3.2 导数与函数的单调性 讲义-2026届高三数学一轮复习

专题3.2 导数与函数的单调性 目录 考点1导数与函数单调性关系 0 题型1 不含参数函数的单调性 1 题型2 含参数函数的单调性 5 题型3 根据函数的单调性求参 9 考点2 导数在单调性上的应用 14 题型4 导数判断单调性应用在比较大小 14 题型5 导数判断单调性应用在图像判断 17 考点3 导数关系构造函数解不等式 21 题型6 构造函数利用导数判断单调性解不等式 21 考点1导数与函数单调性关系 1．利用导数判断函数的单调性的方法 如果函数在的某个开区间内，总有，则在这个区间上是增函数； 如果函数在的某个开区间内，总有，则在这个区间上是减函数． 【注意】对于函数，若，则为增函数（减函数）；反之，若为增函数（减函数），则恒成立，且不恒等于零． 2．求可导函数单调区间的一般步骤和方法 第一步：确定函数的定义域； 第二步：求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实根； 第三步：把函数在间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间； 第四步：确定在各个小区间的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间的增减性. 【注意】 1 函数的单调区间不能用不等式表示，必须写成区间形式； 2 当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，这些单调区间不能用“”连接，可用“，”或“和”连接. 3. 含参函数单调性的求法 此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路： (1)首先考虑二次三项式是否存在零点，这里涉及对判别式和分类讨论，即“有无实根判别式，两种情形需知晓”． (2)如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，逻辑分类有两种情况，需要考虑首项系数是否含有参数．如果首项系数有参数，就按首项系数为零、为正、为负进行讨论；如果首项系数无参数，只需讨论两个根的大小，即“首项系数含参数，先论系数零正负；首项系数无参数，根的大小定胜负”． (3)注意：讨论两个根的大小时，一定要结合函数定义域进行讨论，考虑两根是否在定义域中，即“定义域，紧跟踪，两根是否在其中”． 题型1 不含参数函数的单调性 【高考真题】 1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； 【答案】(1)在上单调递减 (2) 【分析】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解； 【详解】（1）因为，所以， 则 ， 令，由于，所以， 所以， 因为，，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递减. 2．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为. 【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可； 【详解】（1）， 当时，；当，； 在上单调递减，在上单调递增. 则的单调递减区间为，单调递增区间为. 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 4．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可； （2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间； 【详解】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. 【模拟真题】 1．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）已知函数，． (1)若，讨论函数在上的单调性； 【答案】(1)单调递增； 【分析】（1）把代入，求出的导数，结合已知区间及正弦函数的有界性确定导数正负判断单调性. 【详解】（1）当时，，求导得， 令函数，求导得， 则函数在上单调递增，，即，当且仅当时取等号， 当时，，所以函数在上单调递增. 2．（2025高三·全国·专题练习）设函数，且，则的单调递增区间为 ． 【答案】， 【分析】先根据条件确定的值，再根据求的取值范围，可得函数的单调增区间. 【详解】由题意得函数的定义域为． 因为，所以，所以. 所以， 令，得或. 所以函数的单调递增区间为,． 故答案为：,． 3．（2025·河北邯郸·一模）设函数. (1)若，求函数的单调区间； 【答案】(1)递减区间为，递增区间为 【分析】（1）当时，求得，进而得到函数的单调区间； 【详解】（1）解：当时，函数，其定义域为， 则， 令，解得， 当时，，所以在区间上单调递减， 当时，，所以在区间上单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 4．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的单调区间； 【答案】(1)单调递增区间为，无递减区间 【分析】（1）当时，，继续求导即可得解； 【详解】（1）当时，，设，则， 当时，， 的单调递增区间为，无递减区间. 题型2 含参数函数的单调性 【高考真题】 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； 【详解】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 2．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数，其中. （1）讨论的单调性； 【答案】（1）的减区间为，增区间为； 【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 因为，故， 当时，；当时，； 所以的减区间为，增区间为. 【模拟真题】 1．（湖南省九校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题）已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求导得，再分和两种情况讨论导数正负即可得解； 【详解】（1）定义域为，， ①当时，恒成立，故在上单调递增； ②当时，令有，解得，又， 令，解得， 则在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 2．（25-26高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求导，分、、、四种情况讨论； 【详解】（1）求导得， 当时，，则，得，，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，解得或， 当时，，则，得或，，得， 则在内单调递减，在和上单调递增； 当时，，，则在区间上单调递增； 当时，，则，得或，，得， 则在区间内单调递减，在和上单调递增， 综上，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在内单调递减，在和上单调递增； 时，在区间上单调递增； 时，在区间内单调递减，在和上单调递增. 3．（2025·广东·模拟预测）已知函数． (1)若，讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求出导函数，然后按照、、三种情况分类讨论，解导函数不等式即可求得单调区间； 【详解】（1）因为， 所以． 若，则令，解得，， ①若，即时， 当时，，当时，， 故在区间上单调递增，在区间，上单调递减． ②若，即时，，故在上单调递减． ③若，即时， 当时，，当时，， 故在区间上单调递增，在，上单调递减． 综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，； 当时， 在上单调递减； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，． 4．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）利用函数求导，根据参数分类讨论即得函数的单调性； 【详解】（1）函数的定义域为， 因，令， 当时，在上单调递增， 则，故，此时函数在上单调递增： 当时，由，可得， 由，可得， 故当时，则函数在上单调递增； 当时，则函数在上单调递减. 故当时，在上单调递增，无减区间； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 5．（25-26高三上·湖南·阶段练习）已知函数. (1)若，讨论的单调区间； 【答案】(1)答案见解析； 【分析】（1）求出，就、、分类讨论导数的符号后可得单调区间； 【详解】（1）, 若时，，故的增区间为，无减区间； 若， 当时，， 当时，， 故的增区间为，减区间为. 若， 当时，， 当时，， 故的增区间为，减区间为. 综上， 若，的增区间为，无减区间； 若，的增区间为，减区间为. 若，的增区间为，减区间为. 题型3 根据函数的单调性求参 【高考真题】 1．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)若函数在单调递增，求的取值范围． 【答案】(1). 【分析】（1）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）由函数的解析式可得， 满足题意时在区间上恒成立. 令，则， 令，原问题等价于在区间上恒成立， 则， 当时，由于，故，在区间上单调递减， 此时，不合题意; 令，则， 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 即在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，，满足题意. 当时，由可得， 当时，在区间上单调递减，即单调递减， 注意到，故当时，，单调递减， 由于，故当时，，不合题意. 综上可知：实数得取值范围是. 【点睛】方法点睛： （1）由函数的单调性求参数的取值范围的方法 ①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立． ②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集． 【模拟真题】 1．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数. (1)若在上单调递增，求的取值范围； 【答案】(1) 【分析】（1）由题意在上恒成立，构造函数，故只需求得在上的最大值即可； 【详解】（1）由已知得在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则， ， 在上单调递减，， ，即的取值范围为. 2．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数求出，即可得解. 【详解】因为， 所以， 依题意在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，， 则， 当单调递增，当单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 即的取值范围是. 故选：A 3．（2025高三·全国·专题练习）若函数在单调递减，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出定义域，求出，求出的单调递减区间，列关于的不等式即可求解. 【详解】的定义域为， ， 令，即， 解得，即的单调递减区间为， 因为在单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）若函数在不单调，则a可能为（    ） A． B．-1 C．0 D．1 【答案】B 【分析】令求出，令，求出的单调性，求出，求出的取值范围即可求解. 【详解】令得， 令，， 则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 当时，， 所以，又在上不单调， 所以的取值范围是（当时，在恒成立，此时单调递减，不满足题意）， 结合选项得可能为． 故选：B. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在单调递增，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求出函数的单调增区间为，利用集合关系列不等式求解即可. 【详解】由得，令，得． 当时，，所以的单调增区间为， 因为在单调递增，所以， 所以. 故选：D. 6．（25-26高三上·四川·开学考试）已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A．0 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据条件，利用分函数的单调性及导数与函数单调性间的关系，即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增， 当时，，对称轴为，则， 当时，，则， 要使函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，得到. 又因为，即， 综上所述，，，所以 则的最大值为6， 故选：C. 考点2 导数在单调性上的应用 题型4 导数判断单调性应用在比较大小 【模拟真题】 1．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知，若则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的单调性，作出函数图象，数形结合判断各选项是否有可能成立. 【详解】因为，， 所以，. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，当时，. 所以函数的草图如下：    当时，因为单调递增，所以，故A可能成立； 当时，因为单调递减，所以，故B可能成立； 如图：    当时，，故C可能成立； 当时， 若，则，不符合； 若，则有，不符合； 若，则有，不符合； 若，则，不符合. 所以当时，不可能成立. 故选：D 2．（25-26高三上·北京·阶段练习）设，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用导数研究的单调性，结合，利用函数的单调性可得，即可比较大小. 【详解】设，则，由，得， 当时，，当时，， 所以的增区间为，减区间为， 又，因为，所以， 即，所以. 故选：D 3．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知且，且，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意构造函数，利用导数求出函数单调性，再由单调性比较大小即可. 【详解】由可得， 令，则有，，， 又， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 且时，，时，， 由单调性知，，且， 所以，即，再由单调性知，. 故选：D 4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数的奇偶性和单调性，再比较自变量大小即可得到结果． 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以是奇函数，所以， ，在上，，， 故，所以在上单调递增， ，，， 又，， 综上，，因为单调递增，所以， 即． 故选：A． 题型5 导数判断单调性应用在图像判断 【模拟真题】 1．（25-26高三上·天津和平·开学考试）函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过观察图象，利用函数值的正负和导数法求单调性一一排除得到答案. 【详解】，，解得或； ，解得；所以排除选项C. ，， 当或时，，在和上是增函数； 当时，，在上是减函数； 所以排除选项A和 D，选择B. 故选：B 2．（25-26高三上·江苏无锡·阶段练习）在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（   ）    A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 【答案】C 【分析】分析函数与的单调性，判断函数的最值的情况即可. 【详解】分析函数及其导函数的图象，可知虚线表示的是的图象，实线表示的是的图象. 并且当时，；当时，. 对函数，， 因为，在上恒成立，所以在上恒成立. 即函数在上单调递增，无最值； 3．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【答案】A 【分析】结合图象确定导函数在区间，，，上的正负，结合导数与单调性的关系判断结论. 【详解】由图象可得当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递减， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 又，，为连续函数， 故BCD都错误，A正确. 故选：A. 4．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解. 【详解】由的图象可知：当和时，，故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增， 故B正确， 故选：B 5．（2025高三·全国·专题练习）函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象找出与的解集，求解作答. 【详解】由得，同号． 由图得当时，单调递增，；当，时，单调递减，． 故当时，，，； 当时，，，． 综上，的解集为． 故选：D. 对函数，， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得最大值，为. 故选：C 考点3 导数关系构造函数解不等式 题型6 构造函数利用导数判断单调性解不等式 【模拟真题】 1．（25-26高三·贵州黔南·开学考试）若，当时，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原问题等价转化为时，恒成立，从而构造函数，推出该函数在上单调递减，求出其导数，分离参数，结合函数的最值，即可求得答案. 【详解】等价于， 即等价于，即等价于． 令， 则条件等价于，当时，， 即函数在上单调递减，即，则． 又，，所以， 所以实数的取值范围是． 故选：A. 2．（25-26高三上·四川南充·阶段练习）设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件构造函数，再判断函数的奇偶性和单调性，将不等式转化为，结合函数的性质，即可求解不等式. 【详解】设，， 所以函数是定义在上的偶函数， 由条件可知，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 不等式， 即， 即， 所以，即，得， 解得：. 故选：C 3．（25-26高三上·新疆·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域为，是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对求导，结合题意分析的符号，可得的单调性，结合函数的单调性和偶函数性质求解不等式即可. 【详解】由，求导得， ，则，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 故在内单调递增，在内单调递减， 又是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线， 由，可得， 即，则， 故有，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 4．（25-26高三上·四川广元·阶段练习）已知是函数的导函数，，且对于任意的满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，设，利用条件判断其在上单调递增，且为偶函数，结合各选项的具体自变量的值，利用上述函数的性质即可逐一判断. 【详解】设，则， 因对于任意的满足， 即在上恒成立，故函数在上单调递增. 又，则，即函数为偶函数. 对于A，因，且，则， 即，于是，，化简得，故A正确； 对于B，因，且，则 ， 即，于是，，化简得，即，故B正确； 对于C，因，且，则 ，即， 于是，，化简得，故C错误； 对于D，因，且，则 ，即， 于是，，化简得，故D正确. 故选：ABD. 5．（25-26高三上·重庆·开学考试）设函数 ，则使得成立的 的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用求导判断函数单调性，再结合函数奇偶性即可求解. 【详解】由求导得：， 所以在上是增函数， 又因为， 所以是奇函数， 则， 根据在上是增函数， 所以， 故选：C 6．（25-26高三上·山东济南·开学考试）已知函数，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意推出，利用导数判断函数的单调性，由此将化为，利用函数单调性即可求解. 【详解】由题意知函数的定义域为R， 则，则， 又， 故在R上单调递增， 故，即，即， 则，解得， 即实数的取值范围是. 故选：C 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 导数与函数的单调性 目录 考点1导数与函数单调性关系 0 题型1 不含参数函数的单调性 1 题型2 含参数函数的单调性 5 题型3 根据函数的单调性求参 9 考点2 导数在单调性上的应用 14 题型4 导数判断单调性应用在比较大小 14 题型5 导数判断单调性应用在图像判断 17 考点3 导数关系构造函数解不等式 21 题型6 构造函数利用导数判断单调性解不等式 21 考点1导数与函数单调性关系 1．利用导数判断函数的单调性的方法 如果函数在的某个开区间内，总有，则在这个区间上是增函数； 如果函数在的某个开区间内，总有，则在这个区间上是减函数． 【注意】对于函数，若，则为增函数（减函数）；反之，若为增函数（减函数），则恒成立，且不恒等于零． 2．求可导函数单调区间的一般步骤和方法 第一步：确定函数的定义域； 第二步：求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实根； 第三步：把函数在间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间； 第四步：确定在各个小区间的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间的增减性. 【注意】 1 函数的单调区间不能用不等式表示，必须写成区间形式； 2 当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，这些单调区间不能用“”连接，可用“，”或“和”连接. 3. 含参函数单调性的求法 此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路： (1)首先考虑二次三项式是否存在零点，这里涉及对判别式和分类讨论，即“有无实根判别式，两种情形需知晓”． (2)如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，逻辑分类有两种情况，需要考虑首项系数是否含有参数．如果首项系数有参数，就按首项系数为零、为正、为负进行讨论；如果首项系数无参数，只需讨论两个根的大小，即“首项系数含参数，先论系数零正负；首项系数无参数，根的大小定胜负”． (3)注意：讨论两个根的大小时，一定要结合函数定义域进行讨论，考虑两根是否在定义域中，即“定义域，紧跟踪，两根是否在其中”． 题型1 不含参数函数的单调性 【高考真题】 1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； 2．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 4．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； 【模拟真题】 1．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）已知函数，． (1)若，讨论函数在上的单调性； 2．（2025高三·全国·专题练习）设函数，且，则的单调递增区间为 ． 3．（2025·河北邯郸·一模）设函数. (1)若，求函数的单调区间； 4．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的单调区间； 题型2 含参数函数的单调性 【高考真题】 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； 2．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数，其中. （1）讨论的单调性； 【模拟真题】 1．（湖南省九校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题）已知函数． (1)讨论的单调性； 2．（25-26高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调性； 3．（2025·广东·模拟预测）已知函数． (1)若，讨论的单调性； 4．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； 5．（25-26高三上·湖南·阶段练习）已知函数. (1)若，讨论的单调区间； 题型3 根据函数的单调性求参 【高考真题】 1．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)若函数在单调递增，求的取值范围． 【模拟真题】 1．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数. (1)若在上单调递增，求的取值范围； 2．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）若函数在单调递减，则a的取值范围是 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）若函数在不单调，则a可能为（    ） A． B．-1 C．0 D．1 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在单调递增，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·四川·开学考试）已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A．0 B．3 C．6 D．8 考点2 导数在单调性上的应用 题型4 导数判断单调性应用在比较大小 【模拟真题】 1．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知，若则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·北京·阶段练习）设，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知且，且，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型5 导数判断单调性应用在图像判断 【模拟真题】 1．（25-26高三上·天津和平·开学考试）函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江苏无锡·阶段练习）在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（   ）    A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1 3．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 4．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   5．（2025高三·全国·专题练习）函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 考点3 导数关系构造函数解不等式 题型6 构造函数利用导数判断单调性解不等式 【模拟真题】 1．（25-26高三·贵州黔南·开学考试）若，当时，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·四川南充·阶段练习）设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·新疆·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域为，是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·四川广元·阶段练习）已知是函数的导函数，，且对于任意的满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·重庆·开学考试）设函数 ，则使得成立的 的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $