1.6线段垂直平分线的性质 自主达标测试题 2025-2026学年浙教版（2024）八年级数学上册

2025-2026学年浙教版（2024）八年级数学上册《1.6线段垂直平分线的性质》 自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（   ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 2．如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下：①分别以点A，B为圆心，a为半径画弧交于点E，F；②过点E，F作直线，则直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．垂直平分线 4．如图，，根据图中尺规作图的痕迹，可得的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．如图，在四边形中，垂直平分，垂足为点E，下列结论不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，是的垂直平分线，P是直线上的任意一点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，在中，是的垂直平分线与边的交点，是边上一点，连接，，将的面积平分．若，，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 二、填空题（满分24分） 9．锐角三角形边的中垂线和的角平分线相交于点，若，则 ． 10．如图，在中， ， 线段的垂直平分线交于点D，的周长是，则的长为 ． 11．如图，垂直平分线段于点，垂直平分线段于点．若，则 ． 12．如图，，，点C在的垂直平分线上．若，，则的长为 ． 13．如图，P是直线l外一点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于点B，D；②分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③作直线交于点F．    若，，则四边形的面积为 ． 14．如图，已知，点D，E分别在的垂直平分线上，且D，A，E三点共线，若四边形的周长为20，，则的长为 ． 15．如图，在中，边的垂直平分线分别与边和边交于点D和点E，边的垂直平分线分别与边和边交于点F和点G，若的周长为9，且，则的长为 ． 16．如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为 ． 三、解答题（满分72分） 17．如图，已知，，．请用尺规作图法，在边上求作一点P，连接BP，使．（保留作图痕迹．不写作法） 18．如图，在中，． (1)作的垂直平分线，交于点，交于点； (2)在（）的条件下，连接，若的周长是，求的长． 19．如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求证： 20．如图，在中，，是的平分线，交于点，垂足为．求证： (1)是线段的垂直平分线； (2)． 21．如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，当时，，，求的长． 22．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 23．在等腰直角中，，点P是边上垂直平分线上的一点，连结，交于点M，N是点M关于的对称点，连结并延长交于点D，连结交于点G． (1)如图①，点P在的下方时，①求证：； ②请猜想线段，，三者之间的数量关系，并加以证明； (2)如图②，若点P移动到的内部时，其他条件不变，线段，，三者有什么数量关系，请画出图形，直接写出结果，不必证明． 参考答案 1．C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等，进行作答即可． 【详解】解：∵现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭应选的位置是三边的垂直平分线的交点， 故选：C 2．D 【分析】本题考查了尺规作图—作线段垂直平分线．根据作图方法和步骤，即可解答． 【详解】解：根据尺规作图—作线段垂直平分线的步骤可得：， ∵， ∴， ∴a的值可能是4， 故选：D． 3．A 【分析】本题考查作图-基本作图，三角形的角平分线，垂直平分线，三角形的中线等知识，根据作图痕迹判断出线段是的中线即可． 【详解】解：由作图可知点D是边的中点，故线段是的中线． 故选：A． 4．C 【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图、三角形内角和定理等知识．由尺规作图的作法得到，根据三角形内角和定理代入数据计算即可得到答案． 【详解】解：由尺规作图可知，， 即， ∵， ∴， 故选：C． 5．C 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”是解本题的关键． 先证明，再证明，结合，从而可得答案． 【详解】解： 是的垂直平分线， ， 的周长是13， ∴， ∴ ∴ ∴． 故选：C． 6．D 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质和全等三角形的性质和判定，先根据线段垂直平分线的性质得出，，再对各选项进行逐一分析即可，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，，，故A正确，该选项不符合题意； 在和中， ， ∴，故C正确，该选项不符合题意； ∴，故B正确，该选项不符合题意； 不一定等于，故D错误，符合题意； 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，连接，根据线段的垂直平分线的性质可得，根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， 根据两点之间线段最短，则，最小，此时点P与点E重合， 所以的最小值即为的长，为4． 即的最小值为4． 故选：B． 8．C 【分析】本题考查了三角形中线等分面积，线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，再由三角形中线等分面积得到，最后根据即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线与边的交点， ∴， ∵将的面积平分， ∴， ∴， 故选：C． 9．/度 【分析】通过连接，利用中垂线性质得，再结合角平分线定义，设为未知数，根据三角形内角和定理列方程求解．本题主要考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练掌握这些知识并能灵活运用是解题的关键． 【详解】解：∵点在的中垂线上 ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ 设，则，， ∵， ∴ ∵ ∴ 解得 故答案为：． 10． 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴的周长， 又∵， ∴， 故答案为：． 11．6 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题关键是掌握垂直平分线的性质．利用垂直平分线的性质即可求得待求线段的长． 【详解】解：∵垂直平分线段于点，， ∴， ∵垂直平分线段于点， ∴， 故答案为：6． 12．8 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 由，得到，点在的垂直平分线上，得到，即可得到结论． 【详解】解：，， ， 点在的垂直平分线上， ， ． 故答案为：8． 13．12 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图性质以及对角线垂直的四边形面积计算，解题的关键是依据作图步骤明确线段关系，运用对应面积公式求解．先依据作图步骤得出，垂直平分，进而得到的长度，再推导出对角线垂直的四边形面积公式对角线之积，计算出结果． 【详解】解：由作图步骤可知， 步骤①中，以点P为圆心画弧，交直线l于点B，D， ， 步骤②中，分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径作弧相交于点E， 直线是线段的垂直平分线， ， ， 四边形的对角线与互相垂直， ， 故答案为：12． 14．4 【分析】此题考查了垂直平分线的性质．根据垂直平分线的性质得到，得到，再根据四边形的周长为20即可求出的长． 【详解】解：∵点D，E分别在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴ ∵四边形的周长为20， ∴， 即， 解得， 故答案为： 15．7 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 同理可得：， 的周长为9， ， ， ， ， 故答案为：7． 16． 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，垂线段最短，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键． 由线段垂直平分线的性质可得，则，当点A，点M，点D共线且时，有最小值，即有最小值为的长，由面积公式可求解． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点A，点M，点D共线且时，有最小值，即有最小值为的长， ∵， ∴， 故答案为：． 17．图见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键． 利用三角形的内角和分析出，即作的垂直平分线即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴作的垂直平分线即可，如图所示即为所求： 18．(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了垂直平分线的作法，垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据垂直平分线的方法即可； （）由是的垂直平分线，则，又的周长是，则有，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，所以为所求； （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵， ∴． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质： （1）由中点，得到，由，得到，即可得证； （2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证． 【详解】（1）证明：为的中点， ．            ；                              在和中，       ； （2）证明： 垂直平分， ． 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）要证是线段的垂直平分线，需证垂直（已知）且平分，即证，可通过证明来实现． （2）利用（1）中全等及垂直关系，结合同角的余角相等，推导与的等量关系． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴（） ∴ 又∵，即垂直且平分 ∴是线段的垂直平分线 （2）证明：由（1）知， ∴． ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，，； 在中，，． ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、线段垂直平分线的判定与性质以及三角形内角和等知识，熟练掌握全等三角形判定和线段垂直平分线性质，灵活运用角的等量代换是解题的关键． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定（）与性质以及垂直平分线的性质，熟练掌握这些知识（全等三角形的判定条件；垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等）是解题的关键． （1）要证明，根据，从而得到一组角相等，再结合是中点及对顶角相等，利用“”（角边角）判定全等． （2）先由（1）中的全等三角形得出相关线段相等，再根据垂直条件得出是的垂直平分线，进而得到，最后结合已知线段长度计算． 【详解】（1）证明： ， （两直线平行，内错角相等）， 为的中点， ， 又（对顶角相等）， ； （2）解：由（1）知， ，， ， ， ， ， ，， 是的垂直平分线， ． 22．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键. （1）根据线段的垂直平分线的性质得到，，等量代换得到； （2）根据三角形周长公式求出，再根据（1）中结论计算，得到答案． 【详解】（1）垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ； （2）的周长为， ， ， ， ，， ， ， 即． 23．(1)①证明见解析②证明见解析 (2)，画图见解析 【分析】本题考查了垂直平分线、角平分线、三角形全等等知识，解题的关键是对垂直平分线、三角形全等的运用． （1）①作的平分线交于点Q， 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点，易得，，结合对顶角的知识解答即可；通过证明、，进而解答即可；②由①可得，，运用等量代换，进而解答即可； （2）通过证明、，得到，，运用等量代换，进而解答即可． 【详解】（1）证明：①如图．作的平分线交于点Q， 于点H． ，， ． 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点， ，，． ． ，， ． ，， 在与中 ． 在与中 ． ． ， ． ． ． ②，， ，． ， ． （2）证明∶如图．作的平分线交于点K．， 于点H． ，， ． 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点， ，，． ． ，即． 在和中 ． ，． 在和中 ． ． ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $