3.1 导数的概念、意义及其运算 讲义-2026届高三数学一轮复习

专题3.1 导数的概念、意义及运算 目录 考点1 导数的概念及几何意义 0 题型1 导数的定义及其应用 0 考点2 导数的运算 2 题型2 导数的运算 2 考点3 导数与切线 5 题型3 过曲线上的点的切线方程 5 题型4 过曲线外的点的切线方程 8 题型5 根据切线求参 11 题型6 根据切线条数求参 11 题型7 切线垂直或平行 11 题型8 公切线 14 考点1 导数的概念及几何意义 1. 导数的概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 2. 导数的几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 3. 物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 题型1 导数的定义及其应用 【模拟真题】 1．（2025·天津·一模）已知,若函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是 填， 或不确定 2．（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（    ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 3．（2025·江苏盐城·三模）若，则（    ） A．0 B．2 C．－2 D．－4 4．（2025·上海金山·模拟预测）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V与直径d的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为 ． 5．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为.则时，弹簧振子的瞬时速度为（    ） A． B．0 C． D． 考点2 导数的运算 1、求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 2、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 3、复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 题型2 导数的运算 【高考真题】 1．（2022·全国甲卷·高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 2．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ． ①；②当时，；③是奇函数． 3．（2020·全国III卷·高考真题）设函数．若，则a= ． 【模拟真题】 1．（25-26高三上·北京西城·阶段练习）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3). 2．（2025高三·全国·专题练习）（1）求的导数； （2）求的导数； （3）求的导数； （4）求的导数． 3．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）设是大于1的常数，则（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，则在处的导数为（   ） A．2 B．0 C．4 D． 考点3 导数与切线 1、过曲线上的点的切线方程 切线方程，抓住关键． 2、过曲线外的点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外，若点不在曲线上，设出切点来。要写出切线方程，就要有切点。 3. 求公切线方程 已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程. 具体做法为：设公切线在上的切点，在上的切点， 则 题型3 过曲线上的点的切线方程 【高考真题】 1．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2021·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ． 【模拟真题】 1．（2025·广西·模拟预测）函数在处的切线方程为 . 2．（2025·河北衡水·模拟预测）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·福建泉州·模拟预测）函数为偶函数，图象在点的切线方程为，则= ． 4．（2025·河北邯郸·一模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . 题型4 过曲线外的点的切线方程 【高考真题】 1．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【模拟真题】 1．（25-26高三上·河南安阳·阶段练习）过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）过坐标原点作曲线的两条切线，记其斜率分别为，，则（    ） A．c B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）过点作曲线的两条切线，切点分别为，则 ． 4．（25-26高三上·辽宁·阶段练习）函数过原点的切线方程为 ． 题型5 根据切线求参 【高考真题】 1．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则 . 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【模拟真题】 1．（2025·福建三明·模拟预测）若偶函数在处的切线方程为，则 ． 2．（2025·陕西安康·模拟预测）已知曲线与倾斜角为且横截距为a的直线l相切，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高三上·山西·阶段练习）已知直线与曲线相切，则实数的取值范围是 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，过原点分别作曲线，的切线，且两切线的斜率互为倒数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）若过不在曲线上的点可作曲线斜率为e的切线，则 ． 题型6 根据切线条数求参 【高考真题】 1．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 2．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【模拟真题】 1．（2025·河南·模拟预测）已知对于，过点可作曲线的3条不同的切线，则实数的取值范围为 . 2．（25-26高三上·江苏·阶段练习）已知函数，若在点可以作曲线的两条切线，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，则满足过点可作出3条直线与图象相切的充分条件是（   ） A．， B． C．点在射线上 D．点在曲线上 4．（2025·甘肃定西·模拟预测）若过点只有一条直线与函数的图象相切，则的取值范围为 . 5．（2025·安徽·模拟预测）已知点不在函数的图象上，且过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为 ． 题型7 切线垂直或平行 【高考真题】 1．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ． 【模拟真题】 1．（2025·湖北黄石·模拟预测）已知函数，且曲线上有且仅有两个不同的点满足：存在过该点的两条曲线的切线，且它们相互垂直，则的值为 . 2．（2025高三·全国·专题练习）已知，其上存在两点的切线互相垂直，则实数 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象上不存在互相垂直的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数的图象在处的切线与直线平行，则 ． 4．（25-26高三上·四川广元·阶段练习）若函数的图象上存在与轴平行的切线，则实数的取值范围是 . 题型8 公切线 【高考真题】 1．（2020·全国III卷·高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 【模拟真题】 1．（25-26高三上·福建莆田）写出与曲线和都相切直线的方程： ， .（写出两条直线的方程） 2．（25-26高三上·山东聊城）两条直线的夹角指的是两条直线所形成的小于或等于的角.若曲线与曲线的两条公切线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·浙江温州）在平面直角坐标系中有曲线和，直线与、分别相切于，直线（不同于）与、分别相切于点，则与交点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·江苏）若直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，若，则线段的长度为（    ） A．2 B． C． D． 5．（25-26高三上·重庆）若曲线与曲线的图象上分别存在不同的两点 使得两曲线分别在两点处的切线重合，则的取值范围为 . 6．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 ． 7．（2025高三·全国·专题练习）若直线l：既是曲线C：的切线，也是曲线E：的切线，则使得的最大整数的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 导数的概念、意义及运算 目录 考点1 导数的概念及几何意义 0 题型1 导数的定义及其应用 0 考点2 导数的运算 2 题型2 导数的运算 2 考点3 导数与切线 5 题型3 过曲线上的点的切线方程 5 题型4 过曲线外的点的切线方程 8 题型5 根据切线求参 11 题型6 根据切线条数求参 11 题型7 切线垂直或平行 11 题型8 公切线 14 考点1 导数的概念及几何意义 1. 导数的概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 2. 导数的几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 3. 物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 题型1 导数的定义及其应用 【模拟真题】 1．（2025·天津·一模）已知,若函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是 填， 或不确定 【答案】 【分析】根据题意，由平均变化率的公式代入计算，即可得到，然后作差，即可得到其大小关系. 【详解】因为， ， 且，则. 故答案为： 2．（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（    ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 【答案】B 【分析】利用瞬时变化率的定义即可求得该质点在2s末的瞬时速度. 【详解】， 则质点在2s末的瞬时速度为7m/s. 故选：B 3．（2025·江苏盐城·三模）若，则（    ） A．0 B．2 C．－2 D．－4 【答案】C 【分析】根据复合函数导数及极限求解导数的定义即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 则. 故选：C. 4．（2025·上海金山·模拟预测）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V与直径d的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为 ． 【答案】2π 【分析】求出导数，即可求出，从而得解. 【详解】由，可得，当时，， 即当时，气球体积的瞬时变化率为． 故答案为：. 5．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为.则时，弹簧振子的瞬时速度为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式化简函数，然后求出导函数，代入计算即可求解. 【详解】由题可得位移是关于时间的函数，且满足， 则， 则该弹簧振子在时的瞬时速度是. 故选：C 考点2 导数的运算 1、求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 2、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 3、复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 题型2 导数的运算 【高考真题】 1．（2022·全国甲卷·高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出． 【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 2．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ． ①；②当时，；③是奇函数． 【答案】（答案不唯一，均满足） 【分析】根据幂函数的性质可得所求的. 【详解】取，则，满足①， ，时有，满足②， 的定义域为， 又，故是奇函数，满足③. 故答案为：（答案不唯一，均满足） 3．（2020·全国III卷·高考真题）设函数．若，则a= ． 【答案】1 【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值 【详解】由函数的解析式可得：， 则：，据此可得：， 整理可得：，解得：. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题. 【模拟真题】 1．（25-26高三上·北京西城·阶段练习）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】由基本初等函数的求导公式以及导数的四则运算代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由可得； （2）由可得； （3）由可得， 所以； 2．（2025高三·全国·专题练习）（1）求的导数； （2）求的导数； （3）求的导数； （4）求的导数． 【答案】（1）．（2）．（3）．（4）． 【分析】（1）展开后利用求导法则求导； （2）展开后利用求导法则求导； （3）使用三角公式化简后利用求导法则求导； （4）利用求导法则求导. 【详解】（1），． （2），． （3）先使用三角公式进行化简. ，． （4）． 3．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）设是大于1的常数，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据求导法则对选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D错误. 故选：C 4．（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，则在处的导数为（   ） A．2 B．0 C．4 D． 【答案】C 【分析】两边求导，然后令，即可得到，再代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 令，可得，即， 解得，则， 所以. 故选：C 考点3 导数与切线 1、过曲线上的点的切线方程 切线方程，抓住关键． 2、过曲线外的点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外，若点不在曲线上，设出切点来。要写出切线方程，就要有切点。 3. 求公切线方程 已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程. 具体做法为：设公切线在上的切点，在上的切点， 则 题型3 过曲线上的点的切线方程 【高考真题】 1．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解. 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 2．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 3．（2021·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可． 【详解】由题，当时，，故点在曲线上． 求导得：，所以． 故切线方程为． 故答案为：． 【模拟真题】 1．（2025·广西·模拟预测）函数在处的切线方程为 . 【答案】 【分析】利用求导法则求出导函数，再结合导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式求切线方程即可. 【详解】，则当时，切线的斜率， 因时，所以切线方程为，即. 故答案为： 2．（2025·河北衡水·模拟预测）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，点斜式即可写出切线方程. 【详解】设， 则， 当时，，， 所以曲线在处的切线方程为. 故选：B. 3．（2025·福建泉州·模拟预测）函数为偶函数，图象在点的切线方程为，则= ． 【答案】/ 【分析】由为偶函数可得，结合已知切线方程的斜率求解. 【详解】因为为偶函数，所以， 所以. 由已知可知，所以， 故答案为：. 4．（2025·河北邯郸·一模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，结合切点坐标，利用点斜式求出切线方程即可. 【详解】， 所以切线的斜率为， ， 所以在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 题型4 过曲线外的点的切线方程 【高考真题】 1．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【答案】 【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求 分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 解： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. 【模拟真题】 1．（25-26高三上·河南安阳·阶段练习）过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求导数，再设切点，求切线斜率，利用点斜式得切线方程，切线过，将其代入切线方程得到关于的一个等式，又切点在曲线上，将切点代入曲线方程，得到关于的另一个等式，这两个等式联立求出切点的坐标，同理得到另一个切点的坐标，最后利用直线方程的两点式得到直线的方程. 【详解】，，设切点， 在处的切线斜率为， 在处的切线方程为， 在曲线上， ， 在处的切线方程为， 此切线过点， 将代入切线方程成立，即， 解得，， 当时，，当时，，或. 同理可得切点或， 是不同的切点，不妨设，， 直线的方程为，整理得. 故选：A 2．（2025高三·全国·专题练习）过坐标原点作曲线的两条切线，记其斜率分别为，，则（    ） A．c B． C． D． 【答案】B 【分析】把函数展开，求出导数，设切点为，根据点斜式写出切线方程，代入原点坐标求出,代入导数可求出切线斜率，即可得到结论. 【详解】由题知，则，设切点坐标为，则切线方程为，又切线过原点，则，解得或c，当时，，当时，，故． 故选：B 3．（25-26高二上·全国·单元测试）过点作曲线的两条切线，切点分别为，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，设切点为，利用导数的几何意义得出切线方程，再由切线过可得，又切线有两条可得，代入即可求解. 【详解】由题意得，过点作曲线的切线， 设切点坐标为，则， 即，由于，故． 由题意可知为的两个解， 则，故． 故答案为：. 4．（25-26高三上·辽宁·阶段练习）函数过原点的切线方程为 ． 【答案】或 【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义可得出关于的等式，解出的值，即可得出所求切线的方程. 【详解】设切点为，对函数求导得，切线斜率为， 由于切线过原点，则，整理得，即， 解得， 当时，切线斜率为，此时切线方程为； 当时，切线斜率为，此时切线方程为. 故答案为：或. 题型5 根据切线求参 【高考真题】 1．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则 . 【答案】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 【模拟真题】 1．（2025·福建三明·模拟预测）若偶函数在处的切线方程为，则 ． 【答案】2 【分析】利用偶函数的定义，得到，代入原函数并求导数，进而求得处的导数值，结合切线方程得到该函数在处的切线斜率，列出方程，即可解出的值，最后需要验证定义域. 【详解】由是偶函数可得， 则，即， 因此，，， 对求导得， 所以，且直线的斜率， 根据题意，，即，， 结合，解得， 当时，，，，解得， 即在定义域内，成立. 故答案为：2. 2．（2025·陕西安康·模拟预测）已知曲线与倾斜角为且横截距为a的直线l相切，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据已知得出切线方程，再根据切线斜率列式结合点在切线上列方程组求参. 【详解】倾斜角为且横截距为a的直线l为，即得， 曲线与直线l相切， 设切点为，因为， 所以且， 所以， 所以， 设， 因为，所以， 所以当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 所以，所以 所以，即得. 故选：B. 3．（25-26高三上·山西·阶段练习）已知直线与曲线相切，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程，再结合切线方程与已知直线方程的关系，得到关于的表达式，最后通过求导得出函数的最值即可确定的取值范围. 【详解】由函数，得． 设切点坐标为，则切线的斜率． 所以切线方程为，其中． 即切线方程为， 整理得． 又因为直线与曲线相切， 所以． 设，则， 令，解得． 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 所以函数在处取极小值，极小值． 又当时，， 所以函数的值域为， 所以实数的取值范围是． 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，过原点分别作曲线，的切线，且两切线的斜率互为倒数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求得两条切线方程，然后根据斜率之间的关系可知，然后根据求得，最后可知结果. 【详解】设切线对应切点为，切线方程为， 将代入，解得，，从而． 设与曲线的切点为， ，解得，① 切线方程为， 将代入，得，② 将①代入②，得， 令，则， 在区间上单调递减，在区间上单调递增． 若，由，，则． 而在上单调递减，故； 若，因在区间上单调递增，且， 所以，与题设矛盾，故不可能． 综上，. 故选：B． 5．（2025高三·全国·专题练习）若过不在曲线上的点可作曲线斜率为e的切线，则 ． 【答案】－2 【分析】求出导函数，设出切点，根据导数的几何意义求解即可. 【详解】求导得，设切点为，所以， 所以切线方程为，则， 又，则，即，解得． 故答案为：． 题型6 根据切线条数求参 【高考真题】 1．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 2．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：    由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.    故选：D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法. 【模拟真题】 1．（2025·河南·模拟预测）已知对于，过点可作曲线的3条不同的切线，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出函数的导数，设出切点坐标，求出切线方程，构造函数并利用函数有3个零点求解即可. 【详解】设切点坐标为，则，即， 整理得，令， 依题意，函数有3个不同的零点，求导得 ，当时，，在上单调递减，值域为； 当时，，在是单调递增，值域为； 当时，在上单调递减，值域为， 由函数有3个零点，得，即， 解得，又，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 2．（25-26高三上·江苏·阶段练习）已知函数，若在点可以作曲线的两条切线，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数在分界点处有公切线，从而猜想点在公切线上即可求解. 【详解】作出函数的图象， 求导得：， 由于函数在处的切线为， 而函数在处的切线为， 由于两分段函数在分界点处的切线相同， 所以可取公切线上的点，再作函数的另一条切线即可， 根据选项分析，只有在公切线上， 故选：B 3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，则满足过点可作出3条直线与图象相切的充分条件是（   ） A．， B． C．点在射线上 D．点在曲线上 【答案】ACD 【分析】设过点的直线与的图象切于点，由，得到，构造，结合有3个零点，求导得到，令，得或，由逐项判断即可. 【详解】因为，所以， 设过点的直线与的图象切于点， 则切线斜率，即， 去分母整理得，切线有3条， 设，则有3个零点， ，令，得或， 所以， 对于A，取，得，A正确； 对于B，取，则，不满足，B错误； 对于C，令，，则，，满足，C正确； 对于D，令，，则，，满足，D正确； 故选：ACD. 4．（2025·甘肃定西·模拟预测）若过点只有一条直线与函数的图象相切，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由导数的几何意义可得切线方程，代入点的坐标可得，然后利用导数研究其图像，结合图像即可得到结果. 【详解】 设过点的切线与的切点为， 因为，则切线的斜率为， 所以切线的方程为， 代入得， 即. 设，则， 由，得或， 当或时，，在，上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以，， 因为，所以，， 作出的大致图象如图所示， 由图象可知只有一条直线与的图象相切时，或. 故答案为： 5．（2025·安徽·模拟预测）已知点不在函数的图象上，且过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意，设出切点坐标，由导数的几何意义可得，将问题转化为函数有三个零点问题，然后列出不等式，即可得到结果. 【详解】点不在函数的图象上，则，即， 设过点的直线与的图象相切于， 则切线的斜率，整理可得， 则问题可转化为有三个零点， 且，令，可得或， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 即当时，有极大值，当时，有极小值， 要使有三个零点， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 题型7 切线垂直或平行 【高考真题】 1．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解. 【详解】由题意，，则， 所以点和点，, 所以， 所以， 所以， 同理, 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解. 【模拟真题】 1．（2025·湖北黄石·模拟预测）已知函数，且曲线上有且仅有两个不同的点满足：存在过该点的两条曲线的切线，且它们相互垂直，则的值为 . 【答案】 【分析】根据导函数的几何意义，求过一点的函数切线，根据斜率之间的关系，列出方程，求出参数的值. 【详解】已知，则， 设切点为，切线斜率， 根据切线方程，可得， 过该点有两条曲线的切线，则有两个解，因式分解得，解得或， 所以另一个切点的横坐标为，此点切线斜率为， 此两条切线垂直，则， 令，则原方程为，化简得， 此方程只有一个正数解，则， 则， 解得，因为，即，所以. 故答案为：. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知，其上存在两点的切线互相垂直，则实数 ． 【答案】1 【分析】利用求导来求切线斜率，利用切线垂直可得，再利用一元二次方程要有解，可得判别式为非负数，即可得到特殊情形，从而可解得的值. 【详解】设切点为，， ，则． 则过两点的切线斜率为，． 根据题意得，即， 整理得， 令，即， 其方程有解，即， 整理得． 又由，则，所以， 即，可得, 所以． 故答案为：1 3．（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象上不存在互相垂直的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，利用基本不等式求出导数值的范围，再由条件求出参数的范围即可. 【详解】因为函数， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为函数的图象上不存在互相垂直的切线， 所以，即，解得． 故选：A. 3．（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数的图象在处的切线与直线平行，则 ． 【答案】3 【分析】根据导数的几何意义求出的值，再计算即可. 【详解】函数的导数为， 由题意可得的图象在处的切线的斜率为， 由切线与直线平行，可得，解得． 所以． 故答案为：3 4．（25-26高三上·四川广元·阶段练习）若函数的图象上存在与轴平行的切线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意结合导数的几何意义将问题转化为在时有解，进而结合对勾函数的性质求解即可. 【详解】由，，则， 因为函数的图象上存在与轴平行的切线， 所以在时有解， 则在时有解， 即在时有解， 而时，函数在上单调递减，在上单调递增， 且时，， 要使在时有解，则，即， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 题型8 公切线 【高考真题】 1．（2020·全国III卷·高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线在曲线上的切点为，则， 函数的导数为，则直线的斜率， 设直线的方程为，即， 由于直线与圆相切，则， 两边平方并整理得，解得，（舍）， 则直线的方程为，即. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 【模拟真题】 1．（25-26高三上·福建莆田）写出与曲线和都相切直线的方程： ， .（写出两条直线的方程） 【答案】 【分析】设出切点，利用切点求出切线方程，联立方程求出切点处的值，代入求出切线方程. 【详解】因为，，所以，， 设直线与曲线和分别切于点，， 所以切线方程分别为，， 即，， 因此，则， 又， 所以， 化简得， 解得或， 当时，切线方程为， 当时，切线方程为. 故答案为：，. 2．（25-26高三上·山东聊城）两条直线的夹角指的是两条直线所形成的小于或等于的角.若曲线与曲线的两条公切线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反函数的对称性可分析出倾斜角更大的直线的斜率是，设出该公切线在，的切点，根据导数的几何意义，用两种方式表达出切线方程，然后根据两个方程的截距相等列出等式，进而求解. 【详解】 由题易知，曲线与曲线关于直线对称， 由两条切线的夹角是，根据对称性知曲线的切线的倾斜角为， 即切线的斜率为. 设直线与曲线的切点坐标为， ，所以， 直线的方程为，即， 设直线和的切点坐标是， ，所以， 直线的方程为，即， 于是， 即，即 由，两边取对数可得， 由，得到，两边取对数得， 分别把上述条件代回原等式，得到， 即， 整理可得. 故选：C 3．（25-26高三上·浙江温州）在平面直角坐标系中有曲线和，直线与、分别相切于，直线（不同于）与、分别相切于点，则与交点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用导数的几何意义求出，的方程，联立方程求解即可. 【详解】解：设， 对，求导得， 所以在处的切线方程为， 即， 对，求导得， 所以在处的切线方程为， 即， 又因为是与的公切线， 所以， 解得或， 不妨取； 同理可得， 从而可得，即的方程为：， 同理可得，即的方程为：， 由，解得， 所以与交点的横坐标是. 故选：A. 4．（25-26高三上·江苏）若直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，若，则线段的长度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用导数的几何意义求出公切线的斜率，得到与的关系，再根据切线方程的截距相等求出与的值，最后利用两点间距离公式求得答案. 【详解】由，得曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，令，得， 由，得曲线在处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，令，得， 所以，消去可得， 令，，则， 令，则， 令，得，即在上单调递减， 令，得，即在上单调递增， 又时，，故，即， 所以函数在上单调递减，且，所以，则， 所以，， 所以线段的长度为. 故选：C. 5．（25-26高三上·重庆）若曲线与曲线的图象上分别存在不同的两点 使得两曲线分别在两点处的切线重合，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】设点在曲线上的坐标为，点在曲线上的坐标为，分别利用导数意义求得曲线在点处的切线方程和曲线在点处的切线方程，进而可得，从而可得，，进而求导可得的取值范围. 【详解】设点在曲线上的坐标为，点在曲线上的坐标为， 由，可得，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 由，可得，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 因为两点处的切线相同，故，由，得， 将代入，可得， 所以，所以，因为，所以， 又，所以，所以， 所以，令，所以， 又，所以，所以在上单调递减， 又当且时，，又当，， 所以的取值范围为. 6．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 ． 【答案】2 【分析】应用导数的几何意义求得在处的切线，对求导，结合已知得切点在直线上，即可得. 【详解】由题设，则，则处切线为，即， 对于，有，又也是的切线， 令，可得，则，即切点在直线上， 所以. 故答案为：2 7．（2025高三·全国·专题练习）若直线l：既是曲线C：的切线，也是曲线E：的切线，则使得的最大整数的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】求导，将切点代入方程并消参表示出，进而构造函数，利用导数求解函数的最值，即可求解. 【详解】设直线l与曲线C相切于点，与曲线E相切于点，则． 故，且有，． 又所以解得，则，，故, 令，，则， 设，， 令，易知在单调递增，且，，所以存在唯一使得，即， 当时，单调递减，当时，单调递增， 则， 由于，则， 故满足的最大整数． 故选：B 学科网（北京）股份有限公司 $