第1章有理数 1.2 有理数基础讲义2025-2026学年青岛版（2024 ）七年级数学上册

2024新版·7年级上册数学讲义·青岛版 第1章 有理数之1.2 有理数 1.2 有理数 引入负数后，数的范围就扩大了．与小学对数的学习类似，我们进一步在这个范围内学习数的表示以及大小比较等问题。 思考 在小学阶段和上一节中，我们认识了很多数．回想一下，到目前为止，我们认识了哪些数？ 我们学习过正整数，如１，２，３，…；０；负整数，如－１，－２，－３，···. 我们还学习过正分数，如，，，0.1, 5.32，0.，..…；负分数，如－，－，－， －０.５，－150.5，···. 它们都是分数。 进一步地，正整数可以写成正分数的形式，例如２＝；负整数可以写成负分数的形式，例如－３＝ －；０也可以写成分数的形式。这样，整数可以写成分数的形式。 ０.１＝，－0.5＝ －，0. ＝，…．事实上，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也可以看成分数。 注意：有限小数，如0.5= ，-0.1 = 等- 无限循环小数，如0.等 小数 无限小数 不能化为分数，不是有理数 无限不循环小数，如π，0.161 6616661· · · （每两个1之间逐次增加1个6）等 知识点一 有理数的有关概念 1. 整数 正整数、0、负整数统称为整数，如-3，-2, 0, 1, 2，3等。 2. 分数 正分数、负分数统称为分数，如+ 1, 0.18，-1.35，--等。 3. 有理数 整数和分数统称为有理数。（可以写成分数形式的数称为有理数 （ｒａｔｉｏｎａｌｎｕｍｂｅｒ）．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数。） 【有理数都可以写成分数(m,n是整数，m≠0）的形式，整数可以写成分母为1的分数】 4. 几个常用数学名词的含义 （1） 正整数：既是正数，又是整数的数。负整数：既是负数，又是整数的数。 （2） 正分数：既是正数，又是分数的数。负分数：既是负数，又是分数的数。 （3） 非负数：正数和0。非正数：负数和0。 （4） 非负整数（也叫自然数）：在整数范围内的非负的数，即正整数和0。 （5） 非正整数：在整数范围内的非正的数，即非负整数和0。 （6） 正有理数：正整数和正分数。负有理数：负整数和负分数。 （7） 非正有理数：0、负整数和负分数。非负有理数：0、正整数和正分数。 （8） 奇数、偶数：引入奇数后，小学学的奇数、偶数的范围也相应扩大了，奇数和偶数也可以有负数，如-1,-3，-5，···都是奇数，-2，-4，-6，···都是偶数。 例1 下列数中哪些是整数？哪些是分数？ +5，-7，，+5.2, 0, 89，-， ， -1.5， -100。 解： +5，-7， 0, 89， -100是整数。 ， +5.2, -， ， -1.5是分数。 例2（2024·山东聊城阳谷实验中学检测）在数0.73, 0，-39, 1, 1，- ，2.43，- ，23%，98，中，分数有（ ）个。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解析： 在给出的数中，分数有0.73, 1，- ，2.43，- ，23%共6个。故选C。 知识点二 有理数的分类 1. 按定义分类正整数 0 整数 负整数 有理数 负分数 正分数 分数 正整数 2. 按数的符号分类正有理数 正分数 负分数 负整数 负有理数 0 有理数 有理数分类三原则： （1） 分类不重合：所有的分类应当互不包含； （2） 分类不遗漏：所分各类之和必须是原来的全部； （3） 标准要统一：必须按统一分类标准进行分类。 拓展： （1） 把满足一定条件的所有数放在一起，就组成了一个集合，简称数集。 一个集合内不能有两个完全相同的数，一个数可能分别属于不同的数集。 （2） 在对有理数进行分类时，每种分类结果都可以看成一个数集，如正整数集、分数集、负整数集等。集合可用圈或大括号表示，如图1-2-1。每个集合最后的省略符号“·…”表示填入的数只是集合的一部分。 1,2,3,4,5，···正整数集 例3 把下列各数分别填在相应的大括号内（将各数用逗号分开）： -2, 0, 0.314， 25%， 11， ， - 3, 0., 1。 非负数：{ ···}； 整数：{ ···}； 分数：{ ···}； 自然数：{ ···}； 非正数：{ ···}。 提示：有限小数和百分数都可以转化成分数，因此也可以将它们看成分数。 分析：首先要明确各类数的意义，其次要弄清每个数的特征。在填入相应的大括号内时，要明确每个有理数的多重身份，如11既是非负数，又是整数，也是自然数。 另外要注意0的特殊性，它既是非负数，也是非正数，还是整数和自然数。 解：非负数：{0, 0.314，25%， 11， ， 0., 1，···}； 整数：{ -2, 0, 11， ···}； 分数：{ 0.314，25%， ， - 3, 0., 1，···}； 自然数：{ 0,11，···}； 非正数：{ -2, 0, - 3 ， ···}。 易错提示： 对数的概念理解不透致错 要判断一个数属于哪一类，首先要弄清分类的标准。如本题中，分数集合中易漏掉0.，自然数集合中易漏掉0，导致错误。 练习（p8） 1. 把下列有理数分别填在相应的大括号里（将各数用逗号分开） -8，10.5，-，0, 13，-0.5, 6。 整数：{ ···}； 分数：{ ···}。 解：整数：{ -8，0, 13，, 6 ，···}； 分数：{ 10.5，-，-0.5, ···}。 2. 有没有这样的有理数，它既不是正数，也不是整数？如果有，请写出一个。 解：有。 如 -0.8。 重点内容总结 有理数 （1） 有关概念 1. 整数： 正整数、零和负整数统称整数。 2. 分数： 正分数和负分数统称分数。 3. 有理数： 整数和分数统称有理数。 （2） 分类 1. 按定义分正整数 0 整数 负整数 有理数 负分数 正分数 分数 2. 按数的符号分正整数 正有理数 正分数 负分数 负整数 负有理数 有理数 1 学科网（北京）股份有限公司 $