2.2.1 有理数的乘法（题型专练）2025-2026人教版七年级数学上册同步题型练系列

2.2.1 有理数的乘法 有理数乘法法则的辨析 1．下列结论中，错误的是（    ） A．若两数相乘的积为正，则这两数同号 B．若两数相乘的积为负，则这两数异号 C．几个不为的数相乘，积的符号由负因数的个数决定 D．若三数相乘的积为负，则这三数都为负 2．若两个有理数的积为负数，则这两个有理数（    ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负 D．没有零 3．可以表示为（   ） A． B． C． D． 4．现有以下五个结论：①两个非负数的乘积一定是正数；②若两个数互为相反数，则它们相乘的积是负数；③任何一个有理数都可以在数轴上表示；④两个数的和为正数，则这两个数可能异号；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 利用有理数乘法法则辨别符号 5．数轴上的两点所表示的数分别为a，b，且满足，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如果，，那么是（   ） A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定 7．已知a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．下列式子中，积的符号为负的是（　　） A． B． C． D． 9．若5个有理数的积是负数，则5个因数中正因数的个数可能是（　　） A．1个 B．3个 C．1或3或5个 D．以上答案都不对 有理数乘法运算 10．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．小米把错看成了，那么她算出的结果与正确结果相差（   ） A．4 B．15 C．56 D．60 12．若的运算结果为正数，则内的数字可以是（　　） A． B．0 C．3 D．5 13．计算： （1） （ ） ； （2） （ ） ； （3） （ ） ； （4） （ ） ； （5） ． 14．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 15．计算： (1) (2) 16．计算． (1)； (2)； (3)； 17．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 有理数乘法运算律 18．下列等式能表示分配律的是（   ） A． B． C． D． 19．这里没有用到的运算律是（   ） A．乘法结合律 B．乘法交换律 C．乘法分配律 D．不确定 20．下列变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 21．计算： （ ）（ ）（利用乘法交换律） （ ）（ ）（利用乘法结合律） （ ）（ ） ． 22．计算：． 晓莉的计算过程如下： 解：原式① ② ．③ 请问晓莉的计算过程正确吗？如果不正确，请指出开始出错的步骤，并写出正确的计算过程． 有理数乘法的实际应用 23．小海去电影院购买电影票时付款100元找回44元．根据如图表信息，可判断小海看的场次是（    ） 《哪吒之魔童闹海》70元/张 上午场：六折    中午场：五折 下午场：八折    夜场：不打折 A．上午场 B．中午场 C．下午场 D．夜场 24．杜师傅攀登一座山峰，他每登高，气温的变化量为，当杜师傅攀登后，那么气温将会（   ） A．下降 B．上升 C．下降 D．上升 25．某市的地铁站牌每一个站名上方都有一个对应数字，将上、下站名所对应数字相减的差的绝对值作为乘车路程，根据乘车路程所在区段计算票价．乘车路程区段与对应票价（部分）如下表： 乘车路程区段 0~5 6~10 11~15 16~25 … 票价/元 1 2 3.2 4.6 … 另外，学生乘车实行5折优惠，若一名学生上车时站名对应数字是4，下车时站名对应数字是23，则该学生乘车的费用为 元． 26．如图，一玻璃柜的主视图形状是长（）1.5米、宽（）1米的矩形，现在需要在木框架间嵌入玻璃，已知木框架宽为，则需要的玻璃总面积为 平方米． 27．有20筐白菜、以每筐20千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差 袋数 2 3 2 5 5 3 (1)20筐白菜中，最轻的一筐比最重的一筐少 千克． (2)每筐白菜的平均重量是多少？ (3)若白菜每千克售价4元，则出售这20筐白菜可卖多少元？ 28．出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客，若按规定向东为正，李师傅营运八批乘客里程数记录如下（单位：千米）：． (1)将最后一批乘客送到目的地后，李师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少千米？ (2)若出租车的收费标准为：起步价元（不超过千米），超过千米，超过部分每千米元，求李师傅在这期间一共收入多少元？ 求一个数的倒数 29．的倒数是（    ） A． B．2026 C． D． 30．与的关系是（    ） A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．乘积为 31．一个数的相反数是，则这个数的倒数是 ． 32．若，互为倒数，则 ；若没有倒数，的倒数是它本身，则 ． 33．写出下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 有理数乘法运算律与简便运算 34．计算最简便的方法是（    ） A． B． C． D． 35．计算： ． 36．利用运算律做较简便的计算： (1)； (2)； (3)． 37．学习有理数的乘法后，老师给同学们一道这样的题目：计算，看谁算的又快又对． 小瑞很快给出了他的解法：原式=． 小晨经过思考后也给出了他的解法： 原式= = （                     ） = = ． (1)请补全小晨的解题过程，并在括号里写出他用了什么运算原理? (2)你还有不同于小瑞、小晨的解法吗? (3)用你认为最合适的方法计算： 相反数、绝对值、倒数的综合运用 38．实数，，，在数轴上对应点的位置如图所示，若实数，互为相反数，则倒数最大的是（   ） A． B． C． D． 39．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为，是最大的负整数，则的值为 ． 40．若与互为相反数，与互为倒数，，求的值． 41．已知的倒数是，的绝对值是最小的正整数，且，求的相反数． 42．请根据图示的对话解答下列问题． 已知与互为相反数 与互为倒数 (1)______，______． (2)已知，求的值． 有理数乘法运算中的新定义问题 43．定义一种新运算“”，规定：等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，．则的值是（    ）． A． B． C． D． 44．规定，则的值等于（     ） A．5 B． C． D．或 45．若“！”是一种数学运算符号，并且，，则 ． 46．若“※”是新规定的某种运算符号，设，则的值为 ． 有理数乘法运算中的新定义问题 47．在学习完《有理数》后，小奇对有理数运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：．（a、b不相等） (1) ； (2)求的值； (3)试以和说明，新定义的运算“⊕”满足交换律吗？ 48．一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义，如图，表示2与的点A，B重合，所以；表示与的点C，D距离为，所以． (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为_______； ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 49．对于任意有理数和，定义一种新运算“”：，例如： (1)求的值； (2)求的值； (3)计算和的值，并根据计算结果判断这种运算是否满足交换律． 50．定义一种新的运算“？” (1)仔细观察，归纳“？”运算法则：两数进行“？”运算时，_____________；特别的，0与任何数进行“？”运算，或任何数与0进行“？”运算，结果为_____________； (2)计算：； (3)已知，求的值 有理数乘法运算中的规律问题和材料阅读题 51．符号“f”表示一种运算，运算规律如下：，，，，…，则（   ） A． B． C． D． 52．《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为________，该图表示的乘积结果为_________． 53．阅读下列文字，并回答： 每个假分数可以写成一个自然数与一个真分数的和（例如），这个真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和（如），反复进行同样的过程，直到真分数的倒数是一个自然数为止（如；），我们把用这种方法得到的自然数，按照先后顺序写成一个数组，那么，这个数组叫做由这个假分数生成的自然数组．如：对于假分数，则，，；，所生成的自然数组为，请回答： (1)所生成的自然数组为{ } (2)某个假分数所生成的自然数组为，这个假分数为多少？ 54．观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 55．【问题背景】 七年级一次数学活动中，某小组同学决定对课本第69页第20题进行探索研究，问题如下：“在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，你能做到吗？” 【解决方法】小薇同学采用“配对法”，将这12个数分成6组：，，，，，，通过添加正负号让其中三组中各数的和都为1，另外三组中各数的和都为； 小娟同学采用“奇偶法”，将这12个数按奇偶性分成两组：，，通过适当地添加正负号，先使所有的奇数的和为0，再使所有的偶数的和也为0，这样就可以使这12个数的和为0了； （1）小薇、小娟两位同学的办法中______办法是可行的． 【变式探究】 （2）在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为，你能做到吗？如果能，请写出一种可行的添加的结果，如果不能，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）在1，2，3，4，…，2006，2007共2007个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为2024，你能做到吗？如果能，请写出一种可行的添加的结果，如果不能，请说明理由． 56．（2024·内蒙古包头·中考真题）若互为倒数，且满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 57．（2024·吉林·中考真题）若的运算结果为正数，则内的数字可以为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 58．（2022·贵州黔东南·中考真题）下列说法中，正确的是（    ） A．2与互为倒数 B．2与互为相反数 C．0的相反数是0 D．2的绝对值是 59．（2023·四川南充·中考真题）如果，那么的值为（    ） A．6 B． C．-6 D． 60．（2023·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.1 有理数的乘法 有理数乘法法则的辨析 1．下列结论中，错误的是（    ） A．若两数相乘的积为正，则这两数同号 B．若两数相乘的积为负，则这两数异号 C．几个不为的数相乘，积的符号由负因数的个数决定 D．若三数相乘的积为负，则这三数都为负 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法法则的应用，根据有理数的乘法法则判断即可，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 【解析】．根据同号两数相乘，积为正，因此本选项正确； ．异号两数相乘得负，故本选项正确； ．几个不等于的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，故本选项正确； ．可以是一个负数，两个正数，故本选项错误； 故选：． 2．若两个有理数的积为负数，则这两个有理数（    ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负 D．没有零 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数乘法的符号法则，异号相乘，积为负，即可得出结果． 【解析】解：若两个有理数的积为负数，则这两个有理数一正一负； 故选：C． 3．可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘法的意义，根据题意表示成乘法的形式，即可求解． 【解析】解：可以表示为， 故选：C． 4．现有以下五个结论：①两个非负数的乘积一定是正数；②若两个数互为相反数，则它们相乘的积是负数；③任何一个有理数都可以在数轴上表示；④两个数的和为正数，则这两个数可能异号；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据数轴、相反数、绝对值的定义、有理数的乘法的法则分别对每一项进行分析即可． 【解析】解：①两个非负数的乘积一定是0或正数，原说法错误；故原命题错误； ②若两个数（非0）互为相反数，则它们相乘的积是负数；故原命题错误； ③任何一个有理数都可以在数轴上表示；故原命题正确； ④两个数的和为正数，则这两个数可能异号，故原命题正确； ⑤几个非零的有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故原命题错误．∴正确的有2个；故选：A． 利用有理数乘法法则辨别符号 5．数轴上的两点所表示的数分别为a，b，且满足，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法、有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则、有理数的加法法则进行解题即可． 【解析】解：∵， ∴a，b同号， ∵， ∴， 故选：B． 6．如果，，那么是（   ） A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法，由题意可得、同号，、异号，从而得出、异号，即可得解，熟练掌握有理数的乘法法则是解此题的关键． 【解析】解：∵，， ∴、同号，、异号， ∴、异号， ∴， 故选：B． 7．已知a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴上的点表示的数、有理数的乘法、有理数的加法，首先根据a、b在数轴上的位置得到，，然后分别求解判断即可． 【解析】解：由图得：，， ∴，故A不正确； ∴，故B不正确； ∴，故C正确； ∴，故D不正确． 故选：C． 8．下列式子中，积的符号为负的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几个有理数的乘法．熟练掌握几个有理数的乘法的符号法则，是解决问题的关键．几个不为零的数相乘，积的符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正；几个数相乘，有一个因数为零，积为零． 根据几个有理数的乘法的符号法则逐一判断，即可以得到答案． 【解析】A、有两个负因数，积为正，故A不符合题意． B、有三个负因数，积为负，故B符合题意． C、有一个因数0，积为0，故C不符合题意． D、有四个负因数，积为正，故D不符合题意． 故选：B． 9．若5个有理数的积是负数，则5个因数中正因数的个数可能是（　　） A．1个 B．3个 C．1或3或5个 D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法法则．根据几个不为零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数的个数为偶数时积为正，负因数的个数为奇数时积为负，即可得解． 【解析】解： 5个有理数的积是负数，则5个因数中负因数的个数为1个，3个或5个， 正因数的个数可能为4个或2个或0个． 故选：D． 有理数乘法运算 10．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法法则逐项计算即可解答． 【解析】解：，故A计算错误，不符合题意； ，故B计算正确，符合题意； ，故C计算错误，不符合题意； ，故D计算错误，不符合题意． 故选B． 11．小米把错看成了，那么她算出的结果与正确结果相差（   ） A．4 B．15 C．56 D．60 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，分别求出和的结果，再计算两者的差值即可得出结果． 【解析】解：正确算式展开：， 错误算式展开：， 正确结果错误结果 ． 因此，算出的结果与正确结果相差56， 故选：C． 12．若的运算结果为正数，则内的数字可以是（　　） A． B．0 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，大于0的数为正数，先把每个选项代入，再算出的结果，然后与0进行比较，即可作答． 【解析】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A 13．计算： （1） （ ） ； （2） （ ） ； （3） （ ） ； （4） （ ） ； （5） ． 【答案】 3 6 12 2 24 0 【分析】本题考查了有理数的乘法， 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0．几个有理数相乘的符号法则∶当负因数的个数为偶数时，积为正；当负因数的个数为奇数时，积为负，再把所有因数的绝对值相乘， （1）（2）（3）（4）（5）根据有理数的乘法法则求解即可． 【解析】解∶（1）， 故答案为：，3，6，； （2）， 故答案为：，12，2，24； （3）， 故答案为：，，，； （4）， 故答案为：，，，； （5）， 故答案为：0． 14．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 【答案】(1)0； (2)； (3)； (4)； (5)； 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，正确运用有理数的乘法法则，尤其是符号法则，是解题的关键． （1）根据0与任何数相乘都得0进行计算； （2）根据两数相乘，异号得负进行计算； （3）根据两数相乘，异号得负进行计算； （4）根据两数相乘，同号得正进行计算； （5）根据两数相乘，异号得负进行计算； 【解析】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； 15．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)−200 【分析】（1）根据乘法交换律和结合律简便计算即可求解． （2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 【解析】（1）解： ． （2）解： ． 16．计算． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0． （2）利用乘法交换律先算与的积，再乘． （3）将化为后与相乘并约分计算． 【解析】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 17．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)1； (2)； (3)； (4) 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 有理数乘法运算律 18．下列等式能表示分配律的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数运算律的运用，根据乘法分配律的形式判断即可． 【解析】解：A、表示乘法交换律，不符合题意； B、表示加法交换律，不符合题意； C、表示乘法结合律，不符合题意； D、表示乘法分配律，符合题意； 故选：D． 19．这里没有用到的运算律是（   ） A．乘法结合律 B．乘法交换律 C．乘法分配律 D．不确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了整数乘法运算定律推广到分数乘法、分数的连乘运算、分数乘分数，解题的关键是掌握乘法运算律． 乘法交换律是指两个数相乘，交换因数的位置，积不变； 乘法结合律是指三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再与第三个数相乘，也可以先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，结果不变，由此进行解答即可． 【解析】解：，是把和交换位置，再把和相结合，运用了乘法交换律和结合律，这里没有用到的运算律是乘法分配律． 故答案为：C． 20．下列变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的乘法运算律即可进行解答． 【解析】解：A：乘法交换律，交换因数的位置，积不变；故不符合题意； B：乘法交换律，交换因数的位置，积不变；故B不符合题意； C：；故C符合题意； D：运用了乘法交换律和乘法结合律；故D不符合题意； 故选：C． 21．计算： （ ）（ ）（利用乘法交换律） （ ）（ ）（利用乘法结合律） （ ）（ ） ． 【答案】 8 【分析】本题考查了有理数的乘法，利用乘法交换律进行交换，再进行计算即可． 【解析】解： ． 故答案为：；；；；；8； 22．计算：． 晓莉的计算过程如下： 解：原式① ② ．③ 请问晓莉的计算过程正确吗？如果不正确，请指出开始出错的步骤，并写出正确的计算过程． 【答案】不正确；见解析 【分析】利用乘法分配律进行计算并判断即可得出答案． 【解析】解：晓莉的计算过程不正确．开始出错的步骤为第②步，正确计算过程如下： 原式 ． 有理数乘法的实际应用 23．小海去电影院购买电影票时付款100元找回44元．根据如图表信息，可判断小海看的场次是（    ） 《哪吒之魔童闹海》70元/张 上午场：六折    中午场：五折 下午场：八折    夜场：不打折 A．上午场 B．中午场 C．下午场 D．夜场 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数乘法和减法的实际应用，先求出小海所看电影的实际票价，再分别求出四个场次的实际票价即可得到答案． 【解析】解：由题意得，小海所看电影的实际票价为元， 上午场的实际票价为元， 中午场的实际票价为元， 下午场的实际票价为元， 夜场的实际票价为元， ∴可判断小海看的场次是下午场， 故选：C． 24．杜师傅攀登一座山峰，他每登高，气温的变化量为，当杜师傅攀登后，那么气温将会（   ） A．下降 B．上升 C．下降 D．上升 【答案】A 【分析】用每登高气温的变化量乘6，求出攀登后，气温变化多少即可． 【解析】． 上升为正，下降为负，即攀登后，气温下降， 故选：A． 25．某市的地铁站牌每一个站名上方都有一个对应数字，将上、下站名所对应数字相减的差的绝对值作为乘车路程，根据乘车路程所在区段计算票价．乘车路程区段与对应票价（部分）如下表： 乘车路程区段 0~5 6~10 11~15 16~25 … 票价/元 1 2 3.2 4.6 … 另外，学生乘车实行5折优惠，若一名学生上车时站名对应数字是4，下车时站名对应数字是23，则该学生乘车的费用为 元． 【答案】 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，利用乘法的费用等于票价乘以路程，列出算式进行求解即可． 【解析】解：， （元）； 故答案为： 26．如图，一玻璃柜的主视图形状是长（）1.5米、宽（）1米的矩形，现在需要在木框架间嵌入玻璃，已知木框架宽为，则需要的玻璃总面积为 平方米． 【答案】1.17 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，根据总面积（长木框架宽）（宽木框架宽）求解即可． 【解析】解：（平方米）， 故答案为：1.17． 27．有20筐白菜、以每筐20千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差 袋数 2 3 2 5 5 3 (1)20筐白菜中，最轻的一筐比最重的一筐少 千克． (2)每筐白菜的平均重量是多少？ (3)若白菜每千克售价4元，则出售这20筐白菜可卖多少元？ 【答案】(1) (2)千克 (3)元 【分析】此题考查了有理数混合运算的实际应用，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据最大数减去最小数，可得最重的一筐比最轻的一筐要重多少千克； （2）根据题意把20筐白菜的重量与标准质量的差加起来求出平均偏差，再加上标准重即可求解； （3）根据（2）中数据求出的20筐白菜的总重量乘以每千克的售价求解即可． 【解析】（1）解：（千克）， 最重的一筐比最轻的一筐要重千克； （2）解： 每筐白菜的平均重量（千克） 每筐白菜的平均重量是千克； （3）解：（元）， 答：出售这20筐白菜可卖元． 28．出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客，若按规定向东为正，李师傅营运八批乘客里程数记录如下（单位：千米）：． (1)将最后一批乘客送到目的地后，李师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少千米？ (2)若出租车的收费标准为：起步价元（不超过千米），超过千米，超过部分每千米元，求李师傅在这期间一共收入多少元？ 【答案】(1)李师傅位于第一批乘客出发地的东边，距离千米； (2)元． 【分析】（）把记录的数相加即可求解； （）根据收费标准列式计算即可求解； 本题考查了正负数的实际应用，有理数的四则运算的应用，理解正负数的意义是解题的关键． 【解析】（1）解：， 答：李师傅位于第一批乘客出发地的东边，距离千米； （2）解：由里程数记录可知，第一批、第二批、第五批乘客里程超过了千米，其他批乘客没有，由收费标准可得，， 答：李师傅在这期间一共收入元． 求一个数的倒数 29．的倒数是（    ） A． B．2026 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义即可求解，掌握倒数的定义是解题的关键． 【解析】解：的倒数为， 故选：C． 30．与的关系是（    ） A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．乘积为 【答案】C 【分析】本题主要考查了倒数的知识，理解倒数的定义是解题关键．乘积为1的两数互为倒数，据此即可获得答案． 【解析】解：因为， 所以，与的关系是互为倒数． 故选：C． 31．一个数的相反数是，则这个数的倒数是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了相反数和倒数，熟记定义是解题关键．先根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）可得这个数为0.1，再根据倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数）即可得． 【解析】解：∵一个数的相反数是， ∴这个数是0.1， ∵， ∴0.1的倒数是10， 故答案为：10． 32．若，互为倒数，则 ；若没有倒数，的倒数是它本身，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义即可求解，解题的关键是理解乘积为的两个数互为倒数，没有倒数． 【解析】解：若，互为倒数，则， 所以； 若没有倒数，的倒数是它本身， 则，或， 所以或， 故答案为：，． 33．写出下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3)4 (4) (5) 【分析】本题考查了倒数的定义，熟知倒数的定义是解题的关键． （1）根据两数相乘为1的数互为倒数，直接解答即可； （2）根据两数相乘为1的数互为倒数，直接解答即可； （3）小数化为分数，再根据倒数的定义解答即可； （4）带分数要化为假分数，再根据倒数的定义解答即可； （5）小数化为分数，再根据倒数的定义解答即可； 【解析】（1）， ﹣5的倒数为； （2）， 的倒数为 （3）， ， 的倒数为4； （4）， ， 的倒数为； （5）， ， 的倒数为． 有理数乘法运算律与简便运算 34．计算最简便的方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的乘法的分配律是解答本题的关键． 利用乘法分配律将因数进行变形即可． 【解析】解：，可以使计算简便， 故答案为：D 35．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查有理数乘法运算律，利用乘法分配律进行简便计算即可求解． 【解析】解： ， 故答案为：1． 36．利用运算律做较简便的计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3)0 【分析】（1）将小数化为分数，再利用乘法结合律计算； （2）利用乘法分配律展开计算；（3）利用乘法分配律合并计算． 【解析】（1）解： ； （2） ； （3） 37．学习有理数的乘法后，老师给同学们一道这样的题目：计算，看谁算的又快又对． 小瑞很快给出了他的解法：原式=． 小晨经过思考后也给出了他的解法： 原式= = （                     ） = = ． (1)请补全小晨的解题过程，并在括号里写出他用了什么运算原理? (2)你还有不同于小瑞、小晨的解法吗? (3)用你认为最合适的方法计算： 【答案】(1)见解析 (2)有，具体见解析 (3) 【分析】（1）根据乘法分配律计算即可补全； （2）将改为，再根据乘法分配律计算即可； （3）根据（2）的计算方法同理计算即可． 【解析】（1）原式= =（乘法分配律） = =． 故答案为：，乘法分配律，，； （2）有，如下： 原式= =（乘法分配律） = =； （3） ． 相反数、绝对值、倒数的综合运用 38．实数，，，在数轴上对应点的位置如图所示，若实数，互为相反数，则倒数最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了数轴，倒数，相反数，根据数轴上点的位置及，互为相反数，得，然后根据倒数的定义解答即可． 【解析】解：∵由数轴商店的位置可得， 又∵实数，互为相反数， ∴原点位于，之间， 即， ∴的倒数最大， 故选：B． 39．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为，是最大的负整数，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值、相反数、倒数、代数式求值，灵活利用相关定义是解题的关键．由题意可知，，，，然后代入所求式子计算即可． 【解析】解：∵、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是，是最大的负整数， ∴，，，， ∴当时，； 当时，． 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 40．若与互为相反数，与互为倒数，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，相反数，倒数和绝对值的意义，根据、互为相反数，、互为倒数，，求出，，，利用整体代入的思想解答是解题的关键． 【解析】解：∵与互为相反数，与互为倒数，， ∴，，， ∴， ， ， ． 41．已知的倒数是，的绝对值是最小的正整数，且，求的相反数． 【答案】的相反数是 【分析】本题主要考查了倒数、绝对值的意义、相反数，先根据倒数的定义和绝对值的意义得出，，再结合得出，从而求得的值，最后根据相反数的定义即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解析】解：的倒数是，的绝对值是最小的正整数， ，， ， ， ， 的相反数是． 42．请根据图示的对话解答下列问题． 已知与互为相反数 与互为倒数 (1)______，______． (2)已知，求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查相反数、倒数、绝对值的非负性； （1）根据相反数及倒数可直接进行求解、的值， （2）根据（1）及绝对值的非负性可得、的值，然后代入求解即可． 【解析】（1）解：∵与互为相反数，与互为倒数， ∴， 故答案为；； （2）由题意，得， 所以， 所以． 有理数乘法运算中的新定义问题 43．定义一种新运算“”，规定：等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，．则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新运算的运算法则，先计算，再计算即可得解． 【解析】解：由题意，得：， ∴；故选D． 44．规定，则的值等于（     ） A．5 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据定义计算即可． 【解析】解：，故选：B． 45．若“！”是一种数学运算符号，并且，，则 ． 【答案】100 【分析】根据，，可得出，从而表示出，，代入进行计算即可得到答案． 【解析】解：，，， ， ，， ， 故答案为：100． 46．若“※”是新规定的某种运算符号，设，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，新定义，根据新定义得到，据此计算求解即可． 【解析】解： ， 故答案为：． 有理数乘法运算中的新定义问题 47．在学习完《有理数》后，小奇对有理数运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：．（a、b不相等） (1) ； (2)求的值； (3)试以和说明，新定义的运算“⊕”满足交换律吗？ 【答案】(1)0 (2) (3)不满足，理由见解析 【分析】本题考查了新定义下的有理数的乘法、加法运算，乘法运算律．理解运算的运算法则是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2），根据，计算求解即可； （3）由，，，判断作答即可． 【解析】（1）解：由题意知，， 故答案为：0； （2）解：由题意知，， ∴， ∴的值为； （3）解：不满足，理由如下； ， ， ∵， ∴新定义的运算“⊕”不满足交换律． 48．一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义，如图，表示2与的点A，B重合，所以；表示与的点C，D距离为，所以． (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为_______； ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①0或1；②6 (3)0，， 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是理解新定义的含义，并能灵活应用； （1）根据题干中给出的定义进行计算即可； （2）①根据题意可分两种情况：一是为整数时，，，故，二是不是整数时，等于的小数部分，等于的整数部分加后再减去，故； ②可知不是整数，再由①可知，从而有，列出算式进行计算即可； （3）由时，可知，与的小数部分相同，即的小数部分只能是或使得倍后小数部分不变的值，即可解答． 【解析】（1）， ； （2）①， 当为整数时，， ， ， 当不是整数时，由题意得 等于的小数部分，等于的整数部分加后再减去， ∴ 故答案是：或； ②， ， ； （3）时，， 与的小数部分相同， 的小数部分只能是或使得倍后小数部分不变的值， 即的小数部分为或或， 或或． 49．对于任意有理数和，定义一种新运算“”：，例如： (1)求的值； (2)求的值； (3)计算和的值，并根据计算结果判断这种运算是否满足交换律． 【答案】(1)3 (2) (3)，，不满足 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘法运算，乘法运算律．理解运算规则是解题的关键． （1）由题意知，，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，由，作答即可． 【解析】（1）解：由题意知，； ∴的值为3； （2）解： ， ∴的值为； （3）解：由题意知，， ， ∵， 不满足交换律． 50．定义一种新的运算“？” (1)仔细观察，归纳“？”运算法则：两数进行“？”运算时，_____________；特别的，0与任何数进行“？”运算，或任何数与0进行“？”运算，结果为_____________； (2)计算：； (3)已知，求的值 【答案】(1)同号相乘、异号相除；0． (2)3 (3) 【分析】本题主要考查有理数的运算，整式运算等知识点，解审清题意、归纳出“？”运算法则是解答本题的关键． （1）根据题目中的例子可以总结出“？”运算的运算法则即可； （2）根据（1）中的结论求解即可； （3）根据（1）中的结论先分别运算M和N，然后再进行整式的加减运算即可． 【解析】（1）解：由题意可得，“？”运算法则：两数进行“？”运算时，同号相乘，异号相除； 0与任何数进行“？”运算，或任何数与0进行“？”运算，结果为0． 故答案为：同号相乘、异号相除，0． （2）解： （3）解：∵， ∴，，， ， ， ∴ 有理数乘法运算中的规律问题和材料阅读题 51．符号“f”表示一种运算，运算规律如下：，，，，…，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，解题的关键理解新定义运算；根据新定义运算进行求解即可 【解析】解：根据题中的新定义得： 原式． 故选D． 52．《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为________，该图表示的乘积结果为_________． 【答案】 2或3 或 【分析】如图2所示，由题意得，，由此可得，进而求出，；如图2-1所示，的结果十位数为1，则或，由此讨论b的值求解即可. 【解析】解：如图2所示，由题意得，， ∵都是自然数，且，∴，∴，∴； 如图2-1所示，∵的结果十位数为1，∴或， 当时，符合题意，此时的乘积为； 当时，符合题意；，此时的乘积为；故答案为：2或3；或 53．阅读下列文字，并回答： 每个假分数可以写成一个自然数与一个真分数的和（例如），这个真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和（如），反复进行同样的过程，直到真分数的倒数是一个自然数为止（如；），我们把用这种方法得到的自然数，按照先后顺序写成一个数组，那么，这个数组叫做由这个假分数生成的自然数组．如：对于假分数，则，，；，所生成的自然数组为，请回答： (1)所生成的自然数组为{ } (2)某个假分数所生成的自然数组为，这个假分数为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据生成的自然数组的定义即可求解；（2）根据生成的自然数组的定义逆推即可求解． 【解析】（1）解：，，，， ∴所生成的自然数组为．故答案为：． （2）解：∵，，，， ∴假分数所生成的自然数组为． 54．观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算， （1）根据题干，模仿写出第5个等式，即可作答； （2）由（1）以及题干条件，即得第n个等式：； （3） 由（2）的结论，先化简再运算，即可作答， 掌握第n个等式：是解题的关键． 【解析】（1）解：依题意，第5个等式： ； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 故第n个等式：； （3）解：由（2）知第n个等式：； 则 55．【问题背景】 七年级一次数学活动中，某小组同学决定对课本第69页第20题进行探索研究，问题如下：“在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，你能做到吗？” 【解决方法】小薇同学采用“配对法”，将这12个数分成6组：，，，，，，通过添加正负号让其中三组中各数的和都为1，另外三组中各数的和都为； 小娟同学采用“奇偶法”，将这12个数按奇偶性分成两组：，，通过适当地添加正负号，先使所有的奇数的和为0，再使所有的偶数的和也为0，这样就可以使这12个数的和为0了； （1）小薇、小娟两位同学的办法中______办法是可行的． 【变式探究】 （2）在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为，你能做到吗？如果能，请写出一种可行的添加的结果，如果不能，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）在1，2，3，4，…，2006，2007共2007个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为2024，你能做到吗？如果能，请写出一种可行的添加的结果，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）小微的方法可行，小娟的方法不可行，理由见解析；（2）能，理由见解析；（2）能，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）根据小薇的方法，适当添加正负号，即可解答；根据几个偶数的和不可能等于奇数，即可判断小娟的方法． （2）仿照小微的方法，适当添加正负号，即可解答； （3）将1，2，3，4，…，2026分为1013组，分别为……，，，使其中503组结果为，剩下510组结果为1，即可解得． 【解析】解：（1）小薇：， ∴小微的方法可行， 小娟：∵， ∴要是6个偶数和为0，则要使其中一部分偶数和为21， ∵偶数的和仍为偶数， ∴小娟的方法不可行； （2）将这12个数分成6组：，，，，，，通过添加正负号让其中五组中各数的和都为1，另外一组中各数的和都为， 即； （3）在1，2，3，4，…，2026，2027共个， ∴将1，2，3，4，…，2026分为1013组，分别为……，，， 使其中508组结果为，剩下505组结果为1， ∴这2026个数的和为， ∴则这2027个数的和为． 56．（2024·内蒙古包头·中考真题）若互为倒数，且满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据互为倒数，则，把代入，即可得出m的值，进一步即可得出n的值． 【解析】解：∵互为倒数， ∴， ∵， ∴， 则， 故选：B． 57．（2024·吉林·中考真题）若的运算结果为正数，则内的数字可以为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出与四个选项中的数的乘积即可得到答案． 【解析】解：，，，， 四个算式的运算结果中，只有3是正数， 故选：D． 58．（2022·贵州黔东南·中考真题）下列说法中，正确的是（    ） A．2与互为倒数 B．2与互为相反数 C．0的相反数是0 D．2的绝对值是 【答案】C 【分析】根据相反数定义，倒数定义，绝对值定义对各选项进行一一判断即可． 【解析】解：A. 2与互为相反数，故选项A不正确     B. 2与互为倒数，故选项B不正确；     C. 0的相反数是0，故选项C正确；     D. 2的绝对值是2，故选项D不正确． 故选C． 59．（2023·四川南充·中考真题）如果，那么的值为（    ） A．6 B． C．-6 D． 【答案】B 【分析】直接利用倒数的定义得出答案． 【解析】解：∵6a=1， ∴a= 故选B． 60．（2023·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【解析】解：由题意得，第一天织布尺，第天织布尺， ∴一共织布（尺）， 故选：． 学科网（北京）股份有限公司 $