重难点培优06 直击导数中原函数与导函数的混合构造（7大题型）（复习讲义）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦导数中原函数与导函数的混合构造核心考点，系统梳理与一次、二次、幂函数、指数、对数、三角函数结合的六大构造类型，通过知识重构固根基、题型精研提能力、实战检测验成效的教学流程，帮助学生建立构造函数的逻辑框架与解题思路。 讲义创新采用“结构匹配-函数构建-单调性应用”三步法，如含指数函数构造中引导学生用e^x乘除原函数构建新函数，培养数学思维与推理能力，设置分层练习适配不同学生需求，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生导数综合题的应考能力。

重难点培优06 导数中原函数与导函数的混合构造 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 2 题型01 含一次函数结合（★★★★★） 3 题型02 含二次函数结合（★★★★★） 4 题型03 含幂函数结合（★★★★★） 4 题型04 含指数（型）函数结合（★★★★★） 5 题型05 含对数（型）函数结合（★★★★★） 6 题型06 含三角函数结合（★★★★★） 6 题型07 其他类型构造（★★★★★） 7 03 实战检测·分层突破验成效 8 重难知识巩固 8 创新能力提升 11 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 构造函数解不等式解题思路 利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. ①在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； ②在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； 知识点02 利用f(x)与x构造 f(x)与x构造常见的形式 (1)对于xf′(x)＋f(x)＞0，构造h(x)＝xf(x)． (2)对于xf′(x)－f(x)＞0，构造h(x)＝． (3)出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造h(x)＝xnf(x)． (4)出现xf′(x)－nf(x)的形式，构造h(x)＝． 知识点03 利用f(x)与ex构造函数 f(x)与ex构造常见的形式 (1)对于f′(x)＋f(x)＞0，构造h(x)＝exf(x)． (2)对于f′(x)－f(x)＞0，构造h(x)＝． (3)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造h(x)＝enxf(x)． (4)出现f′(x)－nf(x)形式，构造h(x)＝． 知识点04 利用f(x)与lnx构造函数 f(x)与lnx构造常见的形式 (1)对于，分类讨论：若，则构造若，则构造 (2)对于，构造. 知识点05 利用f(x)与sin x，cos x构造 f(x)与sinx，cos x构造常见的形式 (1)对于f′(x)sin x＋f(x)cos x＞0，构造函数h(x)＝f(x)sin x； (2)对于f′(x)sin x－f(x)cos x＞0，构造函数h(x)＝； (3)对于f′(x)cos x－f(x)sin x＞0，构造函数h(x)＝f(x)cos x； (4)对于f′(x)cos x＋f(x)sin x＞0，构造函数h(x)＝． 题型精研·技巧通法提能力 【技巧通法·提分快招】 1.求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式 第一步，结构匹配：观察已知导函数不等式的结构，匹配常用模型（如等）． 第二步，函数构建：根据匹配模型，构造函数，并求导验证与已知不等式的一致性． 第三步，单调性应用：根据的符号确定的单调性，结合已知条件（如的符号、取值），推导目标不等式（参数范围）． 2.函数与导函数图象间的关系：若原函数为奇函数时，其导函数必为偶函数，即原函数图象关于中心对称，则导函数图象关于y轴对称. 题型01 含一次函数结合 1．（26-27 高三上・安徽阶段检测）已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.（2026·重庆·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为.若对任意，都有，且，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·广东深圳·月考）已知是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4.（2026·湖北部分市州·1月联考）已知函数的导函数为，对恒成立，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·河北邯郸·月考）已知函数是定义域为的奇函数的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 6．（2026·广东佛山·一模）设是函数的导数，，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型02 含二次函数结合 1．（23-24高三下·重庆·月考）已知是函数的导数，且，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河北沧州·期末）设函数在上的导函数为，且，则下面的不等式在上恒成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·山东聊城·三模）设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4.（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 5.（25-26高二下·广东江门·期中）已知是定义在上的恒大于零的偶函数，其导函数记为．且当时，，若且，则一定成立的是（    ） A．             B． C．           D． 6．（25-26高二下·河北沧州·期末）设函数在上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数的取值范围为 题型03 含幂函数结合 1．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）设函数是函数的导函数，若，且当时，，则不等式的解集是  （     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河北沧州·期末）若偶函数的定义域为，满足，且当时，，则不等式的解集是 ． 4．（25-26高二下·安徽安庆·期末）已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则使得成立的的取值范围是__________. 5．（23-24高三上·江西·月考）若为R上的奇函数，为其导函数，当时，恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型04 含指数（型）函数结合 1.（福建泉州市2025-2026学年下学期期末高二）已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26 高三上・安徽阶段检测）定义在上的函数满足，其中为的导函数，若，则的解集为________. 3．（24-25高三下·内蒙古赤峰·月考）已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·江西抚州·期中）已知定义在上的函数导函数为，若且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5.（2026·广东东莞一模）已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知函数的导函数为，若对任意的，都有成立，且，则不等式的解集为_____． 题型05 含对数（型）函数结合 1.（2026·陕西榆林·三模）已知的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南·三模）已知正实数a，b满足，则ab的值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）若可导函数是定义在R上的奇函数，当时，有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·辽宁·月考）已知函数的定义域为为其导函数，若对，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·海南儋州·二模）已知的导函数为，且，，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D． 题型06 含三角函数结合 1.已知函数在上单调递减，为其导函数，若对任意都有，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是定义在上的偶函数，导数为，且当时有，若，则（    ） A． B． C． D． 3．定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4.（2026·云南大理·模拟）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为 ． 5．已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，若时，，且，则不等式的解集为 . 题型07 其他类型构造 1．定义在上的奇函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ） 2．已知定义在R上的函数，满足，且任意时，有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．定义在R上的函数f(x)的导函数为，满足，且，则满足不等式的实数的范围为（   ） A． B．或 C． D．或 4．（23-24高三下·江苏南通·月考）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河南·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·重庆渝中·月考）已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．设函数在R上存在导数，对任意的，有，若，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·广东深圳·期末）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．    B．    C．    D． 3．已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南·三模）已知是定义在上连续可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6.（2026·黑龙江·模拟预测）已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 11.（2026·福建龙岩二模）设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数的定义域为，其导函数是.若对任意的有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 13.已知是函数的导函数，且．则下列不等式一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 14．（2026·山东淄博·期中）定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 15．（2024·江苏南通·模拟预测）设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高三下·内蒙古赤峰·月考）已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 17．（23-24高三上·江西抚州·期中）已知定义在上的函数导函数为，若且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 18．（2026高二下·安徽定远育才学校·3月月考）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 19．已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 20.已知函数的定义域为，，，且对于、，当时都有，则不等式的解集为 ． 21.（多选）记函数的导函数为，已知，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若为偶函数，则 D．可能为二次函数 22．定义在上的函数满足，其中为的导函数，若，则的解集为________. 创新能力提升 1．已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·河北邢台·月考）已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·河北·月考）已知函数及其导函数的定义域均为，且恒成立，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的导函数满足对恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 5.（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（ ） A．    B．    C．    D． 6．（2026·江西·三模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知函数是定义在上的函数，是的导函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A．函数在定义域上有极小值． B．函数在定义域上单调递增． C．函数的单调递减区间为． D．不等式的解集为． 8．（多选）已知函数是定义在上的函数，是的导函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A．函数在定义域上单调递增 B．函数在定义域上有极小值 C．函数的单调递增区间为 D．不等式的解集为 9．（2026·安徽·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优06 直击导数中原函数与导函数的混合构造 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 2 题型01 含一次函数结合（★★★★） 3 题型02 含二次函数结合（★★★★） 6 题型03 含幂函数结合（★★★★★） 9 题型04 含指数（型）函数结合（★★★★★） 12 题型05 含对数（型）函数结合（★★★★） 15 题型06 含三角函数结合（★★★★★） 18 题型07 其他类型构造（★★★★） 22 03 实战检测·分层突破验成效 25 重难知识巩固 25 创新能力提升 37 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 构造函数解不等式解题思路 利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. ①在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； ②在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； 知识点02 利用f(x)与x构造 f(x)与x构造常见的形式 (1)对于xf′(x)＋f(x)＞0，构造h(x)＝xf(x)． (2)对于xf′(x)－f(x)＞0，构造h(x)＝． (3)出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造h(x)＝xnf(x)． (4)出现xf′(x)－nf(x)的形式，构造h(x)＝． 知识点03 利用f(x)与ex构造函数 f(x)与ex构造常见的形式 (1)对于f′(x)＋f(x)＞0，构造h(x)＝exf(x)． (2)对于f′(x)－f(x)＞0，构造h(x)＝． (3)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造h(x)＝enxf(x)． (4)出现f′(x)－nf(x)形式，构造h(x)＝． 知识点04 利用f(x)与lnx构造函数 f(x)与lnx构造常见的形式 (1)对于，分类讨论：若，则构造若，则构造 (2)对于，构造. 知识点05 利用f(x)与sin x，cos x构造 f(x)与sinx，cos x构造常见的形式 (1)对于f′(x)sin x＋f(x)cos x＞0，构造函数h(x)＝f(x)sin x； (2)对于f′(x)sin x－f(x)cos x＞0，构造函数h(x)＝； (3)对于f′(x)cos x－f(x)sin x＞0，构造函数h(x)＝f(x)cos x； (4)对于f′(x)cos x＋f(x)sin x＞0，构造函数h(x)＝． 题型精研·技巧通法提能力 【技巧通法·提分快招】 1.求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式 第一步，结构匹配：观察已知导函数不等式的结构，匹配常用模型（如等）． 第二步，函数构建：根据匹配模型，构造函数，并求导验证与已知不等式的一致性． 第三步，单调性应用：根据的符号确定的单调性，结合已知条件（如的符号、取值），推导目标不等式（参数范围）． 2.函数与导函数图象间的关系：若原函数为奇函数时，其导函数必为偶函数，即原函数图象关于中心对称，则导函数图象关于y轴对称. 题型01 含一次函数结合 1．（26-27 高三上・安徽阶段检测）已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式可化为，故考虑构造函数，结合条件判断其单调性，利用单调性解不等式可得结论. 【详解】不等式可化为， 设，则原不等式可化为， 对函数求导，得， 因为，所以， 所以函数是实数集上的增函数， 所以． 故不等式的解集为. 故选：B. 2.（2026·重庆·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为.若对任意，都有，且，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令， 则， 所以在R上递增， 又， 则不等式等价于， 所以，即不等式的解集为. 3．（25-26高三下·广东深圳·月考）已知是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用已知条件求导分析单调性，再结合函数的奇偶性来求解不等式. 【详解】构造函数，则， 因为当时，有， 故当时，，单调递增； 又因为是定义在上的奇函数，， 故是偶函数， 则当时，是单调递减函数. 又因为，则， 不等式 等价于， 所以当时，，即； 当时，，即， 所以不等式的解集是. 故选：A. 4.（2026·湖北部分市州·1月联考）已知函数的导函数为，对恒成立，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令 因为，且， 所以在上单调递增， 因为，所以.故选：A 5．（24-25高三下·河北邯郸·月考）已知函数是定义域为的奇函数的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，求导可得在上单调递增.根据是定义域为的奇函数得到为上的偶函数，结合的性质可求的解集． 【详解】根据题意，构造函数，求导得， 当时，，所以在上单调递增， 因为为奇函数，所以是偶函数，故在上单调递减. 因为，所以，故. 当时，不等式可化为， 因为在上单调递增，所以. 当时，因为在上为奇函数，所以，满足. 当时，不等式可化为， 因为在上单调递减，所以. 综上，的解集为. 故选：C. 6．（2026·广东佛山·一模）设是函数的导数，，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求导，得到在上单调递增，且，由得到，得到的对称性，故在上单调递减，且，得到当时，，则，当时，，则，求出成立的的取值范围. 【详解】令，则， 因为时，，故当时，， 故在上单调递增，且． 因为，故， 即，所以， 故关于直线对称，故在上单调递减，且， 当时，，则； 当时，，则； 所以使得成立的的取值范围是. 故选：C． 题型02 含二次函数结合 1．（23-24高三下·重庆·月考）已知是函数的导数，且，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用导数说明函数的单调性，再由，不等式即，结合单调性解得即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递增，又，所以， 不等式，即，即，所以， 即不等式的解集为. 故选：B 2．（25-26高二下·河北沧州·期末）设函数在上的导函数为，且，则下面的不等式在上恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】构造函数，则， 因为，则当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当时，，即，则， 由，令，则，即. 综上所述在实数集上恒成立. 故选：C． 3．（2024·山东聊城·三模）设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据题意，可证为上的偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，又由转化为，即，即可得解. 【详解】因为， 设， 则， 即为上的偶函数， 又当时，， 则，所以在上单调递增，在上单调递减， 因为， 所以， 即，所以，即， 解得. 故选：B 4.（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则. 因为，所以，即，所以在上单调递减. 不等式等价于不等式，即. 因为，所以，所以. 因为在上单调递减，所以，解得. 5.（25-26高二下·广东江门·期中）已知是定义在上的恒大于零的偶函数，其导函数记为．且当时，，若且，则一定成立的是（    ） A．             B． C．           D． 【答案】C 由当时， 由此得当时，， 然后构建函数， 从而有当时，，函数单调递减． 又是定义在上恒大于零的偶函数，于是也是定义在上恒大于零的偶函数． 由于且，于是， 又当时，函数单调递减，于是， 即，于是， 而，因此，即．故选C． 6．（25-26高二下·河北沧州·期末）设函数在上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】 令，即，则为奇函数， 当时，，则在上单调递增， 故在区间上单调递增，则在上单调递增， ∵， 即， ∴，解得． 题型03 含幂函数结合 1．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）设函数是函数的导函数，若，且当时，，则不等式的解集是  （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造函数令，由题意判断出的奇偶性和单调性，将不等式转化成，即，由函数单调性和奇偶性可得到，解得即可． 【详解】令， 可知的定义域为，且， 因为，则， 可得，故为偶函数， 当时，，即， 可知在上为增函数， 对于不等式， 可得，即， 由函数单调性和奇偶性可知：，解得， 故选：A． 2．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先构造函数，再利用函数单调性解不等式. 【详解】令， ∵函数在上是可导的偶函数， ∴在上也是偶函数 又当时，，∴， ∴， ∴在上是增函数 ∵， 由得 即不等式转化为， ∴x不为0时有， 而x为0时，不等式显然成立， ∴不等式的解集为. 故选：C. 3．（25-26高二下·河北沧州·期末）若偶函数的定义域为，满足，且当时，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】令，则函数定义域为， 且对任意恒成立， 所以函数在上单调递增， 因为函数是偶函数，所以， 所以函数为偶函数， 所以函数在上单调递减， 又，所以， 所以当时，不等式即， 即，所以， 当时，不等式即， 即，所以， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 4．（25-26高二下·安徽安庆·期末）已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则使得成立的的取值范围是__________. 【答案】 【分析】构造，由已知条件结合导数研究其单调性，利用奇偶性定义判断的奇偶性，再将不等式化为求解集. 【详解】令且，则， 又当时，，所以当时，，所以在上递增， 由为偶函数，则，故为奇函数， 所以在上递增，且，作出函数g(x)的示意图： 又等价于，等价于或，等价于或， 所以或，故. 故答案为：. 5．（23-24高三上·江西·月考）若为R上的奇函数，为其导函数，当时，恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，求导得到单调性，进而得到为偶函数，从而得到不等式，求出答案. 【详解】令，则， 由题意知当时，，故在上单调递增． 因为为奇函数，所以， 即为偶函数，所以原不等式变为，所以， 所以，解得或， 故原不等式的解集为. 故选：D． 题型04 含指数（型）函数结合 1.（福建泉州市2025-2026学年下学期期末高二）已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则， ∴在R上单调递增.又，则. ∵等价于，即， ∴，即所求不等式的解集为，故选A. 2．（25-26 高三上・安徽阶段检测）定义在上的函数满足，其中为的导函数，若，则的解集为________. 【答案】 【分析】根据的结构特征结合，可设，求导后即可判断其正负，从而判断的单调性，进而将转化为，利用函数的单调性即可求得不等式的解集. 【详解】由题意知，故， 设，则， 即在R上单调递增， 由，可得， 故即，即，则， 故，即的解集为， 故答案为： 3．（24-25高三下·内蒙古赤峰·月考）已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，通过求导，结合条件判断函数单调性，利用为偶函数及，推出，即得，将所求不等式等价转化为，利用单调性即得. 【详解】设，则，故函数在上为增函数， 因，且为偶函数，故，故，则， 于是等价于，即，由函数的单调性可得， 即不等式的解集为. 故选：B. 4．（23-24高三上·江西抚州·期中）已知定义在上的函数导函数为，若且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 构造函数，则原不等式可转化为，由奇偶性和导数可得在上单调递增，由此列不等式组求解即可. 【详解】令则由得， 所以为奇函数， 又，所以当时，单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以， 所以，解得， 故选：A 5.（2026·广东东莞一模）已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，已知不等式，则，即， 设，求导得， 函数是实数集上的减函数， 又，即， ，故不等式的解集为． 6．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）已知函数的导函数为，若对任意的，都有成立，且，则不等式的解集为_____． 【答案】 【详解】因为，所以，即， 设，求导可得在上恒成立，所以函数在上单调递增， 因为，所以， 不等式，因为，所以化简可得， ，， 即可转化为， 因为在上单调递增，所以，解得， 即不等式的解集为． 题型05 含对数（型）函数结合 1.（2026·陕西榆林·三模）已知的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则. 当时，则，可得，所以在上单调递减. 因为，且， 所以，即． 2．（2026·河南·三模）已知正实数a，b满足，则ab的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对两边取自然对数，得， 即， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以方程的解只有一个， 又因为，所以， 所以． 3．（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）若可导函数是定义在R上的奇函数，当时，有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，又导函数得到在上单调递减，结合是定义在R上的奇函数得到与0的大小，从而解不等式. 【详解】令，， 则， 当时，， 故在上单调递减， 则当时，，； 当时，，； 又函数可导，则该函数必连续，所以当时，； 因为可导函数是定义在R上的奇函数，故， 当时， 所以，解得， 又，故不等式的解集为. 故选：B 4．（23-24高三下·辽宁·月考）已知函数的定义域为为其导函数，若对，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到的取值情况，从而得到的取值情况，即可得解. 【详解】令， 则， 所以在上单调递减． 因为当时，， 所以当时，；当时，． 由于当时，且，所以； 当时，且，所以； 当时，因为，令，得，所以在上恒成立． 故选：C． 5．（2026·海南儋州·二模）已知的导函数为，且，，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D． 【答案】ACD 【解析】由，可得， 即(为常数)， 设，则， 由于，所以，则， 解得：，所以， 所以， 则，所以，故A正确； 对于B，， 即，故B错误； 对于C，令，所以，即在上单调递增，故C正确； 对于D，令， 所以， 令，解得：，所以在上单调递增， 令，解得：，所以在上单调递减， 则，即， 所以成立，故D正确. 题型06 含三角函数结合 1.已知函数在上单调递减，为其导函数，若对任意都有，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵函数在上单调递减 ∴时， ∵对任意都有 ∴，且 令，则， ∴在上单调递增， ∴，即 ∵， ∴选项A,B,C不一定成立 由以上分析可得 故选：D 2．已知是定义在上的偶函数，导数为，且当时有，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，所以， 因为当时，， 所以，所以在上单调递增， 因为， 且，所以，所以， 故选：B. 3．定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，结合导数探讨函数的性质，将所解不等式转化为，由单调性即可得解． 【详解】由且，得是奇函数， 令，当时，，则在是减函数， 显然函数是奇函数，则在是递减，从而在上是减函数， 不等式化为，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 4.（2026·云南大理·模拟）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由，设， ，所以函数在上单调递减， 即，得，所以，所以不等式的解集为 5．已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构建，求导，利用导数判断原函数单调性，结合单调性解不等式. 【详解】令，则， 因为，则，且， 可知，且仅当时，则在上单调递减， 又因为为偶函数，， 可得 令，可得， 注意到， 不等式，等价于， 可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 6．已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，若时，，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】求出函数在的单调性，且是偶函数，将问题转化为即可依据函数的单调性和奇偶性求解. 【详解】因为时，， 所以，即， 因此，从而在上单调递增， 又是上的偶函数，且是偶函数， 所以， 即是上的偶函数，故在上单调递减， 由于，因此，又即，即， 所以，故由的单调性和偶函数特点可知， 因此的取值范围为. 故答案为：. 题型07 其他类型构造 1．定义在上的奇函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，结合求导可判断单调性，从而求解原不等式. 【详解】根据题意可构造函数，则， 由题可知，所以在区间上为增函数， 又由于为偶函数，为奇函数，所以为奇函数， 又，即， 所以，解得. 故选：D. 2．已知定义在R上的函数，满足，且任意时，有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，得出为定义在R上的偶函数，且在上单调递增，再把不等式转化为，利用单调性求解. 【详解】设，则． 由，得，所以为偶函数． 因为当时，有任意时，有成立， 所以在上单调递增， 又为偶函数，所以在上单调递减， 因为，即， 所以，解得． 故选：D． 3．定义在R上的函数f(x)的导函数为，满足，且，则满足不等式的实数的范围为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】由题得：， 即，从而（其中为常数），，又， ，因为的定义域为R，且，则为偶函数， 又因为，当时，， 因为均在上单调递增，则在上单调递增，则，结合， 则在上恒成立，且仅在时取等号， 则可判断是偶函数且在单调递增，，解得或， 故选：B． 4．（23-24高三下·江苏南通·月考）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，由题意可得当时，，即可得的单调性，结合，可得，又，结合单调性即可得解. 【详解】令，则， 由当时，，则当时，， 即在上单调递减， 由，则， 由，即，故. 故选：D. 5．（2026·河南·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 又，所以 所以，即. 令，则， 令，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以恒成立，即恒成立，所以是减函数， 所以，即，即． 综上所述，. 6．（23-24高三上·重庆渝中·月考）已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知有，构造则，构造则，即在上是单调递增，把目标不等式化为，即可求解集. 【详解】由，得， 令，则，， 所以，则， 令，则， 所以在上是单调递增． 不等式等价于，即， 而，所求不等式即． 由于在上是单调递增函数，所以，故不等式的解集为. 故选：C． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．设函数在R上存在导数，对任意的，有，若，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，利用导数及已知求其单调性，且不等式化为，再应用单调性求解不等式即可. 【详解】由题意，构造函数，则， 所以在R上单调递增， 由，得，即． 根据函数在R上单调递增，可得，解得． 所以k的取值范围是． 故选：B 2.（25-26高二下·广东深圳·期末）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．    B．    C．    D． 【答案】D 将不等式变形为， 构造函数，其中，所以不等式可以表示为， 对求导，得，因为，所以恒成立，即在上单调递增， 则由不等式可推出对所有的恒成立，即，所以必须小于或等于在时的最小值， 令，则， 当时，，说明在上单调递减； 当时，，说明在上单调递增； 因此，在处取最小值，最小值为， 所以，即的最大值为，故B正确. 3．已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，求导得到其单调性，并结合，得到时，，从而求出解集. 【详解】设， 因为， 所以， 故在上单调递减， 又，故， 故当时，，当时，， ， 故的解集为. 故选：A 4．（2025·湖南·三模）已知是定义在上连续可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，根据条件得在区间上单调递减，从而可得，即可求解. 【详解】令，则， 因为，则，所以， 则在区间上单调递减， 又，由，得到，所以， 解得， 故选：D. 5．若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意构造新函数，求导得到单调性，再解不等式即可. 【详解】由题可设，因为， 则， 所以函数在R上单调递增， 又，不等式可转化为， 所以，解得，所以不等式的解集为． 故选：A. 6.（2026·黑龙江·模拟预测）已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 所以在上单调递减； 因为，所以， 由，得，即， 所以，解得，所以不等式的解集是． 7．（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知在时是单调递增函数，再结合已知条件又可知是偶函数，利用单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】令，则， 因为当时，，所以在上单调递增， 又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数， 由，得，解得或 故选：D. 8．已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性并求解不等式. 【详解】令函数，由，得， 又，求导得， 函数在R上单调递增，不等式， 解得，所以不等式的解集为. 故选：A 9．已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，从而结合导数与所给条件得到函数的单调性与对称性，在将所给不等式中化为即可得解. 【详解】令，则， 由题意可得，当时，，即在上单调递增， 由，则， 即，故为偶函数，故在上单调递减， 则不等式可化为：， 即，则有，即， 即，即， 解得. 故选：B. 10．已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题干条件联想到构造，将待求不等式转化成，再由单调性解不等式即可. 【详解】设，则， 结合题干可知，即在上单调递减， 由，根据定义域限制，， 则，同除可得， 即， 结合在上单调递减和定义域可得：， 即， 则不等式的解集为. 故选：D 11.（2026·福建龙岩二模）设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以设， 则， 所以在上为增函数， 又因为，，， ，所以，即，故选C 12．定义在上的函数满足，其中为的导函数，若，则的解集为________. 【答案】 【详解】由题意知，故， 设，则， 即在R上单调递增， 由，可得， 故即，即，则， 故，即的解集为， 故答案为： 13．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数的定义域为，其导函数是.若对任意的有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令函数，，求导得， 因此函数在上单调递减，不等式， 即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：B 14.已知是函数的导函数，且．则下列不等式一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，所以，由有：，当，，所以在单调递增， 又，所以，即，故A错误； 又，所以，即，故B错误； 又，所以，即，故C正确； 由，所以，即，故D错误. 故选：C 15．（2026·山东淄博·期中）定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， 则， 因为，所以，所以为定义在上的减函数， 因为为奇函数， 所以，，， ，即，即，故， 所以不等式的解集为. 16．（2024·江苏南通·模拟预测）设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为偶函数， 所以，所以， 令， 因为为偶函数， 则，即， 即， 所以， 当时，，即在上单调递减，则在上单调递增， 由，即， 所以，即，解得或， 即实数的取值范围是． 故选：A． 17．（24-25高三下·内蒙古赤峰·月考）已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，通过求导，结合条件判断函数单调性，利用为偶函数及，推出，即得，将所求不等式等价转化为，利用单调性即得. 【详解】设，则，故函数在上为增函数， 因，且为偶函数，故，故，则， 于是等价于，即，由函数的单调性可得， 即不等式的解集为. 故选：B. 18．（23-24高三上·江西抚州·期中）已知定义在上的函数导函数为，若且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令则由得， 所以为奇函数， 又，所以当时，单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以， 所以，解得， 故选：A 19．（2026高二下·安徽定远育才学校·3月月考）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，根据题意可判断，是偶函数，在上是增函数，在减函数，把原不等式转化为解不等式，进而，解得即可. 【详解】令，则， 当时，，所以当时，， 即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数，所以， 所以，所以是偶函数，在单调递减， 所以，， 即不等式等价为， 所以，解得或， 所以不等式的解集为． 故选：D 20．已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用构造的导数，来判断其单调性，又把已知要求解的不等式转化为，从而可利用单调性解不等式. 【详解】由已知得：因为，所以， 两边同乘以又可得：， 因为，所以有， 再构造，则， 所以在上单调递增， 因为的定义域可知，，所以， 又因为，所以， 即上面不等式可转化为，根据在上单调递增， 可得，解得， 故选：． 21.（多选）记函数的导函数为，已知，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若为偶函数，则 D．可能为二次函数 【答案】ACD 【解析】由，得， 因为，所以， 即，所以是减函数， 所以，即，所以A正确； ，即，所以B不正确； 若为偶函数，则. 两边求导，得，所以是奇函数. 由，，得. 所以，所以C正确； 假设，则. 由，得. 由，得，所以. 由，得，即恒成立； 则，即. 令，则成立， 所以可能为二次函数，所以D正确. 22.已知函数的定义域为，，，且对于、，当时都有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】构造函数，其中， 则， 故函数在上为减函数， 由可得，即， 因为，则，所以，，解得. 对于、，当时都有， 不妨设，则，所以，函数在上为增函数， 则对任意的，，则，可得恒成立， 因此，所求不等式的解集为. 创新能力提升 1．已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 因为， 所以， 故在上单调递减， 又，故， 故当时，，当时，， ， 故的解集为. 故选：A 2．（24-25高三下·河北邢台·月考）已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，所以在上单调递增． 又不等式，等价于， 即， 所以，所以，解得． 故选：B. 3．（23-24高三上·河北·月考）已知函数及其导函数的定义域均为，且恒成立，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，有， 令，则，所以在区间上单调递增． 又，得，所以， 所以，解得． 故选：A 4．已知函数的导函数满足对恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则，又因为满足对恒成立，所以在区间恒大于，即在区间单调递增，故有 ，展开化简得:， 故选. 5.（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（ ） A．    B．    C．    D． 【真题解析】 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则， 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 6．（2026·江西·三模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且，所以， 同理，由，可得， 由，可得. 令，得，所以在上单调递减， 满足的即为函数与交点的横坐标； 满足的即为函数与交点的横坐标； 满足的即为函数与交点的横坐标； 在同一平面直角坐标系中画出的图象，如图所示： 从图象中可以直观地看出，三个交点的横坐标关系为. 7．（多选）已知函数是定义在上的函数，是的导函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A．函数在定义域上有极小值． B．函数在定义域上单调递增． C．函数的单调递减区间为． D．不等式的解集为． 【答案】BC 【详解】令，则，又得：， 由得：， 令得：， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即， 所以单调递增，所以B正确，A不正确； 由且定义域为得：， 令，解得，即的单调递减区间为，故C正确． 的解集等价于的解集， 设，则， 当时，，此时，即在上递减， 所以，即在上成立，故D错误． 故选：BC 8．（多选）已知函数是定义在上的函数，是的导函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A．函数在定义域上单调递增 B．函数在定义域上有极小值 C．函数的单调递增区间为 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】令，得到，求得，令，利用导数得到，进而得到，可判定A正确，B不正确；求得，进而可判定C正确；设且，求得，可得，进而可判定D错误. 【详解】令，则， 因为，可得， 又由，可得， 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 即，所以单调递增，所以A正确，B不正确； 由函数，可得， 令，即，解得， 所以函数的单调递增区间为，所以C正确； 设，则，则 因为，所以， 所以， 令， 则 注意到时，，进而单减， 知时“，即.” 时单减，而，所以D错误. 故选：AC. 9．（2026·安徽·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】由，得. 令，则，故为上的偶函数． 因为当时，，所以在上单调递减，在上单调递增． 故等价于，即在上恒成立， 因为为偶函数，且在上单调递增，所以， 平方后化简得到，由一次函数性质得， 解得．故实数的取值范围为 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $