题（10题） 1．（2024秋•青山区期中）已知A，B，C三点在数轴上对应的数分别为a，b，c，且a，b满足：（a+4）2+|b﹣12|＝0．点C到A，B两点的距离相等．规定：两点间的距离可用这两点的字母表示，如点A与点C之间的距离表示为AC． （1）则a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ； （2）点P是数轴上一点，它在数轴上对应的数为x，若PA＝2PB，求x的值； （3）点A以3个单位/秒的速度向右运动，点B以1个单位/秒的速度向左运动，点C以2个单位/秒的速度向右运动，点D从原点出发以m个单位/秒的速度运动．点A，B，C，D同时出发，设运动时间为t秒，在运动过程中，若总有AB＝4CD成立，求m的值及点D的运动方向． 【分析】（1）由非负性直接求解即可； （2）根据PA＝2PB，列出方程|x+4|＝2|x﹣12|，求解即可； （3）依题意，列出方程|4t﹣16|＝4|（m﹣2）t﹣4|，求解即可． 【解答】解：（1）由（a+4）2+|b﹣12|＝0， 可得，a＝﹣4，b＝12， 由于点C到A、B两点的距离相等， 所以C为A、B的中点， ∴CA＝CB， 则c+4＝12﹣c， 解得：c＝4， 故答案为：﹣4，12，4； （2）依题意，根据PA＝2PB， 可得|x+4|＝2|x﹣12|， 解得x或x＝28； （3）设运动时间为t秒，则A表示的数为﹣4+3t， B表示的数为12﹣t， C表示的数为4+2t， D表示的数为mt， 由AB＝ 4CD， 可得|4t﹣16|＝4|（m﹣2）t﹣4|， 即：4|t﹣4|＝4|（m﹣2）t﹣4|， ∵与t的取值无关， ∴m﹣2＝1， 解得m＝3， ∴当m＝3时，点D向右运动． 2．（2024秋•武汉期中）已知点A，B在数轴上对应的数为a，b，点A与点B之间的距离记为AB，且（a+10）2+|b﹣14|＝0． （1）a＝ 　 ，b＝ 　 　 ，AB＝ 　 　 ； （2）若在数轴上存在一点M，且MA＝3MB，求点M表示的数； （3）已知点C表示的数为2，现甲从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时乙从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动．当甲到达点C后立即以原速度返回一直向左运动，当乙到达点A后，先休息1秒，再以每秒2个单位长度的速度一直向右运动．问当经过多少秒时，甲、乙相距8个单位长度？ 【分析】（1）利用偶次方程及绝对值的非负性，可求出a，b的值，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出AB的长； （2）设点M表示的数为x，根据MA＝3MB，可列出关于x的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用时间＝路程÷速度，可求出各时间节点，设运动时间为t秒，分0≤t≤8，8＜t≤9，9＜t≤12及t＞12四种情况考虑，根据甲、乙相距8个单位长度，可列出关于t的含绝对值的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵（a+10）2+|b﹣14|＝0， ∴a+10＝0，b﹣14＝0， ∴a＝﹣10，b＝14， ∴AB＝|﹣10﹣14|＝24． 故答案为：﹣10，14，24； （2）设点M表示的数为x， 根据题意得：|x﹣（﹣10）|＝3|x﹣14|， 即x+10＝3（14﹣x）或x+10＝3（x﹣14）， 解得：x＝8或x＝26． 答：点M表示的数为8或26； （3）[2﹣（﹣10）]÷1＝12（秒），[14﹣（﹣10）]÷3＝8（秒），8+1＝9（秒）． 设运动时间为t秒． 当0≤t≤8时，甲表示的数为﹣10+t，乙表示的数为14﹣3t， 根据题意得：|14﹣3t﹣（﹣10+t）|＝8， 即24﹣4t＝8或4t﹣24＝8， 解得：t＝4或t＝8； 当8＜t≤9时，甲表示的数为﹣10+t，乙表示的数为﹣10， 根据题意得：﹣10+t﹣（﹣10）＝8， 解得：t＝8（不符合题意，舍去）； 当9＜t≤12时，甲表示的数为﹣10+t，乙表示的数为﹣10+2（t﹣9）＝（2t﹣28）， 根据题意得：|2t﹣28﹣（﹣10+t）|＝8， 即18﹣t＝8或t﹣18＝8， 解得：t＝10或t＝26（不符合题意，舍去）； 当t＞12时，甲表示的数为2﹣（t﹣12）＝（14﹣t），乙表示的数为2t﹣28， 根据题意得：|14﹣t﹣（2t﹣28）|＝8， 即42﹣3t＝8或3t﹣42＝8， 解得：t（不符合题意，舍去）或t． 答：当经过4或8或10或秒时，甲、乙相距8个单位长度． 3．（2024秋•江岸区期中）【探究与发现】 数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，例：如图所示，点A，B在数轴上分别对应的数为a，b，则A，B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|，学习以上内容解决问题： （1）若数轴上两点A，B表示的数为x，1， ①A，B两点之间的距离可用含x的式子表示为 　 　 ； ②若A，B两点之间的距离为2，那么x值为 　 　 ． 【理解与应用】 （2）若x，y分别表示点A，B在数轴上对应的数． ①|x﹣1|+|x+3|的最小值为 　 　 ，此时x的取值范围是 　 　 ； ②已知（|x﹣1|+|x+3|）（|y+1|+|y﹣6|）＝28，求2y﹣x的最大值． 【拓展与延伸】 （3）若x，y分别表示点A，B在数轴上对应的数，O为原点，当x＝﹣3，y＝5时，点M，N分别从点O，B同时出发，分别以v1，v2的速度沿数轴负方向运动（点M在点O，A之间，点N在点O，B之间），运动时间为t，点M运动到点A时，点N立即停止运动，点Q为点B，M之间一点，且点Q到点M的距离是点B到点M距离的一半（即|QM||BM|），若在点M，N运动过程中，点Q到点N的距离（即|QN|）总为一个固定的值，求的值． 【分析】（1）①根据题意中的数轴上两点之间距离公式即可列出代数式； ②根据若A，B两点之间的距离为2时，可得|x﹣1|＝2，求解绝对值方程即可； （2）①根据绝对值的意义可得|x﹣1|+|x+3|表示数轴上表示数x的点到表示数|和表示数﹣3的点的距离之和，即可得x的取值范围，及|x﹣1|+|x+3|的最小值； ②由①同理得|y+1|+|y﹣6|中y的取值范围，及最小值，结合（|x﹣1|+|x+3|）（|y+1|+|y﹣6|）＝28，即可得|x﹣1|+|x+3|取最小值4，|y+1|+|y﹣6|取最小值7时，方程成立，即﹣3≤x≤1，﹣1≤y≤6，从而得出当x取最小值﹣3，y取最大值6时，2y﹣x最大，代入数值即可求出最大值； （3）根据题意可得OM＝v1t，BN＝v2t，可得BM，根据|QM||BM|，可求出，进而得出QN，根据点，运动过程中QN为一个固定的值，得到由t≠0，得出整理可得的值． 【解答】解：（1）①∵点A，B在数轴上分别对应的数为a，b时，A，B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|， ∴若A，B表示的数为x，1时，A，B两点之间的距离为|AB|＝|x﹣1|， 故答案为：|x﹣1|； ②由上可得A，B两点之间的距离为|AB|＝|x﹣1|， 若A，B两点之间的距离为2时，即|x﹣1|＝2， ∴x﹣1＝±2， ∴x1＝3，x2＝﹣1， 故答案为：3或﹣1； （2）①∵|x﹣1|+|x+3|表示数轴上表示数x的点到表示数l和表示数﹣3的点的距离之和， ∴当﹣3≤x≤1时，|x﹣1|+|x+3|有最小值，最小值为1﹣（﹣3）＝4， 故答案为：4，﹣3≤x≤1； ②由①可得当﹣3≤x≤1时，|x﹣1|+|x+3|有最小值4， 同理当﹣1≤y≤6时，|y+1|+|y﹣6|有最小值，最小值为6﹣（﹣1）＝7， ∵（|x﹣1|+|x+3|）（|y+1|+|y﹣6|）＝28， ∴当|x﹣1|+|x+3|取最小值4，|y+1|+|y﹣6|取最小值7时，（|x﹣1|+|x+3|）（|y+1|+|y﹣6|）＝28， 此时﹣3≤x≤1，﹣1≤y≤6， ∴当x取最小值﹣3，y取最大值6时，2y﹣x最大，最大值为2×6﹣（﹣3）＝15； （3）根据题意可得：点M路程为：OM＝v1t，点N路程为：BN＝v2t， 即BM＝OM+OB＝v1t+5， ∵点Q在点B，M之间，|QM||BM|， ∴QM（v1t+5）， ∴， ∴， ∵QN总为一个固定的值， ∴， ∵t≠0， ∴，即， ∴． 4．（2024秋•武昌区期中）如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示数﹣20，﹣8，16，有两条动线段PQ和MN（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边），PQ＝2，MN＝4，线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始向右匀速运动，同时线段PQ以每秒3个单位的速度从点A开始向右匀速运动．当点Q运动到点C时，线段PQ立即以相同的速度返回；当点Q回到点A时，线段PQ、MN同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段PQ和MN保持长度不变）． （1）两线段运动前，点M表示的数为　 　 ，点P表示的数为　 　 ． （2）在整个运动过程中，当CQ＝PM时，求出点M表示的数． （3）在整个运动过程中，当两条线段有重合部分时，速度均变为原来的一半，当重合部分消失后，速度恢复，请直接写出当线段PQ和MN重合部分长度为1时所对应的t的值． 【分析】（1）由PQ＝2，MN＝4，再利用点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边可得答案； （2）当t≤12时，Q表示的数是﹣20+3t，P表示的数是﹣22+3t，M表示的数是﹣12+t，36﹣3t＝|﹣10+2t|，此时，当12＜t≤24时，Q表示的数是16﹣3（t﹣12）＝52﹣3t，P表示的数是50﹣3t，M表示的数是﹣12+t，3t﹣36＝|62﹣4t|， （3）当PQ从A向C运动时，或，当PQ从C向A运动时，或，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意可得：M对应的数为﹣8﹣4＝﹣12，P对应的数为﹣20﹣2＝﹣22； 故答案为：﹣12，﹣22； （2）当t≤12时，Q表示的数是﹣20+3t，P表示的数是﹣22+3t，M表示的数是﹣12+t， ∴CQ＝16﹣（﹣20+3t）＝36﹣3t，PM＝|﹣22+3t﹣（﹣12+t）|＝|﹣10+2t|， ∴36﹣3t＝|﹣10+2t|， 解得或t＝26（不符合题意，舍去）， 此时 当12＜t≤24时，Q表示的数是16﹣3（t﹣12）＝52﹣3t，P表示的数是14﹣3（t﹣12）＝50﹣3t，M表示的数是﹣12+t， ∴CQ＝16﹣（52﹣3t）＝3t﹣36，PM＝|50﹣3t﹣（﹣12+t）|＝|62﹣4t|， ∴3t﹣36＝|62﹣4t|， 解得t＝14或t＝26（不符合题意，舍去）， 此时﹣12+t＝﹣12+14＝2， ∴当CQ＝PM时，点M表示的数是或2； （3）当PQ从A向C运动时， t＝4时，PQ与MN开始有重合部分，有重合部分时，Q表示的数为，P表数为，M表示的数为，N表示的数是， 若线段PQ和MN重合部分长度为1， 则， 或， 解得t＝5或t＝9， 由， 得t＝10， ∴当t＝10时，PQ与MN的重合部分消失，恢复原来的速度，此时Q表示的数是1， 再过（16﹣1）÷3＝5（秒），Q到达C，此时t＝15， 则M所在点表示的数是，N所在点表示的数4， 当PQ从C向A运动时， ∴P，N重合时，4+t﹣15＝14﹣3（t﹣15）， 解得：， 此时P，N对应的数为：，Q为，M为， 当时，PQ与MN开始有重合部分，有重合部分后， Q表示的数为，P表示的数为， M表示的数为，N表示的数是， 若线段PQ和MN重合部分长度为1， 或， 解得t＝18或t＝20， ∴t的值是5或9或18或20． 5．（2024秋•洪山区期中）如图，在数轴上有A，B，M三点，分别表示有理数a，b，m．其中a，b，m满足|a+1|+（b﹣2）2+|m﹣3|＝0．已知线段AB的中点表示的数可以记作，A、B之间的距离为|a﹣b|． （1）求a，b，m的值； （2）数轴上的一动点N从A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，当N与B的距离为线段BM长度的两倍时，求运动时间t，以及此时点N表示的数； （3）有一动点P从表示﹣7的点出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，动点Q从表示﹣2的点出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动．点P比点Q先出发1秒，设点Q运动的时间为t秒，若线段PQ上至少存在一点T与点A构成线段，当线段AT的中点在线段OB（包含端点）上，求t最大值和最小值． 【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可得出a+1＝0，b﹣2＝0，m﹣3＝0，解之即可得出a，b，m的值； （2）当运动时间为t秒时，点N表示的数为﹣1+2t，根据N与B的距离为线段BM长度的两倍，可列出关于t的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）当点Q运动的时间为t秒时，点P表示的数为﹣7+3（t+1）＝﹣4+3t，点Q表示的数为﹣2+2t，由点A，O，B表示的数及线段AT的中点在线段OB（包含端点）上，可得出T表示数的范围，若﹣4+3t＝﹣2+2t，则t＝2，分0≤t＜2，t＝2及t＞2三种情况考虑，当0≤t＜2时，点P在点Q的左侧，令﹣2+2t＝1，可求出t的值，进而可得出当t＜2时符合题意；当t＝2时，点P，Q重合，此时AT的中点表示的数为，结合05，可得出t＝2符合题意；当t＞2时，点Q在点P的左侧，令﹣2+2t＝5，可求出t的值，进而可得出当2＜t时符合题意，综上可得出t的取值范围，再取其中的最大值及最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵|a+1|+（b﹣2）2+|m﹣3|＝0， ∴a+1＝0，b﹣2＝0，m﹣3＝0， ∴a＝﹣1，b＝2，m＝3； （2）当运动时间为t秒时，点N表示的数为﹣1+2t， 根据题意得：|2﹣（﹣1+2t）|＝2|2﹣3|， 即3﹣2t＝2或2t﹣3＝2， 解得：t或t， 当t时，﹣1+2t＝﹣1+20； 当t时，﹣1+2t＝﹣1+24． 答：t的值为或，此时点N表示的数为0或4； （3）当点Q运动的时间为t秒时，点P表示的数为﹣7+3（t+1）＝﹣4+3t，点Q表示的数为﹣2+2t， ∵点A表示的数为﹣1，点O表示的数为0，点B表示的数为2，且线段AT的中点在线段OB（包含端点）上， ∴T表示的数不小于1且不超过5． 若﹣4+3t＝﹣2+2t，则t＝2． 当0≤t＜2时，点P在点Q的左侧，令﹣2+2t＝1， 解得：t， ∴当t＜2时符合题意； 当t＝2时，点P，Q重合，此时， ∵05， ∴t＝2符合题意； 当t＞2时，点Q在点P的左侧，令﹣2+2t＝5， 解得：t， ∴当2＜t时符合题意． 综上所述，t的取值范围为t， ∴t的最大值为，t的最小值为． 6．（2024秋•硚口区期中）如图1，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，b满足（a+20）2+|b﹣16|＝0，点C到原点O的距离与点A到原点O的距离相等．点A，B之间的距离记为AB． （1）直接写出a，b，c的值； （2）点P从点A出发，沿着数轴负方向匀速运动，同时，点Q从点C出发，沿数轴负方向匀速运动，点P和点Q的速度分别为4个单位长度/秒和m（m＞4）个单位长度/秒．设点P运动的时间为t秒． ①t秒时，点P表示的数为　 ，点B，P之间的距离为　 ； ②当点Q追上点P之后，的值与t的值无关，求m的值． （3）点G在数轴上，OG＝BG，将数轴在点O，G，B各折一下，得到如图2的“折线数轴”．点M从点A出发沿着“折线数轴”运动至点C，同时点N从点C出发沿着“折线数轴”向点A运动，点M，N的初始速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒，两点运动到折线时速度才会发生变化，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍，离开折线OGB后速度恢复为初始速度．当点M和点N相遇时，直接写出此时点M表示的数． 【分析】（1）利用非负数的意义和数轴上的点的特征解答即可； （2）①利用t的代数式表示出线段OP，BP的长度，再利用数轴上的点的特征解答即可； ②计算的值，合并后利用t的系数为0，解方程即可得出结论； （3）利用题意通过分析得到当点M到达点G时，点N在BG上，没有到达点G，此时BN＝（9﹣2）×1＝7（单位长度），利用题意求得相遇时的用时，进而求得线段GM，再利用数轴上的点的特征解答即可． 【解答】解：（1）∵（a+20）2+|b﹣16|＝0， ∴a+20＝0，b﹣16＝0， ∴a＝﹣20，b＝16． ∴OA＝20， ∵点C到原点O的距离与点A到原点O的距离相等， ∴OC＝OA＝2O， ∵点C在数轴的正半轴上， ∴c＝20． （2）①∵点P从点A出发，速度为4个单位长度/秒， ∴PA＝4t， ∴OP＝OA+PA＝20+4t， ∴t秒时，点P表示的数为﹣（20+4t）＝﹣4t﹣20， 点B，P之间的距离为OP+OB＝20+4t+16＝4t+36． 故答案为：﹣4t﹣20；4t+36； ②当点Q追上点P之后，CP＝OC+OP＝20+20+4t＝40+4t，PQ＝CQ﹣CP＝mt﹣（40+4t）＝（m﹣4）t﹣40， ∴40+4t（mt﹣4t﹣40）＝（m+10）t+100， ∵的值与t的值无关， ∴m+10＝0， ∴m． ∴m的值为秒时，当点Q追上点P之后，的值与t的值无关． （3）∵OB＝16，点G在数轴上，OG＝BG， ∴OG＝BG＝8， ∴点G对应的数为8． ∵点M从点A出发沿着“折线数轴”运动，初始速度为4个单位长度/秒，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍， ∴点M运动到点O用时为5（秒），点M从点O到点G用时4（秒）， ∵点N从点C出发沿着“折线数轴”向点A运动，初始速度为2个单位长度/秒，CB＝4，上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍， ∴点N运动到点B用时为2（秒），点N从点B到点G用时8（秒）， ∴当点M到达点G时，点N在BG上，没有到达点G，此时BN＝（9﹣2）×1＝7（单位长度）， ∴M，N在BG上相距（8﹣7）个单位长度， ∴点M和点N相遇用时（秒）， ∴GM（单位长度）， ∴点M表示的数为8． 7．（2024秋•新洲区期中）如图（1），点A、B在数轴上表示的数分别为a、b．其中，式子M＝（a+2）x3+4xb﹣2﹣x+1是关于x的二次三项式， （1）点P为数轴上A点左边一点，且PA+PB＝10，求点P在数轴上对应的数． （2）在（1）的条件下，若点P、A、B三点在数轴上同时向右运动，点P、A、B的速度分别是4个单位长度/秒、3个单位长度/秒、2个单位长度/秒，设点P运动的时间为t秒，当点PB＝2PA时，求t的值． （3）如图（2），点C在数轴上对应的点所对应的数是1，点A、C的速度分别是3个单位长度/秒、2个单位长度/秒，当点A向左运动，点C向右运动，试问是否存在一个常数k使得kAB﹣BC不随运动时间t的改变而改变，若存在，请求出k；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由二次三项式可求a＝﹣2，b＝4，进而表示出PA和PB，建立方程求解即可； （2）先将动点用含t的式子表示出来，进而在表示两点距离，这里有两种方法一则是利用绝对值，再分类讨论，二则是先分类讨论，然后表示，最后利用PB＝2PA建立方程求解即可； （3）和第二问一样，先表示出动点，再分类讨论，要与t无关，令t的系数为0即可得解． 【解答】解（1）由题易得a+2＝0，b﹣2＝2， ∴a＝﹣2，b＝4， 设P对应的数为p，则PA＝﹣2﹣p，PB＝4﹣p， ∵PA+PB＝10， ∴﹣2﹣p+4﹣p＝10， 解得p＝﹣4， 答：点P对应的数为﹣4． （2）由题可知动点P：﹣4+4t，点A：﹣2+3t，点B：4+2t， ∴|PA|＝|t﹣2|，PB＝|2t﹣8|， ∵PB＝2PA， ∴|2t﹣8|＝2|t﹣2|， ∴2t﹣8＝2（t﹣2） 此时t无解， 或（2t﹣8）+2（t﹣2）＝0， 解得t＝3， ∴t的值为3． （3）根据题意可知点A对应的数为：﹣2﹣3t，点C对应的数为：1+2t， ∴AB＝3t+6，BC＝|2t﹣3|， ①当0≤t时，BC＝3﹣2t， ∴kAB﹣BC＝k（3t+6）﹣（3﹣2t）＝（3k+2）t+6k﹣3， ∴3k+2＝0， 解得k； ②当t时，BC＝2t﹣3， ∴kAB﹣BC＝k（3t+6）﹣（2t﹣3）＝（3k﹣2）t+6k+3， ∴3k﹣2＝0， 解得k； 综上，当0≤t时，k，当t时，k． 8．（2024秋•安陆市期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b（b＞a），则线段AB的长（点A到点B的距离）可表示为b﹣a，请用上面材料中的知识解答下面的问题： 【问题情境】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点A，再向右移动3个单位长度到达点B，然后再向右移动5个单位长度到达点C． （1）【问题探究】请在图2中表示出A，B，C三点的位置； （2）【问题探究】若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M、N从点B，点C分别以每秒2个单位长度，每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒（t＞0）． ①A，B两点间的距离AB＝ 　 ； ②用含t的代数式表示t秒时，点P表示的数为 　 ，点M表示的数为 　 ，点N表示的数为 　 ； ③试探究在移动的过程中，6PN﹣8PM的值是否随着时间t的变化而变化？若变化说明理由；若不变，请求其值． 【分析】（1）先根据数轴的性质求出点A，B，C表示的数，再在数轴上表示出它们的位置即可得； （2）①根据数轴的性质求解即可得； ②根据点P，M，N的运动方向和速度，结合数轴的性质求解即可得； ③根据（2）②的结论可求出PN，PM，再计算整式的加减即可得出结论． 【解答】解：（1）由题意可知，点A表示的数是0﹣2＝﹣2，点B表示的数是﹣2+3＝1，点C表示的数是1+5＝6． ． （2）①由题意可得： ∴AB＝1﹣（﹣2）＝1+2＝3， 故答案为：3； ②由题意可得： 点P表示的数为﹣2﹣t， 由题意可得：点M表示的数为1+2t，点N表示的数为6+3t， 故答案为：﹣2﹣t，1+2t，6+3t； ③∵点P表示的数为﹣2﹣t，点M表示的数为1+2t，点N表示的数为6+3t， ∴PN＝6+3t﹣（﹣2﹣t）＝4t+8，PM＝1+2t﹣（﹣2﹣t）＝3t+3， ∴6PN﹣8PM＝6（4t+8）﹣8（3t+3） ＝24t+48﹣24t﹣24 ＝24， 所以在移动的过程中，6PN﹣8PM的值不随着时间t的变化而变化，其值为24． 9．（2024秋•丹江口市期中）【问题背景】我们知道|x|的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离． 这个结论可以推广为：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A，B两点之间的表距离示为|a﹣b|，即AB＝|a﹣b|．例如，在数轴上，表示﹣4和﹣2的点的距离为AB＝|﹣4﹣（﹣2）|＝2． 【问题解决】 （1）|x﹣2|表示数轴上数x与 　 　 （填数字）之间的距离； （2）若点C为数轴上一点，它所表示的数为x，点D在数轴上表示的数为﹣2，则CD＝ 　 　 （用含x的代数式表示）； 【关联运用】 （3）运用一：若|x﹣2|+|x+4|＝10，则x的值为 　 　 ； （4）运用二：代数式|x﹣2|+|x+4|的最小值为 　 　 ； （5）运用三：代数式|x﹣3|﹣|x+4|的最大值为 　 　 ； （6）运用四：已知动点A、B、C分别从数轴﹣2、3、4的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒．原点为点O，线段OA，OB，OC的中点分别为P，M，N，若mPM﹣MN＝k，且k的值为常数，求出m和k的值． 【分析】（1）根据绝对值的意义作答即可； （2）根据绝对值的意义作答即可； （3）分类讨论x的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （4）分类讨论x的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （5）分类讨论x的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （6）根据运动情况，用含t的式子表达出各点的值，再根据各点的值表达出PM和MN的长度，套入mPM﹣MN＝k分析出m的值后即可求得k的值． 【解答】解：（1）|x﹣2|表示数轴上数x与2之间的距离； 故答案为：2； （2）CD＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|； 故答案为：|x+2|； （3）|x﹣2|和|x+4|表示x与2的距离和x与﹣4的距离的和，|x﹣2|+|x+4|＝10， 当x＞2时，则：x﹣2+x+4＝10， 解得：x＝4； 当﹣4≤x≤2时，则﹣x+2+x+4＝6≠10，不符合题意； 当x＜﹣4时，则：﹣x+2﹣x﹣4＝10， 解得：x＝﹣6； 故答案为：4或﹣6； （4）|x﹣2|+|x+4|， 当x＞2时，则：x﹣2+x+4＝2x+2＞6， 当﹣4≤x≤2时，则﹣x+2+x+4＝6， 当x＜﹣4时，则：﹣x+2﹣x﹣4＝﹣2x﹣2＞6， ∴﹣4≤x≤2时，|x﹣2|+|x+4|的最小值为6， 故答案为：6； （5）∵|x﹣3|﹣|x+4|表示x与3的距离和x与﹣4的距离的差， ∴当x＞3时，则：x﹣3﹣（x+4）＝x﹣3﹣x﹣4＝﹣7， 当﹣4≤x≤3时，则﹣x+3﹣（x+4）＝﹣x+3﹣x﹣4＝﹣2x﹣1， ∴﹣7≤﹣2x﹣1≤7， 当x＜﹣4时，则﹣x+3﹣（﹣x﹣4）＝﹣x+3+x+4＝7， ∴综上|x﹣3|﹣|x+4|的最大值为：7； 故答案为：7； （6）设时间为t，点A可表示为：﹣2+2t，点B可表示为：3+4t，点C可表示为：4+8t， ∴OA的中点P为：，OB的中点M为：，OC的中点N为：2+4t， ∵A在B的左边，B在C的左边， ∴P在M的左边，M在N的左边， ∴，， ∴， ∴m﹣2＝0时，mPM﹣MN的值与t无关，即m＝2， ∴， ∴m＝2，． 10．（2024秋•无锡期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足|m+8|+（n﹣1）2＝0． （1）求m，n的值； （2）①有一个玩具火车AB如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为n，当点B移动到点A时，点A所对应的数为m．则玩具火车的长为 　 　 个单位长度； ②如图1所示，将第①题中的玩具火车沿数轴左右水平移动，当MA：BN＝2：1时，直接写出此时点A所表示的数； （3）在（2）的条件下，当火车AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从M、N出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，记火车AB运动后对应的位置为A'B'，是否存在常数k使得2PQ+k•B′A的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由绝对值，偶次方的非负性可得答案； （2）①求出MN＝|﹣8﹣1|＝9，根据当点A移动到点B时，点B所对应的数为n，当点B移动到点A时，点A所对应的数为m，知MA＝AB＝BNMN＝3，即玩具火车的长为3个单位长度； ②设A表示的数为x，则B表示的数为x+3，可得|x+8|＝2|x+2|，即可解得答案； （3）求出A表示的数为﹣8+3＝﹣5，B表示的数﹣5+3＝﹣2，根据已知可得PQ＝1+3t﹣（﹣8+t）＝2t+9，B'A＝﹣2+2t﹣（﹣5）＝2t+3，故2PQ+k•B′A＝2（2t+9）+k（2t+3）＝（2k+4）t+18+3k，知2k+4＝0，k＝﹣2，从而可得答案． 【解答】解：（1）∵|m+8|+（n﹣1）2＝0， ∴m+8＝0，n﹣1＝0， ∴m＝﹣8，n＝1； （2）①MN＝|﹣8﹣1|＝9， ∵当点A移动到点B时，点B所对应的数为n，当点B移动到点A时，点A所对应的数为m， ∴MA＝AB＝BNMN＝3， ∴玩具火车的长为3个单位长度； 故答案为：3； ②设A表示的数为x，则B表示的数为x+3， ∴MA＝|x﹣（﹣8）|＝|x+8|，BN＝|x+3﹣1|＝|x+2|， ∵MA：BN＝2：1， ∴|x+8|＝2|x+2|， 即x+8＝2x+4或x+8＝﹣2x﹣4， 解得x＝4或x＝﹣4； ∴A表示的数为4或﹣4； （3）存在常数k使得2PQ+k•B′A的值与它们的运动时间无关，理由如下： 由（2）①知A表示的数为﹣8+3＝﹣5，B表示的数﹣5+3＝﹣2， ∵火车AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，运动后对应的位置为A'B'， ∴A'表示的数为﹣5+2t，B'表示的数为﹣2+2t， ∵点P和点Q从M、N出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动， ∴P表示的数为﹣8+t，Q表示的数为1+3t， ∴PQ＝1+3t﹣（﹣8+t）＝2t+9，B'A＝﹣2+2t﹣（﹣5）＝2t+3， ∴2PQ+k•B′A＝2（2t+9）+k（2t+3）＝（2k+4）t+18+3k， 若2PQ+k•B′A的值与它们的运动时间t无关，则2k+4＝0， 解得k＝﹣2， 此时2PQ+k•B′A＝18+3×（﹣2）＝12， ∴存在常数k使得2PQ+k•B′A的值与它们的运动时间无关，k＝﹣2，这个定值是12． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $