精品解析：天津市第二中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试卷

2025-2026（一）天津二中高三年级第一次月考 数学学科试卷 一、选择题：本大题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 记全集，集合，集合，则=（ ） A. B. C. D. 2. 已知，为实数，则使得“”成立的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 某物理量的测量结果服从正态分布，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 B. 数据7，4，2，9，1，5，8，6的第50百分位数为5 C. 将一组数据中的每一个数据加上同一个常数后，方差不变 D. 设具有线性相关关系的两个变量，的相关系数为，则越接近于，和之间的线性相关程度越强 5. 设，，，则三者的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 6. Deep Seek是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间（单位：月）的变化满足对数型函数模型：，其中是常数．若Deep Seek在经过3个月后评分增长到70，则满意度评分为（ ） A. 60 B. 61 C. 62 D. 63 7. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 8. 设双曲线C：（，）的左焦点为F，直线过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，，其中O为坐标原点，则双曲线C的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则下列说法错误的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 是函数的一个零点 C. D. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10. 已知，则________． 11. 的展开式中的系数是__________.（用数字作答） 12. 设直线和圆相交于两点.若，则实数__________. 13. 某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加学校的义务劳动.男生甲或女生乙被选中的概率为___________；设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，则_________. 14. 如图，在菱形中，，，E，F分别为，上的点，，，若线段上存在一点M，使得，则__________，若点N为线段上一个动点，则的取值范围为__________. 15. 已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是____________ 三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 在中，内角、、的对边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，．求： （ⅰ）边长； （ⅱ）的值． 17. 函数的部分图象如下图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最值． 18. 如图，且，，且，且，平面，. （1）若为的中点，为的中点，求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求直线到平面的距离. 19. 已知函数. （1）若是函数的极值点， ①求在处切线方程； ②求在区间上的最值； （2）若，恒成立，求实数a的取值范围. 20. 已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026（一）天津二中高三年级第一次月考 数学学科试卷 一、选择题：本大题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 记全集，集合，集合，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义直接求解作答. 【详解】依题意，或，因， 所以. 故选：C 2. 已知，为实数，则使得“”成立的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“充分必要条件”的定义逐项分析. 【详解】对于A，如果 ，例如 ，则 ，不能推出 ，如果 ，则必定有 ，既不是充分条件也不是必要条件，错误； 对于B，如果 ，根据对数函数的单调性可知 ，但不能推出 ，例如 ，不是充分条件， 如果 ，则 ，是必要条件，即 是 的必要不充分条件，错误； 对于C，如果 ，因为 是单调递增的函数，所以 ，不能推出 ，例如 ， 如果 ，则必有 ，是必要不充分条件，错误； 对于D，如果 ，则必有 ，是充分条件，如果 ，例如 ，则不能推出 ，所以是充分不必有条件，正确. 故选：D. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数是奇函数，排除，再排除选项B，即得解. 【详解】解：因为，所以. 所以函数是奇函数，排除选项. 因为，，所以排除选项B. 故选: D 4. 下列说法正确的是（ ） A. 某物理量的测量结果服从正态分布，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 B. 数据7，4，2，9，1，5，8，6的第50百分位数为5 C. 将一组数据中的每一个数据加上同一个常数后，方差不变 D. 设具有线性相关关系的两个变量，的相关系数为，则越接近于，和之间的线性相关程度越强 【答案】C 【解析】 【分析】借助正态分布的性质可得A；借助百分位数定义可得B；借助方差定义计算可得C；借助相关系数定义可得D. 【详解】对A：设该物理量为随机变量， 则， ， 由的均值为，则， 由区间比区间离均值更近， 而离均值越近的区间，概率密度越高， 故， 故， 即该物理量在一次测量中落在比落在的概率更大，故A错误； 对B：将这组数据从小到大重新排列有：1，2，4，5，6，7，8，9， 由，则这组数据的第50百分位数为，故B错误； 对C：设一组数据为，则平均数， 方差为， 将数据中的每一个数据加上同一个常数后为， 则平均数为， 方差为， ， 所以将一组数据中的每一个数据加上同一个常数后，方差不变，故C正确； 对D：越接近，和之间的线性相关程度越强，故D错误. 故选：C. 5. 设，，，则三者的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据符号判断三个数的大小，在符号相同时，根据函数的单调性再判断即可. 【详解】由对数函数的性质可知， ， 由对数换底公式得： ， 由对数函数的性质可知 ，∴ ， 由以上判断得： ； 故选：A. 6. Deep Seek是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间（单位：月）的变化满足对数型函数模型：，其中是常数．若Deep Seek在经过3个月后评分增长到70，则满意度评分为（ ） A. 60 B. 61 C. 62 D. 63 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件代入计算求解. 【详解】由题可得，则， 故选：A． 7. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 8. 设双曲线C：（，）的左焦点为F，直线过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，，其中O为坐标原点，则双曲线C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将左焦点坐标代入中可求出，设右焦点为N，连接，，，则三角形为直角三角形，可得，，然后利用双曲线的定义列方程可求出，从而可求出双曲线的方程 【详解】设左焦点F的坐标为，由点F过直线， 所以，解得， 设右焦点为N，连接，，. 由，故三角形为直角三角形，即, 又因为直线斜率为，设直线倾斜角为，则. 又，则，， 由双曲线定义，则， 所以， 所以 所以双曲线C的方程为. 故选：D. 9. 已知函数图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则下列说法错误的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 是函数的一个零点 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简的解析式，根据的对称轴和对称中心的最小距离求得，根据三角函数的周期性、零点、最值、对称轴等知识确定正确答案. 【详解】，， 由于图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为， 所以，所以， A选项，函数的最小正周期为，A选项正确. B选项，，所以是函数的一个零点，B选项错误. C选项，，所以C选项错误. D选项，，所以，D选项正确. 故选：C 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 10. 已知，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用复数乘法运算及复数相等求出值作答. 【详解】依题意，，而， 因此，解得； 所以. 故答案为：1 11. 的展开式中的系数是__________.（用数字作答） 【答案】240 【解析】 【分析】先写出二项展开式的通项公式，再令通项公式中的指数为，进而解出的系数. 【详解】展开式的通项公式为， 令，可得，则展开式中的系数为. 故答案为：240. 12. 设直线和圆相交于两点.若，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】由于，可知圆心到直线的距离，进而可得解. 【详解】 如图所示，由已知，即， 可得，半径， 又，所以，即为等腰直角三角形， 所以圆心到直线得距离， 即，且，解得：； 故答案为：. 13. 某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加学校的义务劳动.男生甲或女生乙被选中的概率为___________；设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，则_________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据古典概型结合对立事件的概率即可求出第一空，利用条件概率公式即可求出第二空. 【详解】男生甲和女生乙都没有选中的概率为， 所以男生甲或女生乙被选中的概率为， ， 所以. 故答案为：；. 14. 如图，在菱形中，，，E，F分别为，上的点，，，若线段上存在一点M，使得，则__________，若点N为线段上一个动点，则的取值范围为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】以菱形的对角线为在不在建立平面直角坐标系，通过坐标运算先求M坐标然后可得，再用坐标表示出，由二次函数性质可得所求范围. 【详解】因为为菱形，所以，以BD、AC所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系， 因为，，所以 则，设 因为，所以 解得，所以 又 所以 因为，所以当时，有最小值， 当时，有最大值， 所以的取值范围为 故答案为：， 15. 已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是____________ 【答案】 【解析】 【分析】明确分段函数两段的性质，进而作出其图像，将方程恰有四个不同的实数解转化为的图象与直线有4个不同的交点，由图象确定，，，的范围，结合对勾函数单调性性质，即可求得答案. 【详解】由题意知， 当时，， 令，则； 当时，； 当时，， 令，则或4；令，则或2； 由此可作出函数的图象如图： 由于方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，， 故的图象与直线有4个不同的交点，由图象可知， 不妨设，则， 且关于对称，所以， 又即，则， 故， 由于在上单调递增，故， 所以， 故的取值范围是， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题综合考查函数与方程的应用知识，涉及到知识点较多，综合性强，解答的关键时要明确分段函数的性质，进而作出其图象，数形结合，即可求解. 三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 在中，内角、、的对边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，．求： （ⅰ）边长； （ⅱ）的值． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ii）． 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，由此求得角的大小. （2）（ⅰ）已知两边和夹角，用余弦定理求得边； （ⅱ）由两角差的正弦公式求得的值. 【详解】解：（1）由已知及正弦定理得 ，， ， （2）（ⅰ）因为，， 由余弦定理得， （ⅱ）由，因为为锐角，所以 ，， 【点睛】本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，还考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及两角差的正弦公式. 17. 函数的部分图象如下图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最值． 【答案】（1）； （2）； （3）最大值为3，最小值为0. 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图方法求出解析式. （2）利用正弦函数的性质求出单调递增区间. （3）利用三角函数图象变换求出，再利用正弦函数性质求出指定区间上的最值. 【小问1详解】 观察函数的图象，得，最小正周期，解得， 由，得，而，则， 所以函数的解析式是. 【小问2详解】 由（1）知，， 由，得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问3详解】 依题意，， 当时，，则当，即时，； 当或，即或时，. 所以在区间上的最大值为3，最小值为0. 18. 如图，且，，且，且，平面，. （1）若为的中点，为的中点，求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求直线到平面的距离. 【答案】（1） 证明：由已知，平面，，平面，平面， 所以相互垂直，则以点为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示， 则， 又为的中点，为的中点，所以. 设为平面的法向量，又， 所以，令，则，， 又，所以， 即，而平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间位置关系的向量证明推理即可证明. （2）分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值即为平面与平面夹角的余弦值. （3）根据题意，平面，直线到平面的距离即点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得. 设为平面的法向量，为平面的法向量， 所以，令，则，， ，令，则，， 所以， 即得平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 因为，平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离即点到平面的距离. 由（2）可得平面的法向量，又由（1）可得， 所以， 则直线与平面所成角的正弦值为， 所以点到平面的距离为， 即直线到平面的距离为. 19. 已知函数. （1）若是函数的极值点， ①求在处切线方程； ②求在区间上的最值； （2）若，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）①；②最小值为，最大值为 （2） 【解析】 【分析】（1）①先利用极值点求出参数值，进而得到斜率，根据点斜式公式得到切线方程；②先求出函数的单调性，进而解出最值； （2）先进行分离变量，求出新函数的最值，进而得出结果. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 因为已知是函数的极值点， 所以1是方程的根， 可得，解得，故， 经检验符合题意，故. ①因为， 所以，， 所以切线方程为； ②因为， 所以当时；当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又由，，， 且， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 【小问2详解】 因为恒成立，即恒成立， 则恒成立， 所以恒成立， 记，则， 令，得， 令，得，令，得， 列表如下： ↗ ↘ 所以函数的极大值也是最大值为， 由恒成立得， 所以. 20. 已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 【答案】（1） （2）（i）1； （ii）由题意，，定义域为， 由题意有两个不相等的实数根， 令，则， 所以在上递增，所以， 令， 所以有两个不相等的正的零点，且， 即，两式分别相加减得， . 所以② 要证，只需证， 即证，即需证， 由②知，， 故只需证， 不妨设，令， 则只需证，即， 故只需证， 令 则， 所以在上单调递增， 所以， 即当时，成立. 所以，即，故. 【解析】 【分析】（1）计算，由导数的几何意义即可求； （2）（i）求出，利用导数判断单调性，即可求出最值；（ii）将方程有两个实根转化为有两个不相等的零点，由此列方程，将证明转化为证明，由导数证明不等式成立. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 （i）当时，，定义域为， ， 令， 则， 所以在上单调递增， 又因为， 所以使得，即，① 故当时，，即，此时在上单调递减； 当时，，即，此时在上单调递增， 所以当时，函数有最小值， 由①可得，即， 所以函数的最小值为. （ii）略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，主要的方法是通过已知条件，化归与转化所要证明的不等式，然后通过构造函数法，结合导数来所构造函数的取值范围，进而证明不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $