第五章 图形的轴对称 单元练习 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第五章 图形的轴对称 一、单选题 1．等腰三角形底边长为6，面积是12，则顶角平分线长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．下列描述等腰三角形的对称轴正确的是（    ） A．顶角的平分线 B．底边上的高 C．底边上的中线 D．底边的垂直平分线 3．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 5．如图，四边形中，，点B关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，是的平分线，于点E，于点F．则下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，．如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是（    ） A． B．5 C． D．6 8．如图，已知，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，垂直平分，垂直平分，若，，则 ． 10．如图，在中，，平分交于点，若，则的边上的高为 ． 11．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知的周长为，，则的长为 ． 12．如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是 （填序号）． 13．如图，平分，于点D，点E是射线上的一个动点，若，则的最小值是 ． 三、解答题 14．如图，在中，，过点作，且，连接，．试说明：． 15．如图， ，，，连接，，在上，作，交的延长线于． (1)试说明：； (2)求的度数； (3)试说明：． 16．如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 17．如下图，四边形中，，对角线平分． (1)求证：． (2)过点作于点．若的面积为，求的面积． 18．如图，在四边形中，，于点E，且． (1)试证明点D在的平分线上； (2)试判断、和三条线段的数量关系并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】此题主要考查等腰三角形的三线合一的性质．根据等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合求解即可． 【详解】解：如下图，根据题意，，是的平分线， 是边上的中线也是边上的高线， ，， ∴， ∴ 故选：A． 2．D 【分析】本题考查了等腰三角形的轴对称性，根据等腰三角形的性质和图形的对称轴是直线解答即可． 【详解】解：根据等腰三角形的性质可知：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线是等腰三角形的对称轴， 选项A、B、C中底边上的中线，顶角平分线，底边上的高都是线段，故不符合题意； 选项D中，底边的垂直平分线是一条直线，符合题意． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的定义（沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）． 根据轴对称图形的定义，逐一判断各选项图形是否能沿某条直线对折后完全重合． 【详解】A、无论沿哪条直线对折，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图形． B、无论沿哪条直线对折，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图形． C、存在一条竖直直线，沿该直线对折后，图形两部分能完全重合，是轴对称图形． D、无论沿哪条直线对折，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图形． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得． 【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三条角平分线的交点． 故选：C． 5．A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．连接，过A作于F，得到，依据，，即可得出，再根据直角三角形两锐角互余，即可得到． 【详解】解：如图，连接，过A作于F， ∵点B关于的对称点恰好落在上， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 6．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，垂直平分线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合角平分线的性质得，再证明，故，根据，，得出是的垂直平分线，即可作答． 【详解】解：∵是的平分线，于点E，于点F． ∴ 故B选项正确，不符合题意； ∵是的平分线，于点E，于点F． ∴ ∵ ∴ ∴， 故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴是的垂直平分线， ∴ 故A选项正确，不符合题意； 无法得出 故D选项不正确，符合题意； 故选：D． 7．A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，垂线段最短，正确进行转化是解题的关键．延长到点，使，连接，过点作于点，连接，，由得到当点重合，且点共线时，最小，即为的长，再由即可求解． 【详解】解：如下图所示，延长到点，使，连接，过点作于点，连接，， ，， 是的垂直平分线，， ∴， ∴， 当点重合，且点共线时，最小，即为的长， ， ， 解得：． 故选：A ． 8．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，证明，可得，即可解答． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 故选：D． 9．8 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，，由此计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 10．3 【分析】本题考查了角平分线性质和直角三角形的性质，解题的关键在于利用角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质．利用角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知条件中，推导中边上的高与的关系，从而求解． 【详解】解：过点D作于E， ， ， 平分， ， ， ，即中边上的高为3． 故答案为：3． 11． 【分析】由线段垂直平分线的性质推出，得到的周长，而，即可求出本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长， ， ． 故答案为：． 12．③ 【分析】本题考查了对轴对称概念的理解和应用，如果两个图形沿着某一条直线对折后能够重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，据此即可得出答案． 【详解】解：对折后不能重合， ③对折后能重合， 故答案为：③． 13．3 【分析】本题考查垂线段最短，角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 过P作于E，由垂线段最短可得此时的长最小，根据角平分线的性质即可解答． 【详解】解：过P作于E，此时的长最小， ∵平分，，， ∴， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 14．见解析 【分析】本题考查平行线的性质、“等边对等角”、全等三角形的判定与性质等知识，得出是解题的关键．由，，，由，得，则，而，，即可根据“”证明，则． 【详解】解：， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 15．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）先证明，继而推导出，即可解答． （2）先证明，得到，再求出，，即可解答． （3）延长到，使得，连接，先证明，则．推导出，则，继而证明，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴． 在和中， ； （2）∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）延长到，使得，连接，如图所示． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∴． 16．(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高，三角形的面积，熟练掌握:角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． （1）过点作于点于点，先通过计算得出，，根据角平分线的判定与性质得，则．由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）根据“的面积的面积的面积”列式求出，得，再求的面积即可． 【详解】（1）证明：，交的延长线于点， ． ， ． ， ． 如图，过点作于点于点， 平分，交的延长线于点， ． ， 平分， ， ． ， 平分； （2）解：的面积的面积的面积， ， ， ， ， ， 的面积． 17．(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积公式；（1）过点C分别作交的延长线于点F，于点G，根据角平分线和等角对等边即可得到，根据四边形对角和为和为平角即可得到，即可推出则得证；（2）延长交于点H，推出根据角平分线得到进而推出得到边相等，进而根据面积公式即可求得. 【详解】（1）证明：如图，过点分别作交的延长线于点，于点． 对角线平分， ． ， ． ， ． （2）解：如图，延长交于点， 则． 平分， ． ， ，即是的中点， ， ． 18．(1)证明见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）通过作辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到角相等，进而证明点D到两边的距离相等，从而得出点D在的平分线上； （2）通过全等三角形的性质得到线段相等关系，进而推导出、和三条线段的数量关系． 【详解】（1）证明：过点D作，交的延长线于点F， ∵， ∴， 在四边形中，，， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，且， ∴点D在的平分线上． （2）解：， 理由：由（1）知，， ∴， ∵点D在的平分线上，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，且， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定以及线段数量关系的探究． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $