精品解析：新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州且末县第一中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

2025-2026学年度高二数学9月月考试卷 考试时间：120分钟 一、单选题（共40分） 1. 已知正方体，设向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程组，即可求解. 【详解】由于， 所以，，. 故选：B 2. 如图，在平行六面体中，，相交于点，为的中点，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】在平行六面体中，为的中点， 则. 故选：C. 3. 对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有，则，，是，，，四点共面的(　　) A 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中共面定理：空间任意一点和不共线的三点，，，且,得,,,四点共面等价于，然后分充分性和必要性进行讨论即可. 【详解】解：空间任意一点和不共线的三点，，，且 则,,,四点共面等价于 若，，，则，所以,,,四点共面 若,,,四点共面，则，不能得到，， 所以，，是,,,四点共面的充分不必要条件 故选B. 【点睛】本题考查了空间中四点共面定理，充分必要性的判断，属于基础题. 4. 在四面体中，点在上，且，为的中点，若，则使与共线的的值为 A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， 假设三点共线，则存在实数使得 ， 得 ，解得. 故选：A. 5. 已知，且与垂直，则与的夹角为（ ） A. 60° B. 30° C. 135° D. 45° 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直及数量积的运算律求得，根据向量的夹角公式求夹角的大小. 【详解】由题设， 所以，而， 所以. 故选：D 6. 如图，在长方体中，，点是的中点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间直角坐标系中点坐标公式可得. 【详解】由图可知，， 因为点是的中点， 则由中点坐标公式可得. 故选：C. 7. 如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算求解即可； 【详解】由题意可得，， ∴，， ∴． 故选：C 8. 在长方体中，和与底面所成角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由条件求，，，再结合异面直线夹角定义及利用余弦定理求结论. 【详解】设，因为和与底面所成的角分别为和， 所以，， 所以，， 所以，，， 因为，所以为异面直线和所成角 由余弦定理得：. 故选：A． 二、多选题（共18分） 9. （多选）如图，在正方体中，为对角线的三等分点，则点P到各顶点的距离的不同取值有（ ） A. B. C. D. 3 【答案】BCD 【解析】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为3，利用坐标运算求出点P到各顶点的距离，即可求解. 【详解】 由已知，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为3， 则，，，，，，，， 所以． 设点，由图可知，为靠近的对角线的三等分点， 因为， 所以，所以， 则， ， ，， 所以， ， ， ， 故点到各顶点的距离的不同取值有，，，． 故选：BCD. 10. 在空间直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A. 向量的坐标与点的坐标相同 B. 向量的坐标与点的坐标相同 C. 向量与向量的坐标相同 D. 向量与向量的坐标相同 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量坐标的定义逐个分析判断即得. 【详解】对于AC，由于，因点不一定为坐标原点，所以AC不正确， 对于B，若，则与点的坐标不相同，所以B不正确； 对于D，由于，所以向量与向量的坐标相同，所以D正确． 故选：ABC 11. 关于点，下列说法正确的是（ ） A. 点P关于Oxy平面的对称点的坐标为 B. 点P关于x轴的对称点的坐标为 C. 点P关于Oyz平面的对称点的坐标为 D. 点P关于y轴的对称点的坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据“关于谁对称，谁不变”的规律结合选项逐项分析即可求出结果. 【详解】求点关于坐标轴或坐标平面对称的点的坐标，其规律是“关于谁对称，谁不变”，如点关于y轴的对称点为，关于平面的对称点是，点关于轴的对称点为，关于平面的对称点是 故A选项点P关于Oxy平面的对称点的坐标为，故A正确； B选项点P关于x轴的对称点的坐标为，故B错误； C选项点P关于Oyz平面的对称点的坐标为，故C正确； D选项点P关于y轴的对称点的坐标为，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题（共20分） 12. 已知，，则________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量坐标运算计算得解. 【详解】由，，得， 所以. 故答案为：5 13. 如图，在长方体中，，，，分别是，的中点，则点到直线的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即得． 【详解】以为原点，建立空间直角坐标系， 则，所以 所以点到直线的距离为：， 即点到直线的距离为． 故答案为：． 14. 已知，，，若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再根据可得，利用空间向量垂直的坐标运算列式可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得，又， 所以，解得. 故答案为： 四、解答题（共72分） 15. 在长方体中，已知，，，点，分别在棱，上，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明四边形和四边形都为平行四边形，从而可得出，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 连接， 因为且， 所以四边形为平行四边形， 所以且， 又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有， 令，则，所以， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 16. 如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明： （1）平面； （2）平面平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； （2）证明也是平面MNP的一个法向量即可. 【小问1详解】 证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，，，． 由正方体的性质，知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于， 则， 所以． 又平面， 所以平面． 【小问2详解】 证明：因为为平面的一个法向量， 由于，， 则， 即也是平面MNP的一个法向量， 所以平面平面． 17. 如图在四棱锥中，，，且底面为直角梯形，平面，分别为线段上靠近点的三等分点. （1）证明: 平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先求证平面，再根据即可求出； （2）以为原点建立空间直角坐标系，分别计算两个平面的法向量，再利用公式计算即可. 【小问1详解】 因为直角梯形，，，， 则，则 ，即， 因平面，平面，则， 又平面，则平面， 因分别为线段上靠近点的三等分点，则， 则平面； 【小问2详解】 以为原点，为基底建立空间直角坐标系， 则， 则，由，可设， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，则， 由题意可知平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 18. 如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点. （1）求证：平面EGF平面ABD； （2）求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【小问1详解】 在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 19. 如图，在直三棱柱中，分别是的中点． （1）证明：∥平面． （2）设，． ①证明：平面． ②求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，由中位线证得，再利用线面平行的判定定理即可得证； （2）①先证得，，利用线面垂直的判定定理得平面，继而得.再利用平面图形的性质证得，进而利用线面垂直的判定定理即可得证； ②设点到平面的距离为，先由余弦定理求得，继而求得，，.再根据等体积法得，即可求得. 【小问1详解】 证明：连接交于点，连接，则为的中点． 因为是的中点，所以∥． 因为平面，平面，所以∥平面． 【小问2详解】 ①因为是直三棱柱，所以． 因为，为的中点，所以． 因为，平面，所以平面. ∵平面，∴． 因为，，所以，所以． 因为，所以，，． 因为，所以． 因为，平面，所以平面． ②中，，，， 则． 因为，所以． 设点到平面的距离为， 由①可知平面， 所以三棱锥的体积 ．则， 即点到平面的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二数学9月月考试卷 考试时间：120分钟 一、单选题（共40分） 1. 已知正方体，设向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行六面体中，，相交于点，为的中点，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有，则，，是，，，四点共面的(　　) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 在四面体中，点在上，且，为的中点，若，则使与共线的的值为 A. 1 B. 2 C. D. 5. 已知，且与垂直，则与夹角为（ ） A. 60° B. 30° C. 135° D. 45° 6. 如图，在长方体中，，点是的中点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 在长方体中，和与底面所成角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为 A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. （多选）如图，在正方体中，为对角线的三等分点，则点P到各顶点的距离的不同取值有（ ） A. B. C. D. 3 10. 在空间直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A. 向量的坐标与点的坐标相同 B. 向量的坐标与点的坐标相同 C. 向量与向量的坐标相同 D. 向量与向量的坐标相同 11. 关于点，下列说法正确的是（ ） A. 点P关于Oxy平面的对称点的坐标为 B. 点P关于x轴的对称点的坐标为 C. 点P关于Oyz平面的对称点的坐标为 D. 点P关于y轴对称点的坐标为 三、填空题（共20分） 12. 已知，，则________. 13. 如图，在长方体中，，，，分别是，的中点，则点到直线的距离为___________． 14. 已知，，，若，则值为______. 四、解答题（共72分） 15. 在长方体中，已知，，，点，分别在棱，上，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明： （1）平面； （2）平面平面． 17. 如图在四棱锥中，，，且底面为直角梯形，平面，分别为线段上靠近点的三等分点. （1）证明: 平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 18. 如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为中点. （1）求证：平面EGF平面ABD； （2）求平面EGF与平面ABD的距离. 19. 如图，在直三棱柱中，分别是的中点． （1）证明：∥平面． （2）设，． ①证明：平面． ②求点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $