第二章 有理数的运算全章拔尖卷（必考点分类集训）-2025-2026学年七年级数学上册必考点分类集训系列（人教版新教材）

第二章 有理数的运算全章拔尖卷 【人教版新教材】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．本卷旨在聚焦全章核心考点与重难点，集中攻克解题瓶颈，提升解决复杂问题的能力。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）﹣|﹣2025|的相反数是（　　） A．﹣2025 B．2025 C． D． 【分析】根据绝对值和相反数的性质解答即可． 【解答】解：﹣|﹣2025|＝﹣2025，﹣2025的相反数是2025． 故选：B． 2．（3分）中国信息通信研究院测算，2020～2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（　　） A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：10.6万亿＝106000 0000 0000＝1.06×1013． 故选：B． 3．（3分）某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为（20±0.1）kg，（20±0.2）kg，（20±0.3）kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（　　） A．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg 【分析】根据有理数的减法，用最多的减去最少的，可得答案． 【解答】解：第一种品牌的面粉的最大质量是20+0.1＝20.1（kg），最小质量是20﹣0.1＝19.9（kg）； 第二种品牌的面粉的最大质量是20+0.2＝20.2（kg），最小质量是20﹣0.2＝19.8（kg）； 第三种品牌的面粉的最大质量是20+0.3＝20.3（kg），最小质量是20﹣0.3＝19.7（kg）； ∴20.3﹣19.7＝0.6（kg）， 故选：B． 4．（3分）下列说法：①有理数不是整数就是分数；②|﹣a|一定是正数；③如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数；④n个数相乘，积的符号由负因数的个数决定；⑤如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数．正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】有理数分为整数和分数，据此可判断①；正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可判断②⑤；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，那么正数的倒数一定大于负数的倒数，据此可判断③；根据有理数乘法法则可判断④． 【解答】解：有理数不是整数就是分数，则①正确； a＝0时，|﹣a|＝0，则②错误； ，则③错误； n个数相乘，有因数是0时，结果为0，则④错误； 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，则⑤错误． ∴说法正确的有①， 故选：A． 5．（3分）若|m|＝5，|n|＝4，且|m+n|＝|m|﹣|n|，则m﹣n＝（　　） A．﹣9或﹣1 B．1或9 C．1或﹣9 D．9或﹣9 【分析】根据绝对值求出m，n的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵|m|＝5，|n|＝4， ∴m＝±5，n＝±4， 又∵|m+n|＝|m|﹣|n|， ∴|m|＞|n|，且m、n异号， ∴m＝5，n＝﹣4，或m＝﹣5，n＝4， 当m＝5，n＝﹣4时，m﹣n＝5﹣（﹣4）＝9， 当m＝﹣5，n＝4时，m﹣n＝﹣5﹣4＝﹣9， ∴m﹣n＝9或﹣9． 故选：D． 6．（3分）乘方是特殊的乘法运算，乘方具有简洁之美，请观察下列等式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，请思考：30+3+32+33+34+⋯+32024的个位数字是（　　） A．0 B．1 C．3 D．4 【分析】根据题意和题目中的数据，可以写出前几个式子的个位数字，从而可以发现个位数字的变化特点，从而可以得到所求式子的个位数字． 【解答】解：∵30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，.....． 30＝1，30+31＝4，30+31+32＝13，30+31+32+33＝40，30+31+32+33+34＝121，30+31+32+34+35＝364⋯⋯ ∴30＝1的个位数字是1， 30+31＝4的个位数字是4， 30+31+32＝13的个位数字是3， 30+31+32+33＝40的个位数字是0， 30+31+32+33+34＝121的个位数字是1， 30+31+32+34+35＝364的个位数字是4， .....． 由上可得，上面式子的个位数字以1，4，3，0依次出现，且4个一循环， ∵2025÷4＝506⋯⋯1， ∴30+3+32+33+34+⋯+32024的个位数字是1， 故选：B． 7．（3分）定义新运算“*”，规定a*b＝[（a+b）÷（a﹣b）]3（其中a≠b）．例如，1*3＝[（1+3）÷（1﹣3）]3＝[4÷（﹣2）]3＝（﹣2）3＝﹣8．则（﹣9）*（﹣15）的值为（　　） A．﹣64 B．﹣4 C．4 D．64 【分析】根据a*b＝[（a+b）÷（a﹣b）]3，可以计算出所求式子的值． 【解答】解：∵a*b＝[（a+b）÷（a﹣b）]3， ∴（﹣9）*（﹣15） ＝[（﹣9﹣15）÷（﹣9+15）]3 ＝[（﹣24）÷6]3 ＝（﹣4）3 ＝﹣64， 故选：A． 8．（3分）下列说法正确的有（　　） ①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或﹣3； ②已知a，b，c是有理数，且a+b+c＝0，abc＜0时，则的值为﹣1或3； ③若|a|＝|b|且，则式子a﹣2b的值为1． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】①先由商为﹣1得|abc|＝﹣abc，进而得abc＜0，所以a、b、c三数中有一个负数，两个正数或三个均为负数，分别根据绝对值的性质与有理数的除法法则和加减法则计算便可； ②由a+b+c＝0，得a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，由abc＜0，得a、b、c三数中有一个负数，两个正数或三个均为负数，再分别根据绝对值的性质与有理数的除法法则和加减法则计算便可； ③由|a|＝|b|且|a﹣b|，得a＝﹣b，a﹣b，求得a、b的值，再代入式子中求值； 【解答】解：①∵a，b，c是非零的有理数，且1 ∴|abc|＞0． ∴abc＜0． ∴a、b、c三数中有一个负数，两个正数或三个均为负数， 当a、b、c三数中有一个负数，两个正数时， 1+1+1＝1． 当a、b、c三数均为负数时， 1﹣1﹣1＝﹣3． 故①符合题意． ②∵a+b+c＝0． ∴a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a． ∵abc＜0． ∴a、b、c三数中有一个负数，两个正数， 当a、b、c三数中有一个负数，两个正数时， 可令a为负，b和c为正． 则1﹣1﹣1＝﹣1． ∵a+b+c＝0， ∴a、b、c三数不能同时为负， 故②不符合题意． ③∵|a|＝|b|． ∴a＝±b． ∵|a﹣b|． ∴a﹣b＝±． ∴a，b或a，b． ∴a﹣2b＝1或﹣1． 故③不符合题意． 故选：B． 9．（3分）有理数a，b，c在数轴上对应的位置如图所示：①abc＞0；②（b﹣a）（a﹣c）（c﹣b）＜0；③|b|＜1+ac；④|b﹣a|+|a﹣c|＝c+b其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】观察数轴上a、b、c的位置，可得出b＜0＜a＜c＜1，可对①作出判断；由b﹣a＜0，a﹣c＜0，c﹣b＞0，可对②作出判断；根据|b|＜1，ac＞0，可对③作出判断；化简|b﹣a|+|a﹣c|，可对④作出判断，就可得出正确结论的个数． 【解答】解：根据题意可得：b＜0，0＜a＜c＜1， ∴abc＜0， 故①错误； ∵b＜0，0＜a＜c＜1， ∴b﹣a＜0，a﹣c＜0，c﹣b＞0， ∴（b﹣a）（a﹣c）（c﹣b）＞0， 故②错误； ∵﹣1＜b＜0，0＜a＜c＜1， ∴|b|＜1，ac＞0， ∴1+ac＞1， ∴|b|＜1+ac， 故③正确； ∵b﹣a＜0，a﹣c＜0， ∴|b﹣a|+|a﹣c|＝﹣（b﹣a）+[﹣（a﹣c）]＝﹣b+a﹣a+c＝c﹣b， 故④错误； ∴正确的有1个， 故选：A． 10．（3分）小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将﹣1、2、﹣3、4、﹣5、6、﹣7、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中a+b的值为（　　） A．﹣6或﹣3 B．﹣8或1 C．﹣1或﹣4 D．1或﹣1 【分析】由于八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．列等式可得结论． 【解答】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d， ﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8＝4， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2， 则﹣7+6+b+8＝2，得b＝﹣5， 6+4+b+c＝2，得c＝﹣3， a+c+4+d＝2，a+d＝1， ∵当a＝﹣1时，d＝2，则a+b＝﹣1﹣5＝﹣6， 当a＝2时，d＝﹣1，则a+b＝2﹣5＝﹣3， 故选：A． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）数3.896≈　3.90　 （精确到百分位），数66800≈　7万　 （精确到万位），数0.0571≈　0.1　 （精确到0.1）． 【分析】分别对千分位数字和千位及百分位数字进行四舍五入即可． 【解答】解：数3.896≈3.90（精确到百分位）， 数66800≈7万（精确到万位）， 数0.0571≈0.1（精确到0.1）． 故答案为：3.90、7万、0.1． 12．（3分）数轴上表示﹣3的点向右移动5个单位后到达A点，点A和数轴上点B互为相反数，那么点B表示有理数是　﹣2　 ． 【分析】先求出点A所表示的数，再根据点A和数轴上点B互为相反数，求出B表示的有理数． 【解答】解：∵数轴上表示﹣3的点向右移动5个单位后到达A点2，点A和点B互为相反数， ∴点B表示有理数为﹣2． 故答案为：﹣2． 13．（3分）设x、y互为相反数，且xy≠0．m的绝对值为8，则的值为 　16或﹣16　 ． 【分析】根据相反数和绝对值的意义得，x+y＝0，m＝±8，然后代入所给代数式计算即可得到结果． 【解答】解：∵x、y互为相反数，且xy≠0，m的绝对值为8， ∴，m＝±8， ∴ ＝﹣（x﹣m）﹣（y﹣m） ＝﹣x+m﹣y+m ＝﹣（x+y）+2m ＝2m， ∴当m＝8时，原式＝2×8＝16， 当m＝﹣8时，原式＝2×（﹣8）＝﹣16， ∴的值为16或﹣16． 故答案为：16或﹣16． 14．（3分）一组数据，，，，，…按这种规律得第十个数为 　　 ． 【分析】正负间隔出现，分母是连续的奇数，分子为连续自然数的平方，第n项为． 【解答】解：根据题中规律可得第n项为， 当n＝10时，． 故答案为：． 15．（3分）我们平常用的数是十进制的数，如1234＝1×103+2×102+3×101+4×1，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如：二进制中，101＝1×22+0×21+1等于十进制的数5；10111＝1×24+0×23+1×22+1×21+1等于十进制的数23．请问二进制中的1011101等于十进制中的数为 　93　 ． 【分析】认真观察已知给出的两个式子：101＝1×22+0×21+1等于十进制的数5；10111＝1×24+0×23+1×22+1×21+1等于十进制的数23，得出规律，再计算． 【解答】解：1011101＝1×26+0×25+1×24+1×23+1×22+0×21+1＝64+0+16+8+4+0+1＝93． 故答案为：93． 16．（3分）高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数． 例如：[2.3]＝2，[﹣1.5]＝﹣2． 则下列结论： ①[﹣2.1]+[1]＝﹣2； ②[x]+[﹣x]＝0； ③若[x+1]＝3，则x的取值范围是2≤x＜3； ④当﹣1≤x＜1时，[x+1]+[﹣x+1]的值为0、1、2． 其中正确的结论有　①③　 （写出所有正确结论的序号）． 【分析】根据[x]表示不超过x的最大整数，即可解答． 【解答】解：①[﹣2.1]+[1]＝﹣3+1＝﹣2，正确； ②[x]+[﹣x]＝0，错误，例如：[2.5]＝2，[﹣2.5]＝﹣3，2+（﹣3）≠0； ③若[x+1]＝3，则x的取值范围是2≤x＜3，正确； ④当﹣1≤x＜1时，0≤x+1＜2，0＜﹣x+1≤2， ∴[x+1]＝0或1，[﹣x+1]＝0或1或2， 当[x+1]＝0时，则﹣1≤x＜0，所以[﹣x+1]＝1或2，则[x+1]+[﹣x+1]的值为1或2； 当[x+1]＝1时，则0≤x＜1，所以[﹣x+1]＝1或0；则[x+1]+[﹣x+1]的值为1或2； 所以[x+1]+[﹣x+1]的值为1、2，故错误． 故答案为：①③． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）计算． （1）﹣104+[2×（﹣4）2﹣（﹣3）3÷（﹣1）3]． （2）． 【分析】（1）先算乘方，再算乘除，后算括号，最后算加法； （2）先算乘方，再利用乘法分配律计算，后算括号，最后算除法． 【解答】解：（1）﹣104+[2×（﹣4）2﹣（﹣3）3÷（﹣1）3] ＝﹣10000+[2×16﹣（﹣27）÷（﹣1）] ＝﹣10000+（32﹣27） ＝﹣10000+5 ＝﹣9995； （2） ＝（﹣28+33﹣6﹣48）÷49 ＝（﹣49）÷49 ＝﹣1． 18．（8分）已知：|x﹣1|＝3，（y+2）2＝9，z3＝﹣64，若xy≥0，求x+y+z的值． 【分析】先运用绝对值、平方根和立方根等知识确定x，y，z的值，再代入进行求解． 【解答】解：∵|x﹣1|＝3， ∴x﹣1＝±3， 解得x＝4或x＝﹣2， ∵（y+2）2＝9， ∴y+2＝±3， 解得y＝﹣5或y＝1， ∵xy≥0， ∴x＝4，y＝1或x＝﹣2，y＝﹣5， ∵z3＝﹣64， ∴z＝﹣4， ∴当x＝4，y＝1，z＝﹣4时， x+y+z＝4+1﹣4＝1； 当x＝﹣2，y＝﹣5，z＝﹣4时， x+y+z＝﹣2﹣5﹣4＝﹣11； 综上所述，x+y+z的值为：1或﹣11． 19．（8分）已知a，b，c在数轴上的对应点如图所示． （1）判断正、负，用“＞”“＜”填空：a+b 　＜　 0，c﹣a 　＜　 0，b+c 　＜　 0，b﹣c 　＞　 0； （2）化简：|a|+|a+b|+|c﹣a|﹣2|b+c|﹣|b﹣c|+|a﹣b|． 【分析】（1）根据题意可得：c＜b＜0＜a，且|b|＞|a|，然后根据有理数的加法，减法法则进行计算，即可解答； （2）根据题意可得：c＜b＜0＜a，且|b|＞|a|，从而可得a+b＜0，c﹣a＜0，b+c＜0，b﹣c＞0，a﹣b＞0，然后根据绝对值的意义进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：c＜b＜0＜a，且|b|＞|a|， ∴a+b＜0，c﹣a＜0，b+c＜0，b﹣c＞0， 故答案为：＜，＜，＜，＞； （2）由题意得：c＜b＜0＜a，且|b|＞|a|， ∴a+b＜0，c﹣a＜0，b+c＜0，b﹣c＞0，a﹣b＞0， ∴|a|+|a+b|+|c﹣a|﹣2|b+c|﹣|b﹣c|+|a﹣b| ＝a﹣（a+b）+a﹣c+2（b+c）﹣（b﹣c）+a﹣b ＝a﹣a﹣b+a﹣c+2b+2c﹣b+c+a﹣b ＝2a﹣b+2c． 20．（8分）阅读理解，并解答问题： （1）观察下列各式：，，，…则 　　 ． （2）请利用上述规律计算（要求写出计算过程）： ①； ②． 【分析】（1）根据题意得出规律解答即可； （2）①观察（1）中各式规律即可计算； ②结合①和阅读材料即可计算． 【解答】解：（1）由题意可得，， 故答案为：； （2）①原式 ＝1 ； ②原式 ． 21．（8分）某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣10 +16 ﹣9 （1）根据记录的数据可知该厂星期五生产自行车 　190　 辆； （2）根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车 　1409　 辆； （3）该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ （4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下这一周工人的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 【分析】（1）根据题意把200减去10即可求解； （2）首先把表格数据求和，然后加上1400即可求解； （3）利用（2）的结果，根据已知条件即可该厂工人这一周的工资总额； （4）利用（2）的结果，根据已知条件求出这一周工人的工资与按日计件的工资哪一个更多； 【解答】解：（1）该厂星期五生产自行车 200﹣10＝190辆； （2）该厂本周实际生产自行车 1400+（+5）+（﹣2）+（﹣4）+（+13）+（﹣10）+（+16）+（﹣9）＝1409辆； （3）1400+（+5）+（﹣2）+（﹣4）+（+13）+（﹣10）+（+16）+（﹣9）＝1409辆， 1409×60+（5+13+16）×15+（﹣2﹣4﹣10﹣9）×20＝84550， ∴该厂工人这一周的工资总额是84550 元； （4）实行每周计件工资制的工资为1409×60+9×15＝84675＞84550， 所以按周计件制的一周工资较高． 22．（10分）观察下列三行数： 2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，… 5，﹣1，11，﹣13，35，﹣61，… ﹣1，5，﹣7，17，﹣31，65，… （1）第一行的第7个数是 　128　 ，第二行的第7个数是 　131　 ； （2）三行第4个数的和是 　﹣12　 ，设第一行的第n个数为x，则第二行、第三行的第n个数分别为 　x+3　 、　﹣x+1　 ，则这三行三个数的和为 　x+4　 （用含x的式子表示）； （3）取每行的第n个数，若三个数的和为﹣252，求n的值． 【分析】（1）根据第①行已知数据都是2的乘方得到，再利用第①行每个数加上3可得第②行，从而可得出答案； （2）利用第②，③行与第①行的对应的数大小关系得出结论即可； （3）利用（1）（2）数据的规律进而得出方程求出即可． 【解答】解：（1）∵2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，……；① ∴21＝2，﹣4＝﹣22，8＝23，﹣16＝﹣24，… ∴第①行第7个数为：27＝128； ∵5，﹣1，11，﹣13，35，﹣61，…② ∴2+3＝5，﹣4+3＝﹣1，8+3＝11，﹣16+3＝﹣13，32+3＝35，…， ∴第②行第7个数为：128+3＝131； （2）三行第4个数的和为：﹣16﹣13+17＝﹣12； ∵﹣1，5，﹣7，17，31，65，…③， ∴﹣2+1＝﹣1，﹣（﹣4）+1＝5，﹣8+1＝﹣7，﹣17+1＝﹣16，… 结合（1）可得： 设第一行的第n个数为x，则第二行、第三行的第n个数分别为x+3，﹣x+1， ∴这三行三个数的和为x+x+3﹣x+1＝x+4； （3）取每行的第n个数，三个数的和为﹣252，设第一行的第n个数为x， ∴x+4＝﹣252， ∴x＝﹣256， ∵第①行第偶数个系数为负数， ∴第一行的第n个数是（﹣1）n+1•2n； ∴（﹣1）n+1•2n＝﹣256， 解得：n＝8． 23．（10分）阅读材料：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离可以表示为|AB|＝|a﹣b|． 回答下列问题： （1）数轴上点P代表的数是x，数轴上表示7的点到点P之间的距离是 　|x﹣7|　 （用含x的式子表示）：|x+5|可表示为点P到表示数 　﹣5　 的距离． （2）若|x﹣2|＝6，则x＝ 　﹣4或8　 ； （3）代数式|x﹣2|+|x+6|的最小值是 　8　 ，代数式|x+3|+|x+6|+|x﹣3|的最小值是 　9　 ． （4）若（|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣7|）×（|y+2|+|y﹣1|+|y﹣3|+|y﹣5|）＝54，则3x﹣4y的最大值是 　5　 ． 【分析】（1）根据两点间的距离公式进行作答即可； （2）根据两点间的距离公式，得到数轴上数x与数2之间的距离为6，进行求解即可； （3）根据两点间的距离公式，得到当x在﹣6和2之间时，代数式|x﹣2|+|x+6|的值最小，当x＝﹣3时，代数式|x+3|+|x+6|+|x﹣3|的值最小，进行求解即可； （4）根据|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣7|的最小值为6，|y+2|+|y﹣1|+|y﹣3|+|y﹣5|的最小值为9，得到|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣7|＝6，|y+2|+|y﹣1|+|y﹣3|+|y﹣5|＝9，得到x＝3，y＝1或y＝3，进行求解即可． 【解答】解：（1）∵点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离可以表示为|AB|＝|a﹣b|． ∴数轴上表示7的点到点P之间的距离是|x﹣7|，|x+5|可表示为点P到表示数﹣5的距离； 故答案为：|x﹣7|，﹣5； （2）|x﹣2|＝6， ∴x＝2+6＝8或x＝2﹣6＝﹣4； 故答案为：﹣4或8； （3）∵|x﹣2|+|x+6|表示数x分别与数﹣6，2之间的距离之和， ∴当x在﹣6和2之间时，代数式|x﹣2|+|x+6|的值最小为2﹣（﹣6）＝8； 同理：当x＝﹣3时，代数式|x+3|+|x+6|+|x﹣3|的值最小为：3﹣（﹣6）＝9； 故答案为：8，9； （4）同（3）可知：当x＝3时，|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣7|的值最小为7﹣1＝6， 当y＝1或y＝3时，|y+2|+|y﹣1|+|y﹣3|+|y﹣5|的值最小为9， ∵（|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣7|）×（|y+2|+|y﹣1|+|y﹣3|+|y﹣5|）＝54， ∴|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣7|＝6，|y+2|+|y﹣1|+|y﹣3|+|y﹣5|＝9， ∴x＝3，y＝1或y＝3， ∴3x﹣4y＝3×3﹣4×1＝5或3x﹣4y＝3×3﹣4×3＝﹣3， ∴3x﹣4y的最大值是5． 24．（12分）如图，点M，N均在数轴上，点M所对应的数是﹣3，点N在点M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点． （1）求出点N所对应的数； （2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数； （3）若点P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒运动2个单位长度，点Q每秒运动3个单位长度，若点P先出发5秒后点Q出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，求此时点P、Q分别对应的数； （4）若点P、Q分别同时从点M、N出发，均沿数轴相向运动，运动时间为t，点P保持每秒运动2个单位长度，点Q保持每秒运动3个单位长度，点P到O立即折返，点Q到M立即折返，直接写出P、Q距离为1时t的值． 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）因为MN＝4，因此点P不可能在点M、N之间，所以分两种情况进行解答，即点P在点M的左侧，在点N的右侧，设未知数，利用数轴上两点距离的计算方法列方程求解即可； （3）设Q移动的时间为t s，用含有t的代数式表示移动后点P、Q所表示的数，再根据两点距离计算方法列方程求出时间t，最后再计算所表示的数． （4）分0＜t，t，t时，三种情况讨论． 【解答】解：（1）∵点M所对应的数是﹣3，点N在点M的右边 ∴﹣3+4＝1， ∴点N所对应的数是1； （2）因为MN＝5，因此点P不可能在点M、N之间， 当点P在点M的左侧时，设点P所表示的数为x，则PM＝﹣3﹣x，PN＝1﹣x， 由PM+PN＝5得，﹣3﹣x+1﹣x＝5， 解得x＝﹣3.5， 当点P在点N的右侧时，设点P所表示的数为y，则PM＝y+3，PN＝y﹣1， 由PM+PN＝5得，y+3+y﹣1＝5， 解得y＝1.5， 所以当点P到点M，N的距离之和是5个单位时，点P所对应的数是﹣3.5或1.5； （3）点P从点M向左移动5s后所对应的数为﹣3﹣2×5＝﹣13， 设点Q移动的时间为t s，则点P所对应的数为（﹣13﹣2t），点Q所对应的数为（1﹣3t）， ①当点Q在点P的右侧时，有（1﹣3t）﹣（﹣13﹣2t）＝2， 解得t＝12， 此时点P所表示的数为﹣13﹣2×12＝﹣37，点Q所表示的数为1﹣3×12＝﹣35， ②当点Q在点P的左侧时，有（﹣13﹣2t）﹣（1﹣3t）＝2， 解得t＝16， 此时点P所表示的数为﹣13﹣2×16＝﹣45，点Q所表示的数为1﹣3×16＝﹣47， 答：当P，Q两点相距2个单位长度时，点P，Q对应的数为﹣37，﹣35或﹣45，﹣47； （4）点P到达O点所需时间为：，点Q到达M点所需时间为：； 当0＜t时，P点表示的数为﹣3+2t，Q点表示的数为1﹣3t， ∴|﹣3+2t﹣1+3t|＝1， 解得t＝1或t； 当t时，P点表示的数为﹣3+2t，Q点表示的数为﹣3+（t）， ∴|﹣3+（t）+3﹣2t|＝1， 解得t（舍）或t（舍）； 当t时，当t时，Q点表示的数是， ∴P点表示的数为﹣2（t），Q点表示的数为3（t）， ∴|﹣2（t）3（t）|＝1， 解得t或t； 综上：或t＝1或t或t． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算全章拔尖卷 【人教版新教材】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．本卷旨在聚焦全章核心考点与重难点，集中攻克解题瓶颈，提升解决复杂问题的能力。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）﹣|﹣2025|的相反数是（　　） A．﹣2025 B．2025 C． D． 2．（3分）中国信息通信研究院测算，2020～2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（　　） A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108 3．（3分）某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为（20±0.1）kg，（20±0.2）kg，（20±0.3）kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（　　） A．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg 4．（3分）下列说法：①有理数不是整数就是分数；②|﹣a|一定是正数；③如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数；④n个数相乘，积的符号由负因数的个数决定；⑤如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数．正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（3分）若|m|＝5，|n|＝4，且|m+n|＝|m|﹣|n|，则m﹣n＝（　　） A．﹣9或﹣1 B．1或9 C．1或﹣9 D．9或﹣9 6．（3分）乘方是特殊的乘法运算，乘方具有简洁之美，请观察下列等式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，请思考：30+3+32+33+34+⋯+32024的个位数字是（　　） A．0 B．1 C．3 D．4 7．（3分）定义新运算“*”，规定a*b＝[（a+b）÷（a﹣b）]3（其中a≠b）．例如，1*3＝[（1+3）÷（1﹣3）]3＝[4÷（﹣2）]3＝（﹣2）3＝﹣8．则（﹣9）*（﹣15）的值为（　　） A．﹣64 B．﹣4 C．4 D．64 8．（3分）下列说法正确的有（　　） ①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或﹣3； ②已知a，b，c是有理数，且a+b+c＝0，abc＜0时，则的值为﹣1或3； ③若|a|＝|b|且，则式子a﹣2b的值为1． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．（3分）有理数a，b，c在数轴上对应的位置如图所示：①abc＞0；②（b﹣a）（a﹣c）（c﹣b）＜0；③|b|＜1+ac；④|b﹣a|+|a﹣c|＝c+b其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 10．（3分）小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将﹣1、2、﹣3、4、﹣5、6、﹣7、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中a+b的值为（　　） A．﹣6或﹣3 B．﹣8或1 C．﹣1或﹣4 D．1或﹣1 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）数3.896≈　 　 （精确到百分位），数66800≈　 　 （精确到万位），数0.0571≈　 　 （精确到0.1）． 12．（3分）数轴上表示﹣3的点向右移动5个单位后到达A点，点A和数轴上点B互为相反数，那么点B表示有理数是　 　 ． 13．（3分）设x、y互为相反数，且xy≠0．m的绝对值为8，则的值为 　 　 ． 14．（3分）一组数据，，，，，…按这种规律得第十个数为 　 　 ． 15．（3分）我们平常用的数是十进制的数，如1234＝1×103+2×102+3×101+4×1，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如：二进制中，101＝1×22+0×21+1等于十进制的数5；10111＝1×24+0×23+1×22+1×21+1等于十进制的数23．请问二进制中的1011101等于十进制中的数为 　 　 ． 16．（3分）高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数． 例如：[2.3]＝2，[﹣1.5]＝﹣2． 则下列结论： ①[﹣2.1]+[1]＝﹣2； ②[x]+[﹣x]＝0； ③若[x+1]＝3，则x的取值范围是2≤x＜3； ④当﹣1≤x＜1时，[x+1]+[﹣x+1]的值为0、1、2． 其中正确的结论有　 　 （写出所有正确结论的序号）． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）计算． （1）﹣104+[2×（﹣4）2﹣（﹣3）3÷（﹣1）3]． （2）． 18．（8分）已知：|x﹣1|＝3，（y+2）2＝9，z3＝﹣64，若xy≥0，求x+y+z的值． 19．（8分）已知a，b，c在数轴上的对应点如图所示． （1）判断正、负，用“＞”“＜”填空：a+b 　 　 0，c﹣a 　 　 0，b+c 　 　 0，b﹣c 　 　 0； （2）化简：|a|+|a+b|+|c﹣a|﹣2|b+c|﹣|b﹣c|+|a﹣b|． 20．（8分）阅读理解，并解答问题： （1）观察下列各式：，，，…则 　 　 ． （2）请利用上述规律计算（要求写出计算过程）： ①； ②． 21．（8分）某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣10 +16 ﹣9 （1）根据记录的数据可知该厂星期五生产自行车 　 　 辆； （2）根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车 　 　 辆； （3）该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ （4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下这一周工人的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 22．（10分）观察下列三行数： 2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，… 5，﹣1，11，﹣13，35，﹣61，… ﹣1，5，﹣7，17，﹣31，65，… （1）第一行的第7个数是 　 　 ，第二行的第7个数是 　 　 ； （2）三行第4个数的和是 　 　 ，设第一行的第n个数为x，则第二行、第三行的第n个数分别为 　 　 、　 　 ，则这三行三个数的和为 　 　 （用含x的式子表示）； （3）取每行的第n个数，若三个数的和为﹣252，求n的值． 23．（10分）阅读材料：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离可以表示为|AB|＝|a﹣b|． 回答下列问题： （1）数轴上点P代表的数是x，数轴上表示7的点到点P之间的距离是 　 　 （用含x的式子表示）：|x+5|可表示为点P到表示数 　 　 的距离． （2）若|x﹣2|＝6，则x＝ 　 　 ； （3）代数式|x﹣2|+|x+6|的最小值是 　 　 ，代数式|x+3|+|x+6|+|x﹣3|的最小值是 　 　 ． （4）若（|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣7|）×（|y+2|+|y﹣1|+|y﹣3|+|y﹣5|）＝54，则3x﹣4y的最大值是 　 　 ． 24．（12分）如图，点M，N均在数轴上，点M所对应的数是﹣3，点N在点M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点． （1）求出点N所对应的数； （2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数； （3）若点P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒运动2个单位长度，点Q每秒运动3个单位长度，若点P先出发5秒后点Q出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，求此时点P、Q分别对应的数； （4）若点P、Q分别同时从点M、N出发，均沿数轴相向运动，运动时间为t，点P保持每秒运动2个单位长度，点Q保持每秒运动3个单位长度，点P到O立即折返，点Q到M立即折返，直接写出P、Q距离为1时t的值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $